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文檔簡介
考點(diǎn)17.多邊形與平行四邊形(精練)
限時(shí)檢測1:最新各地模擬試題(50分鐘)
1.(2023?江西吉安???寄M預(yù)測)苯分子的環(huán)狀結(jié)構(gòu)是由德國化學(xué)家凱庫勒提出的.隨著研究的不斷深
入,發(fā)現(xiàn)苯分子中的6個(gè)碳原子與6個(gè)氫原子均在同一平面,且所有碳碳鍵的鍵長都相等(如圖1),組成
了一個(gè)完美的六邊形(正六邊形),圖2是其平面示意圖,則N1的度數(shù)為()
【答案】B
【分析】根據(jù)正六邊形的內(nèi)角和公式求出NBA尸的度數(shù),再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求//慚的度數(shù),同理
可得44尸的度數(shù),根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解.
62x180
【詳解】解:回六邊形ABCDEF是正六邊形,SAB=AF^EF,ZBAF=(~)°,
6=120
180120OO
0ZABF=ZAFB=°-°=30°,同理ZE4F=30°,0Z1=18O-3O°-3O-12O°,故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形內(nèi)角和的計(jì)算以及三角形公式,"邊形的內(nèi)角和為
2.(2023?湖北襄陽?模擬預(yù)測)能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是()
A.ABCD,AD=BCB.AB=CD,AD=BCC.ZA=AB,NC=NDD.AB^AD,CB=CD
【答案】B
【分析】直接利用平行四邊形的判定定理判定,即可求得答案.注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用.
【詳解】解:A、ABCD,AD=BC,則四邊形ABCD不一定為平行四邊形,可能為等腰梯形,故本選
項(xiàng)不符合題意;
B、AB=CD,AD=BC,則四邊形ABCD為平行四邊形;故本選項(xiàng)正確,符合題意;
C、ZA=ZB,NC=ND,則四邊形不一定為平行四邊形,可能為等腰梯形,故本選項(xiàng)不符合題意;
D、AB=AD,CB=CD,不能判定四邊形ABC。為平行四邊形;故本選項(xiàng)不符合題意.故選:B.
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定,熟練掌握平行四邊形的判定定理是解此題的關(guān)鍵.
3.(2023?河北張家口?統(tǒng)考三模)如圖,甲、乙兩位同學(xué)用"個(gè)完全相同的正六邊形按如下方式拼成一圈
后,使相鄰的兩個(gè)正六邊形有公共頂點(diǎn),設(shè)相鄰兩個(gè)正六邊形外圈的夾角為x°,內(nèi)圈的夾角為y°,中間
會圍成一個(gè)正“邊形,關(guān)于〃的值,甲的結(jié)果是〃=5,乙的結(jié)果是〃=3或4,則()
A.甲的結(jié)果正確B.乙的結(jié)果正確
C.甲、乙的結(jié)果合在一起才正確D.甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確
【答案】D
【分析】正六邊形的一個(gè)內(nèi)角為120。,根據(jù)外角的定義有,x+y=360。-2xl2(r=120。,得
>=("2)x180°,再討論即可得〃的值.
n
【詳解】解:回正六邊形的一個(gè)內(nèi)角為(6-2)x180:=]2o。,0x+y=360°-2x120°=120°,
6
團(tuán)為正〃邊形的一個(gè)內(nèi)角為度數(shù),回y=("2)x180。,
n
當(dāng)〃=3時(shí),y=60。,貝i]x=60。,當(dāng)〃=4時(shí),y=90°,貝ijx=30。,
當(dāng)〃=5時(shí),y=108°,則x=12。,當(dāng)”=6時(shí),y=120°,貝iJx=0。,
則〃的值為3或4或5或6.故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和.解題的關(guān)鍵是根據(jù)周角的定義推得x+V=120。.
4.(2023?浙江寧波?校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖,在Rt^ABC中,?B90?,AB=BC,AC=4,D,尸分別
是A5,3c邊的中點(diǎn),DEJ.AC于點(diǎn)、E.連接E/,則石尸的長為()
A.2B.3C.2拒D.也
【答案】D
【分析】本題考查了勾股定理,等腰直角三角形的性質(zhì)與判定,三角形中位線定理,先根據(jù)等邊對等角得
到/A=NC=45。,再由勾股定理得到A3=2近,由線段中點(diǎn)的定義和三角形中位線定理得到A£>=后,
DF=2,AC//DF,再由£>石14?得到/">£=45。=4,DE1DF,由此求出DE=1,即可利用勾
股定理求出E尸的長,證明。廠是RtAABC的中位線是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解:回在Rt^ABC中,2B90?,AB=BC,0ZA=ZC=45°,
0AC=4,^\AB=BC=—AC=2j2,EID,產(chǎn)分別是AB,3c邊的中點(diǎn),
2
團(tuán)£?/是RtZ^ABC的中位線,AD=-AB=y/2,0DF=-AC=2,AC//DF,
22
^DE.LAC,0ZADE=45°=ZA,DELDF,
@AE=DE=^AD=1,0EF=\lDE2+DF2=A/5>故選:D.
