2024-2025學(xué)年浙教版九年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：圓的基本性質(zhì)知識歸納與題型訓(xùn)練（9類題型清單）解析版

《圓的基本性質(zhì)》知識歸納與題型訓(xùn)練（9題型清單）

01思維導(dǎo)圖

K圓的定義x等圓定義）

,-------------.K半徑、直徑）

p~（d>r:點在圓外）

—（圓的認識）--（點與圓的位置關(guān)系）—（d=i":點在圓上）

~（d<r:點在圓內(nèi)）

圓的確定）―（不在同一直線上的三個點確定一個圓）

「（三角形外接圓）

Y三角形與圓

-（圓的內(nèi)接三角形）

-旋轉(zhuǎn)三要素旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度

-cS形的期）「旋轉(zhuǎn)所得的圖形和原圖形全等

X般的性質(zhì)AY對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等）

-可一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角度等于旋轉(zhuǎn)的角度j

一［垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對嬴

垂徑定理「平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦［并且平分弦所對的弧

平分弧的直徑垂直平分弧所對嬴）

圓的基本性質(zhì)在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等

圓心角定理

在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩個弦心距中有一對量相

等，那么他們所對應(yīng)的其余各對量都相等

-｛圓周角定理：——｛圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半;

圓周角一（半圓（或直徑）所對的圓周角是直角）

Y］90°的圓周角所對的弦是直徑）

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的

弧也相等

-圓內(nèi)接四邊形對角互補）

Y圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理

X推論：圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于與其相鄰內(nèi)角的詞）

定義：各邊相等、各內(nèi)角也相等的多邊形叫做正多邊形

正多邊形

圓內(nèi)接正多邊形：正多邊形各個頂點都在圓上

弧長公式:

弧長與扇形的面積

扇形面積公式：S

02知識速記

一、圓的認識

圓：在同一平面內(nèi)，線段OP繞它固定的一個端點o旋轉(zhuǎn)一周，另一端點P所經(jīng)過的封閉曲線叫做圓

線段0P叫做圓的半徑；

連結(jié)圓上任意兩點的線段BC叫做弦；

經(jīng)過圓心的弦AB叫做直徑；

圓?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱??；

點與圓的位置關(guān)系：d表示同一平面內(nèi)點到圓心的距離

d>r=點在圓外；d=ro點在圓上；點在圓內(nèi)；

要點詮釋：

(1)其他基礎(chǔ)定義：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；小于半圓的

弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，半徑相等的兩個圓叫等圓，能夠重合的圓弧叫做相等的??；

(2)圓的確定：不在同一直線上的三個點確定一個圓

(3)三角形與圓：經(jīng)過三角形各個頂點的圓叫做三角形的外接圓，這個外接圓的圓心叫做三角形的外

心，三角形叫做圓的內(nèi)接三角形

二、圖形的旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度

圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：

圖形旋轉(zhuǎn)所得的圖形和原圖形全等；

對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；任何一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角度等于旋轉(zhuǎn)的角度

要點詮釋：

有旋轉(zhuǎn)必有等腰三角形，并且有8字類的相似

三、垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧；

推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧

推論2：平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦

要點詮釋：

垂徑定理相關(guān)計算常和直角三角形結(jié)合，利用勾股定理列方程求弦長、半徑、弦心距等

四、圓心角

圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角；

圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩個弦心距中有一對量相等，那么他們所對應(yīng)的其余

各對量都相等；

要點詮釋：

與圓心角有關(guān)的定理及應(yīng)用都有一個前提，即“在同圓或等圓中”，不加這個條件對應(yīng)結(jié)論不成立。

五、圓周角

圓周角：頂點在圓上，且角的兩邊都和圓相交的角做圓周角；

圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半；

推論1：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；

推論2：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧也相等；

要點詮釋：

在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩個弦心距，兩條弦，兩個圓周角中有一對量相等，

那么他們所對應(yīng)的其余各對量都相等；

六、圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形：一個四邊形的各個頂點在同一圓上，那么這個四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個圓叫做

四邊形的外接圓；

圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形的對角互補；

要點詮釋：

圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于與其相鄰內(nèi)角的對角

七、正多邊形

正多邊形：各邊相等、各內(nèi)角也相等的多邊形叫做正多邊形

圓內(nèi)接正多邊形：我們把經(jīng)過一個正多邊形的各個頂點的圓叫做這個正多邊形的外接圓，這個正多邊形

叫作圓內(nèi)接正多邊形。任何正多邊形都有一個外接圓。

八、弧長及扇形的面積

半徑：R；圓心角：n°

180

扇形面積公式：S=^^=-IR

3602

03題型歸納

題型一圓的認識

例題：

1.（2023秋?臺州期中）已知。。的半徑是3c加，則中最長的弦長是（）

A.3cmB.6cmC.1.5cmD.

