2025年小學(xué)數(shù)學(xué)《數(shù)論》整除-整除的判定-0星題（含解析）全國(guó)版

數(shù)論-整除-整除的判定-0星題

課程目標(biāo)

知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率

整除的判定C1、理解并掌握整除的一些基本性少考

質(zhì)。

2、熟練運(yùn)用整除的基本性質(zhì)解決基

本的整除問(wèn)題。

3、能夠結(jié)合數(shù)論的相關(guān)知識(shí)綜合應(yīng)

用。

知識(shí)提要

整除的判定

?整除的判定

1、末位判定法

一個(gè)數(shù)的末位能被2或5整除，這個(gè)數(shù)就能被2或5整除；

一個(gè)數(shù)的末兩位能被4或25整除，這個(gè)數(shù)就能被4或25整除；

一個(gè)數(shù)的末三位能被8或125整除，這個(gè)數(shù)就能被8或125整除；

2、數(shù)字求和法

一個(gè)數(shù)個(gè)位數(shù)字之和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除；

一個(gè)數(shù)各位數(shù)字之和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被9整除；

3、奇偶位求差法

如果一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個(gè)

數(shù)能被11整除；

簡(jiǎn)稱：奇位和與偶位和的差能被11整除，那么這個(gè)數(shù)能被11整除。

4、截?cái)嘧骱?/p>

如果一個(gè)數(shù)從個(gè)位開始每?jī)晌灰唤?，得到的所有兩位?shù)（最前面的可以是一位數(shù)）之和能

被99整除，那么這個(gè)數(shù)就能被99整除。

5、截?cái)嘧鞑?/p>

對(duì)于位數(shù)較

小數(shù)的數(shù)：如果一個(gè)整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、n或13整除，

那么這個(gè)數(shù)能被7、11或13整除；

對(duì)于位數(shù)較大

數(shù)的數(shù)：如果一個(gè)整數(shù)，從個(gè)位開始每三位一截，奇數(shù)段之和與偶數(shù)段之和的差能被7、11或

13整除，那么這個(gè)數(shù)能被7、11或13整除。

?整除的性質(zhì)

性質(zhì)1：如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除。

性質(zhì)2：如果6與c的積能整除a,那么b與c都能整除a。

性質(zhì)3：如果b、c都能整除a,且b和c互質(zhì)，那么b與c的積能整

除a。

性質(zhì)4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

精選例題

整除的判定

1.N是一個(gè)各位數(shù)字互不相等的自然數(shù)，它能被它的每個(gè)數(shù)字整除.N的最大值是.

【答案】9867312

【分析】N不能含有0,因?yàn)?不能做除數(shù).

N不能同時(shí)含有5和偶數(shù)，因?yàn)榇藭r(shí)N的個(gè)位將是0.如果含有5,則2,4,6,8都不能有，此

時(shí)位數(shù)不會(huì)多.

如果N只缺少5,則含有1,234,6,7,8,9,但是數(shù)字和為40,不能被9整除.

所以必須再去掉一位，為了最大，應(yīng)該保留9放到最高位，為了使數(shù)字和被9整除，還需要去

掉4.

此時(shí)由123,6,7,8,9組成，肯定被9整除，還需要考慮被7和8整除.

前四位最大為9876,剩下三個(gè)數(shù)字組成的被8整除的三位數(shù)為312,9876312被7除余5；

前四位如果取9873,剩下三個(gè)數(shù)字組成的被8整除的三位數(shù)為216,9873216被7除余3；

前四位如果取9872,剩下三個(gè)數(shù)字組成的被8整除的三位數(shù)為136,9872136被7除余1；

前四位如果取9871,剩下三個(gè)數(shù)字組成的被8整除的三位數(shù)為632,9871632被7除余1；

前四位如果取9867,剩下三個(gè)數(shù)字組成的被8整除的三位數(shù)為312,9867312被7整除.

2.若六位數(shù)a2016b能被12整除，則這樣的六位數(shù)有個(gè).

【答案】9

【分析】

12=3x4.

先考慮能被4整除，則b=0,4,8,再考慮能被三整除

①b=0時(shí)，要使各位數(shù)字之和能被3整除a=3,6,9故有3種；

②6=4時(shí)，要使各位數(shù)字之和能被3整除a=2,5,8故有3種；

③b=8時(shí)，要使各位數(shù)字之和能被3整除a=1,4,7故有3種；

綜上符合題意的六位數(shù)有：320160,620160,920160,220164,520164,820164,

120168,420168,720168.共9個(gè)

3.把三位數(shù)荻接連重復(fù)寫下去，共寫1993個(gè)而，所得的數(shù)3ab3ab…3ab恰是91的倍數(shù),

1993個(gè)3ab

試求ab—.

【答案】64

【分析】因?yàn)?1=7x13,所以713ab3ab…3ab,1313ab3ab…3ab,由截?cái)喾?，最后轉(zhuǎn)化成

1993個(gè)3ab1993個(gè)3ab

3ab能被7和13都整除，即能被91邈即滿足題意，因?yàn)?1的倍數(shù)中小于1000的只有

91x4=364的百位數(shù)字是3,所以，ab=64.

4.能被5和6整除，并且數(shù)字中至少有一個(gè)6的三位數(shù)有個(gè).

【答案】6

【分析】能被5和6整除，也就是能被5、2、3整除，因此個(gè)位必須是0,且數(shù)字和是3的

倍數(shù)，故這個(gè)三位數(shù)有：600,630,660,690,360,960,共6個(gè).