5.(2023?廣東?統(tǒng)考二模)如圖,在YABCD中,BF平分/ABC,交AD于點(diǎn)RCE平分NBCD交AD于
點(diǎn)E,AB=6,BC=10,則石廠長為()
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì),根據(jù)平行和角平分線,推出
均為等腰三角形,得到A尸=A3,CD=DE,進(jìn)而得至ljAD=2AB—£F,即可得解.
【詳解】解:0YABCD,AB=6,BC=10^AD=BC=10,AB=CD=6,AD//BC,
13Z2=ZAFB,Z3=ZCED,0的平分/ABC,CE平分NBCD,
0Z1=Z2=ZAFB,Z4=Z3=ZCED,^AF=AB,CD=DE,
S\AD=AF-EF+DE^2AB-EF,0£F=2AB-AD=2x6-10=2;故選B.
6.(2023?浙江?模擬預(yù)測)在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)尸是5c的中點(diǎn),AF與BD交于點(diǎn)E,貝仁鉆石與
四邊形EFCD的面積之比是()
AD
BF
【答案】c
【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形,易證得一ADEs-FBE,又由點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),根據(jù)相似三角形
的對應(yīng)邊成比例,可得皆=黑=2,然后設(shè)SBEF=。,根據(jù)等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比,即可
EFBF
求得AZ近的面積,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方,即可求得但的面積,繼而求得四邊
形EFCD的面積,則可求得答案.
【詳解】解:設(shè)SBEF=a,.?四邊形A3CD是平行四邊形,;.AD〃3C,AD=BC,ADE^FBE,
點(diǎn)產(chǎn)是3c的中點(diǎn),,⑻=J3C=JAD,.,?當(dāng)=當(dāng)=2,
2zEFBF
=
???5^=2”,=4BP51AD£=4a,SBCD=SABD^2a+4a=6a,
SFBEVBFJ
■15四邊形=S.BCD-SBEF=6a—a=5a,
ABE與四邊形EfCD的面積之比為:2a:5a=2:5.故選:C.
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積問題.此題難度適中,
解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,注意三角形面積的求解方法:等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的
比與相似三角形的面積比等于相似比的平方.
7.(2023?廣東?中考模擬預(yù)測)如圖,在ABC。中,一定正確的是()
A.AD=CDB.AC=BDC.AB=CDD.CD=BC
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì):平行四邊形的對邊相等,然后對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】解:回四邊形4BCD是平行四邊形SAB^CD,AD=BC故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行四邊形的性質(zhì).
8.(2023?重慶?中考模擬預(yù)測)如圖,剪兩張對邊平行的紙條,隨意交叉疊放在一起,重合部分構(gòu)成一個(gè)
四邊形ABCD,其中一張紙條在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,下列結(jié)論一定成立的是()
A.四邊形ABCD周長不變B.AD=CDC.四邊形4BCD面積不變D.AD=BC
【答案】D
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷,即可得到答案.
【詳解】解:由題意可知,SAB//CD,AD//BC,國四邊形A3CD是平行四邊形,
0AD=SC;故D符合題意;隨著一張紙條在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,AD不一定等于CO,四邊形ABCD周長、面積
都會改變;故A、B、C不符合題意;故選:D
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形對邊相等.
9.(2023?浙江紹興?校聯(lián)考三模)淇淇用圖一的六個(gè)全等AABC紙片拼接圖2所示的外輪廓是正六邊形,如
果用若干個(gè)AABC紙片按照圖3所示的方法拼接成外輪廓是正w變形圖案,那么的值為
3
【答案】九
【分析】先根據(jù)正多邊形內(nèi)角計(jì)算公式得出正六邊形的內(nèi)角度數(shù),得出N4CB=40。,再通過三角形內(nèi)角和
定理計(jì)算出NC4B=60。,從而得出正”邊形的內(nèi)角度數(shù),再經(jīng)過多邊形內(nèi)角和公式得出答案.
【詳解】解::正六邊形的每個(gè)內(nèi)角=180°x(6-a):]2。。,ZABC=80°
6
由圖可知,ZABC+ZACB=120°,:.ZACB=40°,
ZCAB=180°-ZABC-ZACB=180°-80°-40°=60°,
圖3中的正〃邊形的每個(gè)內(nèi)角=NC4B+NABC=60o+8(r=140。,
根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式得140。"=180。1一2),解得〃=9,
這個(gè)正”邊形是正九邊形.故答案為:九.
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式,三角形內(nèi)角和定理,對圖像中多邊形內(nèi)角與三角形各角之間的關(guān)
系是解題的關(guān)鍵.
10.(2023?湖北孝感?模擬預(yù)測)已知,正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為150。,則這個(gè)多邊形的對角線共有一條.
【答案】54
【分析】先求出多邊形每一個(gè)外角的度數(shù),然后即可求出邊數(shù),再利用公式;九(九-3)代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.
【詳解】解:回多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于150。,
團(tuán)多邊形的每個(gè)外角都等于180。一150。=30°,團(tuán)邊數(shù)n=360°+30°=12,
回對角線條數(shù)為;X12X(12-3)=54.故答案是:54.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的外角與對角線的性質(zhì),求出邊數(shù)是解題的關(guān)鍵,另外熟記從多邊形的對
角線的條數(shù)公式也很重要.
