2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征【七大題型】解析版

離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征【七大題型】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1離散型隨機(jī)變量的判斷】..............................................................3

【題型2分布列的性質(zhì)】.......................................................................5

【題型3分布列的求法】.......................................................................7

【題型4離散型隨機(jī)變量的均值】..............................................................11

【題型5離散型隨機(jī)變量的方差】..............................................................14

【題型6均值與方差中的決策問(wèn)題】...........................................................17

【題型7離散型隨機(jī)變量與其他知識(shí)綜合】.....................................................22

?考情分析

1、離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

2023年新高考I卷：第21題，

12分

從近幾年的高考情況來(lái)看，本節(jié)是

2023年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：

⑴理解取有限個(gè)值的離高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，主要考查離散

第19題，12分

散型隨機(jī)變量及其分布列型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差等，

2023年北京卷：第18題，13

的概念主要以解答題的形式考查，有時(shí)會(huì)與概

分

⑵理解并會(huì)求離散型隨率、統(tǒng)計(jì)、獨(dú)立性檢驗(yàn)等結(jié)合考查，難

2024年新高考II卷:第18題，

機(jī)變量的數(shù)字特征度中等，復(fù)習(xí)時(shí)需要加強(qiáng)這方面的練習(xí)，

17分

靈活求解.

2024年北京卷：第18題,13

分

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量及其分布列】

1.隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量

⑴隨機(jī)變量

①定義：一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間。中的每個(gè)樣本點(diǎn)都有唯一的實(shí)數(shù)X（。）與之對(duì)應(yīng)，我們

稱X為隨機(jī)變量^

②表示：通常用大寫(xiě)英文字母表示隨機(jī)變量，用小寫(xiě)英文字母表示隨機(jī)變量的取值.

2.離散型隨機(jī)變量的分布列

(1)定義

一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為七,XV…，％,我們稱X取每一個(gè)值%的概率P?%)=

Pi，z-L2,…，”為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列.

(2)分布列的表格表示

X修

PP\P2Pn

分布列也可以用等式形式表示為P(X=Xi)=Pi,i=\,2,…，n,還可以用圖形表示.

⑶離散型隨機(jī)變量分布列具有的兩個(gè)性質(zhì)

①pt^0,z=l,2,…，n；

@p,+p2+---+p?=l.

3.離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用

⑴利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值.

(2)利用“在某個(gè)范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率.

(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.

4.離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟

第一步，明取值：明確隨機(jī)變量的可能取值有哪些，且每一個(gè)取值所表示的意義；

第二步，求概率：要弄清楚隨機(jī)變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對(duì)應(yīng)的概率；

第三步，畫(huà)表格：按規(guī)范要求形式寫(xiě)出分布列；

第四步，做檢驗(yàn)：利用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)分布列是否正確.

【知識(shí)點(diǎn)2離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征】

1.離散型隨機(jī)變量的均值

⑴定義

一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示:

X工2

PP\P2Pn

則稱E(X)=XlPl+x2p2+-+XiPi+-+xn”,為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱

期望，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平

⑵對(duì)均值(期望)的理解

求離散型隨機(jī)變量的期望應(yīng)注意

①期望是算術(shù)平均值概念的推廣是概率意義下的平均

②E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù),由X的分布列唯一確定,即作為隨機(jī)變量，X是可變的，可取不同值，而E⑶是

不變的，它描述X取值的平均狀態(tài)

③均值與隨機(jī)變量有相同的單位.

2.離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差

(1)定義

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

XX1%2Xi

PPiP2PiPn

則稱。(田=(西一E(X)y一E(X))2n+…+(x“一E(X))2—E(X))2“為隨機(jī)變量X

的方差，并稱，。(方)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為＜7(X).

(2)意義

隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程

度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.

3.均值與方差的性質(zhì)

(1)均值的性質(zhì)

若離散型隨機(jī)變量X的均值為￡(X),Y=aX+b,其中a,6為常數(shù)，則丫也是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，且

E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.

特別地，當(dāng)a=0時(shí),E(b)=b；

當(dāng)a=\時(shí)，E(X+b)=E(X)+b；

當(dāng)6=0時(shí)，E(aX)=aE(X).

(2)方差的有關(guān)性質(zhì)

當(dāng)a,6均為常數(shù)時(shí)，隨機(jī)變量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=a2D(X).

特別地，當(dāng)a=0時(shí),D(b)=0；當(dāng)a=\時(shí),D(X+b)=D(X)；

當(dāng)6=0時(shí)，D(aX)=a2D(X).

4.求離散型隨機(jī)變量。的均值與方差的步驟

(1)理解。的意義，寫(xiě)出。可能的全部值.

(2)求。取每個(gè)值的概率.

(3)寫(xiě)出忑的分布列.

(4)由均值的定義求￡(今

(5)由方差的定義求。?.

【方法技巧與總結(jié)】

1.E(k)=k,D⑻=0,其中左為常數(shù).

2.E(XI+X2)=E(XI)+E(X2).

