2025年河北省邯鄲市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年河北省邯鄲市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足z（1+2/）=5,則復(fù)數(shù)z=（）

A.-1-2zB.-l+2zC.1-2zD.1+2，

2.（5分）在等比數(shù)列｛斯｝中，冊(cè)VM+i（7ieN*）,其前〃項(xiàng)和為命,且6期是。7和的等差中項(xiàng),

（）

A.10B.15C.18D.20

3.（5分）已知函數(shù)/（x）=ln（e^+m）-x（m>0）為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)冽=（）

A.0B.1C.2D.3

4.（5分）設(shè)/、m、幾表示不同的直線，a、0、丫表示不同的平面，給出下列四個(gè)命題：

①若/_La,且加，a,則冽〃/；

②若a_L0,m.Ln,〃_L0,則加〃a；

③若/〃a,且/〃加，則能〃a；

④若加_L〃，m_La,n//P，則a〃0.

則正確的命題個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

5.（5分）已知圓M：X2+/-2X-3=0,若圓M與圓C：/+y2-2x-6y-a=0恰有三條公切線，則實(shí)數(shù)a

=（）

A.9B.-9C.8D.-8

6.（5分）已知甲、乙、丙等5人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，則不同的安排方法的種數(shù)為（）

A.24B.26C.32D.40

,,jr?,sin3cos23

7.（5分）已知+9）=一個(gè)則—------（）

43sinO-cosO

1310

A.一書B.一言C.1D.3

3

8.（5分）已知尸1（-c,0）、F?（。，0）分別是中心在原點(diǎn)的雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，斜率為了的直線/

4

過(guò)點(diǎn)尸1,交。的右支于點(diǎn)5,交>軸于點(diǎn)4,且b2|=2尸2|,則。的離心率為（）

172320

A.—B.—C.—D.3

12157

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全

第1頁(yè)（共17頁(yè)）

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

（多選）9.（6分）現(xiàn)有甲、乙、丙三位籃球運(yùn)動(dòng)員連續(xù)5場(chǎng)籃球比賽得分情況的記錄數(shù)據(jù)，已知三位球

員得分情況的數(shù)據(jù)滿足以下條件：

甲球員：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是25,眾數(shù)是23；

乙球員：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是28,平均數(shù)是26；

丙球員：5個(gè)數(shù)據(jù)有1個(gè)是30,平均數(shù)是25,方差是10；

根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列統(tǒng)計(jì)結(jié)論一定正確的是（）

A.甲球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于23分

B.乙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于23分

C.丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于23分

D.丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分的第60百分位數(shù)大于23

（多選）10.（6分）已知P為△48C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且4B=5C=4,ZABC^60°,。是邊/C的三等

分點(diǎn)且靠近點(diǎn)C,AE=』EB,BD與CE交于點(diǎn)O.設(shè)三角形80C的面積為&BOC，則下列選項(xiàng)正確的

是()

T2T1T

A.DE=-AC-pAB

c_6乃

B.、工BOC——

T叵

C.12OA+1OB+3OC|-―^-

-?—>—?

D.(PA+PB)?PC的最小值為-6

（多選）11.（6分）如圖，若正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)M是正方體在

側(cè)面BCCbBi上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P是棱441的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（)

4

A.三棱錐的體積為§

1

B.若尸時(shí)=逐，則點(diǎn)M的軌跡是以5為半徑的半圓弧

第2頁(yè)（共17頁(yè)）

C.若。則的最大值為3

D.平面AiCiCA截正方體ABCD-AiBiCiDi的截面面積為4位

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)若集合M={xCN|-3<xWl},N={x￡Z|x2-x-6<0},則MCN=.

13.(5分)已知拋物線C：F=2px(p>0),過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線交C于尸、。兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

OPLOQ,則,=.

14.(5分)已知函數(shù)/(x)=\x\~aln(x+1)的最小值為0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.(13分)在△/8C中，內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,b2+c2^3bccosA.

(1)若3=C,a=2,求△/2C的面積；

16.(15分)已知函數(shù)/(x)=Inx-ax2.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求/(x)的圖象在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程；

(2)若VxC(0,+8),f(x)V0時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

17.(15分)已知在三棱柱/2C-N121cl中，AiA=AB=BC=2,AC=2A/3,ZTl&C=等，A\C\LA\B,

A^B=V2.

(1)求證：平面/CCMi_L平面4BC；

(2)求平面NLBC與平面SCCLBI夾角的余弦值.