【分析】利用圓的直徑為圓中最長的弦求解.

【解答】解：?.?圓的直徑為圓中最長的弦，

,。。中最長的弦長為2X3=6（cm）.

故選：B.

2.（2023秋?拱墅區(qū)校級月考）如圖，。/是的半徑，8為。/上一點（且不與點/重合），過點8

作。/的垂線交O。于點C.以。2、3c為邊作矩形03CD,連結(jié)AD.若CD=6,BC=8,則的長

【分析】如圖，連接OC,在RtZXOBC中，求出08即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接OC.

?.?四邊形O8CD是矩形，

...NOBC=90°,0B=CD=6,

22=10,

OC=OA=-\/BC+0B

：.AB=OA-08=4,

故選：c.

3.（2023秋?江夏區(qū)校級期末）己知O。的半徑為3,點尸到圓心。的距離為4,則點尸與的位置關(guān)

系是（）

A.點尸在。。外B.點尸在。。上C.點尸在O。內(nèi)D.無法確定

【分析】根據(jù)點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系即可確定點P與。。的位置關(guān)系.

【解答】解：:。。的半徑分別是3,點尸到圓心。的距離為4,

：.d>r,

點P與OO的位置關(guān)系是：點在圓外.

故選：A.

鞏固訓(xùn)練

4.（2024?浙江模擬）如圖，X,Y,Z是某社區(qū)的三棟樓，XY=40m,YZ=30m,XZ=50m.若在AZ中點M

處建一個5G網(wǎng)絡(luò)基站，該基站的覆蓋半徑為26加，則這三棟樓中在該基站覆蓋范圍內(nèi)的是（）

A.X,Y,ZB.X,ZC.Y,ZD.Y

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理證得&OZ是直角三角形，可以根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得YM

的長，然后與26根比較大小，即可解答本題.

【解答】解：VXy=40m,KZ=30加，XZ^50m.

:.XY2+YZ2^XZ2,

.?.△XIZ是直角三角形，

AZXYZ^90°,

:點N是斜邊AZ的中點，

：.XM=MZ=25m,

是直角三角形，是斜邊M的中線，

YM=lja=25m,

2

V26>25,

...點X、八Z都在圓內(nèi)，

這三棟樓都不該5G基站覆蓋范圍內(nèi).

故選：A.

5.(2023秋?柯橋區(qū)月考)如圖，點3,E在半圓。上，四邊形O4BC,四邊形斯均為矩形.若48=

3,BC=4,則￡＞尸的長為5

【分析】如圖，連接與根據(jù)矩形的性質(zhì)，由四邊形O42C是矩形，得NCR4=90°,OB=

AC.根據(jù)勾股定理，由中，48=3,BC=4,得/C=5.根據(jù)圓上點到圓心的距離均相等，由

AC=OB=5,得。E=O3=5.根據(jù)矩形的性質(zhì)，由四邊形。DE尸均為矩形，得DF=OE=5.

【解答】解：如圖，連接08與OE.

:四邊形O42C是矩形,

：.ZCBA=90°,OB=AC.

在中，AB=3,BC=4,

/c=VA?=A/AB2+BC2=732+42=5-

：.AC=OB=5.

：.OE=OB=5.

?..四邊形or＞即為矩形，

：.DF=OE=5.

故答案為：5.

6.(2023秋?黃巖區(qū)月考)如圖，已知點/(2,1),B(3,0)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩個點，以點/為圓

心的ON經(jīng)過坐標(biāo)原點，軸于點C,點。為ON上的一動點，點￡為AD的中點，則線段CE長度

的最大值為近上巨.

2

y

A

OK1C\Bx

【分析】連接CM,AD,AB,取的中點為連接CM,EM,可求得MC-|ABa&，

壽，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求得答案.

