2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章空間向量與立體幾何2.4用向量討論垂直與平行課時(shí)作業(yè)含解析北師大版選修2-1

PAGEPAGE7課時(shí)作業(yè)9用向量探討垂直與平行時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分別是直線l1，l2的方向向量，若l1∥l2，則(D)A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝eq\f(15,2)C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝eq\f(15,2)解析：∵l1∥l2，設(shè)a＝λb，∴(2,4,5)＝λ(3，x，y)，∴x＝6，y＝eq\f(15,2).2．已知l∥π，且l的方向向量為(2，m,1)，平面π的法向量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))，則m＝(A)A．－8 B．－5C．5 D．8解析：∵l∥π，∴直線l的方向向量與平面π的法向量垂直．∴2＋eq\f(m,2)＋2＝0，m＝－8.3．若兩個(gè)不同平面π1，π2的法向量分別為n1＝(1,2，－2)，n2＝(－3，－6,6)，則(A)A．π1∥π2 B．π1⊥π2C．π1，π2相交但不垂直 D．以上均不正確解析：∵n1＝－eq\f(1,3)n2，∴n1∥n2，∴π1∥π2.4．若平面α與β的法向量分別是a＝(1,0，－2)，b＝(－1,0,2)，則平面α與β的位置關(guān)系是(A)A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．無法推斷解析：因?yàn)閍＝－1·b，所以a∥b.因此兩個(gè)平面平行．5．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則平面ABC的一個(gè)單位法向量是(D)A．(eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3)，－eq\f(\r(3),3)) B．(eq\f(\r(3),3)，－eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3))C．(－eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3)) D．(－eq\f(\r(3),3)，－eq\f(\r(3),3)，－eq\f(\r(3),3))解析：設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,1)．由n·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，n·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0.))令z＝1，得x＝y(tǒng)＝1.所以n＝(1,1,1)，|n|＝eq\r(3)，得平面ABC的單位向量為(eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3))或(－eq\f(\r(3),3)，－eq\f(\r(3),3)，－eq\f(\r(3),3))，故選D.6．在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E為正方體的棱AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱AB上的一點(diǎn)，且∠C1EF＝90°，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(A)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,3)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,3)，0))解析：設(shè)F(2，m,0)(0≤m≤2)，由題意知，E(2,0,1)，C1(0,2,2)，則eq\o(C1E,\s\up6(→))＝(2，－2，－1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0，m，－1)，∵∠C1EF＝90°，∴eq\o(C1E,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，即－2m＋1＝0，解得m＝eq\f(1,2)，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)，0)).7．已知平面α內(nèi)有一點(diǎn)A(2，－1,2)，它的一個(gè)法向量為n＝(3,1,2)，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是(B)A．(1，－1,1) B．(1,3，eq\f(3,2))C．(1，－3，eq\f(3,2)) D．(－1,3，－eq\f(3,2))解析：要推斷點(diǎn)P是否在平面內(nèi)，只需推斷向量eq\o(PA,\s\up6(→))與平面的法向量n是否垂直，即推斷eq\o(PA,\s\up6(→))·n是否為0即可，因此，要對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)檢驗(yàn)．對(duì)于選項(xiàng)A，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1,0,1)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故解除A；對(duì)于選項(xiàng)B，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1，－4，eq\f(1,2))，則eq\o(PA,\s\up6(→))·n＝(1，－4，eq\f(1,2))·(3,1,2)＝0，故選B.8．已知直線l過點(diǎn)P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α過直線l與點(diǎn)M(1,2,3)，則平面α的法向量不行能是(D)A．(1，－4,2) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－1，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，1，－\f(1,2))) D．(0，－1,1)解析：因?yàn)閑q\o(PM,\s\up6(→))＝(0,2,4)，直線l平行于向量a，若n是平面α的一個(gè)法向量，則必需滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·\o(PM,\s\up6(→))＝0，))把選項(xiàng)代入驗(yàn)證，只有選項(xiàng)D不滿意，故選D.二、填空題9．設(shè)平面α與向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β與向量b＝(－2,4，－8)垂直，則平面α與β位置關(guān)系是平行．解析：因?yàn)閍＝eq\f(1,2)b，所以a∥b.因?yàn)槠矫姒僚c向量a垂直，所以平面α與向量b也垂直．而平面β與向量b垂直，所以α∥β.10．若A(0,2，eq\f(19,8))，B(1，－1，eq\f(5,8))，C(－2,1，eq\f(5,8))是平面α內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面α的法向量a＝(x，y，z)，則xyz＝23(－4)．