2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章函數(shù)應(yīng)用5.1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性課時(shí)分層作業(yè)含解析北師大版必修第一冊(cè)

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(二十九)利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝2x2－4x－3的零點(diǎn)有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．不能確定C[由f(x)＝0，即2x2－4x－3＝0，因?yàn)棣ぃ?－4)2－4×2×(－3)＝40>0.所以方程2x2－4x－3＝0有兩個(gè)根，即f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．]2．函數(shù)f(x)＝4x－2x－2的零點(diǎn)是()A．(1，0) B．1C．eq\f(1,2) D．－1B[由f(x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0得2x＝2，解得x＝1.]3．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(6,x)－log2x，在下列區(qū)間中，包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，4) D．(4，＋∞)C[由題意知，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝eq\f(6,4)－log24＝eq\f(3,2)－2＝－eq\f(1,2)＜0.由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，4)上必存在零點(diǎn)．]4．函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(1,x－1)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3C[如圖，畫出y＝lnx與y＝eq\f(1,x－1)的圖象，由圖知y＝lnx與y＝eq\f(1,x－1)(x>0，且x≠1)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．故函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(1,x－1)的零點(diǎn)有2個(gè)．]5．已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，且圖象是連綿不斷的，若f(a)·f(b)＜0，則方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上()A．至少有一實(shí)數(shù)根 B．至多有一實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．必有唯一的實(shí)數(shù)根D[由題意知函數(shù)f(x)為連續(xù)函數(shù)．∵f(a)·f(b)＜0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上至少有一個(gè)零點(diǎn)．又∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上至多有一個(gè)零點(diǎn)．故函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]內(nèi)必有唯一的實(shí)數(shù)根．故選D.]二、填空題6．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一個(gè)零點(diǎn)為1，則它的另一個(gè)零點(diǎn)為________．－3[設(shè)函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，依據(jù)函數(shù)解析式，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－eq\f(2a,a)＝－2.又因?yàn)閤1＝1，所以x2＝－3.]7．函數(shù)f(x)＝x2－2x在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________．3[由題意可知，函數(shù)f(x)＝x2－2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)y＝2x，y＝x2的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．如圖，畫出函數(shù)y＝2x，y＝x2的大致圖象．由圖象可知有3個(gè)交點(diǎn)，即f(x)＝x2－2x有3個(gè)零點(diǎn)．]8．若函數(shù)f(x)＝mx－1在(0，1)內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．(1，＋∞)[f(0)＝－1，要使函數(shù)f(x)＝mx－1在(0，1)內(nèi)有零點(diǎn)，需f(1)＝m－1>0，即m>1.]三、解答題9．推斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，假如存在，懇求出．(1)f(x)＝eq\f(x＋3,x)；(2)f(x)＝x2＋2x＋4.[解](1)令f(x)＝0即eq\f(x＋3,x)＝0，故x＝－3.所以函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋3,x)的零點(diǎn)是－3.(2)令f(x)＝0，即x2＋2x＋4＝0，因?yàn)棣ぃ?－4×4＝－12<0，所以此方程無解，故函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋4無零點(diǎn)．10．設(shè)函數(shù)g(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，且g(1)＝－eq\f(a,2).(1)求證：函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)探討函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，2)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．[解](1)證明：∵g(1)＝a＋b＋c＝－eq\f(a,2)，∴3a＋2b＋2c＝0，∴c＝－eq\f(3,2)a－b.∴g(x)＝ax2＋bx－eq\f(3,2)a－b，∴Δ＝b2－4aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)a－b))＝(2a＋b)2＋2a2.∵a>0，∴Δ>0恒成立，故函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．(2)依據(jù)g(0)＝c，g(2)＝4a＋2b＋c，又由(1)知3a＋2b＋2c＝0，∴g(2)＝a(ⅰ)當(dāng)c>0時(shí)，有g(shù)(0)>0，又∵a>0，∴g(1)＝－eq\f(a,2)<0，故函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，故在區(qū)間(0，2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．(ⅱ)當(dāng)c≤0時(shí)，g(1)<0，g(0)＝c≤0，g(2)＝a－c>0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)有一零點(diǎn)，綜合(ⅰ)(ⅱ)，可知函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．11．函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4B[函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?方程|log0.5x|＝eq\f(1,2x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x)的根的個(gè)數(shù)?函數(shù)y1＝|log0.5x|與y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故選B.]12.方程lgx＝8－2x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，則k等于()A．2B．3C．4D．5B[令f(x)＝lgx＋2x－8，則函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且在(0，＋∞)上連續(xù)．因?yàn)閒(1)＝－6<0，f(2)＝lg2－4<0，f(3)＝lg3－2<0，f(4)＝lg4>0，所以f(3)f(4)<0，函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間是(3，4)，所以k＝3.]13．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一個(gè)零點(diǎn)比0大，一個(gè)零點(diǎn)比0小，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．(－∞，2)[由題意可知f(0)＝a－2<0，解得a<2.]14．若函數(shù)f(x)在定義域{x|x∈R且x≠0}上是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，f(2)＝0，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為________．－2和2[f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)2.又f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)在(－∞，0)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)－2.因此函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)－2與2.]15．已知y＝f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)＝x2－2x.(1)寫出函數(shù)y＝f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a恰有3個(gè)不同的解，求a的取值范圍．[解](1)當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，－x∈(0，＋∞)，∵y＝f(x)是奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x