【解答】解:如圖所示，連接。4AD,AB,取的中點為連接EM,

OA=7OC2+AC2=^22+12=V5，

，0A=AD=&.

根據(jù)題意，得

AB=VBC2+AC2=V12+12=V2-

M為RtA^SC斜邊的中點，

???MC卷AB弓后.

,:AB的中點為M,BD的中點為E,

?1V5

??EM-^-AD^y-

:.CEWMC+EM,即

CE等叵

：.CE長度的最大值為返返.

2

故答案為：返返.

2

題型二外心與三角形外接圓

例題：

1.(2023秋?浙江月考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(3,6),B(1,4),C(1,0),則△/2C

外接圓的圓心坐標(biāo)是()

A.(4,2)B.(4,3)C.(5,3)D.(5,2)

【分析】作和8c的垂直平分線，它們的交點為△/BC的外接圓的圓心，然后直接讀出△NBC的外

接圓的圓心坐標(biāo).

【解答】解：如圖所示：點尸即為所求；

故選：D.

2.(2023?西湖區(qū)校級二模)如圖，O為等腰三角形/8C的外心，AB=AC,連接08,記/C=a,ZCBO

=B，則a,0滿足的關(guān)系式為()

C

O

BA

A.2p-a=90°B.2p-a=180°C.耳+a=90°D.2a-0=90°

2

【分析】根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：；4B=4C,NACB=a,

：.ZACB=ZABC=a,

.".ZG4S=180°-2a,

連接。C,OA,

,/O為等腰三角形ABC的外心，

：.OB=OA=OC,

.,.NC20=N2C0=B，

ZABO=ZACO=a-p,

；./CAO=NACO=/4B0=NB40=a-p,

:.NCAB=2(a-p)=180°-2a,

：.2a-p=90°,

故選：D.

3.（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級開學(xué)）如果一個圓的內(nèi)接三角形有一邊的長度等于半徑，那么稱其為該圓的“半徑

三角形”.給出下面四個結(jié)論：

①一個圓的“半徑三角形”有無數(shù)個；

②一個圓的“半徑三角形”可能是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形；

③當(dāng)一個圓的“半徑三角形”為等腰三角形時，它的頂角可能是30。，120。或150。；

④若一個圓的半徑為2,則它的“半徑三角形”面積最大值為

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.②③C.①②③D.①②④

【分析】根據(jù)圓的“半徑三角形”的概念判斷①②；根據(jù)圓周角定理、等腰三角形的概念判斷③；根

據(jù)垂徑定理求出/〃，根據(jù)勾股定理求出08,求出△NBC的最大面積，判斷④.

【解答】解：如圖，AB=OA,即N8的長度等于半徑，

以為邊的圓的內(nèi)接三角形有無數(shù)個，

.?.一個圓的“半徑三角形”有無數(shù)個，故①結(jié)論正確；

"：OA=OB=AB,

：./\OAB為等邊三角形，

AZAOB=60°,

當(dāng)點C在優(yōu)弧48上時，NC=30°,

當(dāng)點C在劣弧上時，ZC=150°,

當(dāng)點C在圓上移動時，NC4B可能是90°,

...一個圓的“半徑三角形”可能是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形，故②結(jié)論正確；

由以上可知，NC可以是30°或150°,

當(dāng)AC=AB,ZC=30°時，ZCAB=1SO0-30°3-30°=120°,

二當(dāng)一個圓的“半徑三角形”為等腰三角形時，它的頂角可能是30°,120°或150°,故③結(jié)論正確；

過點0作OHLAB于H,

2

0//=VOA2-AH2=V3)

當(dāng)點C為優(yōu)弧48的中點時，△48C的面積最大，最大面積為：工X2X(2+?)=2+?,故④結(jié)論

2

錯誤；

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

4.(2023秋?義烏市期中)△N2C的三邊長分別為6,8,10,則△/2C的外接圓的半徑為5

【分析】先利用勾股定理的逆定理得到△N8C為直角三角形，利用斜邊為外接圓的直徑計算的外

接圓的半徑.

【解答】解：?.?62+82=102,

...△/BC為直角三角形，10為斜邊,

.,.△/8C的外接圓的半徑=工乂10=5.

2

故答案為：5.