3.。⑶=風(fēng)相)-(E(X))2.

4.若X”必相互獨(dú)立，則夙石氏尸夙乂)?E(%).

?舉一反三

【題型1離散型隨機(jī)變量的判斷】

【例1】(23-24高二下?重慶?期中)下面給出的四個(gè)隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的是()

①某食堂在中午半小時(shí)內(nèi)進(jìn)的人數(shù)Zi；②某元件的測(cè)量誤差Z2；

③小明在一天中瀏覽網(wǎng)頁(yè)的時(shí)間Z3;④高一2班參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的人數(shù)Z4;

A.①②B,③④C,①③D.①④

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用離散型隨機(jī)變量的定義分析各命題，再判斷作答.

【解答過(guò)程】對(duì)于①，某食堂在中午半小時(shí)內(nèi)進(jìn)的人數(shù)Zi可以一一列舉出來(lái)，故①是離散型隨機(jī)變量；對(duì)

于②，某元件的測(cè)量誤差Z2不能一一列舉出來(lái)，故②不是離散型隨機(jī)變量；

對(duì)于③，小明在一天中瀏覽網(wǎng)頁(yè)的時(shí)間Z3不能一一列舉出來(lái)，故③不是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于④，高一2

班參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的人數(shù)Z4可以一一列舉出來(lái)，故④是離散型隨機(jī)變量；

故選：D.

【變式1-1](23-24高二下?江蘇?課前預(yù)習(xí))下列隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)是()

①擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；

②投籃一次的結(jié)果；

③某同學(xué)在12：00至12：30到校的時(shí)間；

④從含有50件合格品、10件次品的產(chǎn)品中任取3件，其中合格品的件數(shù).

A.1B.2

C.3D.4

【解題思路】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義逐個(gè)分析即可.

【解答過(guò)程】①中骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,4,5,6,可以一一列舉出來(lái).

②中投籃一次有兩種情況，若用1表示投中，0表示不中，

則也可以一一列舉出來(lái).

④中所取3件產(chǎn)品的合格品數(shù)可能為0,1,2,3,共4種情況，

可以一一列舉出來(lái).

③中學(xué)生到校時(shí)間可以是12：00到12：30中的任意時(shí)刻，

不能一一列舉出來(lái)，因此③不是離散型隨機(jī)變量，

故只有①②④滿足.

故選：C.

【變式1-2]（23-24高二下?福建福州?期中）下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的是（）

A.某電子元件的壽命

B.高速公路上某收費(fèi)站在一小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)

C.某人早晨在車站等出租車的時(shí)間

D.測(cè)量某零件的長(zhǎng)度產(chǎn)生的測(cè)量誤差

【解題思路】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義直接求解.

【解答過(guò)程】某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來(lái)，不是離散型隨機(jī)變量；

一小時(shí)內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)可以一一列舉出來(lái)，是離散型隨機(jī)變量；

等出租車的時(shí)間是隨機(jī)變量，但無(wú)法一一列出，不是離散型隨機(jī)變量；

測(cè)量誤差不能一一列出，不是離散型隨機(jī)變量.

故選：B.

【變式1-3]（23-24高二下?河南周口?期中）下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：

①一高速公路上某收費(fèi)站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)f;

②一個(gè)沿x軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在x軸上的位置5

③某派出所一天內(nèi)接到的報(bào)警電話次數(shù)X；

④某同學(xué)上學(xué)路上離開(kāi)家的距離「

其中是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義判斷即可.

【解答過(guò)程】對(duì)于①，十分鐘內(nèi)經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)可以一一列舉出來(lái)，①是離散型隨機(jī)變量；

對(duì)于②，沿x軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置不能一一列舉出來(lái)，②不是離散型隨機(jī)變量；

對(duì)于③，一天內(nèi)接到的報(bào)警電話次數(shù)可以一一列舉出來(lái)，③是離散型隨機(jī)變量；

對(duì)于④，某同學(xué)上學(xué)路上離開(kāi)家的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來(lái)，④不是離散型隨機(jī)

變量，

所以給定的隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的有①③.

故選:B.

【題型2分布列的性質(zhì)】

【例2】(23-24高二下?云南保山?階段練習(xí))隨機(jī)變量f的分布列如下表所示，且2機(jī)+n=1.2,則m—n=

()

0123

P0.1mn0.1

A.-0.2B.0.4C.0.2D.0

【解題思路】根據(jù)分布列的性質(zhì)即可求解.

【解答過(guò)程】由分布列的性質(zhì)可得，0.1+m+ri+0.1=1,即m+n=0.8,=1.2,m=n=0.4,

■,-m—n=0,

故選：D.

【變式2-1](23-24高二下?重慶長(zhǎng)壽?期末)設(shè)實(shí)數(shù)a>0,隨機(jī)變量f的分布列是：

A.1B.—2C.—3D.—6

【解題思路】利用分布列中，概率之和為1求解.

【解答過(guò)程】解：因?yàn)?+5+(=1,

所以。=1,

故選：A.

