數(shù)學-湖南省邵陽市2025年高三第一次聯(lián)考暨上學期期末考試試卷試題和答案

2025年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后,只交答題卡,試題卷自行保存。一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.已知集合A={x|0≤x≤5},集合B={x|x2-4x≤0},則A∩B=A.(0,4)B.[0,4]C.(0,5)D.[0,5]3.已知復(fù)數(shù)z滿足:z·i4n+1A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.為了推廣一種新產(chǎn)品,某公司開展了有獎促銷活動:將6件這種產(chǎn)品裝一箱,每箱中都放置2件能夠中獎的產(chǎn)品.若從一箱中隨機抽出2件,能中獎的概率為2025年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題卷(數(shù)學)第1頁(共4頁)則AB=777A.f>2f-C.f>3f--)取值范圍是)二、選擇題(本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)9.下列說法正確的是A.決定系數(shù)R2越小,模型的擬合效果越好B.若隨機變量X服從兩點分布C.若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,4),P(x<1)=P(x>3),則μ=2n(n∈N?)的平均數(shù)為a,若再插入一個數(shù)a,則這n+1個數(shù)的方差變大10.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,準線過點A(-1,0),M是拋物線上的動點,則A.p=222B.當MF=tMA時,t的最小值為2C.點M到直線y=x+3的距離的最小值為2→→2D.當MN=2NF時直線11.已知函數(shù)f(x)=1+sinx+a,a∈R,則下列結(jié)論正確的是ex+1A.當a=-為奇函數(shù)2B.f(x)的圖象關(guān)于直線x=π對稱20)<01eπ+12025年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題卷(數(shù)學)第2頁(共4頁)三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)12.若等比數(shù)列{an}(n∈N?)滿足:a3+a5=10,a6+a8=80,則數(shù)列{an}的公比q=.13.某校高三(5)班班主任準備從2名男生和4名女生中選取3人擔任數(shù)學、物理、化學學科課代表,每學科安排1人,且至少有1名男生,則不同的選取方法有.(請用數(shù)字作答)14.已知在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M是底面ABCD內(nèi)的動點,點N為棱BC上的動點,且tan∠AMA1=2tan∠BMB1,則MN+ND的最小值為.四、解答題(本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(1)求角A的大小;,點D在邊BC上,且∠ADC=2∠BAD,求的值.(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)若函數(shù)g(x)=(eax-x+1-eax-x)[f(x)+x+1]+有2個零點,求實數(shù)a的取值范圍.2025年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題卷(數(shù)學)第3頁(共4頁)17.(15分)如圖(一),在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD=2,BC=CD=2,∠DCB=90°,∠DAB=45°,E,F分別為AD,AB的中點.(1)求證:AD⊥BD;(2)求證:平面BDC1∥平面EFD1;(3)若CC1=2,P是線段D1F上的動點,求直線A1P與平面BDC1所成角的正弦值的最大值.圖(一)18.(17分)已知雙曲線C的漸近線方程為y=±x,右頂點為B,點A(4,2)在C上.(1)求C的方程;(2)過點D(2,0)的直線l與C相交于F,G兩點,點E與點F關(guān)于x軸對稱,問直線EG是否過定點?若過定點,求出定點坐標;若不過定點,請說明理由;(3)將圓心在y軸上,且與C的兩支各恰有一個公共點的圓稱為“子圓”,若兩個“子圓”外切于點R圓心距為d求19.(17分)已知正項數(shù)列{an}(n∈N?)的前n項和為Sn,且2Sn=a+n.當n≥4時,bi+1-bi=3(其中i∈N?,1≤i<n).(1)當n=5時,寫出所有滿足b1=2的數(shù)列{bn};(2)試判斷數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列,并加以證明;公差為d(d>0且d≠4)的等差數(shù)列,求公差d.2025年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題卷(數(shù)學)第4頁(共4頁)2025年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準數(shù)學一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)題號12345678答案BCCABABD2化簡得二、選擇題(本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)題號9答案10.ABD解析:選項A正確;對于選項B,C,D,設(shè)M(4m2,4m),2025年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準(數(shù)學)第1頁(共7頁)當且僅當時,等號成立.