2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：多邊形與平行四邊形（練習(xí)）（解析版）

考點(diǎn)17.多邊形與平行四邊形（精練）

限時(shí)檢測1:最新各地模擬試題（50分鐘）

1.（2023?江西吉安??？寄M預(yù)測）苯分子的環(huán)狀結(jié)構(gòu)是由德國化學(xué)家凱庫勒提出的.隨著研究的不斷深

入，發(fā)現(xiàn)苯分子中的6個(gè)碳原子與6個(gè)氫原子均在同一平面，且所有碳碳鍵的鍵長都相等（如圖1）,組成

了一個(gè)完美的六邊形（正六邊形），圖2是其平面示意圖，則N1的度數(shù)為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)正六邊形的內(nèi)角和公式求出NBA尸的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求//慚的度數(shù)，同理

可得44尸的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解.

62x180

【詳解】解：回六邊形ABCDEF是正六邊形，SAB=AF^EF,ZBAF=（~）°,

6=120

180120OO

0ZABF=ZAFB=°-°=30°,同理ZE4F=30°,0Z1=18O-3O°-3O-12O°,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形內(nèi)角和的計(jì)算以及三角形公式，"邊形的內(nèi)角和為

2.（2023?湖北襄陽?模擬預(yù)測）能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）

A.ABCD,AD=BCB.AB=CD,AD=BCC.ZA=AB,NC=NDD.AB^AD,CB=CD

【答案】B

【分析】直接利用平行四邊形的判定定理判定，即可求得答案.注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用.

【詳解】解：A、ABCD,AD=BC,則四邊形ABCD不一定為平行四邊形，可能為等腰梯形，故本選

項(xiàng)不符合題意；

B、AB=CD,AD=BC,則四邊形ABCD為平行四邊形；故本選項(xiàng)正確，符合題意；

C、ZA=ZB,NC=ND,則四邊形不一定為平行四邊形，可能為等腰梯形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、AB=AD,CB=CD,不能判定四邊形ABC。為平行四邊形；故本選項(xiàng)不符合題意.故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解此題的關(guān)鍵.

3.（2023?河北張家口?統(tǒng)考三模）如圖，甲、乙兩位同學(xué)用"個(gè)完全相同的正六邊形按如下方式拼成一圈

后，使相鄰的兩個(gè)正六邊形有公共頂點(diǎn)，設(shè)相鄰兩個(gè)正六邊形外圈的夾角為x°,內(nèi)圈的夾角為y°,中間

會圍成一個(gè)正“邊形，關(guān)于〃的值，甲的結(jié)果是〃=5,乙的結(jié)果是〃=3或4,則（）

A.甲的結(jié)果正確B.乙的結(jié)果正確

C.甲、乙的結(jié)果合在一起才正確D.甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確

【答案】D

【分析】正六邊形的一個(gè)內(nèi)角為120。，根據(jù)外角的定義有，x+y=360。-2xl2（r=120。，得

>=（"2）x180°,再討論即可得〃的值.

n

【詳解】解：回正六邊形的一個(gè)內(nèi)角為（6-2）x180：=]2o。,0x+y=360°-2x120°=120°,

6

團(tuán)為正〃邊形的一個(gè)內(nèi)角為度數(shù)，回y=（"2）x180。,

n

當(dāng)〃=3時(shí)，y=60。，貝i]x=60。，當(dāng)〃=4時(shí)，y=90°,貝ijx=30。，

當(dāng)〃=5時(shí)，y=108°,則x=12。，當(dāng)”=6時(shí)，y=120°,貝iJx=0。，

則〃的值為3或4或5或6.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和.解題的關(guān)鍵是根據(jù)周角的定義推得x+V=120。.

4.（2023?浙江寧波?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在Rt^ABC中，?B90?,AB=BC,AC=4,D,尸分別

是A5,3c邊的中點(diǎn)，DEJ.AC于點(diǎn)、E.連接E/，則石尸的長為（）

A.2B.3C.2拒D.也

【答案】D

【分析】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，先根據(jù)等邊對等角得

到/A=NC=45。，再由勾股定理得到A3=2近，由線段中點(diǎn)的定義和三角形中位線定理得到A￡>=后，

DF=2,AC//DF,再由￡>石14?得到/">￡=45。=4,DE1DF，由此求出DE=1,即可利用勾

股定理求出E尸的長，證明。廠是RtAABC的中位線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：回在Rt^ABC中，2B90?,AB=BC,0ZA=ZC=45°,

0AC=4,^\AB=BC=—AC=2j2,EID,產(chǎn)分別是AB,3c邊的中點(diǎn)，

2

團(tuán)￡?/是RtZ^ABC的中位線，AD=-AB=y/2,0DF=-AC=2,AC//DF,

22

^DE.LAC,0ZADE=45°=ZA,DELDF,

@AE=DE=^AD=1,0EF=\lDE2+DF2=A/5>故選：D.