5.(2024?諸暨市模擬)如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點O,A,B,C在格點

(兩條網(wǎng)格線的交點叫格點)上，以點。為原點建立直角坐標(biāo)系.

(1)過/,B,。三點的圓的圓心M坐標(biāo)為(1,-2):

(2)請通過計算判斷點。(-3,-2)與。〃的位置關(guān)系.

【分析】(1)連接NB,AC,過/,B,C三點的圓的圓心M為線段/8、/C的垂直平分線的交點，則

M(1,-2),于是得到問題的答案；

(2)連接M。、MA,可求得"D=4,=則所以點。(-3,-2)在OM外.

【解答】解：(1)連接48,AC,

過，，B,C三點的圓的圓心M為線段N8、/C的垂直平分線的交點，

觀察圖形可知，點M的坐標(biāo)為(1,-2),

故答案為：(1,-2).

(2)連接MD、MA,

'：M(1,-2),r>(-3,-2),A(-2,-1),

22

：.MD=\-(-3)=4,MA=(_2)]+[(-2)-(-1)]=V10)

：4〉技，

：.MD>MA,

,/點D到圓心M的距離大于OM的半徑，

...點。(-3,-2)在外.

例題:

1.（2023秋?堇B州區(qū)期末）如圖，O。的半徑為5,弦48=6,點C在弦48上，延長C。交OO于點。,

則CD的取值范圍是（)

B.8WCDW10C.9<CZ)<10D.9WCDW10

【分析】過。作于"，由垂徑定理得到3〃="1月8=3,由勾股定理求出而齊辭=

4,當(dāng)C和〃重合時，C。的最小值是4+5=9,當(dāng)是圓直徑時，CD的值最大是5X2=10,即可得到

CD的取值范圍.

【解答】解：過。作OHLAB于H,

ilS=Lx6=3,

22

：O。的半徑為5,

：.OB=5,

.*.OZ7=^QB2_BH2=4,

.?.當(dāng)。和〃重合時，OC的最小值是4,CD的最小值是4+5=9,

當(dāng)CD是圓直徑時，CD的值最大是5X2=10,

：.CD的取值范圍是9WCDW10.

故選：D.

0

\c/；\/

2.(2024?西湖區(qū)一模)如圖，N8是。。的直徑，弦CDL/8,垂足為點E,連接OD.若AE=2,CD=

12,則。。的半徑長為()

A.6B.8C.10D.12

【分析】設(shè)O。的半徑是「，由垂徑定理得到。E=LD=6,由勾股定理得到戶=(r-2)2+62,求出廠

2

=10,即可得到。。的半徑長為10.

【解答】解：設(shè)。。的半徑是r,

?.?弦CDYBA,

二D￡=LZ)=_LX12=6,

22

,:AE=2,

；.0E=r-2,

'：OD2^OE2+DE2,

：.R=(r-2)2+62,

.」=10,

??.(DO的半徑長為10.

故選：c.

3.(2024?浙江一模)如圖，尸為直徑N5上的一點，點M和N在。。上，且/APM=/NPB=30；若

OP—1cm,AB=16cm,則PN+PM—_6"/7_cm.

【分析】延長NP交。。于0,作OHLNQ于H,連接MQ,ON,如圖，由/APM=NNPB,ZAPQ=Z

NPB得到/4PM=/4PQ,利用圓的對稱性得到點M與點。關(guān)于48對稱，則所以尸N+PM=

PQ+PN=NQ,在RtAOPH中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OH=1cm,則在RtAOW中可

勾股定理計算出N"=3巾c〃z,然后根據(jù)垂徑定理得到即可得到PN+PM

的值.

【解答】解：延長橋交。。于。，作。7_LN0于〃，連接ON,如圖，

,?ZAPM=ZNPB,

而/APQ=NNPB,

：.ZAPM=ZAPQ,

.?.點M與點。關(guān)于AB對稱，

：.PM=PQ,

:.PN+PM=PQ+PN=NQ,

在RtZkOP"中，'：OP=2cm,ZOPH=30°,

OH—\cm,

在RtZXOTN中，'：OH=\cm,ON=LiB=8cm,

2

NH=7ON2-OH2=3V7cm，

'：OH±NQ,

:.NH=QN,

:.NQ=2NH=65cm,

故答案為：677.