故B正確;1當且僅當時,等號成立.故D正確.1故f(x)是奇函數(shù),故A正確;對于選項故B錯誤;對于選項對于選項D,由f(x)>0,得-a<+sinx,2025年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準(數(shù)學)第2頁(共7頁)因為,sinx≥0.故h故,即a>-故D正確.三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)1圖(一)圖(二)如圖(二),建立平面直角坐標系,則A(0,0),B(3,0),D(0,3),設(shè)點M(x,y). 2,化簡得:(x+1)2+y2=4(x≥0,y≥0).則圓心為P(-1,0),r=2,點D(0,3)關(guān)于BC的對稱點D′(6,3).2-2四、解答題(本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)22=sinBsinC.………3分.…………………6分易知C=π-,……………8分2025年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準(數(shù)學)第3頁(共7頁)∴∠ADC=,BD=AD.…………………10分BD∴的值為2+3.……………………13分16.(15分)(1)解:由題意知,f′(x)=f′(1)ex-1,…………2分令x=1,則f′e-1,∴f′.…………4分∴所求切線方程為,即y=-1.………………6分ax當x>0時,g(x)>0,故函數(shù)y=g(x)沒有零點;………8分當x<0時,令g=0,得a=.…………………9分t當t∈(0,e)時,h′(t)>0,h(t)單調(diào)遞增;當t∈(e,+∞)時,h′(t)<0,h(t)單調(diào)遞減.1當1<t≤e時,0<h(t)≤;當t→+∞時,h(t)>0且h(t)→0.………12分e故函數(shù)y=g(x)有兩個零點時,直線y=a與函數(shù)y=h(t)的圖象有兩個交點,∴實數(shù)a的取值范圍為(0,).……………………∴AD⊥BD.………………3分2025年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準(數(shù)學)第4頁(共7頁)(2)證明:在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面ABCD,∴DA,DB,DD1兩兩垂直,以D為原點,DA,DB,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,設(shè)DD1=h,則D(0,0,0),B(0,2,0),C1(-1,1,h),E(1,0,0),F(1,1,0),D1(0,0,h).→→→DB=(0,2,0),DC1=(-1,1,h),EF=(0,1,0),→ED1=(-1,0,h).………………5分1,y1,z1)為平面BDC1的一個法向量,=(h,0,1).……………………7分同理可得,平面EFD1的一個法向量n2=(h,0,1).……8分∵n1∥n2,∴平面BDC1∥平面EFD1.……………………9分=(2,0,1)為平面BDC1的一個法向量,→→設(shè)FP=λFD1=λ(-1,-1,2)=(-λ,-λ,2λ)(λ∈[0,1]),→∴P(1-λ,1-λ,2λ),∵A1(2,0,2),∴A1P=(-1-λ,1-λ,2λ-2).…11分設(shè)直線A1P與平面BDC1所成角為θ,→ 2(-1-λ)+2λ-2→1P,n1〉 22(-1-λ)2+(1-λ)2+(2λ-2)22當且僅當λ=時,等號成立.…………14分3所以,直線A1P與平面BDC1所成角的正弦值的最大值為.……15分18.(17分)解:(1)設(shè)雙曲線的方程為x2-y2=λ(λ≠0),將點A(4,2)代入得42-22=λ,即λ=12,∴雙曲線C的方程為x-y=1.………3分(2)當直線DG的斜率不為零時,設(shè)直線DG的方程為x=my+2,F(x1,y1),G(x2,y2),E(x1,-y1).(2-1)222≠1,2≠1,32025年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準(數(shù)學)第5頁(共7頁)易知,直線EG的斜率存在,設(shè)直線EG的方程為y+y1=.………………6分∴直線EG過定點(6,0).………………9分當直線DG的斜率為0時,直線EG的方程為y=0,過點(6,0),綜上,直線EG過定點(6,0).…………10分(3)考慮以(0,y0)為圓心的“子圓”Ω0:x2+(y-y0)2=r02(r0>0),依題意,該方程的判別式Δ=4y02-8(y02+12-r02)=0,∴y02=2r02-24.……………12分,Ω2,顯然點R在y軸上,設(shè)R(0,h),Ω1,Ω2的半徑分別為r1,r2,不妨設(shè)Ω1,Ω2的圓心分別為(0,h+r1),(0,h-r2).則(h+r1)2=2r12-24,(h-r2)2=2r22-24.兩式相減得:2h(r1+r2)=r12-r22,2>0,∴h=.………………14分12-24,整理得:r=0.…………………15分12,點B(23,0), 12)2122.,故.……………17分1+(n-1),②2025年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準(數(shù)學)第6頁(共7頁)由①-②得:2an=a-a-1+1,即a-1=(an-1)2.n>0,a1=1,∴an-1=an-1,即an-an-1=1.∴數(shù)列{an}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列.n=n(n∈N?).………………