5.（2023?廣東?統(tǒng)考二模）如圖，在YABCD中，BF平分/ABC,交AD于點(diǎn)RCE平分NBCD交AD于

點(diǎn)E,AB=6,BC=10,則石廠長為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)平行和角平分線，推出

均為等腰三角形，得到A尸=A3,CD=DE,進(jìn)而得至ljAD=2AB—￡F,即可得解.

【詳解】解：0YABCD,AB=6,BC=10^AD=BC=10,AB=CD=6,AD//BC,

13Z2=ZAFB,Z3=ZCED,0的平分/ABC,CE平分NBCD,

0Z1=Z2=ZAFB,Z4=Z3=ZCED,^AF=AB,CD=DE,

S\AD=AF-EF+DE^2AB-EF,0￡F=2AB-AD=2x6-10=2；故選B.

6.（2023?浙江?模擬預(yù)測）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)尸是5c的中點(diǎn)，AF與BD交于點(diǎn)E,貝仁鉆石與

四邊形EFCD的面積之比是（）

AD

BF

【答案】c

【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，易證得一ADEs-FBE,又由點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，根據(jù)相似三角形

的對應(yīng)邊成比例，可得皆=黑=2,然后設(shè)SBEF=。，根據(jù)等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比，即可

EFBF

求得AZ近的面積，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得但的面積，繼而求得四邊

形EFCD的面積，則可求得答案.

【詳解】解：設(shè)SBEF=a，.?四邊形A3CD是平行四邊形，；.AD〃3C,AD=BC,ADE^FBE,

點(diǎn)產(chǎn)是3c的中點(diǎn)，，⑻=J3C=JAD,.,?當(dāng)=當(dāng)=2,

2zEFBF

=

???5^=2”，=4BP51AD￡=4a,SBCD=SABD^2a+4a=6a,

SFBEVBFJ

■15四邊形=S.BCD-SBEF=6a—a=5a,

ABE與四邊形EfCD的面積之比為：2a：5a=2：5.故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積問題.此題難度適中，

解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意三角形面積的求解方法：等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的

比與相似三角形的面積比等于相似比的平方.

7.（2023?廣東?中考模擬預(yù)測）如圖，在ABC。中，一定正確的是（）

A.AD=CDB.AC=BDC.AB=CDD.CD=BC

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等，然后對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：回四邊形4BCD是平行四邊形SAB^CD,AD=BC故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行四邊形的性質(zhì).

8.（2023?重慶?中考模擬預(yù)測）如圖，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成一個(gè)

四邊形ABCD,其中一張紙條在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，下列結(jié)論一定成立的是（）

A.四邊形ABCD周長不變B.AD=CDC.四邊形4BCD面積不變D.AD=BC

【答案】D

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷，即可得到答案.

【詳解】解：由題意可知，SAB//CD,AD//BC,國四邊形A3CD是平行四邊形，

0AD=SC；故D符合題意；隨著一張紙條在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，AD不一定等于CO,四邊形ABCD周長、面積

都會改變；故A、B、C不符合題意；故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形對邊相等.

9.（2023?浙江紹興?校聯(lián)考三模）淇淇用圖一的六個(gè)全等AABC紙片拼接圖2所示的外輪廓是正六邊形，如

果用若干個(gè)AABC紙片按照圖3所示的方法拼接成外輪廓是正w變形圖案，那么的值為

3

【答案】九

【分析】先根據(jù)正多邊形內(nèi)角計(jì)算公式得出正六邊形的內(nèi)角度數(shù)，得出N4CB=40。，再通過三角形內(nèi)角和

定理計(jì)算出NC4B=60。，從而得出正”邊形的內(nèi)角度數(shù)，再經(jīng)過多邊形內(nèi)角和公式得出答案.

【詳解】解：:正六邊形的每個(gè)內(nèi)角=180°x（6-a）：］2。。,ZABC=80°

6

由圖可知，ZABC+ZACB=120°,:.ZACB=40°,

ZCAB=180°-ZABC-ZACB=180°-80°-40°=60°,

圖3中的正〃邊形的每個(gè)內(nèi)角=NC4B+NABC=60o+8（r=140。,

根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式得140。"=180。1一2）,解得〃=9,

這個(gè)正”邊形是正九邊形.故答案為：九.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，三角形內(nèi)角和定理，對圖像中多邊形內(nèi)角與三角形各角之間的關(guān)

系是解題的關(guān)鍵.

10.（2023?湖北孝感?模擬預(yù)測）已知，正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為150。，則這個(gè)多邊形的對角線共有一條.