5.在523后面寫出三個(gè)數(shù)字，使所得的六位數(shù)被7、8、9整除.那么這三個(gè)數(shù)字的和

是.

【答案】17或8

【分析】這個(gè)數(shù)能被7,8,9整除，相當(dāng)于能被[7,8,9]=7x8x9=504整除，523999十

504=1039……343,所以所得六位數(shù)是523999-343=523656,或523656-504=

523152,因此三個(gè)數(shù)字的和是17或8.

6.如果一個(gè)五位數(shù)，它的各位數(shù)字乘積恰好是它的各位數(shù)字和的25倍.那么，這個(gè)五位數(shù)的

前兩位的最大值是.

【答案】75

【分析】5個(gè)數(shù)字分別為a、b、c、d、e,

axbxcxdxe=25(a+b+c+d+e),

a、b、c、d、e中有兩個(gè)5,設(shè)d=e=5,貝?。?/p>

axbxc=a+b+c+10.

(1)如果a=9,則9bc=b+c+19,即b+c+19是9的倍數(shù)，b+c可以為8或17,若

b+c=8,則be=3,若b+c=17,則be=4,這兩種情況下都沒有滿足條件的整數(shù)b、c；

(2)如果a=8,則助c=b+c+18,即b+c+18是8的倍數(shù)，b+c可以為6或14,若

b+c=6,則be=3,若b+c=14,則be=4,這兩種情況下也沒有滿足條件的整數(shù)6、c；

(3)如果a=7,則7bc=b+c+17,即b+c+17是7的倍數(shù)，b+c可以為4或H或18,

若b+c=4,則6c=3,若b+c=ll,則be=4,若b+c=18,則6c=5,只有第一種

情況下有滿足條件的整數(shù)b、c,此時(shí)6=1,c=3,組成五位數(shù)的5個(gè)數(shù)字分別為7,5,5,

3,1,所以這個(gè)五位數(shù)的前兩位的最大值是75.

7.將從1開始至1J25的連續(xù)的自然數(shù)相乘，得到1x2x3x???x25.記為25!(讀作25的階

乘).用3除25!,顯然，25!被3整除，得到一個(gè)商：再用3除這個(gè)商，……，這樣一直用

除下去，直到所得的商不能被3整除為止，那么，在這個(gè)過(guò)程中用3整除了次.

【答案】10

【分析】求1x2x3x…x25中因數(shù)的個(gè)數(shù)，25+3=8……1,8+3=2……2,整除了

8+2=10次.

8.將最小的10個(gè)合數(shù)填到圖中所示表格的10個(gè)空格中，要求滿足以下條件:

(1)填入的數(shù)能被它所在列的第一個(gè)數(shù)整除；

(2)最后一行中每個(gè)數(shù)都比它上面那一格中的數(shù)大.

那么，最后一■行中5個(gè)數(shù)的和最小是.

23456

【答案】66

【分析】最小的10個(gè)合數(shù)分別是4,6,8,9,10,12,14,15,16,18.這10個(gè)合數(shù)

當(dāng)中10和15一定是在5的下面，其中15在最后一行；4、8、14、16一定是在2和4下面,

其中14一定在2的下面；剩下的6、9、12、18在3或6下面，其中9一定在3的下面，對(duì)

2和4所在的列和3和6所在的列分別討論.4、8、14、16,這四個(gè)數(shù)中最大的數(shù)16一定在

最后一行，最小的數(shù)4一定在第二行，所以2和4所在的列中最后一行的數(shù)的和最小是16+

8=24,當(dāng)14、16在2下面，4和8在4下面時(shí)成立；6、9、12、18,這四個(gè)數(shù)中最大的數(shù)

18一定在最后一行，最小的數(shù)6一定在第二行，所以3和6所在的列中最后一行的數(shù)的和最

小是18+9=27,當(dāng)12和18在6下面，6和9在3下面時(shí)成立.所以最后一行的5個(gè)數(shù)的

和最小是24+15+27=66.

9.若六位數(shù)201a六能被11和13整除，則兩位數(shù)ab=.

【答案】48

【分析】由11的整除特征可知：

(7+a+0)—(2+l+b)=a+4—6=0或11,

若

a+4—b=11,

a—b=7,

只有

8-l=9-2=7,

六位數(shù)201817、201927都不能被13整除.

若

a+4—b=0,

則

a+4=瓦

只有0+4=4,1+4=5,2+4=6,3+4=7,4+4=8,5+4=9等情況，構(gòu)成的六

位數(shù)201047,201157,201267,201377,201487,201597中只有201487能被13整除，

則筋=48.

10.老師讓菲菲從19這9個(gè)數(shù)字中選取4個(gè)不同的數(shù)字，組成一個(gè)四位數(shù)，使得這個(gè)四位數(shù)

能被所有她沒有選中的數(shù)整除，但不能被選中的任意一個(gè)數(shù)字整除，那么，菲菲組成的四位數(shù)

是.

【答案】5936

【分析】設(shè)：改四位數(shù)為砒

①顯然而而不含1；

②而而含5.若說(shuō)力不含5,19除5外不能排列成5的倍數(shù)；所以而而含5

③而萬(wàn)不含2.若ABCD含2.說(shuō)明2不被4BCD整除,所以ABCD的四個(gè)數(shù)字為2,4,6,8

組成的四位數(shù)必為偶數(shù)，矛盾；所以通而不含2.