【變式2-2](2024?安徽滁州?模擬預(yù)測(cè))泊松分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)里常見(jiàn)的離散型概率分布，由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松

首次提出，泊松分布的概率分布列為P(X=k)=杳eT(k=0,l,2,-“)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，4是泊松分

布的均值.已知某線路每個(gè)公交車站臺(tái)的乘客候車相互獨(dú)立，且每個(gè)站臺(tái)候車人數(shù)X服從參數(shù)為4(4>0)的泊

松分布，若該線路某站臺(tái)的候車人數(shù)為2和3的概率相等，則該線路公交車兩個(gè)站臺(tái)各有1個(gè)乘客候車的

概率為()

1499

A?彘B./C.而D.最

【解題思路】根據(jù)候車人數(shù)為2和3的概率相等求出參數(shù)，再利用泊松分布的概率分布列即可得出答案.

【解答過(guò)程】由題意可知P(X=2)=P(X=3),即緊t=普e-“解得2=3,

所以P(X=k)=親—也=0,1,2,-),

從而p(x=1)=*-3=2,

故該線路公交車兩個(gè)站臺(tái)各有1個(gè)乘客候車的概率為p=(I)2=

故選：D.

【變式2-31(23-24高二下?全國(guó)?期末)離散型隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,丟失數(shù)據(jù)以x,y{x,yGN)

代替，分布列如下：貝iJP(|<X</)=()

X=i123456

P(X=o0.210.200.10。.加0.10

A.0.35B.0.45C.0.55D.0.65

【解題思路】根據(jù)概率之和為1得到方程組，求出*=2,y=4,得到答案.

【解答過(guò)程】由題意得l+0+5+0+y+0=10,解得y=4,

2+2+x+l+l+l=9,解得x=2,

故P(|<X<9=0.20+0.25=0.45.

故選：B.

【題型3分布列的求法】

【例3】(2024?湖北黃岡?二模)某校高三年級(jí)擬派出甲、乙、丙三人去參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)100m跑項(xiàng)目.比賽分為

初賽和決賽，其中初賽有兩輪，只有兩輪都獲勝才能進(jìn)入決賽.已知甲在每輪比賽中獲勝的概率均為;；乙在

第一輪和第二輪比賽中獲勝的概率分別為I和*丙在第一輪和第二輪獲勝的概率分別為P和l—p,其中3

3

<P<4

(1)甲、乙、丙三人中，誰(shuí)進(jìn)入決賽的可能性最大；

(2)若甲、乙、丙三人中恰有兩人進(jìn)入決賽的概率為,，求P的值；

(3)在(2)的條件下，設(shè)進(jìn)入決賽的人數(shù)為f,求f的分布列.

【解題思路】(1)利用相互獨(dú)立事件的概率公式分別求出甲乙丙進(jìn)入決賽的概率，再比較大小即可.

(2)利用互斥事件的加法公式及相互獨(dú)立事件的概率公式，列式解方程即得.

(3)利用(2)的結(jié)論，求出f的可能值及對(duì)應(yīng)的概率列出分布列.

【解答過(guò)程】⑴甲進(jìn)入決賽的概率為P1=《Q)2=卷Q乙進(jìn)入決賽的概率為P2=■7|><??=也1

丙進(jìn)入決賽的概率為P3=p(1—p)=—3一|)2+是而，p<%則,<、3<|，

所以甲進(jìn)入決賽的可能性最大.

(2)甲、乙、丙三人中恰有兩人進(jìn)入決賽的概率為

2一P(|—P)]+?(1—)P(|—P)+(1一金=H'

__1o2

整理可得18P2—27p+10=0,而5Vp<力所以P=￡.

N4D

(3)依題意，甲、乙、丙進(jìn)入決賽的概率分別為

隨機(jī)變量f的可能取值有0,1,2,3,

、、、

C,oC)=-7x-1x-4=-7,P(^C2)=-29,P(f-c3)=-9x-1x-5=-5,

P(f=1)=2?(1"),(1一》+(1一得",(1一|)+(1-書(shū)?(1")[=

所以隨機(jī)變量f的分布列為：

0123

711295

P

72327232

【變式3-1](2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))現(xiàn)有一拋硬幣游戲機(jī)制：假設(shè)拋中正、反面可能性均為去若拋中的是

正面，則收益80%的手中金額；否則虧損50%的手中金額.甲同學(xué)按此規(guī)則進(jìn)行多組模擬，拋硬幣100次，發(fā)

現(xiàn)最終虧損的次數(shù)多于盈利的次數(shù).假設(shè)初始金額為100元，記》為拋硬幣次數(shù)，y為經(jīng)歷x次拋硬幣后手中的

金額.

V八

100------------------------

----------------------1—I——I----------------------------->

0123x

(1)若久=2,求y的分布列；

(2)如圖，橫坐標(biāo)表示x,縱坐標(biāo)表示y,在圖中描出所有可能取值對(duì)應(yīng)的(%,y),并求出當(dāng)x=0、1、2、3時(shí)

盈利的概率；

(3)綜合(1)(2)數(shù)據(jù)，簡(jiǎn)要說(shuō)明形成甲同學(xué)的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的原因(直接寫(xiě)結(jié)論).