【答案】54

【分析】先求出多邊形每一個(gè)外角的度數(shù)，然后即可求出邊數(shù)，再利用公式;九（九-3）代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

【詳解】解：回多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于150。，

團(tuán)多邊形的每個(gè)外角都等于180。一150。=30°,團(tuán)邊數(shù)n=360°+30°=12,

回對角線條數(shù)為;X12X（12-3）=54.故答案是：54.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的外角與對角線的性質(zhì)，求出邊數(shù)是解題的關(guān)鍵，另外熟記從多邊形的對

角線的條數(shù)公式也很重要.

11.（2023?河北?模擬預(yù)測）一個(gè)多邊形，除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各角的和為2750。，則這一內(nèi)角為

度.

【答案】130

【分析】設(shè)多邊形的邊數(shù)為無，根據(jù)多邊形的內(nèi)角一定大于0,并且小于180度，因而內(nèi)角和除去一個(gè)內(nèi)角

的值，這個(gè)值除以180度，所得數(shù)值比邊數(shù)要小，小的值小于1,可以求出多邊形的邊數(shù)為18,再利用內(nèi)角

和公式即可得出結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為x,由題意有（％-2”80。=2750。，解得：芯=171，

18

因而多邊形的邊數(shù)是18,則這一內(nèi)角為（18-2）x180。-2750。=130。.故答案為：130.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和公式，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.

12.（2022,黑龍江哈爾濱?哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考一模）四邊形ABCD是平行四邊形，AB=12,的

平分線交直線5c于點(diǎn)E,若CE=4,則四邊形A3CD的周長為.

【答案】56或40/40或56

【分析】可分兩種情況：當(dāng)E在線段上時(shí)，當(dāng)E在線段延長線上時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)知

BC//AD,由平行線的性質(zhì)即角平分線的

定義可得ZBAE=ZBEA,進(jìn)而可求解班的長，即可求得BC的長，再根據(jù)平行四邊形的周長可求解.

【詳解】解：當(dāng)E在線段BC上時(shí)，如圖，

回四邊形A3CD是平行四邊形，B1BC//AD,SZBEA=ZEAD,

OAK平分/BAD,0ZS4￡=ZE4D,^ZBAE^ZBEA,^\BE=AB,

I3AB=12,EI3E=12,回CE=4,fflBC=BE+CE=12+4=16,

回四邊形ABC。的周長為：2x(12+16)=56；

當(dāng)E在線段8C延長線上時(shí)，如圖，

回四邊形ABCD是平行四邊形，^BC//AD,SZBEA=ZEAD,

I3AE平分/BAD,0ZS4￡=ZE4D,^ZBAE=ZBEA,^BE=AB,

EIAB=12,^BE=n,回CE=4,0BC=BE-CE=12-4=8,

團(tuán)四邊形A3CD的周長為：2X(12+8)=40;

綜上：四邊形A5CD的周長為56或40,故答案為：56或40

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，證明=求解BE的長是解題的關(guān)鍵.

13.(2022?黑龍江哈爾濱?校考一模)如圖，在YABCD中，E,尸分別是BC,C。的中點(diǎn)，AE=4,

AF=5,且ZE4F=60。，則AB的長是.

【分析】延長AE交。C延長線于M點(diǎn)，過M點(diǎn)作MNLAF于N點(diǎn)，先證明△ABE四△MCE,得到

AM=2AE=8,然后在母△AAW中，利用30。直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求AN=4,MN=，然

3

后在放MNF中利用勾股定理求出MB值，依據(jù)=則A3值可求.

【詳解】解：延長AE交DC延長線于M點(diǎn)，過M點(diǎn)作MNLAF于N點(diǎn)，

EIE點(diǎn)為BC中點(diǎn)，SBE=CE.^AB//DM,^ZB=ZECM.

又ZAEB=ZMEC,0ABE^MCE(ASA).^CM=AB,AE=ME=4,SAM=2AE=8.

在RjAW/V中，ZMAN=60°,所以NAMV=30。，

SAN=^AM=4,MN=4AM2-AN2=-42=4^-NFAF-AN^5-4^1.

在RtMNF中,利用勾股定理可得MR=，肱/+橋2=-48+1=7.

團(tuán)四邊形A3CD是平行四邊形，「.8=43,

113

又歹為C￡>中點(diǎn)，:.CF=-CD=-AB.MF=MC+CF=-AB.

222

31414

所以5AB=7,解得=故答案為可.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，在幾何圖形中涉及線段中線問題，一般倍長中線，作出輔助

線構(gòu)造等腰三角形進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化.

14.（2023,福建?一模）如圖，在平行四動(dòng)形紙板ABCD中，點(diǎn)E,F,O分別為AB,CD,班?的中點(diǎn)，連

接。E,OF,BF.將一飛鏢隨機(jī)投擲到平行四邊形紙板上，則飛鏢落在陰影部分的概率為.

【答案】|

O

SE8=；SBED，

【分析】根據(jù)點(diǎn)E,F,O分別為A5,CD,5D的中點(diǎn)，得到BEF=SBED=^S,從

13

而得到SEOD=鼻SABCD'進(jìn)而得出S陰影=?sABCD'由此即可得到答案.

