2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末專項(xiàng)訓(xùn)練：等邊三角形的相關(guān)證明題

第十三章等邊三角形的相關(guān)證明題一2024-2025學(xué)年人教版八

年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末專題訓(xùn)練

1.如圖，點(diǎn)、B、C、E在一條直線上，VABC、ADCE均為等邊三角形.求證：BD=AE.

2.如圖，已知VA5c是等邊三角形，D、E分別在ZB、AC邊上.

⑴若DE〃BC,求證：VADE是等邊三角形、

(2)若BD=CE,求證：VADE是等邊三角形.

3.如圖，VABC是等邊三角形，應(yīng))是中線，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E,使CE=CD.

⑴求證：DB=DE；

(2)過點(diǎn)。作O尸垂直于8E,垂足為尸，若CF=3,求VABC的周長(zhǎng).

4.如圖，VABC是等邊三角形，點(diǎn)。在VABC外部，且ZM=OC,連接80,交AC于點(diǎn)

G.

⑴求證：BO垂直平分AC；

⑵在3C上取點(diǎn)E,連接。E,交AC于點(diǎn)片若EB=ED,試判斷△時(shí)的形狀，并說明理

由.

5.如圖，點(diǎn)E是—AO3的平分線上的一點(diǎn)，ECLOB,EDLOA,垂足分別為點(diǎn)C、D,

連接C。交OE于點(diǎn)E且NAOB=60。.

(1)求證：OCD是等邊二角形.

(2)若DF=m,EF=〃時(shí)，直接寫出△€￡￡＞的周長(zhǎng).(用含相、”的式子表示)

6.已知：如圖，VABC、VCDE都是等邊三角形，AD,仍相交于點(diǎn)。，點(diǎn)M、N分別是線

段AZX跖的中點(diǎn).

⑴求證：AD=BE；

⑵求NAOE的度數(shù)；

(3)求證：MNC是等邊三角形.

7.如圖，等邊三角形VABC中，8。是中線，延長(zhǎng)BC至E使得CE==2C,作。R_LBE于

2

F.

⑴求證：BF=EF；

⑵若AB=10,求

8.如圖，在等邊VABC中，點(diǎn)Z),￡分別在邊BC,AB±.,且BD=AE,AD與CE交于點(diǎn)

F.

⑴求證：AD=CE；

(2)求NDFC的度數(shù).

9.如圖，ASC是等邊三角形，8。是中線，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E,使CE=CD.

(1)求證：DB=DE；

(2)若下是跖的中點(diǎn)，連接。尸，且B=2,求，/WC的邊長(zhǎng).

10.如圖，在VABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AE=BE,E為BO中點(diǎn).

⑴求NC4E的度數(shù)；

⑵求證：VADE是等邊三角形.

11.在等邊VABC中，點(diǎn)。在AC邊上(不與A,C重合)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E,使AD=CE,

連接DE.

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。是AC邊中點(diǎn)時(shí)，線段。B與。E的數(shù)量關(guān)系是二

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。是AC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，(1)中線段D8與OE的數(shù)量關(guān)系是否成立？若

成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

12.如圖，在等邊VABC中，A。是N3AC的平分線，D為A。上一點(diǎn)，以CD為一邊且在

CO下方作等邊CDE,連接8E.

⑴求證：AD=BE；

(2)已知AC=9,求點(diǎn)O到BE之間的距離.

13.如圖，在等邊VA8C中，點(diǎn)。，E,F分別是AC,BC,A8上的點(diǎn)，且A產(chǎn)=BE,

ZDFE=ZA,連接DE,FG平分NDFE交DE于G.

⑴求證：AD=BF；

(2)若EG=2,求ER的長(zhǎng)度.

14.如圖，VABC為等邊三角形，AE=CD,A￡＞與BE相交于點(diǎn)P,3。，4。于。，PQ=3,

PE=1.

⑴求證：BE=AD；

⑵求/3PD的度數(shù);

⑶求AO的長(zhǎng).

15.如圖，在VABC中，AB=AC,NB4c=120。，AD是BC邊上的中線，S.BD=BE,CD

的垂直平分線MF交AC于尸，交BC于M.

