2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：不等式與不等關(guān)系

不等式與不等關(guān)系

一、單選題

1.（2024?全國1卷）已知函數(shù)為了⑺的定義域?yàn)镽,/（x）>/（x-l）+/（x-2）,且當(dāng)無<3時(shí)

f（無）=x,則下列結(jié)論中一定正確的是（）

A./（10）>100B,f（20）>1000

c./（10）<1000D./（20）<10000

—X2—2ax—a,x<0

2.（2024?全國1卷）已知函數(shù)為/（%）="一八’八，在R上單調(diào)遞增，則。取值的

[ex+ln（x+l）,x>0

范圍是（）

A.（F⑼B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+8）

3.（2024?全國2卷）已知命題p：VxeR,|%+1|>1；命題/*>0,三=%,則（）

A.p和q都是真命題B.和鄉(xiāng)都是真命題

C.〃和^^都是真命題D.F和都是真命題

4.（2024.全國2卷）設(shè)函數(shù)/a）=（x+〃）ln（%+?,若/⑴20,則/+〃的最小值為（）

A.B.—C.~D.1

842

4元一3Y一320

5.（2024?全國甲卷文）若實(shí)數(shù)羽丁滿足約束條件b-23；-2?0，貝!Jz=x—5y的最小值為（）

2x+6y-9<0

A.5B.—C.—2D.—

22

6.（2024?北京）已知集合〃={%|—4<%41},N={x[—1<%<3},則（）

A.{x|-4<x<3}B.{x|-l<x<l}

C.{0,1,2}D.{x\-l<x<4]

7.（2024.北京）記水的質(zhì)量為d="，并且d越大，水質(zhì)量越好.若S不變，且4=2.1,

Inn

4=2.2,則叫與及2的關(guān)系為（）

電

A.n1V

B.%%

C.若Svl,則“〈幾2；若S>1,則％〉及2；

D.若Svl,則%>%;若S>1,則修<〃2；

8.（2024?北京）己知（為,%）,（々，%）是函數(shù)>=2工圖象上不同的兩點(diǎn)，則下列正確的是（）

A.iog22i±A>A±^B.iog2A±A<A±^

C.log.-：叢>尤］+尤2D.log?%％（尤］+/

9.（2024?天津）若。=4*,。=4.2。3,c=log420.2,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

二、填空題

10.（2024.上海）已知xeR,則不等式尤2-2》-3<0的解集為.

三、解答題

11.（2024.全國甲卷文）已知函數(shù)〃x）=a（x-l）Tnx+l.

⑴求〃x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若a42時(shí),證明：當(dāng)尤>1時(shí)，/（>）<產(chǎn)恒成立.

12.（2024?全國甲卷理）已知函數(shù)/（￡）=（1一分）ln（l+x）-x.

⑴當(dāng)a=-2時(shí)，求“X）的極值；

⑵當(dāng)xNO時(shí)，〃x）20恒成立，求a的取值范圍.

參考答案：

1.B

【分析】代入得到f(l)=L/(2)=2,再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.

【解析】因?yàn)楫?dāng)x<3時(shí)〃x)=x,所以/⑴=1"(2)=2,

又因?yàn)閒(x)>f(x-l)+/E-2),

則/(3)>/(2)+/(I)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(H)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(II)+/(10)>233,”13)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,則依次下去可知f(20)>1000,則B正確；

且無證據(jù)表明ACD一定正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用/⑴=L/(2)=2,再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)

/(x)>/(x-l)+/(x-2),代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性，不斷遞推即可.

2.B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.

【解析】因?yàn)?(%)在R上單調(diào)遞增，且x20時(shí)，/(x)=ex+ln(x+l)單調(diào)遞增，

——12a—20

則需滿足2x(-1),解得Twawo,

-a<e°+In1

即。的范圍是~L。］.

故選：B.

3.B

【分析】對于兩個(gè)命題而言，可分別取x=-1、x=l,再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即

可得解.

【解析】對于。而言，取尸-1,則有|x+1=O<l,故。是假命題，力是真命題，

對于4而言，取x=l,則有丁=F=i=無，故q是真命題，r是假命題，

綜上，力和9都是真命題.

故選：B.

4.C

【分析】解法一：由題意可知：〃無)的定義域?yàn)?-4+”),分類討論-。與-仇1-6的大小關(guān)

系，結(jié)合符號分析判斷，即可得人=〃+1,代入可得最值；解法二：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分

析ln(x+b)的符號，進(jìn)而可得x+a的符號，即可得b=〃+l,代入可得最值.

【解析】解法一：由題意可知：/(?的定義域?yàn)?-反+8),

令x+a=O解得x=_Q；令ln(%+b)=O解得x=l—Z?；

若一a〈一b,當(dāng)了￡(—七1一b)時(shí)，可知％+a>0,ln(x+/?)<0,

此時(shí)J(x)vO,不合題意；

^-b<-a<l-b,當(dāng)了￡(一。,1一Z?)時(shí)，可知x+a>0,ln(x+Z?)<0,

此時(shí)/(x)〈0,不合題意；

若一1=1一b,當(dāng)無￡(一女1一人)時(shí)，可知x+a<0,ln(x+Z?)<0,止匕時(shí)/(%)>。；

當(dāng)右￡[1一"+8)時(shí)，可知x+aN0,ln(x+/?)20,止匕時(shí)/(x)20；

可知若-々=1-6，符合題意；

若—a>l—b,當(dāng)％￡(1—b,—a)時(shí)，可知x+a(O,ln(%+Z?》O,

此時(shí)/(x)vO,不合題意；

綜上所述：-a=l-b,即/?=。+1,

則/+/=片+(°+1)2=2。+口+1>1,當(dāng)且僅當(dāng)a=-16=!時(shí)，等號成立，

所以"+62的最小值為g；

解法二：由題意可知：的定義域?yàn)?-反+8),

令無+a=0解得％=—。；令ln(%+?=0解得了=1—Z?；

貝U當(dāng)了￡(一仇1—Z?)時(shí)，ln(x+Z?)<0,故x+aWO,所以1一〃+々40；

工￡(1一仇+e)時(shí)，ln(x+Z?)>0,故x+aNO,所以1一/7+々20；

故l—/?+a=0,貝U/+02=々2+(〃+]y=21〃+J_]+—>—,

當(dāng)且僅當(dāng)0=-1力=1時(shí)，等號成立，

22

所以/+及的最小值為

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分別求x+a=O、ln(x+b)=o的根，以根和函數(shù)定義域?yàn)榕R界，比較