④4BCD含9.若ABCD不含9,說(shuō)明9不被整除毛BCD,貝I]ABCD必須不含3,6,所以的四

個(gè)數(shù)字為4,5,7,8,不可能被整9除；所以商而含9

⑤而而不含4.若而而含4,說(shuō)明4不被整除而而，則而而必須含8,所以而而的

四個(gè)數(shù)字為5,4,8,9,不可能被3整除；所以ABCD必須不含4

⑥而而含6若而而不含6,說(shuō)明6不被整除必須不含3,所以而麗的四個(gè)數(shù)字為

5,7,8,9,不可能被3整除；所以南而必須不含4

⑦4BCD含3若4BC0不含3,則4BCD的四個(gè)數(shù)字為5,7,6,9,能被9整除；所以4BC0必

含3

綜上所述.的四個(gè)數(shù)字為3、5、6、9.為使這個(gè)四位數(shù)能被8整除，個(gè)位必須為6；有因?yàn)?/p>

其與都是奇數(shù)，根據(jù)位值原理，十位數(shù)一定為3；只需驗(yàn)證9536,5936兩個(gè)答案即可.經(jīng)驗(yàn)證,

答案為5936

11.非零數(shù)字a,b,c能組成6個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，且這6個(gè)數(shù)的和是5994,則這6

個(gè)數(shù)中的任意一個(gè)數(shù)都被9整除(填“能”或“不能”).

【答案】不能.

【分析】a,b,c組成的所有三位數(shù)都是由a,b,c三個(gè)數(shù)字組成，且a,b,c在個(gè)位、十

位、百位都出現(xiàn)兩次，所以和應(yīng)該為：

(a+b+c)x2xl+(a+b+c)x2xl0+(a+b+c)x2x100=5994,

a+b+c=27,

a=b=c=9,

與題意矛盾，故不能.

12.222-2除以13所得余數(shù)是.

2000個(gè)"2"

【答案】9

【分析】我們發(fā)現(xiàn)222222整除13,2000+6余2,所以答案為22+13余9.

13.已知一個(gè)五位回文數(shù)等于45與一個(gè)四位回文數(shù)的乘積(即abcba=45xdeed),那么這

個(gè)五位回文數(shù)最大的可能值是.

【答案】59895

【分析】根據(jù)題意：abcba=45xdeed,則abcba為45的倍數(shù)，所以a應(yīng)為0或5,又a

還在首位，所以a=5,現(xiàn)在要讓話而盡可能的大，首先需要位數(shù)高的盡可能的大，所以令

b=9,c=8,貝i」a+b+c+b+a=36是9的倍數(shù)，用59895+45=1331符合條件，所

以，這個(gè)五位回文數(shù)最大的可能值是59895.

14.若四位數(shù)2ABC能被13整除，則A+B+C的最大值是.

【答案】26

【分析】因

1001=7x11x13,

能被13整除的特征：“末三位數(shù)字組成的數(shù)”與“末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)”之差能被13整除;

痂一2是13的倍數(shù)，砒一2最大為988,而？可以是990,977,964,……數(shù)字和比

9+7+7大的有：9、7、8與9、8、8與9、8、9和9、9、9,百位是9的排除，百位是8

有899,

(899-2)-13=897+13=69,

則

8+9+9=26.

15.在小于5000的自然數(shù)中，能被11整除，并且數(shù)字和為13的數(shù)，共有個(gè).

【答案】18

【分析】按照位數(shù)分類討論，如下：

(1)一位數(shù)：0個(gè)；

(2)兩位數(shù)：11、22……99；0個(gè)；

(3)三位數(shù)：設(shè)這個(gè)三位數(shù)為abc,有a+b+c=13和a+c—b=11,則a+c=12,b=

1,所以符合的有913,814,715,616,517,418,319,共7個(gè)；

(4)四位數(shù)：設(shè)這個(gè)四位數(shù)為溫，

①a+b+c+d=13和(a+c)—(b+d)—11有

a+c=12,b+d=1,

貝Ua=3或a=4有2種組合，b和d有2種.共4個(gè)；

②a+b+c+d=13和(b+d)—(a+c)=11,有

a+c=l,b+d=12,

則只能a=l,c=0,b和d有7種組合，

綜上所述，這樣的數(shù)有7+4+7=18個(gè).

16.abc是三位數(shù)，若a是奇數(shù)，且abc是3的倍數(shù)，則最小是.

【答案】102

【分析】a為奇數(shù)，且要求最小，則a=Lb=0.又要求為3的倍數(shù)，則a+b+c為3

的倍數(shù)，所以6=0,c=2.

17.對(duì)于自然數(shù)N,如果在19這九個(gè)自然數(shù)中至少有六個(gè)數(shù)可以整除N,則稱N是一個(gè)“六

合數(shù)”，則在大于2000的自然數(shù)中，最小的“六合數(shù)”是.