⑴求N8DE的度數(shù)；

(2)證明aADF是等邊三角形；

(3)若MF的長(zhǎng)為2,求A8的邊長(zhǎng).

16.如圖，VABC為等邊三角形，AB=6,點(diǎn)。是直線BC上一點(diǎn)，連接A9,以AD為邊

作等邊VADE,連接CE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段BC的中點(diǎn)時(shí)，CE=,ADCE=；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：AAB七八ACE；

⑶在(2)的條件下探索AC、CD、CE三條線段的長(zhǎng)度有何關(guān)系？并說明理由.

17.如圖，點(diǎn)。是等邊ASC內(nèi)一點(diǎn)，。是ASC外的一點(diǎn)，ZAOB=130°,/BOC=a,

BOCmADC,ZOCD=60°,連接OD.

(1)求證：OCD是等邊三角形；

⑵當(dāng)￡=150。時(shí)，試判斷AOO的形狀，并說明理由；

(3)探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，AOD是等腰三角形.(直接寫出答案)

18.已知線段直線/于點(diǎn)8,點(diǎn)。在直線/上，分別以48,AD為邊作等邊VA2C和

等邊VADE,直線CE交直線/于點(diǎn)

ffil圖2

(1)當(dāng)點(diǎn)p在線段BD上時(shí)，如圖1,證明：

①AAB岸AACE；

@DF+CF=CE-

(2)當(dāng)點(diǎn)F在線段8。延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2,請(qǐng)寫出線段DF,CE,CF之間的關(guān)系，并說明理由.

19.如圖1,"CB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A,D,E在同一直線上，連接BE.

(1)求證：NACD^BCE；

⑵求的度數(shù)；

(3)如圖2,和△￡>(?￡■均為等腰直角三角形，NACB="CE=90。，點(diǎn)A,D,E在

同一直線上，CM為ADCE中。E邊上的高，連接8E.線段CM,AE,BE之間有什么數(shù)

量關(guān)系？并說明理由.

20.在等腰VABC中，=AC,點(diǎn)。為平面內(nèi)一點(diǎn)，連4)、BD、CD.

圖1圖2

(1)如圖1,若點(diǎn)。是VABC內(nèi)一點(diǎn)，S.ZBAD=ZCAD,求證：BD=CD-

(2)如圖2,若點(diǎn)。是VABC外一點(diǎn)，且NADC+NAD3=180。，ZACD=60°,猜想AB、CD和

8。的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

(3)如圖2,在(2)的條件下，若30=1,AC=4,求CD的長(zhǎng).

參考答案:

1.見解析

【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì).

由等邊三角形的性質(zhì)得到AC=3C,DC=EC,ZACB=NDCE=6。。,進(jìn)而得到

NBCD=ZACE,從而.BCD會(huì)ACE(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證.

【詳解】證明：：VA2C、△￡>色均為等邊三角形，

AAC^BC,DC=EC,NACB="CE=60。，

ZACB+ZACD=NDCE+ZACD,

即/BCD=/ACE,

在△BCD和△ACE中

BC=AC

<ZBCD=ZACE,

CD=CE

：.BCD^_ACE(SAS),

BD=AE.

2.(1)見解析

(2)見解析

【分析】此題重點(diǎn)考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，推導(dǎo)出=

且NA=60。是解題的關(guān)鍵.

(1)由等邊三角形的性質(zhì)得NA=/B=/C=60。，由OE〃3C,得ZADE=NB,

ZAED^AC,貝！|NAOE=NAED,所以=即可由AD=A￡,ZA=60°,證明VADE

是等邊三角形；

(2)由等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC,ZA=60°,而BD=CE,貝I」48-即=AC-CE,

所以AD=M,即可由=ZA=60°,證明VADE是等邊三角形.