18.(17分)已知橢圓C：盤+胃=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為%(一百，0)、F2(V3,0),左

1,

頂點(diǎn)為/,點(diǎn)P、Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。對(duì)稱的兩點(diǎn)，且|尸。尸尸止2|，且四邊形PF\QF2的面積為5a2.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若斜率不為0的直線/過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)尸2且與橢圓。交于G、”兩點(diǎn)，直線4G、與直線x

=4分別交于點(diǎn)M、N.求證：M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.

19.(17分)設(shè)正整數(shù)。的〃個(gè)正因數(shù)分別為Ql，Q2，…，an，且0V〃l<a2V斯.

(1)當(dāng)〃=5時(shí)，若正整數(shù)。的〃個(gè)正因數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請(qǐng)寫出〃的最小值；

(2)當(dāng)〃三4時(shí)，若42=2,且。3-。2，…，斯-斯-1構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)Q；

第3頁(yè)(共17頁(yè))

(3)t己3=。1。2+。2。3+…+劭-1劭，求證：S<a2.

第4頁(yè)(共17頁(yè))

2025年河北省邯鄲市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.(5分)己知復(fù)數(shù)z滿足z(1+2/)=5,則復(fù)數(shù)z=()

A.-1-2zB.-l+2zC.1-2zD.l+2z

【解答】解：由z(1+2/)=5,

則復(fù)數(shù)z=*T5(1-205(1-20,?

(l+20(l-2i)-1+4_1ZZ

故選：C.

2.(5分)在等比數(shù)列｛斯｝中，an<an+1(ne/V*),其前〃項(xiàng)和為且6期是。7和〃8的等差中項(xiàng),

)

A.10B.15C.18D.20

【解答】解：在等比數(shù)列｛斯｝中，M〈冊(cè)+1(九€'*),其前〃項(xiàng)和為亂,且6期是劭和的等差中項(xiàng),

設(shè)等比數(shù)列｛劭｝的公比為9，

若q<0,

則等比數(shù)列｛劭｝為擺動(dòng)數(shù)列，

這與冊(cè)V。九+1(九eN*)矛盾，故鄉(xiāng)>0,

根據(jù)題意得1246=的+。8，則12=1+才，解得q=3或9=-4(舍).

—:~~~^2=1+/=1+=1。.

l-q

故選：A.

3.(5分)已知函數(shù)/(x)=ln(e2x+m)-x(m>0)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)冽=()

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：???函數(shù)/(%)=ln(e2x+m)-x(m>0)為偶函數(shù)，

:.f(-x)=f(x),即/幾(e2x+m)+x=ln(e2x+m)-x,

P2X_4_We+mo-

整理得：仇:2x—=2x,.*.^27---=可得？2%+冽=1+切g(shù)2x,

e~￡X+me~￡X+m

則(冽-1)(e2x-1)=0,此等式在函數(shù)/(%)的定義域內(nèi)恒成立,

:?m-1=0,即m=\.

第5頁(yè)(共17頁(yè))

故選：B.

4.（5分）設(shè)/、m、〃表示不同的直線，a、0、丫表示不同的平面，給出下列四個(gè)命題：

①若/_La,且冽_La,則加〃/；

②若a_L0,m_Lnf〃_L0,則冽〃a；

③若/〃a,且/〃冽，則加〃a；

④若冽_L幾，mJ_a,〃〃仇則?！?.

則正確的命題個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【解答］解：若/_1。，且加_La,則加〃/,故①正確；

若a_L0,mA.n,〃_L0,則冽〃a不一定成立，有可能冽ua,故②錯(cuò)誤；

若/〃a,且/〃冽，則冽〃a不一定成立，有可能冽ua,故③錯(cuò)誤；

若加J_九，m±a,幾〃0,則a〃0不一定成立，有可能垂直，故④錯(cuò)誤.

故選：D.

5.（5分）已知圓M：x2+/-2x-3=0,若圓M與圓C：/+/_2廠69-4=0恰有三條公切線，則實(shí)數(shù)a

=（）

A.9B.-9C.8D.-8

【解答】解：圓環(huán)/+爐-2廠3=0可化為（x-l）2+y2=4,圓心為M（l,0）,半徑為ri=2.

圓C：x2+y2-2x-6y-a=0可化為（x-1）2+（j/-3）2=10+tz,圓心為C（1,3）,半徑為72=V10+a,

a>-10.

若圓M與圓C：x2+f-2x-6y-a=0恰有三條公切線，則兩圓外切.