OO

【詳解】解：如圖，連接OE,

「四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E,F,O分別為ARCD,的中點(diǎn),

.,.點(diǎn)E,F,。在同一直線上，，S

二飛鏢落在陰影部分的概率為：，故答案為；

OO

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概率，平行四邊形的性質(zhì)，用到的知識點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比,

3

根據(jù)題意計(jì)算出S陰影=?SABCD是解此題的關(guān)鍵.

O

15.（2022?廣東?模擬預(yù)測）如圖，A3是。的弦，A3=5,點(diǎn)C是，。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且NACB=45。,

若點(diǎn)M,N分別為AB,AC的中點(diǎn)，則線段MN長度的最大值為一.

【分析】本題考查了三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)及圓周角定理，根據(jù)中位線定理得到

BC最大時(shí)，MN最大,當(dāng)8C最大時(shí)是直徑，從而求得直徑后就可以求得最大值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

以上知識點(diǎn)的應(yīng)用.

【詳解】回點(diǎn)M、N分別是A3、AC的中點(diǎn)，回肱V是的中位線，^MN=^BC,

團(tuán)當(dāng)BC取得最大值時(shí)，就取得最大值，即當(dāng)BC為直徑時(shí)，BC最大,MN最大,

如圖所示：將此時(shí)的C點(diǎn)記為C'點(diǎn),

c

MB

EI3C'是。的直徑，SABAC=90°,

0ZACB=ZC=45°,AB=5,由勾股定理得：BC'=+心=舊+5?=50，

0MN二巫,國肱V長的最大值為述，故答案為：—.

222

16.（2022?黑龍江??？寄M預(yù)測）在平行四邊形ABCD中，AB=5,AC=2卡,BC邊上的高為4,則平

行四邊形ABCD周長等于.

【答案】20或12

【分析】根據(jù)題意分別畫出圖形，BC邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部和外部，進(jìn)而利用勾股定理求出即

可.

圖1

在平行四邊形ABCD中，5c邊上的高為4,AB=5,AC=245

:.EC=7AC22-AE2=2-AB=CD=5,BE=^AB'-AE-2=3,

：.AD^BC^5,'-A3CD的周長等于=2（AB+AT））=20

如圖2所示:「在ABCD中，BC邊上的高為4,AB=5,AC=275

圖2

：.EC^\lAC22-AE22^2,AB=CD=5,BE=ylAB2-AE2=3

.?.3。=3一2=1,二458的周長等于：1+1+5+5=12,

則ABCD的周長等于20或12,故答案為：20或12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，利用分類討論的方法是解題的關(guān)鍵.

17.(2024?重慶?中考模擬預(yù)測)如圖，在正六邊形ABCDE尸中，M,N是對角線助上的兩點(diǎn)，添加下列

條件中的一個(gè)：?BM=EN；②NE4N=NCDM；③AM=DN；@ZAMB=ZDNE.能使四邊形

4WDN是平行四邊形的是__________(填上所有符合要求的條件的序號).

CD

【答案】①②④

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，依次結(jié)合題給的條件，先證有關(guān)三角形是否全等，再證四邊形4WDN是平

行四邊形.

【詳解】解：由正六邊形的性質(zhì)知：^ABM^DEN,AB=DE,0BAF=0CJDE,

BM=EN

①若BM=EN,在0ABM和前EN中，\ZABM=ADEN,aABM沿一DEN(SAS),

AB=DE

^AM=DN,^AMB=^DNE,m\MN=WNM,SAM//DN,El四邊形AMON是平行四邊形；

②若ZFAN=ZCDM,貝靦54"=[3瓦＞加，

'/BAN=NEDM

在「ABN和△￡＞￡"中，＜ABDE,EAABN^ADEM(ASA),

/ABM=ADEN

^AN=DM,^ANM=SDMN,EIAN〃OMI3四邊形AWDN是平行四邊形；

③若AM=DN,結(jié)合條件SABM=SDEN,SSA無法證明AABMRDEN,也就無法證明四邊形

AMDN是平行四邊形;

NAMB=NDNE

@^ZAMB=ZDNE,在0ABM和回。硒中，2ABM=NDEN,0ABMDEN（AAS）,

AB=DE

^AM=DN,^AMB=^\DNE,^AMN=^DNM,^AM//DN,團(tuán)四邊形AMDN是平行四邊形；

綜上所述，①②④符合題意.故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】此題考查了正六邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定以及平行四邊形的判定.解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用

上述知識逐一進(jìn)行判斷.

18.（2023?廣東佛山?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD中，ZA=ZABC^90°,AD=1,BC=3,E是

邊CD的中點(diǎn)，連接BE并延長與AD的延長線相交于點(diǎn)

⑴求證：四邊形也"'C是平行四邊形；（2）若，/中。是等腰三角形，求四邊形3DFC的面積.