【詳解】(1)證明：：VA3C是等邊三角形，

ZA=ZB=ZC=60°,

'：DE//BC,

：.ZB=ZADE=6O°,ZC=ZAED=6O°,

：.ZA=ZADE=ZAED=60°,

VADE是等邊三角形；

(2)證明：??,VA5C是等邊三角形，

：.ZA=ZB=ZC=60°fAB=AC=BC,

■;BD=CE,

：.AB-DB=AC-ECf^AD=AE,

???VADE是等腰三角形，

又???NA=60。，

**?VADE1是等邊三角形.

3.(1)證明見解析

⑵36

【分析】(1)等邊三角形三線合一，得到ND3C=30。，等邊對(duì)等角結(jié)合三角形的外角，推

出NCOE=ZE=，N5CO=30。，進(jìn)而得到/D5C=/E,即可；

2

(2)易得△FDC是含30度角的直角三角形，進(jìn)而得到8=2。尸，中線得到4)=8,

求出AC的長(zhǎng)，即可.

【詳解】(1)證明：TVABC是等邊三角形，是中線，

AZABC=ZACB=6O°,ZDBC=30°.

?:CE=CD,

：.ZCDE=ZE.

又,:ZBCD=ZCDE+ZE,

JZCDE=ZE=-/BCD=30°.

2

:./DBC=/E.

：.DB=DE.

(2)解：'：DF±BE,

：.ZDFC=90。

???在RtADFC中，/CDF=90°-ZDCB=90°-60°=30°.

:.DC=2CF=6.

,:AD=CDf

：.AC=2CD=12.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角，含30度

角的直角三角形.熟練掌握三線合一，等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊，以及30度的角所對(duì)的直

角邊是斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵.

4.(1)見解析

(2)ACEF為等邊三角形，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)垂直平分線的判定得出班(垂直平分AC即可；

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出ZD8E=《NA3C=30。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出

2

ZBDE=ZDBE=30°,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出NCEF=ZBDE+ZDBE=60°,得出

Z.CEF=Z.CFE=ZECF,即可證明結(jié)論.

【詳解】(1)證明：：VABC是等邊三角形，

AB=BC,

'：DA=DC,

:.點(diǎn)、B、。在線段AC的垂直平分線上，

8D垂直平分AC；

(2)解:△口》為等邊三角形，理由如下：

是等邊三角形，

ZASC=ZACB=60。，

BG±AC,

：.ZDBE=-ZABC=30°,

2

?/DE=BE,

：.NBDE=NDBE=30°,

：.ZCEF=Z.BDE+NDBE=60°,

ZCFE=180°-60°-60°=60°,

ZCEF=ZCFE=ZECF,

△CEF為等邊三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的

判定，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì).

5.(1)見解析

(2)2m+4n

【分析】(1)由角平分線的性質(zhì)定理可得DE=CE,再證明Rt困運(yùn)Rt.O￡D(HL)得出

OC=OD,結(jié)合NAO3=60。即可得證；

(2)由等邊三角形的性質(zhì)可得OELOC,DF=CF,從而得出DC=2DF=2/n,ZEFC=90°,

OE垂直平分。C,推出OE=CE,求出46*=90。-/08=30。，結(jié)合直角三角形的性

質(zhì)可得DE=CE=2EF=2w,即可得解.

【詳解】(1)證明：平分/AO3,EC1OB,ED±OA,

：.DE=CE,ZEDO=ZECO=90°,

;OE=OE,

/.RtOED^RtOED(HL),

：.OC=OD,

'：ZAOB=60°,

OCE＞是等邊三角形；

(2)解：：..OCD是等邊三角形，OE平分403,

/.OE1DC,DF=CF,

：.DC=2DF=2m,ZEFC=90°,OE垂直平分。C,

DE=CE,

,：EC1OB,

：.ZECF=90°-NOCD=30°,

DE=CE=2EF=2n,

/\C.F.DlltljW]-^=DE+CE=CD=2H+2?+2m=2m+4n.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與

性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

6.(1)證明見解析；

(2)NAOE的度數(shù)是120。；

(3)證明見解析.