【解題思路】(1)根據(jù)條件知y的可能取值為25,90,324,再求出相應(yīng)的概率，即可求出結(jié)果；

(2)通過(guò)取一些特殊值，即可得到部分圖象，再根據(jù)條件，即可求出x=0、1、2、3時(shí)盈利的概率;

(3)根據(jù)題設(shè)條件，即可寫(xiě)出結(jié)果.

【解答過(guò)程】(1)易知y的可能取值為25,90,324,

P(y=25)=|X|=iP(y=90)=X|X|=I，

P(y=324)=jx1=p

所以y的分布列為

y2590324

111

p

424

(2)當(dāng)x=0時(shí)，y=100,當(dāng)尤=1時(shí)，丫=50或丫=180,

當(dāng)x=2時(shí)，y的可能取值為25,90,324,…，所以圖象如下圖

h?

100------?-------------

方比一

易知P(x=0)=0,P(x=1)=I，P(x=2)=|x|=p=3)=|X|X|+C3X|X|X|=1.

(3)x越大，最終手中金額大于初始金額的概率會(huì)越小，則最終虧損的可能性越大，最后虧損的組數(shù)多于

盈利的組數(shù)，即甲同學(xué)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象(答案不唯一).

【變式3-2](2024?河南?二模)盒中裝有大小相同的7個(gè)小球，其中2個(gè)黑球，3個(gè)紅球，2個(gè)白球.規(guī)定:

取到1個(gè)黑球得0分，取到1個(gè)紅球得1分，取到1個(gè)白球得2分.現(xiàn)一次性從盒中任取3個(gè)小球.

(1)求取出的3個(gè)小球中至少有2個(gè)紅球的概率；

(2)用隨機(jī)變量X表示取出的3個(gè)小球得分之和，求X的分布列.

【解題思路】(1)根據(jù)古典概型的概率公式可得N=35,即可利用超幾何分布的概率公式求解；

(2)利用超幾何分布的概率公式求解概率，即可得分布列.

【解答過(guò)程】（1）共有0=35種不同的取法，事件2表示取出3個(gè)小球中至少有2個(gè)紅球，包含兩種

◎+C禺_13_

P⑷G—35；

（2）隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3,4,5,

P(X=D=嚕M

P(X=2)=鎏浮8

,

L735

禺禺禺十/.

P(X=3)6—35?

P(X=4)=生泮8

,

L735

P(X=5)=譬

L<7

則隨機(jī)變量X的分布列為:

X12345

381383

P

3535353535

【變式3-3］（2024?遼寧?一模）在統(tǒng)計(jì)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，經(jīng)常使用的是25%分位數(shù)（簡(jiǎn)稱

為第一四分位數(shù)）與75%分位數(shù)（簡(jiǎn)稱為第三四分位數(shù)），四分位數(shù)應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)學(xué)的箱型圖繪制，是統(tǒng)計(jì)

學(xué)中分位數(shù)的一種，即把所有數(shù)值由小到大排列，并分成四等份，處于三個(gè)分割點(diǎn)的數(shù)值就是四分位數(shù)，

箱型圖中，，箱體，，的下底邊對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為第一四分位數(shù)，上底邊對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為第三四分位數(shù)，中間的線對(duì)應(yīng)中位數(shù),

已知甲、乙兩班人數(shù)相同，在一次測(cè)試中兩班成績(jī)箱型圖如圖所示.

（1）由此圖估計(jì)甲、乙兩班平均分較高的班級(jí)是哪個(gè)？（直接給出結(jié)論即可，不用說(shuō)明理由）

（2）若在兩班中隨機(jī)抽取一人，發(fā)現(xiàn)他的分?jǐn)?shù)小于128分，則求該同學(xué)來(lái)自甲班和乙班的概率分別是多少？

（3）據(jù)統(tǒng)計(jì)兩班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，從中抽取了3人作學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流，3人中

來(lái)自乙班的人數(shù)為X,求X的分布列.

【解題思路】（1）根據(jù)甲乙兩班成績(jī)箱型圖中的中位數(shù)，第三四分位數(shù)和第一四分位數(shù)的位置可以判斷結(jié)

果；

(2)依題知這是條件概率問(wèn)題，分別設(shè)出從兩班中隨機(jī)抽取一人，“該同學(xué)來(lái)自甲班為事件4',“該同學(xué)分

數(shù)低于128分為事件B”，則需要求PQ4|B)和P0B),而這需要先求P(B|A)和P(B|Z),再根據(jù)全概率公式

求出P(B),最后用貝葉斯公式求解即得；

(3)先求出X的所有可能的值，再利用古典概型概率公式求出每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即得X的分布列.

【解答過(guò)程】(1)由兩班成績(jī)箱型圖可以看出，甲班成績(jī)得中位數(shù)為128,而乙班的第三四分位數(shù)使128,

同時(shí)，甲班的第一四分位數(shù)明顯高于乙班，由此估計(jì)甲班平均分較高.