【答案】2016

【分析】六合數(shù)肯定是1的倍數(shù)，所以剩余8個(gè)數(shù)中有5個(gè)可以整除六合數(shù)，29中有4個(gè)

奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)，所以5個(gè)可以整除六合數(shù)的數(shù)字中至少有1個(gè)偶數(shù)，所以六合數(shù)也肯定是2

的倍數(shù)。

大于2000的偶數(shù)有2002,2004,2006,2008,2010,2012,2014,2016,……

2002=2X7X11X13,只能被1,2,7整除，不是六合數(shù)；

2004=22X3X167,只能被1,2,3,4,6整除，不是六合數(shù)；

2006=2X1003,只能被1,2整除，不是六合數(shù)；

2008=23X251只能被1,2,4,8整除，不是六合數(shù)；

2010=2x3x5x67,只能被1,2,3,5,6整除，不是六合數(shù)；

2012=22x503,只能被1,2,4整除，不是六合數(shù)；

2014=2X1007,只能被1,2整除，不是六合數(shù)；

2016=25x32x7,能被1,2,3,4,6,7,8,9整除，是六合數(shù).

18.若十位數(shù)a2016b2017能被33整除，那么，這樣的十位數(shù)有個(gè).

【答案】3

【分析】被33整除，能拆成同時(shí)滿足被3和11整除，被3整除得到：a+b=2,5,8,

11,14或17被11整除得到：

a—b=1,

所以共有

fa=3,fa=6,fa=9,

lb=2,lb=5,lb=8,

這3種情況.

19.一個(gè)大于1的自然數(shù)去除300,243,205時(shí)，得到相同的余數(shù)，則這個(gè)自然數(shù)是，

【答案】19

【分析】300—243=57,243-205=38,所以這個(gè)數(shù)是57,38的大于1的公約數(shù)，而

57,38的公約數(shù)只有1和19,所以所求自然數(shù)為19.

20.給定一個(gè)除數(shù)（不為0）與被除數(shù)，總可以找到一個(gè)商與一個(gè)余數(shù)，滿足

被除數(shù)=除數(shù)x商+余數(shù)

其中，04余數(shù)<除數(shù)。這就是帶余數(shù)的除法。當(dāng)余數(shù)為0時(shí)，也稱除數(shù)整除被除數(shù)，或者稱

除數(shù)是被除數(shù)的因數(shù)（被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)）.

請(qǐng)寫出所有不超過(guò)88并且能夠被6整除的大于1的自然數(shù)有.

【答案】6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84.

【分析】能被6整除的數(shù)一定為6的倍數(shù)，并且要求不超過(guò)88.

所以有6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84.

21.對(duì)于自然數(shù)N,如果在1?9這九個(gè)自然數(shù)中至少有六個(gè)數(shù)是N的因數(shù)，則稱N是一個(gè)

“六合數(shù)”，則在大于2000的自然數(shù)中，最小的“六合數(shù)”是.

【答案】2016

【分析】N為奇數(shù)，則2、4、6、8不是N的因數(shù)，所以N為偶數(shù).

當(dāng)N不為3的倍數(shù)，則N不為6的倍數(shù)，N不為9的倍數(shù)，所以，必須滿足其他條件，是8、

7、5的倍數(shù)，N>2000,最小是2240.

當(dāng)N為3的倍數(shù).那么N為6的倍數(shù).N>2000,當(dāng)N=2004時(shí)，5不能整除2004,7不

能整除2004,8不能整除2004,9不能整除2004,不滿足題意；

當(dāng)N=2010時(shí)，4不能整除2010,7不能整除2010,8不能整除2010,9不能整除2010,

不滿足題意；則N最小為2016.

22.在算式：2X。。。=。。。的六個(gè)方框中，分別填入2,3,4,5,6,7這六個(gè)數(shù)字，使

算式成立，并且算式的積能被13整除，那么這個(gè)乘積是.

【答案】546

【分析】先從個(gè)位數(shù)考慮，有2X2=4、2X3=6、2x6=12、2X7=14四種可能；

再考慮乘數(shù)的百位只能是2或3,因此只有三種可能的填法：2X273=546,2X327=654,

2X267=534,其中只有546能被13整除，所以這個(gè)積是546.

23.一個(gè)五位數(shù)恰好等于它各位數(shù)字和的2007倍，則這個(gè)五位數(shù)是.

【答案】36126或54189

【分析】設(shè)這個(gè)五位數(shù)為abcde,由題意abcde=2007(a+b+c+d+e),由于912007,

可得91abede,則有9](a+b+c+d+e),所以(2007x9)|abcde

2007x9=18063,這個(gè)五位數(shù)是18063的倍數(shù)，只可能為：

18063,36126,54189,72252,90315.經(jīng)檢驗(yàn)，36126和54189符合題意.

24.從左向右編號(hào)為1至1991號(hào)的1991名同學(xué)排成一行.從左向右1至11報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)為11

的同學(xué)原地不動(dòng)，其余同學(xué)出列；然后留下的同學(xué)再?gòu)淖笙蛴?至11報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)為11的同

學(xué)留下，其余的同學(xué)出列；留下的同學(xué)第三次從左向右1至11報(bào)數(shù)，報(bào)到11的同學(xué)留下，

其余同學(xué)出列.那么最后留下的同學(xué)中，從左邊數(shù)第一個(gè)人的最初編號(hào)是.

【答案】1331

【分析】第一次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)，他們最初編號(hào)都是11的倍數(shù)；第二次報(bào)數(shù)后留下的同

學(xué)，他們最初編號(hào)都是1"=121的倍數(shù)；第三次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)，他們最初編號(hào)都是

113=1331的倍數(shù).因此，第三次報(bào)數(shù)后留下的同學(xué)中，從左邊數(shù)第一個(gè)人的最初編號(hào)是

1331.

