2025年外研版2024高一數(shù)學(xué)下冊月考試卷含答案

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年外研版2024高一數(shù)學(xué)下冊月考試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點(diǎn)；考試時間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共8題，共16分)1、已知并且是第四象限的角，那么的值是（）A.B.C.D.2、【題文】已知直線平面且給出四個命題：①若∥則②若則∥③若則∥m；④若∥m，則．其中真命題的個數(shù)是A.4B.3C.2D.13、【題文】已知三棱錐的主視圖與俯視圖如下圖；俯視圖是邊長是2的正三角形，那么該三棱錐的左視圖可能為（）

4、【題文】已知．若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.5、【題文】下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（）A.B.C.D.6、在正方體ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中點(diǎn)；則直線CE垂直于()

A.ACB.BDC.A1DD.A1D7、某學(xué)校準(zhǔn)備調(diào)查高三年級學(xué)生完成課后作業(yè)所需時間，采取了兩種抽樣調(diào)查的方式：第一種由學(xué)生會的同學(xué)隨機(jī)對24名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查；第二種由教務(wù)處對年級的240名學(xué)生編號，由001到240，請學(xué)號最后一位為3的同學(xué)參加調(diào)查，則這兩種抽樣方式依次為（）A.分層抽樣，簡單隨機(jī)抽樣B.簡單隨機(jī)抽樣，分層抽樣C.分層抽樣，系統(tǒng)抽樣D.簡單隨機(jī)抽樣，系統(tǒng)抽樣8、函數(shù)f(x)=Asin(婁脴x+婁脮)(A>0,婁脴>0,|婁脮|<婁脨2)

的部分圖象如圖所示，則婁脴婁脮

的值分別為(

)

A.20

B.2婁脨4

C.2鈭?婁脨3

D.2婁脨6

評卷人得分二、填空題(共6題，共12分)9、不等式＜的解集為____．10、已知則sin（α+β）的值為____．11、【題文】設(shè)函數(shù)若則_______12、【題文】已知函數(shù)在處的切線經(jīng)過原點(diǎn)則函數(shù)的極小值為____13、【題文】由點(diǎn)向圓所引的切線方程是____________14、如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為cm，高為2cm，AB、CD分別是兩底面的直徑，AD、BC是母線．若一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路線的長度是______cm（結(jié)果保留根式）．評卷人得分三、解答題(共6題，共12分)15、已知數(shù)列滿足（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求其公差的值;（2）若數(shù)列的首項(xiàng)求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.16、已知等差數(shù)列前三項(xiàng)為前項(xiàng)的和為．（1）求（2）求17、某校研究性學(xué)習(xí)小組從汽車市場上隨機(jī)抽取20輛純電動汽車調(diào)查其續(xù)駛里程（單次充電后能行駛的最大里程）；被調(diào)查汽車的續(xù)駛里程全部介于50公里和300公里之間，將統(tǒng)計結(jié)果分成5組：[50，100），[100，150），[150，200），[200，250），[250，300]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

（Ⅰ）求直方圖中x的值；

（Ⅱ）求續(xù)駛里程在[200；300]的車輛數(shù)；

（Ⅲ）若從續(xù)駛里程在[200，300]的車輛中隨機(jī)抽取2輛車，求其中恰有一輛車的續(xù)駛里程為[200，250）的概率．18、已知圓內(nèi)一定點(diǎn)A（1；-2），P，Q為圓上的兩不同動點(diǎn)．

（1）若P；Q兩點(diǎn)關(guān)于過定點(diǎn)A的直線l對稱，求直線l的方程；

（2）若圓O2的圓心O2與點(diǎn)A關(guān)于直線x+3y=0對稱，圓O2與圓O1交于M，N兩點(diǎn)，且求圓O2的方程．19、已知函數(shù)f(x)=2x鈭?1鈭?x(x隆脢[2,+隆脼))

．

(1)

證明：函數(shù)f(x)

是減函數(shù)．

(2)

若不等式(a+x)(x鈭?1)>2

對x隆脢[2,+隆脼)

恒成立，求實(shí)數(shù)a

的取值范圍．20、鈻?ABC

內(nèi)角ABC

的對邊分別為abc

且a+c=5

且a>cb=3cosB=13

．

(1)