(2)由圖可知，甲班中有［的學(xué)生分?jǐn)?shù)低于128分；

乙班中有油學(xué)生分?jǐn)?shù)低于128分

設(shè)從兩班中隨機(jī)抽取一人，“該同學(xué)來(lái)自甲班為事件4',“該同學(xué)分?jǐn)?shù)低于128分為事件B”,

則PQ4)=5P(B\A)=l，P(B區(qū))=|，

___11315

：?P(B)=PQ48)+P(麗=P(B\A)-+P(B\A)-=-x-+-x-=-

ZZ4Zo

11

P⑷3)=迪=鋁"納-2X2_2

一5一5

8

13

P(川p(砧)=p(z)p?z).2X4?3

1

1)P(B)P(B)~5-5

8

所以，該同學(xué)來(lái)自甲乙兩班的概率分別為:

(3)依題X的所有可能取值為0,1,2,3

P(X=0)=警=P(X=1)=警1

^106。102

P(X=2)=^=而，P(X=3)=常1

30

所以X的分布列為:

X0123

1131

p

62To30

【題型4離散型隨機(jī)變量的均值】

【例4】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))從1-20中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)，記隨機(jī)變量f為這3個(gè)數(shù)中相鄰數(shù)組(a,a+1)

的個(gè)數(shù).如當(dāng)這三個(gè)數(shù)為11,12,14時(shí)，f=l；當(dāng)這三個(gè)數(shù)為7,8,9時(shí)，f=2.則E(f)的值為()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

【解題思路】隨機(jī)變量f的取值為0,1,2,結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件寫(xiě)出概率，算出期望.

【解答過(guò)程】隨機(jī)變量f的取值為0,1,2,

當(dāng)，=1時(shí)，所取的三個(gè)數(shù)中僅兩個(gè)數(shù)相鄰，其中取1,2和19,20,對(duì)應(yīng)取法為17種，其余17情況取法為16

種，

2x17+17x16306

；?P（f=1）=京=M40'

當(dāng)f=2時(shí)，即所取的三個(gè)數(shù)中兩兩相鄰，取法有18種，.?.P&=2）=段=馬*，

所以當(dāng)f=0時(shí)，即所取的三個(gè)數(shù)彼此不相鄰，取法有1140—18—306=798種，

?."低=。）=鬻

???E⑹=。*鬻+1義普+2X瑞=0.3.

故選：B.

【變式4-1]（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知某多選題給出的四個(gè)選項(xiàng)中會(huì)有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選

對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.若選項(xiàng)中有i（其中i=2,3,4）個(gè)選項(xiàng)符合題目要求,

記隨機(jī)作答該題時(shí)（至少選擇一個(gè)選項(xiàng)）所得的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量§々=2,3,4）,則（）

A.2E&）〉鉆&）〉E（n）

B.4E&）＞E（打）＞2E&）

C-2E&）＞僅n）＞4E&）

D-4E（f2）＞2E（G）＞E（n）

【解題思路】由題意可知：當(dāng)至少選擇一個(gè)選項(xiàng)時(shí)，共有24-1=15（種）可能，根據(jù)期望的定義分別求

E&），/&*&），進(jìn)而分析判斷.

【解答過(guò)程】由題意可知：當(dāng)至少選擇一個(gè)選項(xiàng)時(shí)，共有24—1=15（種）可能，

因?yàn)槠呖扇?，2,5,

11+121+24

且P(f2=5)=云,片2=2)=方=-,P(G=0)=1--=?

所以￡&)=譽(yù)=(

又因?yàn)樾目扇?,2,5,

且P&=5)=白P(f3=2)=誓="(&=0)=1—詈=W

所以僅f3)=詈=￡?

-1-1-1A

而已可取2,5,且P(64=5)=記，則P(§4=2)=1_云=正

所以即4)=鬻*;

即4E&)=y,2￡(f3)=葛所以4E&)>2E&)>5(n)，故D正確.

故選：D.

【變式4-2](2024?貴州?模擬預(yù)測(cè))某學(xué)校舉行數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)競(jìng)賽，第一輪選拔共設(shè)有4B,C,D,E五

道題，規(guī)則為每位參賽者依次回答這五道題，每答對(duì)一題加20分，答錯(cuò)一題減10分；若連續(xù)答錯(cuò)兩道題

或五道題全部答完，則第一輪選拔結(jié)束.假設(shè)參賽者甲同學(xué)答對(duì)4B,C,D,E的概率分別為|

且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響.

(1)記X為甲同學(xué)本輪答題比賽結(jié)束時(shí)已答題的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;

(2)第一輪比賽結(jié)束后，若參賽者在第一輪出現(xiàn)過(guò)連續(xù)答對(duì)三道題或總分不低于70分，則可進(jìn)入下一輪選拔,

求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率.