由|MC|=ri+r2,所以J（l—l）2+（0—3尸=2+V10+a,解得a=-9.

故選：B.

6.（5分）已知甲、乙、丙等5人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，則不同的安排方法的種數(shù)為（）

A.24B.26C.32D.40

【解答】解：甲、乙、丙等5人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，

按甲的安排進(jìn)行分類討論.①甲排第一，則乙，丙等四人有蛋=24（種）；

②甲排第二，則乙、丙排后3位中的兩位，有脛x掰=12（種）；

③甲第三，則乙，丙排最后2位；有用x及=4（種）.故共有24+12+4=40（種）.

故選：D.

第6頁(yè)（共17頁(yè)）

、,77-2,sin0cos20

7.（5分）已知t即（。+4）=-了則嬴E=（)

A.一^0B.--^2C.1D.3

【解答】解：由tan_―|,解得tanO=5,

4=；1H-tanOt：a味n^=:1—嗎t(yī)aKnU3

ll,sin0cos20sinOCcos2O—sin*2^34)

所以------=--------------

sinO—cosdsin0—cos0

sin0(sine+cos6)(cose—sin0).八/八，.八、

--------------------------=—sinB{cosB+sin3)

sinO—cosO

_—sinO(cosd+sinG)_—tan0—tan20

cos20+sin20tan23+1

_一(一5)一(一5)2

-(-5)2+1

__10

=-13,

故選：B.

3

8.（5分）已知產(chǎn)i（-c,0）、尸2（c，0）分別是中心在原點(diǎn)的雙曲線。的左、右焦點(diǎn)，斜率為了的直線/

4

過(guò)點(diǎn)后，交。的右支于點(diǎn)5,交y軸于點(diǎn)4且|4方2|=2/2|,則。的離心率為（）

172320

A.—B.-C.—D.3

12157

【解答】解：Fi（-c,0）、F?（c,0）分別是中心在原點(diǎn)的雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，

3

斜率為1的直線/過(guò)點(diǎn)尸1,交。的右支于點(diǎn)5,交V軸于點(diǎn)4,且斤2|=因歹2|,

=2”,所以|/8|=2Q.

因?yàn)橹本€/的斜率為|,所以|4。|=字，|A%|=苧

第7頁(yè)（共17頁(yè)）

\F^F\IFiMI

設(shè)〃為45的中點(diǎn)，連接"F2，易知△/O^s△b如FI，所以?=

M-1I尸1。|

,5

2ca+RC2020

則=----,解得-=—,所以雙曲線C的離心率為百.

_ca77

4

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

(多選)9.(6分)現(xiàn)有甲、乙、丙三位籃球運(yùn)動(dòng)員連續(xù)5場(chǎng)籃球比賽得分情況的記錄數(shù)據(jù)，已知三位球

員得分情況的數(shù)據(jù)滿足以下條件：

甲球員：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是25,眾數(shù)是23；

乙球員：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是28,平均數(shù)是26；

丙球員：5個(gè)數(shù)據(jù)有1個(gè)是30,平均數(shù)是25,方差是10；

根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列統(tǒng)計(jì)結(jié)論一定正確的是()

A.甲球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于23分

B.乙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于23分

C.丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于23分

D.丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分的第60百分位數(shù)大于23

【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)若甲球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于23分，

設(shè)甲球員的5場(chǎng)籃球比賽得分按從小到大排列為XI、X2、X3、X4、X5,由題則X1WX2WX3WX4WX5,X3=

25,

且23至少出現(xiàn)2次，故XI=X2=23,故選項(xiàng)/正確；

對(duì)于選項(xiàng)2,若乙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于23分，

設(shè)乙球員的5場(chǎng)籃球比賽得分按從小到大排列為yi,>2、>3，了4,>5,則yiWy2(y3Wy4Wy5,由題夕3=

28.

取yi=20,72=22,川=30,乃=30,可得其平均數(shù)為26滿足條件，但有2場(chǎng)得分低于23,故選項(xiàng)2

錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)C,若丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于23分，

設(shè)丙球員的5場(chǎng)籃球比賽得分按從小到大排列為Zl、Z2、Z3、Z4、Z5，

22

由已知，[0-25)2+⑵_25)2+G_25猿+心_25)+(z5-25)]=10,

222

所以⑵-25)2+⑵-25)2+⑵-25)2+⑵-25)+(z5-25)=備⑵-25)=50.