求ac

的值；

(2)

求cos(A+B)

的值．評卷人得分四、計算題(共1題，共2分)21、規(guī)定兩數(shù)a、b通過”*”運(yùn)算得到4ab，即a*b=4ab．例如，2*6=4×2×6=48．若不論x是什么數(shù)時，總有a*x=x，則a=____．評卷人得分五、綜合題(共4題，共20分)22、如圖，拋物線y=x2-2x-3與坐標(biāo)軸交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三點(diǎn)，D為頂點(diǎn)．

（1）D點(diǎn)坐標(biāo)為（____，____）．

（2）BC=____，BD=____，CD=____；并判斷△BCD的形狀．

（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請寫出符合條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)，并對其中一種情形說明理由；若不存在，請說明理由．23、若反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=kx+b的圖象都經(jīng)過一點(diǎn)A（a，2），另有一點(diǎn)B（2，0）在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上．

（1）寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）求一次函數(shù)y=kx+b的解析式；

（3）過點(diǎn)A作x軸的平行線，過點(diǎn)O作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．24、（1）如圖；在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中點(diǎn)；

求證：MB=MC．

（2）如圖；在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）．

①畫出△OAB向下平移3個單位后的△O1A1B1；

②畫出△OAB繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△OA2B2，并求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A2所經(jīng)過的路線長（結(jié)果保留π）．25、在直角坐標(biāo)系xoy中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B和點(diǎn)A，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，1），點(diǎn)D在y軸上且滿足∠BCD=∠ABD．求D點(diǎn)的坐標(biāo)．參考答案一、選擇題(共8題，共16分)1、B【分析】【解析】

因?yàn)椴⑶沂堑谒南笙薜慕牵敲催xB【解析】【答案】B2、C【分析】【解析】

試題分析：因?yàn)樗匀簟蝿t①正確；

由于即l僅垂直于平面內(nèi)的一條直線；以墻角為例，②不正確；

由可知，∥m或與m異面或與m相交；所以③不正確；

因?yàn)椤蝝，所以m④正確。故選C。

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的平行關(guān)系；垂直關(guān)系。

點(diǎn)評：基礎(chǔ)題，?？碱}型，構(gòu)建幾何模型，牢記有關(guān)定理是關(guān)鍵?！窘馕觥俊敬鸢浮緾3、D【分析】【解析】由主視圖和俯視圖知左視圖的高是2，另一條邊也是2，主視圖中有一條虛線所以左視圖只能是D【解析】【答案】D4、A【分析】【解析】解：因?yàn)椤?/p>

由于是的充分不必要條件；說明P集合是Q集合的子集，則。

故選A【解析】【答案】A5、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D6、B【分析】【解答】以A為原點(diǎn)，AB、AD、AA1所在直線分別為x；y，z軸建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，A（0，0，0)，C（1，1，0)；

B（1，0，0)，D（0，1，0)，A1（0，0，1)，E（1)，所以（1)，（1，1，0)，（-1，1，0)，（0，1，-1)，（0，0，-1)，顯然0；即CE⊥BD．故選B．

【分析】本題所用的方法為：利用空間直角坐標(biāo)系表示出向量的坐標(biāo)，再利用兩個向量的數(shù)量積等于0，證明兩個向量垂直。本題也可以用綜合法：在正方體ABCD—A1B1C1D1中，易知BD⊥面ACC1A1，又因?yàn)镃E面ACC1A1，所以BD⊥CE。7、D【分析】解：學(xué)生會的同學(xué)隨機(jī)對24名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查；

是簡單隨機(jī)抽樣；

對年級的240名學(xué)生編號；由001到240；

請學(xué)號最后一位為3的同學(xué)參加調(diào)查；

是系統(tǒng)抽樣；

故選D

根據(jù)抽樣的不同方式；選擇合適的名稱，第一種是簡單隨機(jī)抽樣，第二種編號，選擇學(xué)號最后一位為3的同學(xué)，這種抽樣是系統(tǒng)抽樣．