【解題思路】(1)根據(jù)題意列出甲同學(xué)本輪答題比賽結(jié)束時(shí)已答題的個(gè)數(shù)X的可能取值，然后分別算出其

概率，即可得出X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)依據(jù)題意，列舉甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的情況，然后利用相互獨(dú)立事件的概率公式分別算出其概率，即

可得出答案.

【解答過(guò)程】(1)由題可得X可能取值為：2,3,4,5

111

=2)=-x-=—

i74312

3111

^=3)=ix-x-=-

?/、

^n=4)=3-x2-x1-x1-+,1-x2-x1-x1-=-1

111155

P(X=5)=-

,)1286248

X的分布列如下:

X2345

1115

P

12868

所以E(X)=2x0+3X9+4X：+5X||=^

(2)設(shè)4B,C,D,E分別代表第1,2,3,4,5個(gè)問(wèn)題,

用=1,2,3,4,5)表示甲同學(xué)第i個(gè)問(wèn)題回答正確；

用=1,2,3,4,5)表示甲同學(xué)第i個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤；

,27111

由題意得P(M1)=*P(M2)=-,P(M3)=1,P(M4)=-,P(M5)=I，

記甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪為事件K

則P(K)=P(%M2M3M4M5)+P(M1M2M3M4國(guó)+尸(M1M2M3%M5)+尸(M1M2M3m4m5)

+P(M1M2M3M4M5)+P(Mi祈2M3M4M5)+P(欣2M3M4M5)+P(M1M2M3M4M5)

-3211131111,121111211137

=5x-x-x-x-x-+-x-x-x-x-+-x-x-x-x-+-x-x-x-x-=—.

4322243222432224322296

【變式4-3](2024?海南?模擬預(yù)測(cè))某自助餐廳為了鼓勵(lì)消費(fèi)，設(shè)置了一個(gè)抽獎(jiǎng)箱、箱中放有8折、8.5折、

9折、9.5折的獎(jiǎng)券各3張，每張獎(jiǎng)券的形狀都相同，每位顧客可以從中任取3張獎(jiǎng)券，最終餐廳將在結(jié)賬

時(shí)按照3張獎(jiǎng)券中最優(yōu)惠的折扣進(jìn)行結(jié)算.

(1)求一位顧客抽到的3張獎(jiǎng)券的折扣均不相同的概率；

(2)若自助餐的原價(jià)為100元/位，記一位顧客最終結(jié)算時(shí)的價(jià)格為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

【解題思路】(1)利用古典概型概率公式可求解；

(2)X的所有取值為80,85,90,95,利用古典概型概率公式可求分布列，進(jìn)而可求期望.

【解答過(guò)程】(1)從12張中任選3張有C%=220種方法，

取到的折扣均不相同的取法有第禺的最=108,

所以一位顧客抽到的3張獎(jiǎng)券的折扣均不相同的概率券=||；

(2)X的所有取值為80,85,90,95,

prv_am-1組—184-34P(Y-AR-纖髭二+雷6416

-80)-1--1---P(X-85)-C3222055,

P(x=90)=Cc黨HC=蒜P(X=95)

Cj2~220’

所以X的分布列為

X80859095

3416191

P

5555220220

伙X)=80x葭+85xIf+90x蒜+95x嬴=181253625

22044,

【題型5離散型隨機(jī)變量的方差】

【例5】(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知某隨機(jī)變量X的分布列如圖表，則隨機(jī)變量X的方差D(X)=

()

X02040

Pm2mm

A.120B.160C.200D.260

【解題思路】根據(jù)概率和為L(zhǎng)求得m,再根據(jù)分布列求E(X),再求D(X)即可.

【解答過(guò)程】由題可知：m+2m+m=1,解得m=：,貝UE(X)=0Xm+40m+40nl=80m=20；

故。(X)=；(0-20)2+1(20-20產(chǎn)+l(4o_20)2=100+0+100=200.

故選：C.

【變式5-11(2024?廣東廣州?二模)設(shè)104%1<冷<-3<X4<%5450,隨機(jī)變量取值久3/4,久5的

概率均為0.2,隨機(jī)變量&取值空空警■，竽至尹的概率也均為0.2,若記。記1)刀代2)分別為狗六2的

方差，貝U()

A.0(G)<0?2)

B-。&)=

C.

D.。(打)與。(。)的大小關(guān)系與犯，*2,尤3,血,%5的取值有關(guān)

【解題思路】根據(jù)期望的公式推出E(fi)=E($2),再根據(jù)方差的計(jì)算公式可得D(fi),D($2)的表達(dá)式，結(jié)合

基本不等式，即可判斷。(右)浦(§2)的大小，即得答案.

【解答過(guò)程】由題意得E(fi)=0.2(%1+x2+X3+%4+久5)，

E(f2)=。2x=62(X1+x2+x3+必+&)，

故E?)=E⑤)，

記匹=E?)=E&)

222

則。(打)=0.2[(xt-%)+(x2-x)++(x5-x)]

=0.2[(%1+必4---1■點(diǎn)+5%2)—2(%1+%2+%3+%4+%5)用I

=0.2(%i+。+…+蛙—5x2)

同理D(f2)=0.2[(空)2+(弩[+…+(空)2_5-2]

因?yàn)?OWX1<X2<X3<X4<X5W5O,貝I](誓)2(弩1,…，(誓<雪，

故(空)2+(空?+”?+(誓￥<妊+石+…+痣

即得D&)>。任2)，。(0)與。(。)的大小關(guān)系與打占2/3，孫，出的取值無(wú)關(guān)，

故選：C.

