高考數(shù)學(xué)一輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)知識(shí)清單-三角函數(shù)的概念與三角公式應(yīng)用（含解析）

三角函數(shù)的概念與三角恒等變換

（思維構(gòu)建+知識(shí)盤(pán)點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）

維構(gòu)建?里里循0永紿

角的概念］--［象源角］

Y終邊相同的角）

Yo知識(shí)點(diǎn)一任意角與弧嬴避01終邊相同的角的旃

「「取度教公式）型02根一知角碓寒的范圉

遜03席的而鈿鰥;逾

翅04層隧瓠長(zhǎng)與面畫(huà)用

K扇形面積公式1j

三角函數(shù)的定義

-±1、

三角函數(shù)在各象限符號(hào)

。知識(shí)點(diǎn)二任意角的三角函數(shù)三正切、四融型10

型02判皆三角函數(shù)的符號(hào)

正弦線

凝03三角函數(shù)哪應(yīng)用

三角函數(shù)的概念三角函數(shù)線余弦愛(ài)

與三角公式應(yīng)用線

p.平方關(guān)■:ska-C—0=1

同角三角函數(shù)基本關(guān)森一商級(jí)系sin-anasina,cosa.tan卸一

,知識(shí)點(diǎn)三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式型02sina、cosa齊次式?為切

L基本關(guān)系式的幾瓶獲，i^^03sina=cosa,sinacosafiST^

°與誘導(dǎo)公式

霞04利用話導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一（奇變偶根、符號(hào)舌象源

型01兩毓］"的三角公式正序臉用

兩角和與差的正弦、余弦、正切公式型02二倍角公式號(hào)S隼應(yīng)用

型03

。知識(shí)點(diǎn)四三角恒等變換公式二倍角^5：

整04三角恒飆臺(tái)情求值

埔助角型05三角恒融按給值求角

轆06三角恒敏蠟管化簡(jiǎn)

口識(shí)盤(pán)點(diǎn)?叁幅訃與

知識(shí)點(diǎn)1任意角與弧度制

1、角的概念

（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；②

分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角.

（2）象限角：以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系.這樣，角的終邊（除

端點(diǎn)外）在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)

象限.

（3）終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，

構(gòu)成的角的集合是5=/磔==360。+如kb}.

2、弧度制

定義把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad

悶=4弧長(zhǎng)用/表示)

角a的弧度數(shù)公式

r

①1°=4-rad；②1rad=f兀）°

角度與弧度的換算

180

弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l=\a\r

扇形面積公式

知識(shí)點(diǎn)2任意角的三角函數(shù)

三角函數(shù)正弦余弦正切

設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸(x,y),那么

定義

y叫做a的正弦，記作sinax叫做a的余弦，記作cosa“叫做a的正切,記作tana

X

I+++

II+一一

各象限符號(hào)

III一一+

IV一+一

小

斗(助(認(rèn)N(L0)加味/斗(1,01

三角函數(shù)線

有向線段為正弦線有向線段。河為余弦線有向線段/T為正切線

知識(shí)點(diǎn)3同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式

1、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=l.

(3)商數(shù)關(guān)系：■『配‘0)

cosa

(3)基本關(guān)系式的幾種變形

@sin2oc=1—cos2a=(1+cosa)(l—cosa)；cos2a=1-sin2a=(1+sinoc)(l—sina).

②(sin。±cosa)2=l±2sinacosa.

c/兀+匹，z]

(3)sina=tan(zcosal2J.

2、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

公式--二三四五六

TC71?