抽樣包括簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣，根據(jù)條件選擇合適的抽樣方法，抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相同，這是解決一部分抽樣問題的依據(jù)，【解析】【答案】D8、D【分析】解：由函數(shù)的圖象可知：3T4=11婁脨12鈭?婁脨6=3婁脨4T=婁脨

所以婁脴=2A=1

函數(shù)的圖象經(jīng)過(婁脨6,1)

所以1=sin(2隆脕婁脨6+婁脮)

因?yàn)閨婁脮|<婁脨2

所以婁脮=婁脨6

．

故選D．

由題意結(jié)合函數(shù)的圖象，求出周期T

根據(jù)周期公式求出婁脴

求出A

根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過(婁脨6,1)

求出婁脮

即可．

本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)解析式的求法，考查計算能力，發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力．【解析】D

二、填空題(共6題，共12分)9、略

【分析】

∵-==＜0；

∴或

∴-1＜x＜1或x∈?；

∴-1＜x＜1．

∴不等式＜的解集為（-1；1）．

故答案為：（-1；1）．

【解析】【答案】作差-=＜0；轉(zhuǎn)化為等價的不等式組，解之即可．

10、略

【分析】

∵

∴-＜＜0，＜＜

∴sin（）=-cos（）=-

∴sin[（）-（）]=sin（）cos（）-cos（）sin（）

=（-）（）-（-）（-）=-=sin（π+α+β）=-sin（α+β）；

∴sin（α+β）=

故答案為．

【解析】【答案】先求出sin（）和cos（）的值，利用-sin（α+β）=sin（π+α+β）=sin[（）-（）]；求出sin（α+β）的值．

11、略

【分析】【解析】因?yàn)?/p>

【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】解：

故過點(diǎn)（1；-a）的切線方程為y+a=(3-2a)(x-1),過原點(diǎn)，所以a=3,

在(0,2)遞減，在（-0）和（2，+）遞增，因此在x=2處取得極小值，且為-5【解析】【答案】－513、略

【分析】【解析】圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得圓心為。

（3,1）半徑為4；設(shè)切線方程為由點(diǎn)到直線距離公式得。

解得所以所求切線方程是。

即【解析】【答案】14、略

【分析】解：如圖，在圓柱側(cè)面展開圖中，線段AC1的長度即為所求。

在Rt△AB1C1中，AB1=π?=2cm，B1C1=2cm，AC1=2cm

故答案為

要求一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點(diǎn)，小蟲爬行的最短路線，利用在圓柱側(cè)面展開圖中，線段AC1的長度即為所求．

本題以圓柱為載體，考查旋轉(zhuǎn)表面上的最短距離，解題的關(guān)鍵是利用圓柱側(cè)面展開圖．【解析】三、解答題(共6題，共12分)15、略

【分析】試題分析：（1）設(shè)的首項(xiàng)為和公差為則代入已知條件，利用待定系數(shù)法可得關(guān)于的方程；（2）通過賦值作差可得然后確定數(shù)列的類型，進(jìn)行分組求和。（1）因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以1′由2′所以解得故其公差的值為2.5′（2）由得兩式相減，得6′所以數(shù)列是首項(xiàng)為公差為4的等差數(shù)列；7′數(shù)列是首項(xiàng)為公差為4的等差數(shù)列.8′又由得所以故所求11′所以數(shù)列的前100項(xiàng)的和為13′考點(diǎn)：（1）待定系數(shù)法的應(yīng)用；（2）根據(jù)遞推關(guān)系式判斷數(shù)列的類型；（3）利用分組進(jìn)行數(shù)列求和?！窘馕觥俊敬鸢浮浚?）2；（2）16、略

【分析】試題分析：（1）根據(jù)條件通過建立簡單的方程可求得的值；（2）首先根據(jù)第（1）求出然后根據(jù)的結(jié)構(gòu)特征通過利用裂項(xiàng)法可求得結(jié)果．試題解析：（1）設(shè)該等差數(shù)列為則由已知有解得故．（2）由得＝＝＝．考點(diǎn)：1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．；2、等差數(shù)列的前項(xiàng)和；3、裂項(xiàng)法求和．【解析】【答案】（1）（2）．17、解：（Ⅰ）由直方圖可得：（0.002+0.005+0.008+x+0.002）×50=1，