4.(2023秋?新昌縣期末)如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=x-4與坐標(biāo)軸相交于點/,B,過點。，/的

OE與該直線相交于點C,連結(jié)O￡,OE=2.5.

(1)求點E到x軸的距離.

(2)連結(jié)。C,求OC的長.

y

【分析】(1)過點E作軸于點〃，如圖，先確定/(4,0),再根據(jù)垂徑定理得到?！?2,然

后利用勾股定理計算出即可；

(2)連結(jié)。C,CE,如圖，先求出8(0,-4),則可判斷△048為等腰直角三角形，所以=

45°,再根據(jù)圓周角定理得到/OEC=90°,所以△OCE為等腰直角三角形，于是根據(jù)等腰直角三角形

的性質(zhì)可求出OC的長.

【解答】解：(1)過點E作軸于點X,如圖，

當(dāng)y=0時，x-4=0,解得x=4,

：.A(4,0),

'：EHLOA,

；.OH=AH=^A=2,

2

22

在RtAOHE中，EH=7OE-OH=72.52-22=/

.?.點￡到x軸的距離為3；

2

(2)連結(jié)。C,CE,如圖，

當(dāng)x=0時，y=x-4=-4,

：.B(0,-4),

?.?04=05=4,

：./\OAB為等腰直角三角形,

：.ZOAB=45°,

：?NOEC=2/OAB=90°,

△O￡C為等腰直角三角形,

???。。=&。片=包巨

2

y,

鞏固訓(xùn)練

5.（2023秋?南潺區(qū)期末）高速公路的隧道和橋梁最多，如圖是一個隧道的橫截面，若它的形狀是以。為

圓心的圓的一部分，路面4B=8米，凈高CD=8米，則此圓的半徑。4=（）

B.5.5米C.6米D.6.5米

【分析】根據(jù)垂徑定理得到的長，再根據(jù)勾股定理即可求出半徑.

【解答】解：由題意，得

:.AD=XAB,

2

設(shè)此圓的半徑0/=7?米，

米，CD=8米，

米，OD—（8-r）米，

在RtZkCMD中，

由勾股定理，得。

即72=42+（8-r）2,

解得廠=5（米），

故選：A.

6.（2022秋?溫州期末）如圖，點尸在O。的直徑48上，作正方形PCDE和正方形尸尸GH其中點。，G

在直徑所在直線上，點C,E,F,"■都在。。上，若兩個正方形的面積之和為16,0P=&,則。G的

長是（）

r

【分析】設(shè)正方形PPG#的邊長是x,由條件得到/+(x+2)2=16,從而求出正方形P尸G//的邊長，得

到正方形尸CDE的邊長，進一步求出產(chǎn)。，PG的長，即可求出DG的長.

【解答】解：作OKJ_PC于K,設(shè)正方形P9G〃的邊長是x,

c

E

四邊形PCDE是正方形，

.\ZCP￡>=45°,

?：/OKP=90°,

AKOP是等腰直角三角形，

：.PK='&OP=l,

2

CK=FK=x+l,

：.PC=CK+PK=x+2,

二,兩個正方形的面積之和為16,

；./+(x+2)2=16,

???x=V7-1或％=-V7-1(舍),

；.PC=X+2=V7+1,PH=x=y/7-b

:.PD=Mpc=ym+近,PG=42PH=4]A~我,

：.DG=PD+PG=2yT\A-

故選：B.

7.(2023秋?文成縣期中)“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用，例如

古典園林中的門洞.如圖1，其數(shù)學(xué)模型為如圖2所示.園林中的一個圓弧形門洞的地面跨徑/2=1米,

圖1圖2

A.1.7米B.1.2米C.1.3米D.1.4米

【分析】過。作于N,過。作DMLON于由垂徑定理得""=2"=匕2=0.5（米），再

2

證四邊形。CW是矩形，則MN=CD=0.7米，DM=CN=BC+BN=\2（米）,設(shè)該圓的半徑長為/?米,

然后由題意列出方程組，解方程組即可.

【解答】解：過。作ONL4B于N,過。作。MLON于如圖所示：

則NN=8N=L8=0.5（米），ZONC=ZDMN=90°,

2

\'DC±AB,

:./DCN=90°,

四邊形OOW是矩形，

:.MN=CD=07米,DM=CN=BC+BN=L2（米），

設(shè)該圓的半徑長為r米，

ON2=r2-0.52

由題意得：，0M2=r2-l.22,

OM=ON-0.7

7=1.3

解得：，ON=1.2，

LOM=0.5

即該圓的半徑長為1.3米，

故選：C.