第8頁(yè)(共17頁(yè))

取25=30=￡二1（Z1—25）2=25.因?yàn)閦i、Z2、Z3、Z4、Z5的平均數(shù)為25,

所以ZI+Z2+Z3+Z4=95.取ZI=20,Z2=25,Z3=25,Z4=25,

滿足要求，但有一場(chǎng)得分低于23分，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,若丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分的第60百分位數(shù)大于23,

若ZI=30=>Z2,Z3，Z4,Z5>30,止匕時(shí)⑵-25)2>50,與題意不符;

同理可得Z2=3O,23=30,24=30均不合題意.則Z5=30=ZI+Z2+Z3+Z4=95.

因?yàn)?X60%=3,所以丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分的第60百分位數(shù)為昔1.

…Z2+Z4Zi+Z?

若一--<23,則一--<23,故ZI+Z2+Z3+Z4W92,與NI+Z2+Z3+Z4=95矛盾.

所以烏盧>23,所以丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分的第60百分位數(shù)大于23,故選項(xiàng)。正確.

故選：AD.

（多選）10.（6分）已知P為△48C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，S.AB=BC=4,ZABC=60°,。是邊/C的三等

分點(diǎn)且靠近點(diǎn)C,AE=BD與CE交于點(diǎn)O.設(shè)三角形BOC的面積為S&BOC，則下列選項(xiàng)正確的

是（）

-21—>

A.DE=-^AC+^AB

D4

_6/3

B.、c4BOC——5-

1T1TT/?

C.|]OA+.OB+30cl=號(hào)

D.(PA+PB)?PC的最小值為-6

【解答】解：已知尸為△48C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且N8=3C=4,AABC=60°,。是邊/C的三等分

點(diǎn)且靠近點(diǎn)C,

T1T

因?yàn)?

所以

又因?yàn)镈是邊AC的三等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)C,

12T

所以AD=（AC,

所以DE=DA+AE^-^AC+=：AB,

34

故/正確；

第9頁(yè)（共17頁(yè)）

設(shè)昂=遙,

則CO=ACA+^AB=3ACD+《(AC+CB)=?CD+《CB,

44,44

因?yàn)?、。、。三點(diǎn)共線，

?9AA

所以丁+T=1，

44

解得4=|,

,,c2c23。3V3?26,/3

W5ABOC=耳S^BCE-5x4sAABC=而x彳x4=-g-,

故2正確；

T4T1T

因?yàn)?。E=］。4+"OB,

T211T

所以2OE=^OA+^OB,

所以|^OA+/OB+3OC|=\2OE+3OC\=0,

故C錯(cuò)誤；

以線段3C的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸,

建立平面直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)4(0,2b)，5(-2,0),C(2,0),

設(shè)點(diǎn)P(x,y),

T——

則P4=(—%,2V3-y),PB=(-2—K,-y),PC=(2—x,—y),

則例+屆).而=2。-1)2+2(y-器>-6>-6,

當(dāng)且僅當(dāng)久=去丫=李時(shí)取等號(hào)，

所以最小值為-6,

故。正確.

故選：ABD.

第10頁(yè)（共17頁(yè)）

（多選）H.（6分）如圖，若正方體48CD-/1由C1G的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)M是正方體/2。-/1囪。為在

側(cè)面BCCiBi上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)尸是棱441的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

1

B.若PM=遮，則點(diǎn)M的軌跡是以5為半徑的半圓弧

C.若DiAfLDP,則的最大值為3

D.平面AiCiCA截正方體ABCD-AiBiCiDi的截面面積為4位

【解答】解：根據(jù)題意可得三棱錐P-DDiM的體積為％加避=VM-PDDr=|x|x2x2x2=1,故

/選項(xiàng)正確；

在面4S81N1上，過(guò)點(diǎn)尸作尸。_L38i,則易知尸。_L平面88clC,所以尸0_LM。，

又PM=相,所以MQ=飛PM?-PQ2=J（有/一22=1,

所以點(diǎn)M的軌跡是以。為圓心，1為半徑的半圓弧，故8錯(cuò)誤；

在面AS81/1中，過(guò)點(diǎn)尸作尸。，3囪，則點(diǎn)。是3囪的中點(diǎn)，

連接。C,取2C的中點(diǎn)N,連接AN,NC},AiN,AiCi,

則QC//PD,CxNLQC.

因?yàn)镈1C1，平面ABC1C,所以Di。，。。，

又DiCmCiN=。，

所以0C,平面。C1N,

所以點(diǎn)M的軌跡是線段CiN,

222

在△/1C1N中，A1C1=2V2,G/V=JNC+CC1=V5,&N=JAA1+AB+BN=3,

所以的最大值為3,故C正確；

對(duì)于。，平面4cle4截正方體48CD-/I3ICLDI的截面為矩形/C1C4,其面積為2x2魚=4位，

故。正確.