【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定

理等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC=3GCD=CE,ZACB=ZDCE=60°,求出

ZACD^ZBCE,證V4CZ注V3CE即可；

(2)根據(jù)全等求出=求出N4Z)E+ZBED的值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求

出即可；

(3)求出AM=5N,根據(jù)SAS證△ACM0ABQV,推出ai=OV,求出NNCM=60。即

可.

【詳解】(1)證明：???VABC、VCD石都是等邊三角形,

：?AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

：.ZACB+/BCD=/DCE+/BCD,

:.ZACD=ZBCE,

在/ACD和BC石中

AC=BC

<ZACD=ZBCE,

CD=CE

：.AACD2ABCE(SAS),

???AD=BE；

(2)解：NACD^BCE,

:?NADC=NBEC,

???等邊三角形OC￡,

???ZCED=ZCDE=60°,

：.ZAOE=ZADE+ZBED

=ZADC+/CDE+NBED

=ZADC-^60°+ZBED

=ZCED+60°

=60。+60。

二120。，

???/AO￡的度數(shù)是120。；

(3)證明：VACD^VBCE,

:?NCAD=NCBE,AD=BE,AC=BC,

又??,點(diǎn)M、N分別是線段仞、班的中點(diǎn)，

AAM=-AD,BN=-BE,

22

:?AM=BN,

在ZVICM和想可中，

AC=BC

<ZCAM=NCBN,

AM=BN

：.4ACM必ABCN(SAS),

CM=CN,

ZACM=ZBCN,

又NACB=60。，

???ZACM+ZMCB=60°,

???ZBCN+ZMCB=60°,

：.ZMCN=60°,

???_MNC是等邊三角形.

7.⑴見解析

(2)7.5

【分析】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含

30。角直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

(1)首先根據(jù)三線合一性質(zhì)得到然后推出OC=CE,然后利用三角形外角的

性質(zhì)和等邊對(duì)等角得到NE=30。，得到。3石，然后利用三線合一證明即可；

(2)首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC=AB=BC=10,ZDCF=60°,然后利用含30。角

直角三角形的性質(zhì)求出B=(CO=2.5,進(jìn)而求解即可.

2

【詳解】(1)證明：VA5C為等邊三角形，是中線，

DC=-BC,

2

又CE=-BC,

2

:.DC=CE,

?.NE=NCD￡,而NDCB=NE+NCDE=60。，

NE=30。，

DA=DC,

/.ZDBC=-ZABC=30°,

2

DB=DE,

DF.LBCf

BF=EF.

(2)解：VABC為等邊三角形，

：.AC=AB=BC=\Q,NDCF=60。

又DF±BE,

:.ZFDC=30°

:.CF=-CD=2.5,

2

:.BF=BC-CF=1.5.

8.(1)見解析

(2)60°

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定和三角形外角的性質(zhì)，

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證得AAEC四△班M,得到AZ)=CE；

(2)由全等得到NACE=NA4D,再根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系得到

NDFC=ZFAC+ZACF=ZFAC+ZBAD=ZBAC=60°.

【詳解】(1)證明：ABC是等邊三角形，

ZBAC=ZB=60°,AB=AC.

又?AE=BD,

AEC^BDA(SAS).

AD-CE；

(2)解：,AEC^oBDA,

:.ZACE=ZBAD,

ZDFC=ZFAC+ZACF=ZFAC+ZBAD=ZBAC=60°.

9.(1)見解析

⑵8

【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知

識(shí)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)由等邊三角形的性質(zhì)得到NDBC=|NABC=30°.進(jìn)一步證明NE=ZCDE=30°,

NDBC=NE,即可得到結(jié)論;

(2)求出NCDP=30。，得到CF=！a>,則CD=2C尸=4.即可得到AC=2CD=8.

2

【詳解】(1)證明：：VABC是等邊三角形，

ZABC=ZACB=60°.

又：8D是中線，

/.80平分-4BC,

ZDBC=-ZABC=30°.

2

?/CE=CD,

：.NE=NCDE.

又ZACB=ZE+ZCDE,

ZE=ZCDE=30°,

：./DBC=/E,

：.DB=DE

(2)解：由(1)可知。笈=/組，

又是BE的中點(diǎn)，

DFYBE.