【答案】⑴見解析⑵60或3君

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和中點(diǎn)的性質(zhì)證明三角形全等，然后根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行

四邊形完成證明；（2）由等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況：?CF=DF,?CF=CD,?DF=CD,

分別求四邊形的面積.

【詳解】（1）證明：ZA=ZABC=90°,BC//AD,:.ZCBE=ZDFE,

ZCBE=ZDFE

在,BEC與ZXFED中，＜NBEC=NFED,NBEC^FED,:.BE=FE,

CE=DE

又.E是邊。的中點(diǎn)，二?！??！?.?.四邊形3DFC是平行四邊形；

（2）①當(dāng)ED=R7=3時(shí)，即3。=3時(shí)，由勾股定理得，AB=^BD2-AD2=^32-I2=2^-

0,四邊形3DFC的面積=3x2衣=6夜；

②當(dāng)DF=OC=3時(shí)，過點(diǎn)C作CGLA產(chǎn)于G,則四邊形AGC3是矩形，

0AG=BC=3,SDG=AG-AD=3-l=2,

由勾股定理得，CG={cif-DG?=1號一手■=如，回四邊形雙me的面積=3x?=3君;

③當(dāng)CD=CF時(shí)，D尸邊上的中垂線垂直平分了。尸

設(shè)交D尸于點(diǎn)H,^\DH=AD-AD-3-1=2,而根據(jù)圖得￡>//=g。/7=1.5w2,矛盾，此時(shí)不成立；

綜上所述，四邊形3DFC的面積是6上或36.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，確定出全

等三角形，分類討論是解題的關(guān)鍵.

19.（2023?陜西寶雞??？家荒＃﹩栴}提出：

問題探究:如圖2,在四邊形ABCD中，對角線AC、相交于點(diǎn)。，E、F、G、H分別為AB、BC、

CD、AD的中點(diǎn)，連接E尸、FG、GH、HE.若AC=14,&）=16,NAO3=60。，求四邊形瓦G”的面

積.

問題解決:如圖3,某市有一塊五邊形空地ABCDE,其中/區(qū)4石=/48。=/38=90。,48=600米，

3c=800米，AE=650米，DC=400米，現(xiàn)計(jì)劃在五邊形空地內(nèi)部修建一個(gè)四邊形花園MZVG”,使點(diǎn)

3

M、N、G、”分別在邊AB、BC、CD、AE上，要求A"=CN,AM=CG,tan/BNM=-,請問，是否

4

存在符合設(shè)計(jì)要求的面積最大的四邊形花園MNGH?若存在，求四邊形MVGH面積的最大值；若不存

在，請說明理由.

【答案】問題提出：3；問題探究：28/；問題解決：存在四邊形MNGH面積的最大值，四邊形MNG”

的最大面積為240000平方米.

【分析】問題提出：由DE〃BC,得4第77=AD卷得出罟AE咤4，進(jìn)一步得出結(jié)果;

問題探究：根據(jù)三角形中位線性質(zhì)可得出87=產(chǎn)6=35。=8，EF=GH=WAC=7,

EH〃FG〃BD,EF〃GH〃AC,從而得出四邊形ETOR是平行四邊形，四邊形EFGH是平行四邊

形，從而NEEQ=/49B=6（）。，進(jìn)一步得出結(jié)果；問題解決：延長AE,CD,交于。，可得出四邊形

A8C。是矩形，設(shè)3M=6a,BN=8a,表示出和A4HM的面積，進(jìn)而表示出四邊形MNGH的面

積，配方后求出結(jié)果.

【詳解】解：問題提出回DE〃BC,=回看=》回鉆=3,故答案為：3；

問題探究如圖，設(shè)AC,EH交于點(diǎn)、R,BD,EF交于點(diǎn)T,作FQLEH于Q,

0￡>F、G、H分別為A3、BC、CD、AD的中點(diǎn)，

0EH=FG=；BD=8,EF=GH=gAC=7,EH〃FG〃BD,EF〃GH〃AC,

回四邊形ETOR是平行四邊形，四邊形EFG”是平行四邊形，

0NFEQ=ZAOB=60°,0FQ=EFsinZFEQ=7xsin60°=-73,

回S四邊形r=EHFQ==285

問題解決：如下圖，延長AE,CD,交于。，

團(tuán)/班￡=/ABC=/5CD=90。回四邊形ABC。是矩形，^\AB=CQ,AQ=CB,

?AH=CN,AM=CG,由BM=QG,BN=HQ,

團(tuán)tanNBNM=-=,回可設(shè)BM=6a,BN=8a,

4BN

國SBMN=S.GHQ=耳*6。?8a=24a~,0SAMH=SCGN=—（600—6fl）（800—8a）,

13s四邊形^^=600x800-48a2-（600-6a）（800-8a）=-96（a-50）2+240000

回存在四邊形MNGH面積的最大值，當(dāng)a=50米時(shí)，四邊形MNGH的最大面積=240000（平方米）.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，二次函數(shù)的應(yīng)用，平

行線分線段成比例定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是設(shè)變量建立函數(shù)關(guān)系式.