11.(2023?河北?模擬預(yù)測)一個(gè)多邊形,除了一個(gè)內(nèi)角外,其余各角的和為2750。,則這一內(nèi)角為
度.
【答案】130
【分析】設(shè)多邊形的邊數(shù)為無,根據(jù)多邊形的內(nèi)角一定大于0,并且小于180度,因而內(nèi)角和除去一個(gè)內(nèi)角
的值,這個(gè)值除以180度,所得數(shù)值比邊數(shù)要小,小的值小于1,可以求出多邊形的邊數(shù)為18,再利用內(nèi)角
和公式即可得出結(jié)果.
【詳解】解:設(shè)多邊形的邊數(shù)為x,由題意有(%-2”80。=2750。,解得:芯=171,
18
因而多邊形的邊數(shù)是18,則這一內(nèi)角為(18-2)x180。-2750。=130。.故答案為:130.
【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和公式,熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.
12.(2022,黑龍江哈爾濱?哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考一模)四邊形ABCD是平行四邊形,AB=12,的
平分線交直線5c于點(diǎn)E,若CE=4,則四邊形A3CD的周長為.
【答案】56或40/40或56
【分析】可分兩種情況:當(dāng)E在線段上時(shí),當(dāng)E在線段延長線上時(shí),由平行四邊形的性質(zhì)知
BC//AD,由平行線的性質(zhì)即角平分線的
定義可得ZBAE=ZBEA,進(jìn)而可求解班的長,即可求得BC的長,再根據(jù)平行四邊形的周長可求解.
【詳解】解:當(dāng)E在線段BC上時(shí),如圖,
回四邊形A3CD是平行四邊形,B1BC//AD,SZBEA=ZEAD,
OAK平分/BAD,0ZS4£=ZE4D,^ZBAE^ZBEA,^\BE=AB,
I3AB=12,EI3E=12,回CE=4,fflBC=BE+CE=12+4=16,
回四邊形ABC。的周長為:2x(12+16)=56;
當(dāng)E在線段8C延長線上時(shí),如圖,
回四邊形ABCD是平行四邊形,^BC//AD,SZBEA=ZEAD,
I3AE平分/BAD,0ZS4£=ZE4D,^ZBAE=ZBEA,^BE=AB,
EIAB=12,^BE=n,回CE=4,0BC=BE-CE=12-4=8,
團(tuán)四邊形A3CD的周長為:2X(12+8)=40;
綜上:四邊形A5CD的周長為56或40,故答案為:56或40
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì),證明=求解BE的長是解題的關(guān)鍵.
13.(2022?黑龍江哈爾濱?校考一模)如圖,在YABCD中,E,尸分別是BC,C。的中點(diǎn),AE=4,
AF=5,且ZE4F=60。,則AB的長是.
【分析】延長AE交。C延長線于M點(diǎn),過M點(diǎn)作MNLAF于N點(diǎn),先證明△ABE四△MCE,得到
AM=2AE=8,然后在母△AAW中,利用30。直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求AN=4,MN=,然
3
后在放MNF中利用勾股定理求出MB值,依據(jù)=則A3值可求.
【詳解】解:延長AE交DC延長線于M點(diǎn),過M點(diǎn)作MNLAF于N點(diǎn),
EIE點(diǎn)為BC中點(diǎn),SBE=CE.^AB//DM,^ZB=ZECM.
又ZAEB=ZMEC,0ABE^MCE(ASA).^CM=AB,AE=ME=4,SAM=2AE=8.
在RjAW/V中,ZMAN=60°,所以NAMV=30。,
SAN=^AM=4,MN=4AM2-AN2=-42=4^-NFAF-AN^5-4^1.
在RtMNF中,利用勾股定理可得MR=,肱/+橋2=-48+1=7.
團(tuán)四邊形A3CD是平行四邊形,「.8=43,
113
又歹為C£>中點(diǎn),:.CF=-CD=-AB.MF=MC+CF=-AB.
222
31414
所以5AB=7,解得=故答案為可.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì),在幾何圖形中涉及線段中線問題,一般倍長中線,作出輔助
線構(gòu)造等腰三角形進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化.
14.(2023,福建?一模)如圖,在平行四動(dòng)形紙板ABCD中,點(diǎn)E,F,O分別為AB,CD,班?的中點(diǎn),連
接。E,OF,BF.將一飛鏢隨機(jī)投擲到平行四邊形紙板上,則飛鏢落在陰影部分的概率為.
【答案】|
O
SE8=;SBED,
【分析】根據(jù)點(diǎn)E,F,O分別為A5,CD,5D的中點(diǎn),得到BEF=SBED=^S,從
13
而得到SEOD=鼻SABCD'進(jìn)而得出S陰影=?sABCD'由此即可得到答案.