角2E+a(《￡Z)兀+a~aTi-a—a一"va

22

正弦sina—sina—sinasinacosacosa

余弦cosa—cosacosa—cosasina—sina

正切tanatana—tana-tana

口訣函數(shù)名改變，符號(hào)看象限函數(shù)名不變，符號(hào)看象限

，，奇變偶不變，符號(hào)看象限，，中的奇、偶是指兀/2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化。

知識(shí)點(diǎn)4三角恒等變換公式

1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

C(a—份cos(a—￡)=cosacos￡+sin?sinP

C(a+份cos(a+￡)=cosacosyff-sinasin^

S(a-￡)sin(a—￡)=sinacos^—cosasin￡

S(a+￡)sin((z+4)=sinacosyff+cosasin夕

/小tana—tan￡

tan(a一夕)=----------；

T(a—⑶1+tanatan0

變形：tana—tanP=tan(a—￡)(1+tanatan￡)

/.c、tana+tan

tan(a+/7)=---------------；

T(a+仇1—tanatan0

變形：tanoc+tanS=tan(a+￡)(1—tanatan￡)

【注意】在公式T（a±⑶中a,P，a±￡都不等于E+：（左GZ）,即保證12110：,1211￡,1211（01士￡）都有意義.

2、二倍角公式

sin2a=2sinacosa；

S2a

變形：1+sin2a=(sina+cosa)2,1—sin2a=(sina—cosa)2

cos2a=cos2oc-sin2a=2cos2a_1=1—2sin2?；

C2a■w1+cos2a.1—cos2a

變71V形：cos?2a=-------------,smz9a=-------------

22

八2tana

T2atan2a=

1-tan2a

3、輔助角公式

一般地，函數(shù)/（a）=asina+bcosa（a,6為常數(shù)）可以化為｛a）=7戶PNsin（a+

或負(fù)a）=W^PPcos（a-9）］、中心11"

點(diǎn)突破?春分好?檢

重難點(diǎn)01sina,cosa齊次式中“切弦互化”的技巧

1、弦化切：把正弦、余弦化成切的結(jié)構(gòu)形式，統(tǒng)一為“切”的表達(dá)式，進(jìn)行求值.常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)有：

（1）sina,cosa的二次齊次式（如asir^a+bsinacosa+ccos?。）的問(wèn)題常采用“切”代換法求解；

（如asina+bcosa\

（2）sina,cos。的齊次分式［csina+dcosoj的問(wèn)題常采用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形.

2、切化弦：利用公式tana=9,把式子中的切化成弦.一般單獨(dú)出現(xiàn)正切的時(shí)候，采用此技巧.

cosa

【典例1］（23-24高三下?河南洛陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知tana=2,則：sina+cosa=（）

2sma-cos6Z

111一5

A.—B.—C.一D.2

333

【答案】B

?左力e、rc5sina+cosa5tana+15x2+111林、生

【解析】因?yàn)閠ana=2,所以丁---------=--------=cci,故選：B.

2sina-cosa2tana-12x2-13

【典例2］（23-24高三下?四川?模擬預(yù)測(cè)）已知tana=2,則siVa+cosZa=（）

A.-i111

B.-C.—D.一

2345

【答案】D

sin2cr+cos26z_cos2a_1_1痂法

【解析】因?yàn)閟i/a+cos2a=

si.n9a+cos7asi?n2a+cos7atan7a+15,

【典例3］（23-24高三下?廣東?月考）若tana=2,貝人M2。+吧也=（）

tana

6136

A.-B.C.--D.--

5355

【答案】A

.sin2a一：一2sinycosa.c2sida\-2co&a

sin2a-\------二2~,2

【解析】tan。sin?sirfCH-co§a-

COS6Z

sina則近a+2cos2atan2a+26工小4

因tana=-------,----------—=—j-----=-.故選：AA

cosasina+cosatana+\5

重難點(diǎn)02sina土cosa與sinacosa關(guān)系的應(yīng)用

對(duì)于sina+cosa,sincosa,sinacosa這三個(gè)式子，矢口一可求二，

若令sina+cosa引一仍，也］）,則sinacosa='？1，sina—cosa=士也二注意根據(jù)a的范圍選取正、

負(fù)號(hào)），體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用.

【典例1］（23-24高三下?吉林長(zhǎng)春?三模）已知戊￡（0,兀），且sina+cosa=g,則sin2a=.

24

【答案】一

【解析】因?yàn)閟ina+cosa=（，

所匕匚以1、1（s'ma+cosa\2=—1nsi.n2a+cos2a+2ns,macosa=—1nc2.sinacosa=--2-4-=>si.nl。a=--2-4-.