20.（2023?山東?二模）（問題）用“邊形的對角線把“邊形分割成（”-2個(gè)三角形，共有多少種不同的分

割方案（7724）?

（探究）為了解決上面的數(shù)學(xué)問題，我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單情形入手，再逐次遞進(jìn)

轉(zhuǎn)化，最后猜想得出結(jié)論.不妨假設(shè)“邊形的分割方案有/■（〃）種.

探究一：用四邊形的對角線把四邊形分割成2個(gè)三角形，共有多少種不同的分割方案？如圖①，圖②，

顯然，只有2種不同的分割方案.所以，f（4）=2.

探究二：用五邊形的對角線把五邊形分割成3個(gè)三角形，共有多少種不同的分割方案？不妨把分割方案分

成三類：

割成2個(gè)三角形，由探究一知，有了（4）種不同的分割方案，所以，此類共有/'（4）種不同的分割方案.

第2類：如圖④，用點(diǎn)A,E與C連接，把五邊形分割成3個(gè)三角形，有1種不同的分割方案，可視為

g"4）種分割方案.

第3類：如圖⑤，用點(diǎn)A,E與。連接，先把五邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)四邊形，再把四邊形

分割成2個(gè)三角形，由探究一知，有/（4）種不同的分割方案，所以，此類共有/（4）種不同的分割方

案.

所以，/（5）=/（4）+|/（4）+/（4）=|X/（4）=^X/（4）=5（種）

探究三：用六邊形的對角線把六邊形分割成4個(gè)三角形，共有多少種不同的分割方案？不妨把分割方案分

成四類:

C圖⑨

第1類：如圖⑥，用A,F與B連接，先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)五邊形，再把五邊形分割

成3個(gè)三角形，由探究二知，有“5）種不同的分割方案，所以，此類共有45）種不同的分割方案.

第2類：如圖⑦，用A,F與C連接，先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成2個(gè)三角形和1個(gè)四邊形.再把四邊形分

割成2個(gè)三角形，由探究一知，有了（4）種不同的分割方案.所以，此類共有/'（4）種分割方案.

第3類：如圖⑧，用A,尸與。連接，先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成2個(gè)三角形和1個(gè)四邊形.再把四邊形分

割成2個(gè)三角形，由探究一知，有了（4）種不同的分割方案.所以，此類共有/'（4）種分割方案.

第4類：如圖，用A,F與E連接，先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)五邊形，再把五邊形分割成

3個(gè)三角形，由探究二知，有“5）種不同的分割方案.所以，此類共有"5）種分割方案.

所以，/（6）=/（5）+/（4）+/（4）+/（5）

7?14

=/（5）+j/（5）+-/（5）+/（5）=yx/（5）=14（種）

探究四：用七邊形的對角線把七邊形分割成5個(gè)三角形，則/（7）與/'（6）的關(guān)系為了（7）=（）x/（6）,共

6

有種不同的分割方案……

（結(jié)論）用"邊形的對角線把〃邊形分割成（〃-2）個(gè)三角形，共有多少種不同的分割方案（7724）?（直接

寫出/（〃）與之間的關(guān)系式，不寫解答過程）

（應(yīng)用）用九邊形的對角線把九邊形分割成7個(gè)三角形，共有多少種不同的分割方案？（應(yīng)用上述結(jié)論中

的關(guān)系式求解）

4n—10

【答案】探究四：18,42；［結(jié)論］"〃-1）；［應(yīng)用］429種

n—1

【分析】［探究］根據(jù)探究的結(jié)論得到規(guī)律計(jì)算即可；

［結(jié)論］根據(jù)五邊形，六邊形，七邊形的對角線把圖形分割成三角形的方案總結(jié)規(guī)律即可得到答案；

［應(yīng)用］利用規(guī)律求得八邊形及九邊形的對角線把圖形分割成二角形的方案即可.

【詳解】所以，/（7）=/（6）+/（5）+2/（4）+/（5）+/（6）=2/（6）+2XA/（6）+2XAX_/（6）

=3/（6）=，"6）=42.故答案為：18,42.

［結(jié)論］由題意知/（5）=￥八4）,/（6）=^/（5）,/（7）=^/（6）,=

436n—1

4X81

［應(yīng)用］根據(jù)結(jié)論得：/（8）=7~0X/（7）=^X42=132.〃9）=生當(dāng)"x〃8）=乎xl32=429.

77oo

則用九邊形的對角線把九邊形分割成7個(gè)三角形，共有429種不同的分割方案.