∴x=0.003；

（Ⅱ）由題意可知，續(xù)駛里程在[200，300]的車輛數(shù)為：20×（0.003×50+0.002×50）=5；

（Ⅲ）由（Ⅱ）及題意可知，續(xù)駛里程在[200，250）的車輛數(shù)為3，

續(xù)駛里程在[250，300]的車輛數(shù)為2，

從這5輛中隨機(jī)抽取2輛車，共有{#mathml#}C52

{#/mathml#}=10種抽法；

其中恰有一輛汽車的續(xù)駛里程為[200，250）抽法有{#mathml#}C31

{#/mathml#}?{#mathml#}C21

{#/mathml#}=6種，

∴恰有一輛車的續(xù)駛里程為[200，250）的概率為{#mathml#}610

{#/mathml#}={#mathml#}35

{#/mathml#}．【分析】【分析】（I）利用小矩形的面積和為1；求得x值；

（II）求得續(xù)駛里程在[200；300]的車輛的頻率，再利用頻數(shù)=頻率×樣本容量求車輛數(shù)；

（III）利用排列組合，分別求得5輛中隨機(jī)抽取2輛車的抽法種數(shù)與其中恰有一輛汽車的續(xù)駛里程為[200，250）抽法種數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式計算．18、略

【分析】

（1）將圓O1的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出O1的坐標(biāo)，由P，Q兩點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，得到直線l過O1；又直線l過A點(diǎn)，由兩點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線l的方程即可；

（2）設(shè)O2的坐標(biāo)為（a，b），由O2與點(diǎn)A關(guān)于直線x+3y=0對稱，得到O2與點(diǎn)A的中點(diǎn)在x+3y=0上，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出O2與點(diǎn)A的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入x+3y=0中，得到關(guān)于a與b的方程，且直線O2A與直線x+3y=0垂直，得到斜率的乘積為-1，由直線x+3y=0的斜率求出直線O2A的斜率，由O2與點(diǎn)A的坐標(biāo)表示出斜率，列出關(guān)于a與b的方程，聯(lián)立兩方程求出a與b的值，確定出O2的坐標(biāo)，設(shè)圓O2的半徑為r，表示出圓O2的方程，兩圓的方程相減得到公共弦MN所在直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心O2到直線MN的距離，即為弦心距，根據(jù)勾股定理由弦MN長的一半，圓的半徑r及弦心距列出關(guān)于r的方程，求出方程的解得到r的值，即可確定出圓O2的方程．

此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的直線方程，直線的兩點(diǎn)式方程，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)直線與圓相交時，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，然后由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．【解析】解：（1）將圓O1的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：x2+（y+1）2=4；

∴O1（0；-1），又P，Q兩點(diǎn)關(guān)于過定點(diǎn)A的直線l對稱；

∴O1（0；-1）在直線l上，又直線l過A（1，-2）；

∴直線l的方程為y+2=（x-1）；即x+y+1=0；

（2）設(shè)O2（a，b）；

∵O2與A關(guān)于直線x+3y=0對稱，且x+3y=0的斜率為-

∴=3①，且+3?=0②；

聯(lián)立①②解得：a=2，b=1，∴O2（2；1）；

可設(shè)圓O2的方程為：（x-2）2+（y+1）2=r2；

又圓O1的方程為：x2+（y+1）2=4；

∴兩圓方程相減，即得兩圓公共弦MN所在直線的方程為4x+4y+r2-8=0；

∵|MN|=2圓O1的半徑為2；

∴O1到直線MN的距離為==

解得：r2=20或r2=4；

則圓O2的方程為：（x-2）2+（y+1）2=20或（x-2）2+（y+1）2=4．19、略

【分析】

(1)

根據(jù)定義證明即可；

(2)

不等式(a+x)(x鈭?1)>2

對x隆脢[2,+隆脼)

恒成立，得到a>2x鈭?1鈭?x

在[2,+隆脼)

上恒成立；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出a

的范圍．

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的證明，以及函數(shù)恒成立的問題，屬于中檔題【解析】解：(1)