【變式5-2](2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè))某公司擬通過(guò)摸球中獎(jiǎng)的方式對(duì)員工發(fā)放節(jié)日紅包.在一個(gè)不透

明的袋子中裝有幾個(gè)形狀大小相同的標(biāo)有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機(jī)摸取僅個(gè)球(mWm，摸

完后全部放回袋中，球上所標(biāo)的面值之和為該員工所獲得的紅包數(shù)額.

(1)若n=4,m=2,當(dāng)袋中的球中有2個(gè)所標(biāo)面值為40元，1個(gè)為50元，1個(gè)為60元時(shí)，在員工所獲得的紅

包數(shù)額不低于90元的條件下，求取到面值為60元的球的概率；

(2)若n=5,m=4,當(dāng)袋中的球中有1個(gè)所標(biāo)面值為10元，2個(gè)為20元，1個(gè)為30元，1個(gè)為40元時(shí)，求

員工所獲得紅包數(shù)額的數(shù)學(xué)期望與方差.

【解題思路】(1)記事件4員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元，事件B：取到面值為60元的球，根據(jù)條

件先求PQ4),PQ42),再利用條件概率公式，即可求解；

(2)由題知X可能取值為80,90,100,110,再求出對(duì)應(yīng)的概率，利用期望和方差的計(jì)算公式，即可求解.

【解答過(guò)程】(1)記事件4員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元，事件B：取到面值為60元的球，

因?yàn)榍蛑杏?個(gè)所標(biāo)面值為40元，1個(gè)為50元，1個(gè)為60元，且

40+50>90,40+60>90,50+60>90,所以P(O)=?喟最=\

C46

又PG4B)W=|=T，所以P(BM)=制=g=|.

(2)設(shè)X為員工取得的紅包數(shù)額，貝吠可能取值為80,90,100,110,

1111

所以P(X=80)=^4=-,P(X=90)=

2211

P(X=100)=^4=-,P(X=110)=^4=-,

1121

所以E(X)=80x-+90x-+100x-+110x--96,

1171

D(X)=(80-96)2X-+(90-96)2X-+(100-96)2x-+(110-96)2x-=104.

【變式5-3](2024?湖南長(zhǎng)沙?三模)開(kāi)展中小學(xué)生課后服務(wù)，是促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng)、幫助家長(zhǎng)解決接送學(xué)

生困難的重要舉措是進(jìn)一步增強(qiáng)教育服務(wù)能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為

確保學(xué)生課后服務(wù)工作順利開(kāi)展，制定了兩套工作方案，為了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)方案的支持情況，對(duì)學(xué)生進(jìn)

行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如表:

男女

支持方案一2416

支持方案二2535

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.

(1)從該校支持方案一和支持方案二的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)X為抽出兩人中女生的個(gè)數(shù)，求X的分布列

與數(shù)學(xué)期望；

(2)在(1)中丫表示抽出兩人中男生的個(gè)數(shù)，試判斷方差0(X)與D(y)的大小.

【解題思路】(1)記從方案一中抽取到女生為事件4從方案二中抽取到女生為事件氏根據(jù)已知條件求出

PQ4),P(B),X的可能取值為0,1,2,求出相應(yīng)的概率，從而可求得X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)根據(jù)方差的性質(zhì)判斷即可.

【解答過(guò)程】(1)記從方案一中抽取到女生為事件4從方案二中抽取到女生為事件8.

rt/c/4、162c/c、357

人J⑷=24+16=3P⑻=25+35=12，

則X的可能取值為0、1、2.

所以尸(X=0)=(1—x(1—卷)=

P(X=1)=(1-|)x^+|x(1-^)=|i,

P(X=2)=|x《=(,

所以X的分布列為:

(2)依題意可得y=2—X,

所以。(丫)=。(2—X)=(―1)2D(X)=D(X),

即D(r)=o(x).

【題型6均值與方差中的決策問(wèn)題】

【例6】(2025?甘肅張掖?模擬預(yù)測(cè))為增加學(xué)生對(duì)于籃球運(yùn)動(dòng)的興趣，學(xué)校舉辦趣味投籃比賽，第一輪比

賽的規(guī)則為：選手需要在距離罰球線1米，2米，3米的4B,C三個(gè)位置分別投籃一次.在三個(gè)位置均投進(jìn)得

10分；在C處投進(jìn)，且在4B兩處至少有一處未投進(jìn)得7分；其余情況(包括4、B、C三處均不投進(jìn))保底得4

分.已知小王在三處的投籃命中率分別為看*，且在三處的投籃相互獨(dú)立.