【點(diǎn)睛】此題考查多邊形的對角線，圖形變化類規(guī)律題，研究了多邊形對角線分割多邊形成三角形的關(guān)

系，關(guān)鍵是能夠得到規(guī)律，此題有難度，注意利用數(shù)形結(jié)合的思想.

限時(shí)檢測2：最新各地中考真題（50分鐘）

1.（2023?湖南益陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，YABCD的對角線AC,3D交于點(diǎn)。，下列結(jié)論一定成立的是

A.OA=OBB.OA±OBC.OA=OCD.ZOBA=ZOBC

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案.

【詳解】解：A、根據(jù)平行四邊形性質(zhì)：對角線相互平分，在YABCD中，OA^OC,OB=OD,則

04=03不一定成立，該選項(xiàng)不符合題意；

B、根據(jù)平行四邊形性質(zhì)：對角線相互平分，不一定垂直，則。4,03不一定成立，該選項(xiàng)不符合題意；

C、根據(jù)平行四邊形性質(zhì)：對角線相互平分，在YABCD中，OA=OC,該選項(xiàng)符合題意；

D、根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，對角線不一定平分對角，則=/O3C不一定成立，該選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形性質(zhì)，熟記平行四邊形對角線相互平分是解決問題的關(guān)鍵.

2.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,AB=W,BC=6.點(diǎn)尸是

A3中點(diǎn)，連接CF,把線段Cb沿射線BC方向平移到DE,點(diǎn)。在AC上.則線段Cb在平移過程中掃過

區(qū)域形成的四邊形CEDE的周長和面積分別是（）

A.16,6B.18,18C.16.12D.12,16

【答案】C

【分析】先論證四邊形C成組是平行四邊形，再分別求出C/、CD、DF,繼而用平行四邊形的周長公式

和面積公式求解即可.

【詳解】由平移的性質(zhì)可知：DF//CE,DF=CE,團(tuán)四邊形CEDE是平行四邊形，

在Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=10,BC=6,^AC=^AB2-BC2=y1102-62=8

在Rt^ABC中，NACB=90°,AS=10,點(diǎn)/是AB中點(diǎn)國CP=』AB=5

2

AT)AF1

SDF//CE,點(diǎn)尸是AB中點(diǎn)回一=—=-,ZCDF=180°-ZABC=90°,

ACAB2

回點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，0CP=1AC=4

國。是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)下是AB中點(diǎn)，回是Rt^ABC的中位線，0DF=^BC=3

2

團(tuán)四邊形CEDE的周長為：2(止+CF)=2x(5+3)=16,

四邊形CEDE的面積為：DFxCD=3x4=12.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，平

行線分線段成比例，三角形中位線定理等知識，推導(dǎo)四邊形CEDE是平行四邊形和O尸是RtAABC的中位

線是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?河北?統(tǒng)考中考真題)綜合實(shí)踐課上，嘉嘉畫出△ABD,利用尺規(guī)作圖找一點(diǎn)C,使得四邊形

ABCD為平行四邊形.圖廠圖3是其作圖過程.

(1)作的垂直平分線交(2)連接A。，在AO的延長線上(3)連接。C,BC,則四邊形

BD于點(diǎn)、0；截取OC=AO；A3CD即為所求.

A.兩組對邊分別平行B.兩組對邊分別相等C.對角線互相平分D.一組對邊平行且相等

【答案】C

【分析】根據(jù)作圖步驟可知，得出了對角線互相平分，從而可以判斷.

【詳解】解：根據(jù)圖1,得出3。的中點(diǎn)0,圖2,得出OC=AO,

可知使得對角線互相平分，從而得出四邊形ABCD為平行四邊形，

判定四邊形ABC。為平行四邊形的條件是：對角線互相平分，故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握基本的作圖方法及平行四邊形的判定定理.

4.（2023?山西?統(tǒng)考中考真題）蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形.如圖是部分巢房的橫

截面圖，圖中7個(gè)全等的正六邊形不重疊且無縫隙，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P,。,“均為正六邊形

的頂點(diǎn).若點(diǎn)尸，。的坐標(biāo)分別為卜26,3）,（0,-3）,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）

D.(-2,-3A/3)

【答案】A

【分析】連接尸P，設(shè)正六邊形的邊長為。，由正六邊形的性質(zhì)及點(diǎn)P的坐標(biāo)可求得。的值，即可求得點(diǎn)

M的坐標(biāo).

【詳解】解：連接尸尸，如圖，設(shè)正六邊形的邊長為〃，0ZABC=12O°,團(tuán)NABO=60。，

團(tuán)NAOB=90。，回NBAO=30。，OA=—

22

0AC=CE=V3a,OF=OB+BF=^-,回點(diǎn)尸的坐標(biāo)為卜26,3）,回手=3,即。=2；

HOE=OC+CE=^y^=373,EM=2,回點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3萬一2）.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角直角三角形的性質(zhì)等知識，掌

握這些知識是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）第29屆自貢國際恐龍燈會"輝煌新時(shí)代”主題燈組上有一幅不完整的正

多邊形圖案，小華量得圖中一邊與對角線的夾角/ACB=15。，算出這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及正多邊形的性質(zhì)，得出/6=150。，然后可得每一個(gè)外角為30。，進(jìn)而

即可求解.