25.有一個(gè)三位數(shù)，百位數(shù)字是最小的質(zhì)數(shù)，十位數(shù)字是算式(0.3+TTX13)的結(jié)果中的小數(shù)

點(diǎn)后第1位數(shù)字，個(gè)位數(shù)字是三位數(shù)中能被17整除的最小數(shù)的個(gè)位數(shù)字，則這個(gè)三位數(shù)

是.(兀取3.14)

【答案】212

【分析】百位數(shù)字是最小的質(zhì)數(shù)即2；

0.3+7TX13=41.12,

即十位數(shù)字是1；

能被17整除的最小三位數(shù)102,個(gè)位數(shù)字是2,所以這個(gè)三位數(shù)是212.

26.若四位數(shù)Z4B7能被13整除，則兩位數(shù)AB的最大值是.

【答案】97

【分析】

13I24B7=13|^4B0+2007,

20074-13……5,

所以

ABO^-13……8,

13I4B5,

利用數(shù)字謎或倒除法，可確定而=97.數(shù)字謎方法如下：根據(jù)乘積的個(gè)位，可確定第二個(gè)因

數(shù)的個(gè)位為5,因?yàn)闃?gòu)造最大值，所以十位為最大為7,積為975.

131313

x口口x口固-團(tuán)團(tuán)

口口=回國(guó)=回國(guó)

口口口口回國(guó)

口口國(guó)口□回回回國(guó)

27.有20個(gè)約數(shù)，且被42整除最小的自然數(shù)是

【答案】336

【分析】因?yàn)楸?2整除，所以一定含有質(zhì)因數(shù)2,3,7.

20=1x20=2x10=4x5=2x2x5,

有20個(gè)約數(shù)的自然數(shù)有：因?yàn)楸仨毢?個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)，所以最小的只能是:

2x2x2x2x3x7=336;

所以有20個(gè)約數(shù)且被42整除的最小自然數(shù)是336.

28.11個(gè)連續(xù)兩位數(shù)的乘積能被343整除，且乘積的末4位都是0,那么這11個(gè)數(shù)的平均數(shù)

是多少？

【答案】45

【分析】(1)因?yàn)?43=73,由于在11個(gè)連續(xù)的兩位數(shù)中，至多只能有2個(gè)數(shù)是7的倍

數(shù)，所以其中有一個(gè)必須是49的倍數(shù)，那就只能是49或98；(2)因?yàn)槌朔e的末4位都是0,

所以這連續(xù)的11個(gè)自然數(shù)至少應(yīng)該含有4個(gè)因數(shù)5,連續(xù)的11個(gè)自然數(shù)中至多只能有3個(gè)是

5的倍數(shù)，至多只能有1個(gè)是25的倍數(shù)，所以其中有一個(gè)必須是25的倍數(shù)，那么就只能是

25、50或75；(3)所以這11個(gè)數(shù)中應(yīng)同時(shí)有49和50,且除50外還有兩個(gè)是5的倍數(shù)，

只能是40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,它們的平均數(shù)即為它們的中間項(xiàng)45.

29.從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個(gè)數(shù)字中選出五個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)五位數(shù)，

使它能被3、5、7、13整除，這個(gè)數(shù)最大是多少？

【答案】94185

【分析】本題采用試除法.因?yàn)?,5,7,13的最小公倍數(shù)為1365,

100000+1365=73……355,

100000-355=99645,

所以在100000之內(nèi)最大的1365的倍數(shù)為99645但是不符合數(shù)字各不相同的條件，于是繼續(xù)

減1365依次尋找第二大，第三大的數(shù)，看是否符合即可.有

99645-1365=98280,

98280-1365=9691,

96915-1365=95550,

95550-1365=94185.

所以，滿足題意的5位數(shù)最大為94185.

30.六位數(shù)257a38能被3整除，數(shù)字a=?

【答案】2,5或8.

【分析】2+5+7+a+3+8=25+a,要使25+a能被3整除，數(shù)字a只能是2,5或

8.即符合題意的a是2,5或8.

31.如果abcde能被6整除,那么2(a+b+c+d)—e也能被6整除.

【答案】見解析.

【分析】因?yàn)?=2x3,所以21abede,所以2|e,所以6|3e.

因?yàn)?\ubcde,所以3|a+b+c+d+e,所以6|2(a+b+c+d+e),所以6|2(a+

b+c+d+e)—3e,所以6|2(a+b+c+d)—e.

32.用數(shù)字6,7,8各兩個(gè)，組成一個(gè)六位數(shù)，使它能被168整除，這個(gè)六位數(shù)是多少？

【答案】768768

【分析】因?yàn)?68=8X3X7,所以組成的六位數(shù)可以被8、3、7整除，能夠被8整除的數(shù)

的特征是末三位組成的數(shù)一定是8的倍數(shù)，末兩位組成的數(shù)定是4的倍數(shù)，末位為偶數(shù)，在題

中條件下，驗(yàn)證只有688、768是8的倍數(shù)，所以末三位只能是688或768,而又要求是7的

倍數(shù)，abcabc形式的數(shù)一定是7、11、13的倍數(shù)，所以768768一定是7的倍數(shù)，。。。688

的。不管怎么填都得不到7的倍數(shù).至于能否被3整除可以不驗(yàn)證，因?yàn)檎?的數(shù)的規(guī)律

是數(shù)字和為3的倍數(shù)，在題中給定的條件下，不管怎么填數(shù)字和都是定值，所以768768能被

168整除，且驗(yàn)證沒有其他滿足條件的六位數(shù).