(1)設(shè)J為小王同學(xué)在第一輪比賽的得分，求f的分布列和期望；

(2)若第二輪比賽中設(shè)置兩種參賽方法.方法1：按第一輪比賽規(guī)則進(jìn)行比賽；方法2：選手可以選擇在C處

縮短投籃距離0.5米，但得分會(huì)減少a(lWaW3)分.選手可以任選一種規(guī)則參加比賽.若小王在C處縮短

投籃距離0.5米后，投籃命中率會(huì)增加6(0<b<鄉(xiāng).請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)知識(shí)，幫助小王同學(xué)選擇采用哪種方法

參加比賽更好.

【解題思路】(1)根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式求f的分布列，利用公式求得數(shù)學(xué)期望；

(2)先求選取方法2參加比賽，則小王同學(xué)得分〃的數(shù)學(xué)期望，再進(jìn)行比較.

【解答過(guò)程】(1)§的可能取值為4,7,10,

4313

^=10)=?xzx-=-

=7)=|xix|+|xix|+|x|x|=1,P(^=4)=|

所以分別列為:

11222

所以E?=4x^+7*三+10*元=予

(2)如果選取方法2參加比賽，則小王同學(xué)得分〃的可能取值為4—a,7—a,10—a,

3

/(77=10-a)=^Xjxg+/?)=^+y,

PS=7—a)=(X；X0+b)+gx；x0+3+打PG+b)=(+|b,

W="a)=l-七+3—("令方再

所以E(〃)=(4—d)X+(7—a)x(1+y)+(10—a)x(^+y)=。+爭(zhēng)—a,

當(dāng)E8)<EG)時(shí)，即政+gb—a<.,即a>gb時(shí),選擇方法1,

當(dāng)E(〃)>E?時(shí),即告+gb—a>.,即a<gb時(shí),選擇方法2,

當(dāng)E8)=E(f)時(shí),即油+爭(zhēng)一a=|,即a=3時(shí)，選擇兩種方法都一樣.

【變式6-1](23-24高二下?福建泉州?階段練習(xí))2024年九省聯(lián)考后很多省份宣布高考數(shù)學(xué)采用新的結(jié)構(gòu),

多選題由4道減少到3道，分值變?yōu)橐活}6分，多選題每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有兩項(xiàng)或三項(xiàng)是正確的，全

部選對(duì)得6分，有錯(cuò)選或全不選的得0分.若正確答案是“兩項(xiàng)”的，則選對(duì)1個(gè)得3分；若正確答案是“三項(xiàng)”的,

則選對(duì)1個(gè)得2分，選對(duì)2個(gè)得4分.某數(shù)學(xué)興趣小組研究答案規(guī)律發(fā)現(xiàn)，多選題正確答案是兩個(gè)選項(xiàng)的概率為p,

正確答案是三個(gè)選項(xiàng)的概率為1—P(其中0<p<1).

(1)在一次模擬考試中，學(xué)生甲對(duì)某個(gè)多選題完全不會(huì)，決定隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)，若「=求學(xué)生甲該題

得2分的概率；

(2)針對(duì)某道多選題，學(xué)生甲完全不會(huì)，此時(shí)他有三種答題方案：

I：隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)；II：隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)；III：隨機(jī)選三個(gè)選項(xiàng).

①若p=且學(xué)生甲選擇方案I,求本題得分的數(shù)學(xué)期望；

②以本題得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，p的取值在什么范圍內(nèi)唯獨(dú)選擇方案I最好？

【解題思路】(1)由全概率公式求解即可；

(2)①記X為“從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)的得分”，求出X的可能取值及其概率，即可求出X的分布列，

再由期望公式求出；

②記xyz分別為“從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)、兩個(gè)選項(xiàng)和三個(gè)選項(xiàng)的得分“，求出xyz的數(shù)學(xué)威望,

[2-P<|

由題意可得J|(l—p)<|,解不等式即可得出答案.

I0<p<1

【解答過(guò)程】(1)記事件4為“正確答案選兩個(gè)選項(xiàng)”，事件B為“學(xué)生甲得2分”.

P(B)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A)=(x0+1x曰=；,

即學(xué)生甲該題得2分的概率為今

(2)①記X為“從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)的得分”，貝吠可以取0,2,3,

1211a11cl3

P(X=0)=-XET+-X^=-,P(X=2)=-XO+-XZ|=-,

P(X^3)=|xf+1xO=i

所以X的分布列為

X023

331

P

884

則數(shù)學(xué)期望E(X)=0x1+2x|+3xi=|.

②記X為“從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)的得分”，

則P(X=O)=px^+(l—p)x^=苧，

P(X=2)=px0+(l—p)x^=-(1—p),

P(X=3)=px+(1-p)x0=

所以E(X)=0x與+2x：(l_p)+3x]=|；

記丫為“從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng)的得分”，

則P(y=0)=px+(1-p)x=|p+1，

P(y=4)=pX0+(1—p)XW=-(1_p),

11

P(Y=6)=px曰+(1—p)x0=%P，

所以