【詳解】解：依題意，AB=BC,ZACB=15°,ABAC=15°

0ZABC=180°-NACB-ABAC=150°

團(tuán)這個(gè)正多邊形的一個(gè)外角為180。-150。=30。，

所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為零=12,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的外角與邊數(shù)的關(guān)系，熟練掌握正多

邊的外角和等于360。是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?浙江湖州?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知-AO3,以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長為半徑作圓弧，與角的兩

邊分別交于C,D兩點(diǎn),分別以點(diǎn)C,。為圓心，大于gc。長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于NAOB內(nèi)一

點(diǎn)尸，連接0尸，過點(diǎn)P作直線產(chǎn)后OA,交OB于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作直線尸尸〃03,交。1于點(diǎn)R若

ZAOB=60°,OP=6cm,則四邊形尸尸OE的面積是（）

A.12石cnfB.66cm2C.36c而D.26cm?

【答案】B

【分析】過P作于M,再判定四邊形尸尸OE為平行四邊形，再根據(jù)勾股定理求出邊和高，最后

求出面積.

【詳解】解：過P作尸于

由作圖得：。尸平分/A03,0ZPOB=ZAOP=-ZAOB=30°,

2

EIPM=；°尸=3cm,^OM=^OP1-PM-=373>

SPEOA,PF//OB,回四邊形尸比正為平行四邊形，NEPO=NPOA=30°,

SZPOE=ZOPE,0OE=PE,設(shè)OE=PE=x,

在Rt.P￡M中，PE2-MP2=EM2，即：x2-32=（3^/3解得：x=20

團(tuán)S四邊形OEPF=OEPM=26*3=6j^（cm）.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，掌握平行四邊形的判定定理，勾股定理及平行四邊形的面積公式是解題的

關(guān)鍵.

7.（2022?河北?中考真題）依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù),下列一定為平行四邊形的是（）

人、￡

【答案】D

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定及性質(zhì)定理判斷即可;

【詳解】解：平行四邊形對角相等，故A錯(cuò)誤；

一組對邊平行不能判斷四邊形是平行四邊形，故B錯(cuò)誤；

三邊相等不能判斷四邊形是平行四邊形，故C錯(cuò)誤；

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故D正確；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定及性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（2023,湖北黃石?統(tǒng)考中考真題）如圖，在，ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)8,C為圓心，大于

（8C的長為半徑畫弧，兩弧相交于E,尸兩點(diǎn)，E尸和交于點(diǎn)。；②以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫

弧，交A3于點(diǎn)。；③分別以點(diǎn)。，c為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M,連接

AM,40和C￡）交于點(diǎn)N,連接QV若A3=9,AC=5,則ON的長為（）

-22

【答案】A

【分析】利用三角形中位線定理以及線段的垂直平分線的性質(zhì)求解.

【詳解】解：由作圖可知斯垂直平分線段BC,AM垂直平分線段CO,

團(tuán)OB=OC,DN=CN,SON=-BD,

2

SAB=9,AC=AD=5,^\BD=AB-AD=9-5=4,SON=-x4=2.故選：A.

2

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，三角形中位線定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理

解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

9.（2023?浙江金華?統(tǒng)考中考真題）如圖，把兩根鋼條Q4,03的一個(gè)端點(diǎn)連在一起，點(diǎn)C,。分別是

OA,03的中點(diǎn).若CD=4cm,則該工件內(nèi)槽寬AB的長為cm.

【答案】8

【分析】利用三角形中位線定理即可求解.

【詳解】解：回點(diǎn)C,O分別是OA03的中點(diǎn)，0CD=|AB,0AB=2CD=8（cm）,故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握"三角形的中位線是第三邊的一半”是解題的關(guān)鍵.

10.（2023?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，YABCD中，8。為對角線，分別以點(diǎn)4、8為圓心，以大于

的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N,作直線交AD于點(diǎn)E,交于點(diǎn)R若ADqBD,

BD=4,BC=8,則AE的長為.

【答案】5

【分析】連接防，根據(jù)基本作圖，得到3E=AE=x,利用平行四邊形的性質(zhì)，得

ED=AD-AE=AD-BE=S-x,在RtzXBDE中，利用勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖所示，連接8E,根據(jù)基本作圖，可設(shè)BE=A￡=x,

EIYASCD,AD±BD,8c=8,SAD=BC=8,/BDE=90°,ED=AD-AE=AD-BE=8-x,

在RtABDE中，BD=4,由勾股定