ZACB=60°,

Z.CDF=180°-90°-60°=30°.

又：va>廠為直角三角形，

/.CF=-CD,

2

CD=2CF=4.

,/5D是中線，

AC=2CD=3.

：VABC是等邊三角形，

Afi=AC=3C=8.

10.(1)90°

(2)見解析

【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定、三角形外角的性質(zhì)等;

熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出4=30。，ZBAE=ZB=30°,即可得出結(jié)果；

(2)根據(jù)線段中點(diǎn)，得出=再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到NA￡D=60。，即可得

出結(jié)論.

【詳解】(1)解：AB=AC,NA4c=120。，

ZB=ZC=1x(180°-120°)=30°,

AE=BE,

:.ZBAE=ZB=30°,

ZCAE=120°-30°=90°；

(2)證明：E是B。的中點(diǎn)，

/.BE=ED，

又AE=BE,

.\AE=DE

又/BAE=ZB=30。,

,,ZAED=ZB+ZBAE=60°f

.?.VAOE是等邊三角形.

11.(1)DB=DE

(2)成立，理由見解析

【分析】(1)由VASC是等邊三角形，可得NABC=NAC3=60。，由。是AC的中點(diǎn)，可

得80平分/ABC,AD=DC,ZDBC=-ZABC=30°,由A￡)=CE,可得CD=CE,可

2

求NE=ZCDE=-ZACB=30°,可得ZDBC=NE=30。即可；

2

(2)過點(diǎn)。作。尸〃3c交于憶證明△AFD是等邊三角形，得出AF=A￡>=FD,證

明.BEDCE(SAS)得出結(jié)論即可.

【詳解】(1)解：:VABC是等邊三角形，

ZABC=ZACB=60。，

是AC的中點(diǎn)，

，8。平分—ABC,AD=DC,

：.ZDBC=-ZABC=30°,

2

?；AD=CE,

：.CD=CE,

ZE=ZCDE=-ZACB=30°,

2

???NDBC=NE=30。,

:?BD=DE;

故答案為：BD=DE；

(2)解：成立；理由如下：

過點(diǎn)。作。產(chǎn)〃5c交45于死

???VABC是等邊三角形

ZABC=ZACB=ZA=60°,AB=ACf

■:FD//BC,

：.ZAFD=ZABC=60°,ZADF=ZACB=60°,

△AFD是等邊三角形，

AF=AD=FD,

：.AB-AF=AC-AD,

：.BF=DCf

,:AD=CE,

：.FD=CE,

,：ZAFD=ZACB=60°,

：.ZBFD=ZDCE=120°,

：.BFD^.DCE(SAS),

；?BD=DE.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定和

性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線是解題關(guān)鍵.

12.⑴見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，掌

握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

(1)由條件結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)通過“邊角邊”可證明△ACD之ABCE,可得AD=BE；

(2)由(1)的結(jié)論可知。到班的距離和。到的距離相等，可求得C到班的距離.

【詳解】(1)證明：:VABC和為等邊三角形，

：.CD=CE,AB=AC=BC,ZACB=ZDCE=60°f

：.ZACD=ZBCE,

在/ACD和BCE中.

AC=BC

<ZACD=/BCE,

CD=CE

：.AC?^.BCE(SAS),

???AD=BE；

(2)解：??,AO是NA4C的平分線，ABC是等邊三角形，AB=AC,

：.ZCAD=-ZABC=30°,BO=CO,

2

由(1)可知之△5CE,

???ZCBE=ZCAD=30°,

設(shè)O到砥的距離為九

貝Uh=—BO,

2

,:BC=AC=9f

：.CO=-BC=-AC=4.5,

22

99

--h=~,即點(diǎn)。到隨的距離為了.