8.（2024?西湖區(qū)三模）如圖，直線交于C,8兩點，^AOLBO,且色■里■=則8C=_迪

43—5一

B

A

【分析】過點。作。。_L3C于點。，根據(jù)垂徑定理求出8￡>=CD=」JC,ZBDO=9Q°,根據(jù)直角三

2

角形的性質(zhì)求出4B=1A02+B02=5,ZA=ZBOD,結(jié)合N40B=NBD0,即可判定

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出3。=旦，據(jù)此求解即可.

5

【解答】解：如圖，過點。作OOL8C于點。，

B

A

:.BD=CD=LC,/BDO=90°,

2

：./B+/BOD=90°,

?,AO-BO-]

*TT，

.\AO=4,50=3,

,?ZO_L5O,

AZAOB=90°,

ZA+B=90°,/5=JA02+B02=5,

/A=/BOD,

又：/AOB=NBDO,

：.^AOB^/\ODB,

?B0=AB

"BDBO"

"BD百’

5

:.BC=2BD=運,

5

故答案為：

5

9.(2024?溫州模擬)某一公路單向隧道由一弧形拱與矩形組成，為了確定大貨車通過公路隧道的最大高

度，道路交通學(xué)習(xí)小組展開了以下研究.如圖1,經(jīng)測量得48=4加，為了確定8c與弧形拱半徑的長度,

學(xué)習(xí)小組找到一根5〃?長的筆直桿子，將桿子一端置于點C處，另一端置于上點￡處，AE=\m.如

圖2,調(diào)整桿子位置，直至一端在48上的點G處，另一端在圓弧上點尸處，F(xiàn)GLAB,GB=lm,如圖

3,某一集裝箱大貨車寬為2.4%,則該大貨車的最大高度(包括貨物)_(34?)_加.

【分析】如圖1所示，過點E作￡7,8c于7,則四邊形N87E是矩形，可得￡7=/8=4加，BT=AE=

1m,利用勾股定理可得CT=3%,貝|8C=CT+8r=4加；如圖2所示，設(shè)面所在圓的圓心為O,過點O

作OE工BC交8C于點E,交GF于點H,過點O作OKLCD于K,則四邊形BEHG是矩形，四邊形OECK

是矩形，可得HG=BE,HE=BG=lm,OE=CK=2m,貝1|1加，設(shè)HG=BE=am,則

FH=(5-a)m,CE=(4-a)m,由勾股定理可得方程件+(5-a)2=22+(4-a)2,解得a=3,則

FH=2m,進而可得OF=J^ir；如圖3所示，構(gòu)造MN1/AB,且MV=2.4加，過點。作O人LMN于點J,

O￡_L8c于￡,延長J。交N8于工，連接■，由垂徑定理得到2m，則0J=VZ^2-MJ2=-m，

25

由圖2可知，BE=3m,證明四邊形0Z2E是矩形，得到OL=2E=3%,JL=0JH)L=()ir則大

貨車的最大高度(包括貨物)為()IT-

【解答】解：如圖1所示，過點E作ET,5c于T,

DiC

--------------T

AB

圖1

則四邊形篤是矩形，

:?ET=AB=4m,BT=AE=Im,

???CTWCE^ET^SK)

：.BC=CT+BT=4m；

如圖2所示，

圖2

設(shè)面所在圓的圓心為。，過點。作3c交2C于點E,交GF于點、H,過點。作。K,CD于K,則

四邊形BEHG是矩形，四邊形OECK是矩形，

:.HG=BE,HE=BG=\m,0E=CK=yCD=1AB=2m>

：.OH=OE-HE=\m,

沒HG=BE=am,則尸。=(5-a)m,CE=(4-a)m,

"：OF2=OC2,OF2=OH2+FH2,OC2=OE2+CE2,

P+(5-〃)2=22+(4-Q)2,

解得。=3,

；.FH=2m,

-0F=V0H2+FH2=V5m;

如圖3所示,

圖3

構(gòu)造.MNHAB,且兒加=2.4%,過點。作OJ_LVN于點J,OELBC于E,延長JO交于3連接。M,

??MJJMN=1.2irr

二OJ=VOM2-MJ2

由圖2可知，BE=3m,

?:MN〃AB,OJLMN,

：.OLLAB,

???四邊形是矩形,

：?OL=BE=3m,

AJL=OJK)L=

???大貨車的最大高度（包括貨物）為

故答案為：（)?