OO
【詳解】解:如圖,連接OE,
「四邊形ABCD為平行四邊形,點(diǎn)E,F,O分別為ARCD,的中點(diǎn),
.,.點(diǎn)E,F,。在同一直線上,,S
二飛鏢落在陰影部分的概率為:,故答案為;
OO
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概率,平行四邊形的性質(zhì),用到的知識點(diǎn)為:概率=相應(yīng)的面積與總面積之比,
3
根據(jù)題意計(jì)算出S陰影=?SABCD是解此題的關(guān)鍵.
O
15.(2022?廣東?模擬預(yù)測)如圖,A3是。的弦,A3=5,點(diǎn)C是,。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且NACB=45。,
若點(diǎn)M,N分別為AB,AC的中點(diǎn),則線段MN長度的最大值為一.
【分析】本題考查了三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)及圓周角定理,根據(jù)中位線定理得到
BC最大時(shí),MN最大,當(dāng)8C最大時(shí)是直徑,從而求得直徑后就可以求得最大值,解題的關(guān)鍵是熟練掌握
以上知識點(diǎn)的應(yīng)用.
【詳解】回點(diǎn)M、N分別是A3、AC的中點(diǎn),回肱V是的中位線,^MN=^BC,
團(tuán)當(dāng)BC取得最大值時(shí),就取得最大值,即當(dāng)BC為直徑時(shí),BC最大,MN最大,
如圖所示:將此時(shí)的C點(diǎn)記為C'點(diǎn),
c
MB
EI3C'是。的直徑,SABAC=90°,
0ZACB=ZC=45°,AB=5,由勾股定理得:BC'=+心=舊+5?=50,
0MN二巫,國肱V長的最大值為述,故答案為:—.
222
16.(2022?黑龍江???寄M預(yù)測)在平行四邊形ABCD中,AB=5,AC=2卡,BC邊上的高為4,則平
行四邊形ABCD周長等于.
【答案】20或12
【分析】根據(jù)題意分別畫出圖形,BC邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部和外部,進(jìn)而利用勾股定理求出即
可.
圖1
在平行四邊形ABCD中,5c邊上的高為4,AB=5,AC=245
:.EC=7AC22-AE2=2-AB=CD=5,BE=^AB'-AE-2=3,
:.AD^BC^5,'-A3CD的周長等于=2(AB+AT))=20
如圖2所示:「在ABCD中,BC邊上的高為4,AB=5,AC=275
圖2
:.EC^\lAC22-AE22^2,AB=CD=5,BE=ylAB2-AE2=3
.?.3。=3一2=1,二458的周長等于:1+1+5+5=12,
則ABCD的周長等于20或12,故答案為:20或12.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識,利用分類討論的方法是解題的關(guān)鍵.
17.(2024?重慶?中考模擬預(yù)測)如圖,在正六邊形ABCDE尸中,M,N是對角線助上的兩點(diǎn),添加下列
條件中的一個(gè):?BM=EN;②NE4N=NCDM;③AM=DN;@ZAMB=ZDNE.能使四邊形
4WDN是平行四邊形的是__________(填上所有符合要求的條件的序號).
CD
【答案】①②④
【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì),依次結(jié)合題給的條件,先證有關(guān)三角形是否全等,再證四邊形4WDN是平
行四邊形.
【詳解】解:由正六邊形的性質(zhì)知:^ABM^DEN,AB=DE,0BAF=0CJDE,
BM=EN
①若BM=EN,在0ABM和前EN中,\ZABM=ADEN,aABM沿一DEN(SAS),
AB=DE
^AM=DN,^AMB=^DNE,m\MN=WNM,SAM//DN,El四邊形AMON是平行四邊形;
②若ZFAN=ZCDM,貝靦54"=[3瓦>加,
'/BAN=NEDM
在「ABN和△£>£"中,<ABDE,EAABN^ADEM(ASA),
/ABM=ADEN
^AN=DM,^ANM=SDMN,EIAN〃OMI3四邊形AWDN是平行四邊形;
③若AM=DN,結(jié)合條件SABM=SDEN,SSA無法證明AABMRDEN,也就無法證明四邊形
AMDN是平行四邊形;
NAMB=NDNE
@^ZAMB=ZDNE,在0ABM和回。硒中,2ABM=NDEN,0ABMDEN(AAS),
AB=DE
^AM=DN,^AMB=^\DNE,^AMN=^DNM,^AM//DN,團(tuán)四邊形AMDN是平行四邊形;
綜上所述,①②④符合題意.故答案為:①②④.
【點(diǎn)睛】此題考查了正六邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定以及平行四邊形的判定.解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用
上述知識逐一進(jìn)行判斷.
18.(2023?廣東佛山?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖,四邊形ABCD中,ZA=ZABC^90°,AD=1,BC=3,E是
邊CD的中點(diǎn),連接BE并延長與AD的延長線相交于點(diǎn)
⑴求證:四邊形也"'C是平行四邊形;(2)若,/中。是等腰三角形,求四邊形3DFC的面積.
【答案】⑴見解析⑵60或3君
【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)和中點(diǎn)的性質(zhì)證明三角形全等,然后根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行
四邊形完成證明;(2)由等腰三角形的性質(zhì),分三種情況:?CF=DF,?CF=CD,?DF=CD,
分別求四邊形的面積.