44

13.⑴證明見解析

Q)4

【分析】(1)證明BFE”ADF(AAS),由全等三角形的性質(zhì)即可求解；

(2)證明為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)證明：VA5c是等邊三角形，

ZA=ZB=60°f

ZDFB=ZDFE+ZBFE=ZADF+ZA,ZDFE=ZA,

二.ZBFE=ZADF,

在△5EE和△ADb中，

ZBFE=ZADF

<ZA=ZB,

AF=BE

,fiFE^APF(AAS),

AD=BF；

(2)解：，/\BFE^/\ADF,

??FD=FE,

又ZDFE=60°,

???ADFE為等邊三角形,

又GF平分NDFE,

NFGE=90°,/EFG=30°,

：.EF=2EG=4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30。的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角

形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

14.(1)見解析

(2)60度

(3)7

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角

形的性質(zhì).熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)SAS證明.ABE與C4Z)全等即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出=進(jìn)而解答即可；

(3)根據(jù)含30。的直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】(1)證明：ABC為等邊三角形，

:.AB=AC,ZBAC=NC=60。，

又=0

在與C4。中，

AB=AC

<ABAC=AC,

AE=CD

...AAB石/△CAD(SAS),

BE=AD；

(2)解：由(1)^ZABE=ZCADfAD=BE,

/BPQ=ZBAD+ZABE

=ABAD+ACAD

二60。；

(3)解：BQ±ADfZBPQ=60°,

PBQ=30。,

:.BP=2PQ=6,

又二AD=BE,

:.AD=BE=BP+PE=6+\=7.

15.(1)15°

(2)見解析

⑶8

【分析】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，含30。角的直角三角

形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

(1)先在VABC中得到N3=NC=30。，再由得到/8￡歷=/8￡?=；乂(180。-/8),

代入求解即可；

(2)由FN垂直平分OC得/FDC=NC=30。，利用外角可得NAFD=/C+NFDC=60。，

再利用AD」3C,可得ZDAF=60°,最后根據(jù)ZAFD=ZDAF=ZADF=60°得到△ADP是

等邊三角形；

(3)利用在直角三角形中，30。角所對(duì)的邊是斜邊的一半得到尸C=2HI1=4,進(jìn)而得到

AF=DF=CF=4,最后得至!JAB=AC=AF+CF=4+4=8.

【詳解】(1)解：在VABC中，

AB=AC,ZBAC=120°,

:.ZB=ZC=30°,

又二BD=BE,

Z.BDE=ABED=-x(180°-ZB)=75°.

(2)證明：Ml垂直平分DC,

:.DF=CF,

■ZC=30°,

/.Z7DC=ZC=3O°,

.-.zAro=zc+zroc=60°.

'：AB=AC,AD是5C邊上的中線，

；?ADLBC,

.\ZADC=90°f

ZDAF=900-ZC=60°,

.?.ZAFD=ZDAF=ZADF=60°,

???/是等邊三角形；

(3)解：垂直平分DC,

:.ZFMC=90°.

ZC=30°,FM=2,

:.FC=2FM=4.

■:DF=FC,

.\DF=4,

???/是等邊三角形，

.\AF=DF=4f

.?.AC=AF+C尸=4+4=8.

又?.AB=AC,

/.AB=8.

16.(1)3,120°

(2)見解析

(3)CE=AC+CD,理由見解析

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定

和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，證明△ABD/△ACE(SAS),得到=ZACE=ZB=60°,

進(jìn)而得到/OCE=120。，再根據(jù)線段中點(diǎn)，求出8D=3,即可得到CE的長(zhǎng)；

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可證明△的絲△ACE(SAS)；

(3)由(2)可知，AABD當(dāng)AACE,得到BO=CE,由等邊三角形的性質(zhì)，得到AC=BC,

即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解:ABC和VADE是等邊三角形，

/.AB=AC=BC=6,AD=AE,ZJB=AACB=ZBAC=ZDAE=60°,

/.ABAC-ACAD=ZDAE-ACAD,即NR4D=NC4E,

在△AB。和ZkACE中，

AB=AC

</BAD=NCAE,

AD=AE

/.AAB￡>之△ACE(SAS),

:.CE=BD,ZACE=ZB=6Q°f

/.ZDCE=ZACB+ZACE=120°,

點(diǎn)。在線段5c的中點(diǎn)，

:.BD=-BC=3,

2

CE=3,

故答案為：3,120°；

(2)證明：ABC和VAT史是等邊三角形，

:.AB=ACfAD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

/.ABAC+ACAD=ZDAE+ZCAD,WflZBAD=ZCAE,

在△ABD和小。石中，

AB=AC

</BAD=ZCAE,

AD=AE

AA^r^A4CE(SAS)；

(3)解：CE=AC+CD,理由如下：

由（2）可知，AABD^AACE,

/.BD=CE,

ABC是等邊三角形，

/.AC=BC,

BD=BC+CD,

CE=AC+CD.