33.23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407.

(1)這些數(shù)中，有哪些數(shù)能被4整除？哪些數(shù)能被8整除？

(2)哪些數(shù)能被25整除？哪些數(shù)能被125整除？

(3)哪些數(shù)能被3整除？哪些數(shù)能被9整除？

【答案】見解析.

【分析】(1)能被4整除的數(shù)有：3568,5880,6512,864；能被8整除的數(shù)有：

3568,5880,6512,864；

(2)能被25整除的數(shù)有：8875,93625；能被125整除的數(shù)有：8875,93625；

(3)能被3整除的數(shù)有：23487,6765,5880,198954,864；能被9整除的數(shù)有：198954,864.

34.有如下5個(gè)自然數(shù)：3124、3823、45235、5289、5588.其中能被11整除的有哪些？

【答案】3124,5588

【分析】簡(jiǎn)答：判斷能否被11整除，看奇位和偶位和的差.

35.有些數(shù)既能表示成3個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，又能表示成4個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和；還能表示成5

個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和.請(qǐng)你找出700至1000之間，所有滿足上述要求的數(shù)，并簡(jiǎn)述理由.

【答案】750、810、870、930、960

【分析】3個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，一定能夠被3整除；4個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，一定能夠被2整

除，且除以2所得的商是奇數(shù)，也就是說(shuō)它不能被4整除，除以4所得余數(shù)為2；5個(gè)連續(xù)自

然數(shù)的和，一定能夠被5整除.

3、2、5的最小公倍數(shù)是30,所以滿足上述三個(gè)條件的最小的數(shù)是30.

3、4、5的最小公倍數(shù)是60,所以60的整數(shù)倍加上30就可以滿足條件.

700=60x11+40,所以第一個(gè)符合題意的數(shù)是750=60x12+30,最大的一個(gè)數(shù)是

990=60X16+30,共計(jì)16-12+1=5個(gè)數(shù)，分別為750、810、870、930、960.

36.在小于100的正整數(shù)中，能被2或3整除，且不能被6整除的數(shù)共有多少個(gè)？

【答案】50個(gè).

【分析】小于100的正整數(shù)中，能被2整除的有49個(gè)，能被3整除的正整數(shù)有33個(gè)，能

同時(shí)被2和3整除的有16個(gè)，則滿足條件的數(shù)有49+33-16X2=50個(gè).

37.用0、3、4、5四個(gè)數(shù)字，按要求排列成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).

既能被2整除，又能被5整除；

能被2整除，但不能被5整除；

能同時(shí)被3和5整除.

【答案】3450,3540,4350（答案不唯一）；

3504,3054,5304（答案不唯一）；

3450,3540,4350（答案不唯一）.

【分析】能同時(shí)被2、5整除的數(shù)必須具備：個(gè)位上的數(shù)是0.

能被2整除，但不能被5整除的數(shù)必須具備：個(gè)位上的數(shù)是2,4,6,8.

能同時(shí)被3、5整除的數(shù)必須具備：個(gè)位上的數(shù)是0或5,各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的和能夠被3整除.

38.同時(shí)能被2,3,5整除的最小三位數(shù)是幾？

【答案】120

【分析】能被5整除的三位數(shù)是：

100,105,110,115,120,125,-

其中，第一個(gè)能同時(shí)被2,3整除的數(shù)是120（它是偶數(shù)，且1+2+0=3）,故120

為所求.

39.將2009除以一個(gè)兩位數(shù)，所得的余數(shù)為7,則滿足條件的兩位數(shù)共有多少個(gè)？

【答案】7

【分析】

2009-7=2002=2X7X11X13.

兩位數(shù)有14111322267791共7個(gè).

40.六位自然數(shù)1082。。能被23整除，末兩位數(shù)有多少種情況.

【答案】4

【分析】試除法.因?yàn)?08200+23=4704……8,把余8看做不足15.所以，方框中的數(shù)

為15、38、61、84四種情況時(shí)，六位數(shù)能被23整除.所以末兩位數(shù)有4種情況.

41.判斷下面11個(gè)數(shù)的整除性：

23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407.

(1)這些數(shù)中，有哪些數(shù)能被4整除？哪些數(shù)能被8整除？

(2)哪些數(shù)能被25整除？哪些數(shù)能被125整除？

(3)哪些數(shù)能被3整除？哪些數(shù)能被9整除？

(4)哪些數(shù)能被11整除？

【答案】見解析.

【分析】(1)末兩位能被4整除，該數(shù)即能被4整除；

末三位能被8整除，該數(shù)即能被8整除.

所以，能被4整除的數(shù)有：3568,5880,6512,864；

能被8整除的數(shù)有：3568,5880,6512,864；

(2)末兩位是25的倍數(shù)，該數(shù)就能被25整除；

末三位是125的倍數(shù)，該數(shù)就能被125整除.

所以能被25整除的數(shù)有：8875,93625；

能被125整除的數(shù)有：8875,93625；

(3)數(shù)字和是3的倍數(shù)即能被3整除，數(shù)字和為9的倍數(shù)即能被9整除.所以，能被3整除

的數(shù)有：23487,6765,5880,198954,864；

能被9整除的數(shù)有：198954,864；

(4)從末位開始，奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差如果為11的倍數(shù)，即為11的倍

數(shù).則為11的倍數(shù)的有：6765,6512,407.