在[2,+隆脼)

上任取x1x2

令x1>x2

則f(x1)鈭?f(x2)=2x1鈭?1鈭?x1鈭?2x2鈭?1+x2=2(x2鈭?x1)(x1鈭?1)(x2鈭?1)+(x2鈭?x1)=[2(x1鈭?1)(x2鈭?1)+1](x2鈭?x1)

隆脽2<x2<x1

隆脿x1鈭?1>0x2鈭?1>0x2鈭?x1<0

隆脿f(x1)鈭?f(x2)<0

即f(x1)<f(x2)

隆脿f(x)

在[2,+隆脼)

上單調(diào)遞減．

(2)隆脽

不等式(a+x)(x鈭?1)>2

對x隆脢[2,+隆脼)

恒成立；

隆脿a>2x鈭?1鈭?x

在[2,+隆脼)

上恒成立；

由(1)

可知f(x)=2x鈭?1鈭?x

在[2,+隆脼)

上單調(diào)遞減；

隆脿a>f(x)max

隆脿f(x)max=f(2)=22鈭?1鈭?2=0

隆脿a>0

．20、略

【分析】

利用余弦定理以及已知條件列出方程組求解即可．

(2)

利用誘導(dǎo)公式以及余弦定理轉(zhuǎn)化求解即可．

本題考查余弦定理以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查計算能力．【解析】解：(1)

由余弦定理得，a2+c2鈭?23ac=9

且a+c=5

又a>c

解得a=3c=2

(2)

由A+B+C=婁脨

則cos(A+B)=鈭?cosC=鈭?32+32鈭?222脳3脳3=鈭?79

．四、計算題(共1題，共2分)21、略

【分析】【分析】根據(jù)a*b=4ab得到4ax=x，求出方程的解即可．【解析】【解答】解：∵a*x=x；

∴4ax=x；

當(dāng)x≠0時；

∴a=．

故答案為：．五、綜合題(共4題，共20分)22、略

【分析】【分析】（1）直接利用拋物線的頂點(diǎn)公式即可得出D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）結(jié)合題意；可知可得出B點(diǎn)；C點(diǎn)和點(diǎn)D點(diǎn)的坐標(biāo)，即可分別得出三個線段的長度，利用向量關(guān)系易得，BC⊥CD，即△BCD為直角三角形；

（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，經(jīng)分析，有以下幾種情況：①連接AC，可知Rt△COA∽Rt△BCD，②過A作AP1⊥AC交y軸于P1，可知Rt△CAP1∽Rt△BCD；③過4C作CP2⊥AC，交x軸于P2

可知Rt△P2CA∽Rt△BCD；結(jié)合上述情況，分別可得出對應(yīng)的P的坐標(biāo)；【解析】【解答】解：（1）D（1；-4）（2分）

（2）結(jié)合題意；可得C（0，-3）；B（3，0）

，BD=2，CD=；

且=（3，1），=（1；-3）；

可知；

即△BCD是直角三角形（6分）

（3）①連接AC；可知Rt△COA∽Rt△BCD，符合條件的點(diǎn)為O（0，0）

②過A作AP1⊥AC交y軸于P1

可知Rt△CAP1∽Rt△BCD符合條件的點(diǎn)為

③過C作CP2⊥AC，交x軸于P2

可知Rt△P2CA∽Rt△BCD，符合條件的點(diǎn)為P2（9；0）

∴符合條件的點(diǎn)有三個：O（0，0），，P2（9，0）（12分）23、略

【分析】【分析】（1）把y=2代入反比例函數(shù)y=可得x=3；即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）把點(diǎn)A（3，2）、點(diǎn)B（2，0）代入一次函數(shù)y=kx+b；利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式；

（3）根據(jù)與x軸平行的直線的特點(diǎn)線，可求得此直線為y=2，過點(diǎn)O作AB的平行線，則此直線為y=2x，從而可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）．【解析】【解答】解：（1）把y=2代入反比例函數(shù)y=；得：x=3；

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3；2）；

（2）∵點(diǎn)A（3，2），點(diǎn)B（2，0）在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上；

∴；

解得；

∴一次函數(shù)y=kx+b的解析式為