17.(1)見解析

(2)△400是直角三角形，理由見解析

(3)100°或115°或130。

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的定

義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵.

(1)由全等三角形的性質(zhì)可得OC=OC,結(jié)合/OCD=60。，即可得證；

(2)由等邊三角形的性質(zhì)可得NCDO=60。，由全等三角形的性質(zhì)得出N8OC=/ADC=150。,

即可得出/ADO=90。，從而得解；

(3)根據(jù)題意以及全等三角形的性質(zhì)，分別計(jì)算出NA。。、ZOAD.ZAOD,再分三種

情況討論即可.

【詳解】(1)證明：：BOC空ADC,

：.OC=DC,

ZOCD=60°,

OCD是等邊三角形；

(2)解：AADO是直角三角形，理由如下：

?/08是等邊三角形，

ZCDO=60°,

當(dāng)c=150°時(shí)，

BOC均ADC,

/3OC=NADC=150。，

ZADO=ZADC-Z.ODC=90°,

???△ADO是直角三角形；

(3)解：：。CD是等邊三角形，

ZCOD=ZODC=60°,

；—BOC均ADC,

ZADC=ZBOC=a,

?/ZAOB=130°,

ZAOD=360°-ZAOB-ZBOC-ZCOD=360°-130°-a-60°=170°-?,

ZADO=ZADC-NODC=a-60°,

：.Z.OAD=180°-ZAOD-ZADO=180°-(170°-?)-(tz-60°)=70°,

當(dāng)ZAOD=ZADO時(shí)，170°—c=(z—60°,

解得：a=115。；

當(dāng)ZAOD=NO4D時(shí)，170°-a=70°,

解得：a=100°；

當(dāng)NADO=NQ4D時(shí)，a-60°=70°,

解得：&=130。；

綜上所述，當(dāng)a=100?；?15?；?30。時(shí)，△AOD是等腰三角形.

18.(1)①證明見解析；②證明見解析；

(.2)DF+CE=CF,理由見解析

【分析】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性

質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

①利用角的和差關(guān)系證明=而利用SAS證明，ABD^ACE,從而得證；

②由全等三角形的性質(zhì)得到3D=CE,證明NCBF=/3(才=30。得到=從而得到

DF+CF=DF+BF=BD=CE；

(2)同理可證ABD^ACE,利用全等三角形的性質(zhì)證明即可.

【詳解】(1)①證明：A3C和ADE都是等邊三角形，

:.AB^AC,AD=AE,/BAC=//ME=ZASC=ZACB=60。，

:.ZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD.^ABAD=Z.CAE.

在，A5D和.ACE中，

AB=AC,

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE,

ABgACE(SAS),

②證明：△ABD^AACE,

:.BD=CE,ZABD=ZACE.

QABJ_直線/,

ZABD=ZACE=90°,ZCBF=30°.

?點(diǎn)E,C,尸在一條線上，ZACB=60°,

ZBCF=30°,

/CBF=ZBCF,

:.BF=CF.

BD=DF+BF,

:.DF+CF=DF+BF=BD=CE,

^DF+CF=CE-,

(2)解：DF+CE=CF,理由如下：

同理證明“ABD^'ACE,

ZABD=ZACE=90°,ZFBC=ZFCB=30°,BD=CE,

:.BF=CF,

:.BF=BD+DF,

:.CF=BD+DF,BPDF=CF-CE.

19.(1)證明見解析

(2)60°

G)AE=BE+2CM,理由見解析

【分析】(1)由等邊三角形的性質(zhì)可得C4=C