2024-2025學年高中數(shù)學第1章立體幾何初步4第1課時空間圖形的公理公理123教師用書教案北師大版必修2

PAGE9-§4空間圖形的基本關(guān)系與公理4．1空間圖形基本關(guān)系的相識4．2空間圖形的公理第1課時空間圖形的公理(公理1、2、3)學習目標核心素養(yǎng)1.通過長方體這一常見的空間圖形，了解空間圖形的基本構(gòu)成——點、線、面的基本位置關(guān)系．2．理解異面直線的概念，以及空間圖形的基本關(guān)系．(重點、易錯點)3．駕馭空間圖形的公理1、2、3.(重點、難點)1.通過了解空間圖形的基本構(gòu)成，培育直觀想象素養(yǎng)．2．通過學習空間圖形的公理1、2、3提升邏輯推理素養(yǎng).1．空間圖形的基本關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號表示點與線的位置關(guān)系點A不在直線a上A?a點B在直線α上B∈a點與面的位置關(guān)系點A在平面α內(nèi)A∈α點A在平面α內(nèi)B?α直線與直線的位置關(guān)系平行相交a∥b異面平行a∩b＝O相交a與b異面位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系線在面內(nèi)aα線面相交a∩α＝A線面平行a∥α平面與平面的位置關(guān)系面面平行α∥β面面相交α∩β＝a對于長方體有12條棱和6個面．思索1：12條棱中，棱與棱有幾種位置關(guān)系？提示：相交，平行，既不平行也不相交．思索2：棱所在直線與面之間有幾種位置關(guān)系？提示：棱在平面內(nèi)，棱所在直線與平面平行和棱所在直線與平面相交．思索3：六個面之間有哪幾種位置關(guān)系．提示：平行和相交．2．空間圖形的公理(1)三個公理：名稱內(nèi)容圖形表示符號表示公理1過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)若A，B，C三點不共線，則點A，B，C確定一個平面α使A∈α，B∈α，C∈α公理2假如一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，則lα公理3假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線若A∈α，A∈β，且α與β不重合，則α∩β＝l，且A∈l(2)公理1的三個推論：推論1：一條直線和直線外一點確定一個平面．推論2：兩條相交直線確定一個平面．推論3：兩條平行直線確定一個平面．公理1及其推論給出了確定平面的依據(jù)．思索4：兩個平面的交線可能是一條線段嗎？提示：不行能．由公理3知兩平面的交線是一條直線．思索5：經(jīng)過空間隨意三點能確定一個平面嗎？提示：不肯定．只有經(jīng)過空間不共線的三點才能確定一個平面．1．“直線a經(jīng)過平面α外一點P”用符號表示為()A．P∈a，a∥α B．a(chǎn)∩α＝PC．P∈a，P?α D．P∈a，aα[答案]C2．兩個平面若有三個公共點，則這兩個平面()A．相交 B．重合C．相交或重合 D．以上都不對C[若三個點在同一條直線上，則兩平面可能相交；若這三個點不在同始終線上，則這兩個平面重合．]3．如下所示是表示兩個相交平面，其中畫法正確的是()D[畫空間圖形時，被遮擋部分應畫成虛線，故選D.]4．據(jù)圖填入相應的符號：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC________平面ACD＝AC.[答案]∈?∩三種語言的相互轉(zhuǎn)換【例1】用符號表示下列語句，并畫出圖形．(1)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點A，B；(2)點A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點C，點C不在直線AB上．[解](1)用符號表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖．(2)用符號表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如圖．三種語言的轉(zhuǎn)換方法1用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先細致視察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示.2依據(jù)符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要留意實線和虛線的區(qū)分.eq\O([跟進訓練])1．(1)假如aα，bα，l∩a＝A，l∩b＝B，那么l與α的位置關(guān)系是________．(2)如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，哪幾條棱所在的直線與直線BC′是異面直線？(1)直線l在平面α內(nèi)[如圖，l上有兩點A，B在α內(nèi)，依據(jù)公理2，lα.](2)解：棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，A′D′所在的直線與直線BC′是異面直線.點線共面問題【例2】證明：兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面內(nèi)．[思路探究]先說明兩條相交直線確定一個平面，然后證明另外一條直線也在該平面內(nèi)．或利用公理1的推論，說明三條相交直線分別確定兩個平面α，β，然后證明α，β重合．[解]已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．法一：∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2又l2α，∴B∈α.同理可證C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．法二：∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1，l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個平面β.