42.六位數(shù)2009。。能被99整除,它的最后兩位數(shù)是多少？

【答案】70

【分析】方法一：試除法

200999被99除商2020余29,所以這個(gè)六位數(shù)最后兩位是99-29=70時(shí)，它能

被99整除；

方法二：99=9X11,2009。。能被99整除,所以各位數(shù)字之和為9的倍數(shù)，所以

方框中數(shù)字的和只能為7或16；又根據(jù)數(shù)被11整除的性質(zhì)，方框中兩數(shù)字的差為7,所以它

的最后兩位數(shù)是70.

43.六位數(shù)356a29能被3整除，數(shù)字a=?

【答案】2,5或8.

【分析】3+5+6+a+2+9=25+a使25+a能被3整除，數(shù)字a只能是2,5或

8.即符合題意的a是2,5或8.

44.有一個(gè)四位數(shù)荻T,它能被3整除，則a代表幾？

【答案】1,4,7

【分析】根據(jù)被3整除的數(shù)的性質(zhì)：

3|3aal=>3|（3+a+a+1）=3|（2a+4）［_1?

0<a<9）

45.1萬(wàn)丁是一個(gè)四位數(shù).數(shù)學(xué)老師說(shuō)：“我在其中的方框內(nèi)先后填入3個(gè)數(shù)字，所得到的3個(gè)

四位數(shù)：依次可被9,11,6整除.”問(wèn)：數(shù)學(xué)老師先后填入的3個(gè)數(shù)字的和是多少？

【答案】19

【分析】173-,設(shè)填入的數(shù)為a,由能被9整除知，l+7+3+a=ll+a是9的倍數(shù)，

由于a是一位數(shù)，所以a=7,即第一次填入的數(shù)是7；由能被11整除知，（7+a）—（1+

3）=3+a是11的倍數(shù)，a=8,即第二次填入的數(shù)是8；由能被6整除知，這個(gè)數(shù)能被2、3

同時(shí)整除，所以a是偶數(shù)且1+7+3+a=11+a是3的倍數(shù)，所以a=4,即第三次填入

的數(shù)是4.三個(gè)數(shù)的和是7+8+4=19.

46.已知四H^一位數(shù)55…5。99…9（其中5和9各有20個(gè)）能被7整除，那么中間方格內(nèi)的

數(shù)字是多少？

【答案】6

【分析】我們知道abcabc這樣的六位數(shù)一定能整除7、11、13,原41位數(shù)中從高位數(shù)起

共有20個(gè)5,從低位數(shù)起共有20個(gè)9,那么我們可以分別從低位和高位選出555555,和

999999,從算式的結(jié)構(gòu)上將就是進(jìn)行加法的分拆，即：555555x10…00（35個(gè)0）+

555555X10…00（29個(gè)0）+??-+55-99+999999X10…00（12個(gè)0）+?-?+999999,這個(gè)

算式的和就是原來(lái)的41位數(shù)，我們可以發(fā)現(xiàn)每一組含有555555或999999因數(shù)的部分都已

經(jīng)是7的倍數(shù)，唯獨(dú)剩余55。99待定，那么只要令55。99是7的倍數(shù)即可，即只要。44是

7的倍數(shù)即可，。應(yīng)為6.

47.某個(gè)七位數(shù)1993。。。能夠同時(shí)被234,5,6,7,8,9整除，那么它的最后三位數(shù)字依次是多

少？

【答案】3,2,0

【分析】一個(gè)數(shù)能同時(shí)被2,3,4,5,6,7,8,9整除，相當(dāng)于能被[2,3,4,5,6,7,8,9]=5x7義8x

9=2520整除，1993999+2520=791……679,所以1993999-679=1993320能被2520

整除，即1993320為所求的這個(gè)數(shù).

48.在所有的五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于43且能夠被11整除的數(shù)有哪些？

【答案】97999,99979,98989

【分析】設(shè)這個(gè)五位數(shù)為次雨，由題意

r(CL+c+e)—(b+d)—11

ta+b+c+d+e=43

解得

(a+c+e=27

tb+d=16'

所以a=c=e=9,8+4為7+9或者8+8,abcde有三種可能:97999,99979,98989.

49.小明的兩個(gè)衣服口袋中各有13張卡片，每張卡片上分別寫著1,2,3,13.如果從這

兩個(gè)口袋中各拿出一張卡片來(lái)計(jì)算它們所寫兩數(shù)的乘積，可以得到許多不相等的乘積.那么，

其中能被6整除的乘積共有多少個(gè)？

【答案】21

【分析】這些積中能被6整除的最大一個(gè)是13x12=26x6,最小是6.但在1x6~

26x6之間的6的倍數(shù)并非都是兩張卡片上的乘積，其中有25x6,23x6,21x6,19x6,

17X6這五個(gè)不是.所以所求的積共有26-5=21（個(gè)）.

50.—個(gè)五位數(shù)8。25。，方格中的數(shù)未知.請(qǐng)問(wèn)：

（1）如果該數(shù)能被72整除，這個(gè)五位數(shù)是多少？

（2）如果該數(shù)能被55整除，這個(gè)五位數(shù)是多少？

【答案】(1)86256；(2)85250

【分析】（1）能被72整除的數(shù)，即能被8和9整除.若8。25。能被8整除,個(gè)位應(yīng)填

6.再考慮能被9整除，千位應(yīng)填6.因此這個(gè)五位數(shù)是86256.

