2024-2025學年高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應(yīng)用課時作業(yè)81.4生活中的優(yōu)化問題舉例含解析新人教A版選修2-2

PAGEPAGE1課時作業(yè)8生活中的優(yōu)化問題舉例時間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，假如第x小時，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油溫度的瞬時改變率的最小值是(C)A．8 B.eq\f(20,3)C．－1 D．－8解析：原油溫度的瞬時改變率為f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以當x＝1時，原油溫度的瞬時改變率取得最小值－1.2．將8分為兩個非負數(shù)之和，使兩個非負數(shù)的立方和最小，則應(yīng)分為(B)A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不對解析：設(shè)一個數(shù)為x，則另一個數(shù)為8－x，則其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.當0≤x<4時，y′<0；當4<x≤8時，y′>0.所以當x＝4時，y最小．3．圓柱形金屬飲料罐的體積肯定，要使生產(chǎn)這種金屬飲料罐所用的材料最省，它的高與底面半徑之比為(A)A．21 B．12C．14 D．41解析：設(shè)其體積為V，高與底面半徑分別為h，r，則V＝πr2h，即h＝eq\f(V,πr2).由題意，知當表面積S最小時所用材料最省，S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2πr·eq\f(V,πr2)＝2πr2＋eq\f(2V,r).令S′＝4πr－eq\f(2V,r2)＝0，得r＝eq\r(3,\f(V,2π))，當r＝eq\r(3,\f(V,2π))時，h＝eq\f(V,π\(zhòng)r(3,\f(V,2π))2)＝eq\r(3,\f(4V,π))，則hr＝21時，所用材料最?。?．某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)：y1＝17x2(x>0)，生產(chǎn)成本y2(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)：y2＝2x3－x2(x>0)，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)(A)A．6千臺 B．7千臺C．8千臺 D．9千臺解析：設(shè)利潤為y，則y＝y(tǒng)1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y′＝0，解得x＝0(舍)或x＝6，經(jīng)檢驗知x＝6既是函數(shù)的極大值點又是函數(shù)的最大值點．5．某工廠要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊須要砌新墻壁，當砌新墻壁所用的材料最省時堆料場的長和寬分別為(A)A．32米，16米 B．30米，15米C．40米，20米 D．36米，18米解析：設(shè)矩形堆料場中與原有的墻壁平行的一邊的邊長為x米，其他兩邊的邊長均為y米，則xy＝512.則所用材料l＝x＋2y＝2y＋eq\f(512,y)(y>0)，求導數(shù)，得l′＝2－eq\f(512,y2).令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．當0<y<16時，l′<0；當y>16時，l′>0.所以y＝16是函數(shù)l＝2y＋eq\f(512,y)(y>0)的微小值點，也是最小值點．此時，x＝eq\f(512,16)＝32.所以當堆料場的長為32米，寬為16米時，砌新墻壁所用的材料最?。?．用邊長為120cm的正方形鐵皮做一個無蓋水箱，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接成水箱，則水箱最大容積為(B)A．120000cm3 B．128000cm3C．150000cm3 D．158000cm3解析：設(shè)水箱底邊長為xcm，則水箱高h＝60－eq\f(x,2)(cm)．水箱容積V＝V(x)＝x2h＝60x2－eq\f(x3,2)(cm3)(0<x<120)．V′(x)＝120x－eq\f(3,2)x2.令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝80.可推斷得當x＝80cm時，V取最大值為128000cm3.7．要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積為最大，則高為(D)A．eq\f(\r(3),3)cm B.eq\f(10\r(3),3)cmC．eq\f(16,3)eq\r(3)cm D．eq\f(20\r(3),3)cm解析：設(shè)漏斗的高為xcm，則底面半徑為eq\r(202－x2)cm，其體積為V＝eq\f(1,3)πx(202－x2)(0<x<20)，V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)，令V′＝0，解得x1＝eq\f(20,3)eq\r(3)，x2＝－eq\f(20,3)eq\r(3)(舍去)．當0<x<eq\f(20\r(3),3)時，V′>0；當eq\f(20\r(3),3)<x<20時，V′<0，所以當x＝eq\f(20\r(3),3)時，V取最大值．8．設(shè)底為等邊三角形的直三棱柱的體積為V，那么其表面積最小時底面邊長為(C)A．eq\r(3,V) B.eq\r(3,2V)C．eq\r(3,4V) D．