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－3，－eq\f(7,4))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，－1，－eq\f(7,4))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,a·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y－\f(7,4)z＝0，,－2x－y－\f(7,4)z＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)y，,z＝－\f(4,3)y，))∴xyz＝eq\f(2,3)yy(－eq\f(4,3)y)＝23(－4)．11．如圖，已知矩形ABCD，PA＝AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個(gè)點(diǎn)Q滿意PQ⊥QD，則a的值等于2.解析：先建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)|eq\o(BQ,\s\up6(→))|＝b，則A(0,0,0)，Q(1，b,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1，b，－1)，eq\o(QD,\s\up6(→))＝(－1，a－b,0)．∵eq\o(PQ,\s\up6(→))⊥eq\o(QD,\s\up6(→))，∴b2－ab＋1＝0.∵b只有一解，∴Δ＝0，可得a＝2.三、解答題12．如圖所示的五面體中，四邊形ABCD是正方形，DA⊥平面ABEF，AB∥EF，AE⊥AF，DA＝AF＝1，AE＝eq\r(3)，P，Q分別為AE，BD的中點(diǎn)．求證：PQ∥平面BCE.證明：∵AE＝eq\r(3)，AF＝1，AE⊥AF，∴∠AEF＝30°.∵AB∥EF，∴∠EAB＝30°.以A為原點(diǎn)，AE，AF，AD所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則E(eq\r(3)，0,0)，B(eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2)，0)，D(0,0,1)，C(eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2)，1)，∴eq\o(EB,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2)，0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,0,1)．設(shè)平面BCE的法向量為n＝(x1，y1，z1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(EB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BC,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)x1－\f(1,2)y1＝0，,z1＝0，))令x1＝1，得平面BCE的一個(gè)法向量為n＝(1，－eq\r(3)，0)．∵P，Q分別為AE，BD的中點(diǎn)，∴P(eq\f(\r(3),2)，0,0)，Q(eq\f(\r(3),4)，－eq\f(1,4)，eq\f(1,2))，∴eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(3),4)，－eq\f(1,4)，eq\f(1,2))，∴n·eq\o(PQ,\s\up6(→))＝－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(\r(3),4)＝0，∴eq\o(PQ,\s\up6(→))⊥n，又PQ?平面BCE，∴PQ∥平面BCE.13．如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.求證：平面ADE⊥平面ABE.證明：取BE的中點(diǎn)O，連接OC.∵BC＝CE，∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE，∴以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．則由已知條件有C(1,0,0)，B(0，eq\r(3)，0)，E(0，－eq\r(3)，0)，D(1,0,1)，A(0，eq\r(3)，2)．設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為n＝(a，b，c)，則n·eq\o(EA,\s\up6(→))＝(a，b，c)·(0,2eq\r(3)，2)＝2eq\r(3)b＋2c＝0.且n·eq\o(DA,\s\up6(→))＝(a，b，c)·(－1，eq\r(3)，1)＝－a＋eq\r(3)b＋c＝0.可取n＝(0,1，－eq\r(3))．又AB⊥平面BCE.∴AB⊥OC，∴OC⊥平面ABE，∴平面ABE的法向量可取為m＝(1,0,0)．∵n·m＝(0,1，－eq\r(3))·(1,0,0)＝0，∴n⊥m，∴平面ADE⊥平面ABE.——實(shí)力提升類——14．已知A(1,0,0)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，D(1,2,0)，E(0,0,1)，則直線DE與平面ABC的位置關(guān)系是(B)A．平行B．DE平面ABCC．相交D．平行或DE平面ABC解析：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n＝(x，y,1)，則n·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0且n·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＋1＝0，,x－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0.))所以n＝(1,0,1)，又eq\o(DE,\s\up6(→))＝(－1，－2,1)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))·n＝(－1，－2，1)·(1,0,1)＝0，即eq\o(DE,\s\up6(→))⊥n，則DE∥平面ABC或DE平面ABC.因?yàn)閑q\o(BD,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，所以A，B，C，D四點(diǎn)共面，即點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)，所以DE平面ABC.15．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.(1)求證：AC⊥BC1；(2)在AB上是否存在點(diǎn)D，使得AC1⊥CD?(3)在AB上是否存在點(diǎn)D，使得AC1∥平面CDB1?解：直三棱柱ABC-A1B1C1，AC＝3，BC＝4，AB＝5，則AC，BC，CC1兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA，CB，CC1分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)．(1)證明：∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3,0,0)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(0，－4，4)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))⊥