【詳解】(1)證明:ZA=ZABC=90°,BC//AD,:.ZCBE=ZDFE,
ZCBE=ZDFE
在,BEC與ZXFED中,<NBEC=NFED,NBEC^FED,:.BE=FE,
CE=DE
又.E是邊。的中點(diǎn),二?!??!?.?.四邊形3DFC是平行四邊形;
(2)①當(dāng)ED=R7=3時(shí),即3。=3時(shí),由勾股定理得,AB=^BD2-AD2=^32-I2=2^-
0,四邊形3DFC的面積=3x2衣=6夜;
②當(dāng)DF=OC=3時(shí),過點(diǎn)C作CGLA產(chǎn)于G,則四邊形AGC3是矩形,
0AG=BC=3,SDG=AG-AD=3-l=2,
由勾股定理得,CG={cif-DG?=1號一手■=如,回四邊形雙me的面積=3x?=3君;
③當(dāng)CD=CF時(shí),D尸邊上的中垂線垂直平分了。尸
設(shè)交D尸于點(diǎn)H,^\DH=AD-AD-3-1=2,而根據(jù)圖得£>//=g。/7=1.5w2,矛盾,此時(shí)不成立;
綜上所述,四邊形3DFC的面積是6上或36.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),確定出全
等三角形,分類討論是解題的關(guān)鍵.
19.(2023?陜西寶雞???家荒#﹩栴}提出:
問題探究:如圖2,在四邊形ABCD中,對角線AC、相交于點(diǎn)。,E、F、G、H分別為AB、BC、
CD、AD的中點(diǎn),連接E尸、FG、GH、HE.若AC=14,&)=16,NAO3=60。,求四邊形瓦G”的面
積.
問題解決:如圖3,某市有一塊五邊形空地ABCDE,其中/區(qū)4石=/48。=/38=90。,48=600米,
3c=800米,AE=650米,DC=400米,現(xiàn)計(jì)劃在五邊形空地內(nèi)部修建一個(gè)四邊形花園MZVG”,使點(diǎn)
3
M、N、G、”分別在邊AB、BC、CD、AE上,要求A"=CN,AM=CG,tan/BNM=-,請問,是否
4
存在符合設(shè)計(jì)要求的面積最大的四邊形花園MNGH?若存在,求四邊形MVGH面積的最大值;若不存
在,請說明理由.
【答案】問題提出:3;問題探究:28/;問題解決:存在四邊形MNGH面積的最大值,四邊形MNG”
的最大面積為240000平方米.
【分析】問題提出:由DE〃BC,得4第77=AD卷得出罟AE咤4,進(jìn)一步得出結(jié)果;
問題探究:根據(jù)三角形中位線性質(zhì)可得出87=產(chǎn)6=35。=8,EF=GH=WAC=7,
EH〃FG〃BD,EF〃GH〃AC,從而得出四邊形ETOR是平行四邊形,四邊形EFGH是平行四邊
形,從而NEEQ=/49B=6()。,進(jìn)一步得出結(jié)果;問題解決:延長AE,CD,交于。,可得出四邊形
A8C。是矩形,設(shè)3M=6a,BN=8a,表示出和A4HM的面積,進(jìn)而表示出四邊形MNGH的面
積,配方后求出結(jié)果.
【詳解】解:問題提出回DE〃BC,=回看=》回鉆=3,故答案為:3;
問題探究如圖,設(shè)AC,EH交于點(diǎn)、R,BD,EF交于點(diǎn)T,作FQLEH于Q,
0£>F、G、H分別為A3、BC、CD、AD的中點(diǎn),
0EH=FG=;BD=8,EF=GH=gAC=7,EH〃FG〃BD,EF〃GH〃AC,
回四邊形ETOR是平行四邊形,四邊形EFG”是平行四邊形,
0NFEQ=ZAOB=60°,0FQ=EFsinZFEQ=7xsin60°=-73,
回S四邊形r=EHFQ==285
問題解決:如下圖,延長AE,CD,交于。,
團(tuán)/班£=/ABC=/5CD=90。回四邊形ABC。是矩形,^\AB=CQ,AQ=CB,
?AH=CN,AM=CG,由BM=QG,BN=HQ,
團(tuán)tanNBNM=-=,回可設(shè)BM=6a,BN=8a,
4BN
國SBMN=S.GHQ=耳*6。?8a=24a~,0SAMH=SCGN=—(600—6fl)(800—8a),
13s四邊形^^=600x800-48a2-(600-6a)(800-8a)=-96(a-50)2+240000
回存在四邊形MNGH面積的最大值,當(dāng)a=50米時(shí),四邊形MNGH的最大面積=240000(平方米).
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理,平行四邊形的判定和性質(zhì),解直角三角形,二次函數(shù)的應(yīng)用,平
行線分線段成比例定理等知識,解決問題的關(guān)鍵是設(shè)變量建立函數(shù)關(guān)系式.
20.(2023?山東?二模)(問題)用“邊形的對角線把“邊形分割成(”-2個(gè)三角形,共有多少種不同的分
割方案(7724)?