大小分類討論，結(jié)合符號性分析判斷.

5.D

【分析】畫出可行域后，利用z的幾何意義計(jì)算即可得.

4x-3y-3>0

【解析】實(shí)數(shù)羽〉滿足，x-2y-2W0,作出可行域如圖:

2x+6y-9<0

由z=x—5y可得y=g%_gz,

即z的幾何意義為y=|x-|Z的截距的一,

則該直線截距取最大值時(shí)，z有最小值，

此時(shí)直線y=gx-gz過點(diǎn)A,

j4x-3y-3=0

聯(lián)立12x+6y-9=0

37

貝!Jz.=--5x1=--.

人Jnun22

故選：D.

6.A

【分析】直接根據(jù)并集含義即可得到答案.

【解析】由題意得MDN=(—4,3),

故選：A.

7.C

5-1

n=e21

【分析】根據(jù)題意分析可得Y,討論與的大小關(guān)系，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析

5-1S1

%=e22

判斷

7ST一

d.-------=2.1S-1

1In%n=e21

【解析】由題意可得,解得1

7STcs-i

d?--------2.2尹

In%

若S>1,則可得e3>e舒，即％>%；

V—IV—1

若S=1,則wr=;y=。，可得4=%=1；

若…S<<1,則1冒5-1，一可得J5r-1<eMS-l，-即4<%;

結(jié)合選項(xiàng)可知C正確，ABD錯(cuò)誤；

故選：C.

8.A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即

可.

【解析】由題意不妨設(shè)玉<馬，因?yàn)楹瘮?shù)y=2,是增函數(shù)，所以0<23<29，即0</<必，

對于選項(xiàng)AB：可得‘十'>12』？巧2=2,即％±&〉22>0,

22

再+巧.

根據(jù)函數(shù)y=log?X是增函數(shù)，所以log?log?2丁=N黃，故A正確，B錯(cuò)誤;

對于選項(xiàng)C：例如%=0,兀2=1，則X=L%=2,

可得log?X；%=log?me(0,1),即log?%；％<1=X]+%,故C錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D：例如X[=-1,3=-2,則％=5，%=工，

可得log?嗎逗=log2：=log23-3e(-2,-l),即log2弋匹>一3=%+%,故D錯(cuò)誤，

2o2

故選：A.

9.B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.

【解析】因?yàn)閥=4.2"在R上遞增，且-0.3v0v0.3,

所以0<4.243<4.2°<4.2%

所以0<4.2?3<1<4.203,即0<a<l<b,

因?yàn)閥=log42x在(0,+co)上遞增,且0<0.2<1,

所以Iog4.2().2<log4,21=0,即c<0,

所以匕

故選：B

10.{x|-l<x<3}

【分析】求出方程/-2尤-3=0的解后可求不等式的解集.

【解析】方程d-2x-3=0的解為％=—1或x=3,

故不等式一一2x-3<0的解集為{尤|-l<x<3},

故答案為：任|-1<犬<3}.

11.(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)求導(dǎo)，含參分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性;

(2)先根據(jù)題設(shè)條件將問題可轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)x>l時(shí)，e*T-2x+l+lnx>0即可.

【解析】(1)Ax)定義域?yàn)?0,+s),/(X)=?--=—

XX

當(dāng)時(shí)，:(尤)=竺匚<0,故/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

X

當(dāng)。>0時(shí)，時(shí)，f\x)>0,7")單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)aWO時(shí)，/⑺在(0,+助上單調(diào)遞減；

°>0時(shí)，Ax)在上單調(diào)遞增，在(0,；)上單調(diào)遞減.

(2)a<2,且％>1時(shí)，e%-1-f(x)=ex-1-a(x-1)+Inx-1>ex-1-2x+1+Inx,

令g(x)=e*T-2x+l+lnx(x>1),下證g(%)>0即可.

/(x)=eAi—2+，,再令/?(%)=g'(x),貝!)〃(%)=e>i,

xx

顯然/z'(x)在(L+00)上遞增,則h'(x)>/?,(l)=e°-l=O,

即g'(x)=/7(x)在(L+s)上遞增，

故g'(x)>g,(l)=e°-2+l=0,即g(x)在(l,4w)上單調(diào)遞增,

?g(x)>g(l)=e°-2+1+In1=0,問題得證

12.(1)極小值為0,無極大值.

⑵aV-g

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)可求函數(shù)的極值.

(2)求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，就<。<0、a?0分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.

22

【解析】(1)當(dāng)。=一2時(shí)，/(x)=(1+2x)ln(l+x)-x,

故尸(x)=21n(l+元)+H^-l=21n(l+x)--—+1,

1+x1+x

因?yàn)閥=2111(1+犬)》=-^^—+1在(-1,+00)上為增函數(shù)，

故/'(x)在(-1,+。)上為增函數(shù)，而八。)=0,

故當(dāng)