∵A∈l2，l2α，∴A∈α.∵A∈l2，l2β，∴A∈β.同理可證，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∵不共線的三個點A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)，∴平面α和平面β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．證明點、線共面問題的理論依據(jù)是公理1和公理2常用方法有：1先由部分點、線確定一個面，再證其余的點、線都在這個平面內(nèi)，即用“納入法”；2先由其中一部分點、線確定一個平面α，其余點、線確定另一個平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”；3假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出沖突，即用“反證法”.eq\O([跟進訓練])2．已知A∈l，B∈l，C∈l，D?l(如圖)，求證：直線AD，BD，CD共面．[證明]因為D?l，所以D和l可確定一平面，設(shè)為α.因為A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以ADα.同理BDα，CDα，所以AD，BD，CD都在平面α內(nèi)，即它們共面．點共線與線共點問題[探究問題]1．如圖所示，在空間四邊形各邊AD，AB，BC，CD上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，假如EF，GH交于一點P，那么點P，B，D共線嗎？請說明理由．提示：連接BD(圖略)．∵EF，HG相交于一點P，且EF平面ABD，GH平面CBD，∴P∈平面ABD且P∈平面CBD.又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，∴點P，B，D共線．2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于點Q，能否推斷B，Q，D提示：∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB，∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C平面A1D1CB∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1，∴Q在兩平面的交線BD1上，∴B，Q，D1三點共線．【例3】已知△ABC在平面α外，它的三邊所在的直線分別交平面α于P，Q，R(如圖)．求證：P，Q，R三點共線．[思路探究]解答本題可以先選兩點確定一條直線，再證明第三點也在這條直線上．[證明]法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，點P在平面ABC與平面α的交線上．同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P，Q，R三點共線．法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直線BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三點共線．1．證明多點共線主要采納如下兩種方法：一是首先確定兩個平面，然后證明這些點是這兩個平面的公共點，再依據(jù)公理3，這些點都在這兩個平面的交線上；二是選擇其中兩點確定一條直線，然后再證明其他的點都在這條直線上．2．證明三線共點問題的方法主要是：先確定兩條直線交于一點，再證明該點是這兩條直線所在平面的公共點，第三條直線是這兩個平面的交線．eq\O([跟進訓練])3．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB的中點，F(xiàn)為AA1的中點．求證：CE，D1F，[解]如圖，連接EF，D1C，A1B∵E為AB的中點，F(xiàn)為AA1的中點，∴EF綊eq\f(1,2)A1B.又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1∴E，F(xiàn)，D1，C四點共面，且EF＝eq\f(1,2)D1C，∴D1F與CE相交于點P又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，∴P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，依據(jù)公理3，可得P∈DA，即CE，D1F，DA1．解決立體幾何問題首先應過好三大語言關(guān)，即實現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換，正確理解集合符號所表示的幾何圖形的實際意義，恰當?shù)赜梅栒Z言描述圖形語言，將圖形語言用文字語言描述出來，再轉(zhuǎn)換為符號語言．文字語言和符號語言在轉(zhuǎn)換的時候，要留意符號語言所代表的含義，作直觀圖時，要留意線的實虛．2．在處理點線共面、三點共線及三線共點問題時初步體會三個公理的作用，突出先部分再整體的思想．1．思索辨析(1)不平行的兩條直線的位置關(guān)系為相交． ()(2)兩個平面的交線可以是一條線段． ()(3)直線l在平面α內(nèi)，可以表示為“l(fā)α”． ()(4)平面內(nèi)的直線與不在該平面內(nèi)的直線互為異面直線． ()[解析](1)×，不平行的兩條直線的位置關(guān)系為相交或異面，故(1)錯．(2)×，兩個平面的交線是直線，故(2)錯．(3)√，正確．(4)×，可能相交或平行，故(4)錯．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．設(shè)平面α與平面β交于直線l，A∈α，B∈α，且直線AB∩l＝C，則直線AB∩β＝________.C[∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.]3．若a，b是