(探究)為了解決上面的數(shù)學(xué)問題,我們采取一般問題特殊化的策略,先從最簡單情形入手,再逐次遞進(jìn)
轉(zhuǎn)化,最后猜想得出結(jié)論.不妨假設(shè)“邊形的分割方案有/■(〃)種.
探究一:用四邊形的對角線把四邊形分割成2個(gè)三角形,共有多少種不同的分割方案?如圖①,圖②,
顯然,只有2種不同的分割方案.所以,f(4)=2.
探究二:用五邊形的對角線把五邊形分割成3個(gè)三角形,共有多少種不同的分割方案?不妨把分割方案分
成三類:
割成2個(gè)三角形,由探究一知,有了(4)種不同的分割方案,所以,此類共有/'(4)種不同的分割方案.
第2類:如圖④,用點(diǎn)A,E與C連接,把五邊形分割成3個(gè)三角形,有1種不同的分割方案,可視為
g"4)種分割方案.
第3類:如圖⑤,用點(diǎn)A,E與。連接,先把五邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)四邊形,再把四邊形
分割成2個(gè)三角形,由探究一知,有/(4)種不同的分割方案,所以,此類共有/(4)種不同的分割方
案.
所以,/(5)=/(4)+|/(4)+/(4)=|X/(4)=^X/(4)=5(種)
探究三:用六邊形的對角線把六邊形分割成4個(gè)三角形,共有多少種不同的分割方案?不妨把分割方案分
成四類:
C圖⑨
第1類:如圖⑥,用A,F與B連接,先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)五邊形,再把五邊形分割
成3個(gè)三角形,由探究二知,有“5)種不同的分割方案,所以,此類共有45)種不同的分割方案.
第2類:如圖⑦,用A,F與C連接,先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成2個(gè)三角形和1個(gè)四邊形.再把四邊形分
割成2個(gè)三角形,由探究一知,有了(4)種不同的分割方案.所以,此類共有/'(4)種分割方案.
第3類:如圖⑧,用A,尸與。連接,先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成2個(gè)三角形和1個(gè)四邊形.再把四邊形分
割成2個(gè)三角形,由探究一知,有了(4)種不同的分割方案.所以,此類共有/'(4)種分割方案.
第4類:如圖,用A,F與E連接,先把六邊形分割轉(zhuǎn)化成1個(gè)三角形和1個(gè)五邊形,再把五邊形分割成
3個(gè)三角形,由探究二知,有“5)種不同的分割方案.所以,此類共有"5)種分割方案.
所以,/(6)=/(5)+/(4)+/(4)+/(5)
7?14
=/(5)+j/(5)+-/(5)+/(5)=yx/(5)=14(種)
探究四:用七邊形的對角線把七邊形分割成5個(gè)三角形,則/(7)與/'(6)的關(guān)系為了(7)=()x/(6),共
6
有種不同的分割方案……
(結(jié)論)用"邊形的對角線把〃邊形分割成(〃-2)個(gè)三角形,共有多少種不同的分割方案(7724)?(直接
寫出/(〃)與之間的關(guān)系式,不寫解答過程)
(應(yīng)用)用九邊形的對角線把九邊形分割成7個(gè)三角形,共有多少種不同的分割方案?(應(yīng)用上述結(jié)論中
的關(guān)系式求解)
4n—10
【答案】探究四:18,42;[結(jié)論]"〃-1);[應(yīng)用]429種
n—1
【分析】[探究]根據(jù)探究的結(jié)論得到規(guī)律計(jì)算即可;
[結(jié)論]根據(jù)五邊形,六邊形,七邊形的對角線把圖形分割成三角形的方案總結(jié)規(guī)律即可得到答案;
[應(yīng)用]利用規(guī)律求得八邊形及九邊形的對角線把圖形分割成二角形的方案即可.
【詳解】所以,/(7)=/(6)+/(5)+2/(4)+/(5)+/(6)=2/(6)+2XA/(6)+2XAX_/(6)
=3/(6)=,"6)=42.故答案為:18,42.
[結(jié)論]由題意知/(5)=¥八4),/(6)=^/(5),/(7)=^/(6),=
436n—1
4X81
[應(yīng)用]根據(jù)結(jié)論得:/(8)=7~0X/(7)=^X42=132.〃9)=生當(dāng)"x〃8)=乎xl32=429.
77oo
則用九邊形的對角線把九邊形分割成7個(gè)三角形,共有429種不同的分割方案.
【點(diǎn)睛】此題考查多邊形的對角線,圖形變化類規(guī)律題,研究了多邊形對角線分割多邊形成三角形的關(guān)
系,關(guān)鍵是能夠得到規(guī)律,此題有難度,注意利用數(shù)形結(jié)合的思想.
限時(shí)檢測2:最新各地中考真題(50分鐘)
1.(2023?湖南益陽?統(tǒng)考中考真題)如圖,YABCD的對角線AC,3D交于點(diǎn)。,下列結(jié)論一定成立的是
A.OA=OBB.OA±OBC.OA=OCD.ZOBA=ZOBC
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案.