10.（2023秋?北侖區(qū)期中）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度/8=60米，拱高PD=18米.

（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；

（2）當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即尸￡=4米時，是否

要采取緊急措施？

【分析】（1）連接04利用r表示出。。的長，在RtZ\/OD中根據(jù)勾股定理求出r的值即可；

（2）連接O/',在￡。中，由勾股定理得出H￡的長，進而可得出HB'的長，據(jù)此可得

出結(jié)論.

【解答】解：（1）連接。4,

由題意得：40=」二42=30（米），0D=（r-18）米,

2

在RtA/。。中，由勾股定理得：戶=3。2+0-18）2,

解得，r=34（米）；

(2)連接OH,

"：OE=OP-PE=30^z,

...在RtZU'EO中，由勾股定理得：A'E?=A'61-0E2,即：序=342-302,

解得：A'￡=16（米）.

：.A'B'=32（米）,

*：A'B'=32>30,

?,?不需要采取緊急措施.

任務(wù)1確定橋拱半徑求圓形橋拱的半徑

任務(wù)2擬定設(shè)計方案根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船能否通過圓形拱橋？若能，最多還能卸載多少

噸貨物？若不能，至少要增加多少噸貨物才能通過？

【分析】任務(wù)1,設(shè)圓心為點。，則點。在CD延長線上，延長CD,則CD經(jīng)過點。，連結(jié)NO,設(shè)橋

拱的半徑為rm,則。。=(r-4)m,由勾股定理，垂徑定理，列出關(guān)于半徑的方程，即可解決問題；

任務(wù)2,由勾股定理得到貨船不能通過圓形橋拱，通過計算，即可得到需要增加的貨物的噸數(shù).

【解答】解：任務(wù)1,設(shè)圓心為點。，則點。在CD延長線上，延長CD,則CD經(jīng)過點。，連結(jié)/。,

如圖，

設(shè)橋拱的半徑為r加，則?！?=(r-4)m,

'：OCLAB,

.1

,,AD=BD=yAB=8w,

?：OD2+AD2=OA2,

：.(r-4)2+82=/,

.*.r=10,

圓形拱橋的半徑為10m.

任務(wù)2,根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船不能通過圓形橋拱，至少要增加(900-500f)噸的貨物才能通過.理由:

當(dāng)￡7/是。。的弦時，與OC的交點為連接OE,OH,如圖，

?..四邊形EFG”為矩形，

：.EH//FG,

*：OCLAB,

：.OMLEH.

.1

??EM=yEH=5y

OM-VOE2-EM2=5V3W>

'：OD=6m,

.,.DM=5V3-6<3,

，根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船不能通過圓形橋拱，

...船在水面部分可以下降的高度y=3-(573-6)=(9-573)m.

..1

,y=WOx，

???x=100(9-573)=(900-500V3)噸，

至少要增加(900-500E)噸的貨物才能通過.

C

0

題型四圓心角定理及其推論

例題:

1.(2023秋?慈溪市期末)如圖，在。。中，ZA=30°,劣弧AB的度數(shù)是()

60°C.90°D.120°

【分析】連接05,求出N4O5,可得結(jié)論.

【解答】解：連接。反

ZA=ZB=30°,

AZAOB=180°-30°-30°=120°，

.,?窟的度數(shù)為120°.

故選：D.

2.（2023秋?拱墅區(qū)校級月考）如圖，在。。中，AB=CD,OELAB,OFLCD,則下列結(jié)果中錯誤的是

A.AB=CDB.OE=OFC.ZAOB=Z.CODD.BC=AD

【分析】依據(jù)題意，根據(jù)同圓中等弦所對的圓心角相等、弦心距相等、弧相等，進而可以得解.

【解答】解：由題意，：在O。中，AB=CD,OE±AB,OFLCD,

?*-AB=CD>OE=OF,ZAOB=ZCOD.

：.A,B、C正確，。錯誤.

故選：D.