2eq\r(3,V)解析：設(shè)底面邊長為x，則表面積S＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3),x)V(x>0)．∴S′＝eq\f(\r(3),x2)(x3－4V)．令S′＝0，得x＝eq\r(3,4V).經(jīng)檢驗，x＝eq\r(3,4V)是最小值點．二、填空題9．把長為60cm的鐵絲圍成矩形，長為15_cm，寬為15_cm時，矩形的面積最大．解析：設(shè)長為xcm，則寬為(30－x)cm，此時S＝x·(30－x)＝30x－x2，S′＝30－2x＝0，所以x＝15.經(jīng)檢驗，x＝15是最大值點．所以長為15cm，寬為15cm時，矩形的面積最大．10．面積為S的一切矩形中，其周長最小的矩形的邊長是eq\r(S).解析：設(shè)矩形的一邊的邊長為x，則另一邊邊長為eq\f(S,x)，其周長為l＝2x＋eq\f(2S,x)，x>0，l′＝2－eq\f(2S,x2)，令l′＝0，解得x＝eq\r(S)，易知，當x＝eq\r(S)時，其周長最?。?1．如圖，內(nèi)接于拋物線y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在拋物線上運動，C，D在x軸上運動，則此矩形的面積的最大值是eq\f(4\r(3),9).解析：設(shè)CD＝x，則點C坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0))，點B坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2))，∴矩形ABCD的面積S＝f(x)＝x·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2))＝－eq\f(x3,4)＋x，x∈(0,2)．由f′(x)＝－eq\f(3,4)x2＋1＝0，得x1＝－eq\f(2\r(3),3)(舍)，x2＝eq\f(2\r(3),3)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))時，f′(x)>0，f(x)是遞增的，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2))時，f′(x)<0，f(x)是遞減的，當x＝eq\f(2\r(3),3)時，f(x)取最大值eq\f(4\r(3),9).三、解答題12．已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C＝100＋4q，價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為p＝25－eq\f(1,8)q，求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大．解：法1：收入R＝q·p＝q(25－eq\f(1,8)q)＝25q－eq\f(1,8)q2.利潤L＝R－C＝(25q－eq\f(1,8)q2)－(100＋4q)＝－eq\f(1,8)q2＋21q－100(0<q<200)，L′＝－eq\f(1,4)q＋21，令L′＝0，即－eq\f(1,4)q＋21＝0，解得q＝84.因為當0<q<84時，L′>0；當84<q<200時，L′<0，所以當q＝84時，L取得最大值．法2：收入R＝q·p＝q(25－eq\f(1,8)q)＝25q－eq\f(1,8)q2.利潤L＝R－C＝(25q－eq\f(1,8)q2)－(100＋4q)＝－eq\f(1,8)q2＋21q－100(0<q<200)．所以L＝－eq\f(1,8)(q2－168q＋7056)＋782＝－eq\f(1,8)(q－84)2＋782.所以當q＝84時，L取得最大值，最大值為782.13．某商場銷售某種商品的閱歷表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿意關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．解：(1)因為x＝5時y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，解得a＝2.(2)由(1)知該商品每日的銷售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f(x)＝(x－3)[eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6；f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，令f′(x)＝0，解得x＝4或x＝6(舍去)．函數(shù)f(x)在(3,4)上單調(diào)遞增，在(4,6)上單調(diào)遞減，所以當x＝4時函數(shù)f(x)取得最大值f(4)＝42.即當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．——實力提升類——14．如圖(1)，∠ACB＝45°，|BC|＝3，過動點A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC＝90°(如圖(2)所示)．當BD的長為多少時，三棱錐A—BCD的體積最大．解：在如題圖(1)所示的△ABC中，設(shè)|BD|＝x(0<x<3)，則|CD|＝3－x.由AD⊥BC，∠ACB＝45°知，△ADC為等腰直角三角形，所以|AD|＝|CD|＝3－x.由折起前AD⊥BC知，折起后(如題圖(2))，AD⊥DC，AD⊥BD，且BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又∠BDC＝90°，所以S△BCD＝eq\f(1,2)|BD|·|CD|＝eq\f(1,2)x(3－x)．于是VA—BCD＝eq\f(1,3)|AD|·S△BCD＝eq\f(1