【詳解】解:A、根據(jù)平行四邊形性質(zhì):對角線相互平分,在YABCD中,OA^OC,OB=OD,則
04=03不一定成立,該選項(xiàng)不符合題意;
B、根據(jù)平行四邊形性質(zhì):對角線相互平分,不一定垂直,則。4,03不一定成立,該選項(xiàng)不符合題意;
C、根據(jù)平行四邊形性質(zhì):對角線相互平分,在YABCD中,OA=OC,該選項(xiàng)符合題意;
D、根據(jù)平行四邊形性質(zhì),對角線不一定平分對角,則=/O3C不一定成立,該選項(xiàng)不符合題意;
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形性質(zhì),熟記平行四邊形對角線相互平分是解決問題的關(guān)鍵.
2.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題)如圖,在RtaABC中,ZACB=90°,AB=W,BC=6.點(diǎn)尸是
A3中點(diǎn),連接CF,把線段Cb沿射線BC方向平移到DE,點(diǎn)。在AC上.則線段Cb在平移過程中掃過
區(qū)域形成的四邊形CEDE的周長和面積分別是()
A.16,6B.18,18C.16.12D.12,16
【答案】C
【分析】先論證四邊形C成組是平行四邊形,再分別求出C/、CD、DF,繼而用平行四邊形的周長公式
和面積公式求解即可.
【詳解】由平移的性質(zhì)可知:DF//CE,DF=CE,團(tuán)四邊形CEDE是平行四邊形,
在Rt^ABC中,ZACB=90°,AB=10,BC=6,^AC=^AB2-BC2=y1102-62=8
在Rt^ABC中,NACB=90°,AS=10,點(diǎn)/是AB中點(diǎn)國CP=』AB=5
2
AT)AF1
SDF//CE,點(diǎn)尸是AB中點(diǎn)回一=—=-,ZCDF=180°-ZABC=90°,
ACAB2
回點(diǎn)。是AC的中點(diǎn),0CP=1AC=4
國。是AC的中點(diǎn),點(diǎn)下是AB中點(diǎn),回是Rt^ABC的中位線,0DF=^BC=3
2
團(tuán)四邊形CEDE的周長為:2(止+CF)=2x(5+3)=16,
四邊形CEDE的面積為:DFxCD=3x4=12.故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,平
行線分線段成比例,三角形中位線定理等知識,推導(dǎo)四邊形CEDE是平行四邊形和O尸是RtAABC的中位
線是解題的關(guān)鍵.
3.(2023?河北?統(tǒng)考中考真題)綜合實(shí)踐課上,嘉嘉畫出△ABD,利用尺規(guī)作圖找一點(diǎn)C,使得四邊形
ABCD為平行四邊形.圖廠圖3是其作圖過程.
(1)作的垂直平分線交(2)連接A。,在AO的延長線上(3)連接。C,BC,則四邊形
BD于點(diǎn)、0;截取OC=AO;A3CD即為所求.
A.兩組對邊分別平行B.兩組對邊分別相等C.對角線互相平分D.一組對邊平行且相等
【答案】C
【分析】根據(jù)作圖步驟可知,得出了對角線互相平分,從而可以判斷.
【詳解】解:根據(jù)圖1,得出3。的中點(diǎn)0,圖2,得出OC=AO,
可知使得對角線互相平分,從而得出四邊形ABCD為平行四邊形,
判定四邊形ABC。為平行四邊形的條件是:對角線互相平分,故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判斷,解題的關(guān)鍵是掌握基本的作圖方法及平行四邊形的判定定理.
4.(2023?山西?統(tǒng)考中考真題)蜂巢結(jié)構(gòu)精巧,其巢房橫截面的形狀均為正六邊形.如圖是部分巢房的橫
截面圖,圖中7個(gè)全等的正六邊形不重疊且無縫隙,將其放在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P,。,“均為正六邊形
的頂點(diǎn).若點(diǎn)尸,。的坐標(biāo)分別為卜26,3),(0,-3),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()
D.(-2,-3A/3)
【答案】A
【分析】連接尸P,設(shè)正六邊形的邊長為。,由正六邊形的性質(zhì)及點(diǎn)P的坐標(biāo)可求得。的值,即可求得點(diǎn)
M的坐標(biāo).
【詳解】解:連接尸尸,如圖,設(shè)正六邊形的邊長為〃,0ZABC=12O°,團(tuán)NABO=60。,
團(tuán)NAOB=90。,回NBAO=30。,OA=—
22
0AC=CE=V3a,OF=OB+BF=^-,回點(diǎn)尸的坐標(biāo)為卜26,3),回手=3,即。=2;
HOE=OC+CE=^y^=373,EM=2,回點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3萬一2).故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形,正六邊形的性質(zhì),勾股定理,含30度角直角三角形的性質(zhì)等知識,掌
握這些知識是解題的關(guān)鍵.
5.(2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題)第29屆自貢國際恐龍燈會"輝煌新時(shí)代”主題燈組上有一幅不完整的正
多邊形圖案,小華量得圖中一邊與對角線的夾角/ACB=15。,算出這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是()
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及正多邊形的性質(zhì),得出/6=150。,然后可得每一個(gè)外角為30。,進(jìn)而
即可求解.