第11頁(yè)（共17頁(yè)）

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)若集合M={xCN|-3cxWl},#={xGZ|x2-x-6<0},則A/riN=JO,八.

【解答】解：7V={xeZ|x2-X-6<0}={xGZ|-2<x<3}={-1,0,1,2}.

又出={0,1},所以MCN={0,1}.

故答案為:{0,1}.

13.(5分)己知拋物線C：(p>0),過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線交C于尸、0兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

1

OPLOQ,則。=

【解答】解：根據(jù)題意可知拋物線。的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，

令直線尸0的方程為xF+1,Q*,y2),P虜，yi).

根據(jù)I)：,."化簡(jiǎn)并整理得產(chǎn)-2必y-20=0,

那么yiy2=-2p,A=4/?2?+8/?>0,

根據(jù)。尸，。0,可得辦?訪=共?共+為力=1-2p=0，所以p=^.

乙P乙P乙

故答案為：

14.(5分)已知函數(shù)/(x)^\x\-aln(x+1)的最小值為0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為:0,11.

【解答】解：函數(shù)f(x)=|x|-aln(x+1)定義域?yàn)?-1,+8),顯然f(x)min=Q=f(0).

①當(dāng)xNO時(shí)，f(x)-aln(x+1).

令g(x)=x-In(x+1),g(x)=l一七20,得x20,即g(x)在［0,+°°)上單調(diào)遞增.

Vxe［0,+8),g(x)》g(0)=0,即有x2>(x+1)NO.

當(dāng)aWl時(shí)，x^ln(x+1)Naln(x+1),即/'(x)—x-aln(x+1)NO,

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)；

當(dāng)a>\時(shí)，f'(x)=1一套.顯然當(dāng)Q<x<a-1時(shí)，f(x)<0,函數(shù)/(x)在［0,a-1］上單調(diào)遞

減,

第12頁(yè)(共17頁(yè))

/(a-1)</(0)=0,不符合題意.

②當(dāng)-l<x<0時(shí)，f(x)—-x-aln(x+1),

當(dāng)a20時(shí)，函數(shù)/(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，f(x)>f(0)=0；

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y=-x在(-1,0)上單調(diào)遞減，其取值集合為(0,1).

函數(shù)y=-aln(x+1)在(-1,0)上單調(diào)遞增，其取值集合為(-0).

因此存在xoC(-1,0),使得-a歷(xo+1)<-1.于是/(xo)=-xo-aln(xo+1)<0,不符合題意;

綜上，OWaWl,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為[0,1].

故答案為：[0,1].

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.(13分)在中，內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,b2+c2^3bccosA.

(1)若B=C,a=2,求△/8C的面積;

tanAtanA

(2)求+的值.

tanBtanC

【解答】解：⑴因?yàn)?=C,所以b=c,由題意可得262=3氏0S4即cos/=宗sirU=李

2

又〃2=必+02-2bccosA,即4=2b2-2b2X可,

解得b=V6,

所以S”BC=^6csiiL4=xV6xV6又停=V5.

i,2I^2_^2

(2)由廬+C2=3bccos/,得b2+02=3bc?-------------，得62+02=3〃2,

2bc

一C。2

2

所以3a=3bccosAf所以cosA=玩,

~,tanAtanAsinAcosBcosC"力/cosBsinC+sinBcosCsinAsin(B+C)sinA

所以------+-------=------?(------+------)=------T*---------------------------=------*------------=-------

tanBtanCcosAsinBsinCcosAsinBsinCcosAsinBsinCcosA

sinAa2a2

sinBsinCbccosAbe-

be

16.(15分)已知函數(shù)/(x)=lnx-ax2.

(1)當(dāng)Q=1時(shí)，求/(x)的圖象在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程;

(2)若VxW(0,+8),/(x)VO時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解答】解：(1)因?yàn)?(X)=lnx-x2,則其導(dǎo)函數(shù)為f直)=/一2支,

所以/(I)=lnl-12=-1,

第13頁(yè)(共17頁(yè))

所以f(l)=：1-2x1=-1,

因此/(x)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為y+l=-(x-1),所以x+y=O.