3.（2023秋?蕭山區(qū)期中）已知：如圖，在。。中，AB=CD,與CD相交于點

（1）求證：AC=BD；

（2）求證：AM=DM.

【分析】（1）由在O。中，=根據(jù)弦與弧的關(guān)系，可證得第=而，繼而可證得血=面;

（2）首先連接/C,BD,易證得△NCN絲繼而證得/

【解答】證明：（1）:在。。中，AB=CD,

AB=CD>

■?AB-BC=CD-BC-

??AC=BD；

(2)連接/C,BD,

AC=BD，

：.AC=BD,

在和ADBM中，

rZA=ZD

"AC=DB，

LZC=ZB

AACM”ADBM(ASA),

：.AM=DM.

4.（2023秋?上城區(qū)校級期中）如圖，N8是。。的直徑，40=32°,則//OC等于（）

【分析】先根據(jù)圓周角定理求出N20C的度數(shù)，再由補角的定義即可得出結(jié)論.

【解答】解：:/。=32°,

ZBOC=2ZD=64°,

Z^OC=180°-64°=116°.

故選：D.

5.（2023秋?西湖區(qū)校級期中）如圖，在半徑為3的O。中，48是直徑，4c是弦,。是金的中點，AC

與BD交于點E.若￡是8。的中點，則AC的長是4、萬

D

C

【分析】連接。。交/C于R根據(jù)垂徑定理的推論得出AF=CF,進而證得。尸=8C,根

據(jù)三角形中位線定理求得。尸=&。=工。尸，從而求得利用勾股定理即可求得NC.

【解答】解：如圖，連接。。，交NC于尸,

是血的中點，

J.ODLAC,AF=CF,

:./DFE=90°,

?：O4=0B,4F=CF,

：.OF^1.BC,

2

,：AB是直徑，

ZACB=90°,

在△EFD和△EC2中，

，ZDBE=ZBCE=90°

'ZDEF=ZBEC，

tDE=BE

.?.△EFD色AECB(AAS),

：.DF=BC,

：.OF^1.DF,

2

,：0D=3,

：.OF=\,

:.BC=2,

;-^C=7AB2-BC2=V62-22=4V2-

故答案為：4a.

D

C

6.（2023秋?上城區(qū)校級期中）如圖，以△N8C的一邊為直徑的半圓與其它兩邊NC,8C的交點分別

為。，E,且定=嬴.若半圓的直徑為13,BC=10,則2。的長為_工型_.

【分析】先連結(jié)/E,根據(jù)/“判定△/仍以△/￡<7,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出N2=/C,再根據(jù)等

腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，求得NE和8E的長，再根據(jù)面積法即可求得8。的長.

【解答】解：連結(jié)

；48是直徑，

ZAEB=ZAEC=90°,

VDE=BE，

ZBAE^ZCAE,

y.AE=AE,

：./\AEB^/\AEC(ASA),

：.AB=AC,

即△NBC為等腰三角形，AELBC,

;-BE=CE=yBC=1-X10=5'

在RtZX/BE中，AB=U,BE=5,

AAE=V132-52=12,AB=AC=13,

；4B是直徑，

:.NADB=90°,

.11

??yAE-BC=yBD'AC>

?210X12120

故答案為：120.

13

7.（2023秋?拱墅區(qū)校級月考）如圖，在。。中，AC=CB-CD，/。于點。，CE上OB于點、E.

（1）求證：AD=BE.

（2）若4D=DO,r=3,求CD長.

【分析】（1）連接。C,根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得到/NOC=/8OC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定

理證明結(jié)論；

（2）求出。。根據(jù)勾股定理即可求出CD.

【解答】（1）證明：連接。C,

VAC=BC-

ZAOC=ZBOC,又CZ）_LCM,CELOB,

：.CD=CE；

(2)解：?：AD=DO,r=3,

.\AD=DO=—,

2

9：CDLOA,

,?,CD=4^^飛Y)2=吟

題型五圓周角定理

例題：

1.(2023?宜都市二模)如圖，是。。的直徑，C,。是。。上兩點，若N4OC=140°,則N5OC=

()

A.20°B.40°C.55°D.70°

【分析】由鄰補角的性質(zhì)求出N5OC的度數(shù)，由圓周角定理，即可求出N5DC的度數(shù).

【解答】解：VZ5OC+Z^OC=180°,ZAOC