（2）能被55整除，即能被5和11整除.若8。25。能被5整除,個(gè)位應(yīng)填0或5.當(dāng)個(gè)位

填。時(shí)，若能被11整除，千位應(yīng)填5.當(dāng)個(gè)位填5時(shí)，千位無(wú)論填幾都不能滿足條件，因此

滿足條件的數(shù)為85250.

51.在方框中填上兩個(gè)數(shù)字，可以相同也可以不同，使4。32。是9的倍數(shù)，(1)請(qǐng)隨便填出

一種，并檢查自己填的是否正確；(2)一共有多少種滿足條件的填法？

【答案】(1)43326(答案不唯一)；(2)12

【分析】一個(gè)數(shù)是9的倍數(shù)，那么它的數(shù)字和就應(yīng)該是9的倍數(shù)，即4+。+3+2+。是

9的倍數(shù)，而4+3+2=9,所以只需要兩個(gè)方框中的數(shù)的和是9的倍數(shù)，(1)依次填入3、

6,因?yàn)?+3+3+2+6=18是9的倍數(shù)，所以43326是9的倍數(shù)；(2)經(jīng)過(guò)分析容易得

到兩個(gè)方框內(nèi)的數(shù)的和是9的倍數(shù)，如果和是9,那么可以是(9,0)；(8,1)；(7,

2)；(6,3)；(5,4)；(4,5)；(3,6)；(2,7)；(1,8)；(0,9),共10

種情況，還有(0,0)和(9,9),所以一共有12種不同的填法.

52.某個(gè)七位數(shù)1993。。。能夠同時(shí)被2,3,4,5,6,7,8,9整除，那么它的最后三位數(shù)

字依次是多少？

【答案】320

【分析】本題可采用整除數(shù)字的判定特征進(jìn)行判斷，但是太過(guò)繁瑣，采用試除法比較方便，

若使得7位數(shù)能夠同時(shí)被2,3,4,5,6,7,8,9整除，只要讓七位數(shù)是2,3,4,5,6,

7,8,9最小公倍數(shù)的倍數(shù)即可，[2,3,4,5,6,7,8,9]=2520,用1993000試除，

19930004-2520=790……2200,余2200可以看成不足2520-2200=320,所以在末三位的

方格內(nèi)填入320即可.

53.有一個(gè)九位數(shù)abcdefghi的各位數(shù)字都不相同且全都不為0,并且二位數(shù)ab可被2整除，

三位數(shù)abc可被3整除，四位數(shù)abed可被4整除，…依此類推，九位數(shù)abede/ghi可被9整

除.請(qǐng)問(wèn)這個(gè)九位數(shù)abcdefghi是多少？

【答案】381654729

【分析】由題可知這個(gè)九位數(shù)由數(shù)字1?9組成，其中每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)一次，且從d、f、h

都是偶數(shù)，a、c、e、g、i是奇數(shù).由于abede可被5整除，所以e=5.

由于就可被3整除，所以a、b、c三個(gè)數(shù)之和可被3整除.由于abede/可被6整除,所以

d、e、/三個(gè)數(shù)之和可被3整除.

由于溫可被4整除,所以前可被4整除,而c是超，所以d只能為2或6.由

abede/gh可被8整除知abede/gh可被4整除，所以g/i可被4整除，同上可知h也只能為2

或6.所以有如下兩種情;!_

(1)d=2,h=6.此時(shí)兩=兩可被3整除，/只能為8.那么b為4.由于a、b、c三

個(gè)數(shù)之和可被3整除，而a、c為1、3、7、9中的某兩個(gè)，所以a、c為1和7.那么g為3

或9,其中滿足麗=礪可被8整除的只有9,所以g為9,i為3.此時(shí)abedefg為

1472589或7412589,但這兩個(gè)數(shù)都不能被7整除，不符題意；

(2)d=6,h=2.此時(shí)兩=兩可被3整除，;■只能為4.那么b為8.此時(shí)羸=冢

可被8整除，所以g為3或7.又a、b、c三個(gè)數(shù)之和可被3整除，而b為8,所以a、c可

以為(1,3)、(1,9)、(7,3)或(7,9),所以此時(shí)abcde禽用有8種可能情況：189654327；

981654327；789654321；987654321；183654729；381654729；189654723；

981654723.經(jīng)檢驗(yàn)，其中只有381654729滿足abcdefg能被7整除,所以所求的

abcdefghi是381654729.

54.(1)判斷下列各數(shù)，哪些能被4、8、25、125、3、9、11整除：437250、96255、

42104、6875、752604、308；

(2)判斷1027、45038,哪個(gè)能被13整除，哪個(gè)能被7整除？

【答案】(1)能被4整除的：42104、752604、308；

能被8整除：42104；

能被25整除的：437250、6875；

能被125整除的：6875；

能被3整除的：437250、96255、752604；

能被9整除：96255；

能被11整除的:6875、308；

(2)1027能被13整除；45038能被7整除.

【分析】(1)能被4整除的：42104、752604、308；

能被8整除：42104；

能被25整除的：437250、6875；

能被125整除的：6875；

能被3整除的：437250、96255、752604；

能被9整除：96255；

能被11整除的：6875、308；

(2)1027能被13整除；45038能被7整除.

55.下面有9個(gè)自然數(shù)48、75、90、122、650、594、4305、7836、4