【詳解】解:依題意,AB=BC,ZACB=15°,ABAC=15°
0ZABC=180°-NACB-ABAC=150°
團(tuán)這個(gè)正多邊形的一個(gè)外角為180。-150。=30。,
所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為零=12,故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理,正多邊形的性質(zhì),正多邊形的外角與邊數(shù)的關(guān)系,熟練掌握正多
邊的外角和等于360。是解題的關(guān)鍵.
6.(2023?浙江湖州?統(tǒng)考中考真題)如圖,已知-AO3,以點(diǎn)。為圓心,適當(dāng)長為半徑作圓弧,與角的兩
邊分別交于C,D兩點(diǎn),分別以點(diǎn)C,。為圓心,大于gc。長為半徑作圓弧,兩條圓弧交于NAOB內(nèi)一
點(diǎn)尸,連接0尸,過點(diǎn)P作直線產(chǎn)后OA,交OB于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作直線尸尸〃03,交。1于點(diǎn)R若
ZAOB=60°,OP=6cm,則四邊形尸尸OE的面積是()
A.12石cnfB.66cm2C.36c而D.26cm?
【答案】B
【分析】過P作于M,再判定四邊形尸尸OE為平行四邊形,再根據(jù)勾股定理求出邊和高,最后
求出面積.
【詳解】解:過P作尸于
由作圖得:。尸平分/A03,0ZPOB=ZAOP=-ZAOB=30°,
2
EIPM=;°尸=3cm,^OM=^OP1-PM-=373>
SPEOA,PF//OB,回四邊形尸比正為平行四邊形,NEPO=NPOA=30°,
SZPOE=ZOPE,0OE=PE,設(shè)OE=PE=x,
在Rt.P£M中,PE2-MP2=EM2,即:x2-32=(3^/3解得:x=20
團(tuán)S四邊形OEPF=OEPM=26*3=6j^(cm).故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖,掌握平行四邊形的判定定理,勾股定理及平行四邊形的面積公式是解題的
關(guān)鍵.
7.(2022?河北?中考真題)依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù),下列一定為平行四邊形的是()
人、£
【答案】D
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定及性質(zhì)定理判斷即可;
【詳解】解:平行四邊形對角相等,故A錯(cuò)誤;
一組對邊平行不能判斷四邊形是平行四邊形,故B錯(cuò)誤;
三邊相等不能判斷四邊形是平行四邊形,故C錯(cuò)誤;
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,故D正確;故選:D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定及性質(zhì),掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
8.(2023,湖北黃石?統(tǒng)考中考真題)如圖,在,ABC中,按以下步驟作圖:①分別以點(diǎn)8,C為圓心,大于
(8C的長為半徑畫弧,兩弧相交于E,尸兩點(diǎn),E尸和交于點(diǎn)。;②以點(diǎn)A為圓心,AC長為半徑畫
弧,交A3于點(diǎn)。;③分別以點(diǎn)。,c為圓心,大于的長為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)M,連接
AM,40和C£)交于點(diǎn)N,連接QV若A3=9,AC=5,則ON的長為()
-22
【答案】A
【分析】利用三角形中位線定理以及線段的垂直平分線的性質(zhì)求解.
【詳解】解:由作圖可知斯垂直平分線段BC,AM垂直平分線段CO,
團(tuán)OB=OC,DN=CN,SON=-BD,
2
SAB=9,AC=AD=5,^\BD=AB-AD=9-5=4,SON=-x4=2.故選:A.
2
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖,三角形中位線定理,線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是理
解題意,靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.
9.(2023?浙江金華?統(tǒng)考中考真題)如圖,把兩根鋼條Q4,03的一個(gè)端點(diǎn)連在一起,點(diǎn)C,。分別是
OA,03的中點(diǎn).若CD=4cm,則該工件內(nèi)槽寬AB的長為cm.
【答案】8
【分析】利用三角形中位線定理即可求解.
【詳解】解:回點(diǎn)C,O分別是OA03的中點(diǎn),0CD=|AB,0AB=2CD=8(cm),故答案為:8.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理的應(yīng)用,掌握"三角形的中位線是第三邊的一半”是解題的關(guān)鍵.
10.(2023?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題)如圖,YABCD中,8。為對角線,分別以點(diǎn)4、8為圓心,以大于
的長為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)M、N,作直線交AD于點(diǎn)E,交于點(diǎn)R若ADqBD,
BD=4,BC=8,則AE的長為.
【答案】5
【分析】連接防,根據(jù)基本作圖,得到3E=AE=x,利用平行四邊形的性質(zhì),得
ED=AD-AE=AD-BE=S-x,在RtzXBDE中,利用勾股定理計(jì)算即可.
【詳解】解:如圖所示,連接8E,根據(jù)基本作圖,可設(shè)BE=A£=x,
EIYASCD,AD±BD,8c=8,SAD=BC=8,/BDE=90°,ED=AD-AE=AD-BE=8-x,
在RtABDE中,BD=4,由勾股定
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