(2)f(x)—Inx-ax2(x>0),那么/(x)=1■-2a久=―,

當(dāng)a>0時(shí)，x￡(0,舊),f(x)>0,f(x)在(0,區(qū))上單調(diào)遞增；

x￡,+8)，f(x)<0,f(x)在+8)上單調(diào)遞減.

當(dāng)X=技時(shí),f(x)取得最大值，且為/"⑺S=/(Jl)=-1^(2a)-J.

1

由題意可得/(x),"心<0,解得a>》.

當(dāng)aWO時(shí)，f(x)>0,即/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)x=l時(shí)，/(1)=-a>0,與題意不符.

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為忌，+外

17.(15分)已知在三棱柱/BC-412C1中，AiA=AB=BC=2,AC=2V3,乙4&C=等，A\C\LA\B,

A^B=V2.

(1)求證：平面/CCMi_L平面ABC；

(2)求平面48c與平面8CC181夾角的余弦值.

【解答】(1)證明：設(shè)/C的中點(diǎn)為。，連接。出、0B,

因?yàn)锳B=5C,所以NC_LO3,

因?yàn)镹C〃/1C1,且所以/C_L4i3,

又AiB、08u平面。氏41,S.AiBCiOB=B,所以NC_L平面034,

因?yàn)镺/iu平面。A4i，所以/C_LCMi，

22

在△4NC中，由余弦定理得，AC=AAj+ArC-2AA1■A^Ccos^AA^C,即+2&c-8=0,

解得/1C=2或NiC=-4(舍)，

在RtZUO/i和△48C中，可知/。=1,05=1,

在△03/1中，。力：+OB?=人1爐，BPOAi±OB,

又NCJ_O/i,且/C、08u平面48C,且NCnO8=。，所以。平面NBC,

第14頁(yè)(共17頁(yè))

因?yàn)镃Miu平面ACCiAi,所以平面NCCi4_L平面ABC.

(2)解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以03、OC,。小所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

則小(0,0,1),B(1,0,0),C(0,V3,0),力(0,-V3,0),

—>—>—>—>

所以&C=（0,遮,-1）,8C=（—1,V3,0）,BB1=441=（0,遮，1）,

m-BC=—久]+75yl=0

設(shè)平面的法向量為蔡=(向，zi),則

TTL

m?ArC=,3yi—=0

令％i=V5,得zn=（遮，1/V3）,

n?BC=—x+V3y=0

設(shè)平面BCC/l的法向量為1=(%2,為，Z2),則22

n?BB]=V3y2+z2=0

令%2=8，得九=（遮，1/—V3）,

設(shè)平面AiBC與平面BCCiBi夾角為仇

—?—>

—>\m-n\|3+1-3|_1

則cos0=|cos<m,n>\=—>—>=f

|m|-|n|V7x；77

1

所以平面AiBC與平面BCCiBi夾角的余弦值為

18.(17分)已知橢圓C：^|+^|=1(。＞0,90)的左、右焦點(diǎn)分別為名(—百，0)、F2g，0),左

頂點(diǎn)為4,點(diǎn)尸、。為C上關(guān)于坐標(biāo)，—一原點(diǎn)。對(duì)稱的兩點(diǎn)，且|尸。|=|為尸2],且四邊形尸尸1。尸2的面積為51a27.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若斜率不為0的直線/過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)尸2且與橢圓C交于G、H兩點(diǎn),直線4G、與直線x

=4分別交于點(diǎn)M、N.求證：M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.

【解答】解：(1)由于點(diǎn)。，P是橢圓C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。對(duì)稱的兩點(diǎn)，且尸1尸2|=『。|，

因此尸尸10仍為矩形，

又因?yàn)閨尸。=防尸2|,因此尸尸」PF2.

第15頁(yè)(共17頁(yè))

因此Sj"=IPF1I?%1，根據(jù)勾股定理和橢圓定義知陶，］做］二

］cV5

因此?IP&I=2b2,因此5a2-2b2=2(a2—c2),因止匕-=

又因?yàn)閏=g,所以解得Q=2.

通

因止匕射=。2一。2=1,所以橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為丁+y2=1.

(2)證明：由于心(0),因此設(shè)直線/的方程為％=my+8.

x=my+V3_

聯(lián)立方程組可得］久2，整理得(根2+4)y2+2V^?ny-1=0.

(彳+產(chǎn)=1

設(shè)〃(X2,>2)，G(XI，yi),可得y/2=痛擊，%+丫2=春粵，

由于N(-2,0),因此直線AG的方程為y=(尤+2).

十乙

設(shè)點(diǎn)N、M的