I725252525

【典例2］（23-24高三上?山東?開(kāi)學(xué)考試）若。e（0,$,sine-cos*正，則tan"（）

25

A.yB.2C.-D.3

23

【答案】B

Ro

【解析】由（sin。+cosOp+（sin。—cosOp=2,sin^-cos<9=——，得（sine+cos。）？=:，

55

而。e（o,$,即sin。>0,cose>0,解得Sin0+cos0=地，

25

因此sin6=述,cos8=啦，所以tan6=*=2.故選：B

55cos。

【典例3］（23-24高三下?湖南岳陽(yáng)?二模）已知〃€2,$也（修+/］+<：051胃-4=；,則（）

.11「8「8

A.coscr+sincr=—B.cosa+sina=——C.sin2a=——D.sinzcr=—

3399

【答案】C

【解析】設(shè)kez

①〃=4左時(shí)，sin||+cos||=sinfai+acos（2k7^~a）=sinz+cosz=-,

②〃=4k+1時(shí)，sinf-^-+aj+cosf\=sin12kn+^+aj+cos2kji+^~aj=cosz+sinz=,

..rm）rni

③〃=4左+2時(shí)，sml—+<7l+cos—-一a=sin（2hr+7c+a+cos（"兀+7?-a）=-sinz-cosz=

止匕時(shí)cosa+sina=——

3

f〃兀

④〃=4左+3時(shí)，sinl—+?+cos---a=sin2E+—兀+a+cos2E+—兀-a=-sina-cosa=—,

[2[2[23

止匕時(shí)cosa+sina=

3

綜合①②③④，可以排除A、B,

1

(sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2sinacosa=sin2a+cos2a+sin2a=1+sin2a=§,

Q

所以sin%=.，故選：C.

重難點(diǎn)03三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則

【注意】化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的常見(jiàn)方法有弦切互化，異名化同名，異角化同角，降幕與升幕等.

【典例1】(23-24高三下?廣東?二模)tan7.5°-tan82.50+2tan15°=()

A.-2B.—4C.—2D.—4-\/^

【答案】D

【解析】tan7.5°-tan82.5°4-2tan15°=sin7.5——sin82.52tan15。

cos7.5°cos82.5°

_sin7.5。cos7.5°sin27.5°-COS27.5O。.

+2tanl5°=----------------F2tanl5°

cos7.5°sin7.5。sin7.5°cos7.5°

cos15°2sin15°2(sin2150-cos2150)4cos3。。_后

—sin150cosl50sinl5°cos15°sin3(F.故選：D

2

2cos650COQ15。

【典例2](23-24高三下?重慶?模擬預(yù)測(cè))的值為()

tanl50cosl0o+sinl0°

A2+V3□1+V3「2+V3「1+V3

-ZY?_D??JLJ?

2244

【答案】A

*2

r2COS65°COS15°2cos65°cos15°sin25°x(l+cos30°)=]+叵="^,故選：.

【角軍析】---------------A

tan15°cos100+sin10°sinl50cosl0-+sinl00cosl5°sin25°22

sin80°+cos50°V-6

【典例3］（23-24高三下?河南焦作?月考）)

sin25°2tan25°

A.男V2

B.—D.

22~T

【答案】A

sin800+cos50°V6_sin(60°+20°)+cos(30°+20°)6cos250

【解析】

sin25°2tan25°sin25°2sin25°

sin60°cos20°+cos60°sin20°+cos30°cos20°-sin30°sin20°V6cos25

sin25°2sin25°

V3cos200+sin20°+V3cos20°-sin20°V-6cos25°A/3COS20°指cos250

2sin25°2sin25°sin2502sin25°

_百cos(45O-25。)_Ccos25。G(cos45°cos250+sin45°sin25°)76cos25°

sin25°2sin25°sin25°2sin25°

A/6COS25°+V6sin25°V6cos25°逐"、生

-------=—.故選：AA.

2sin25°2sin2502

法技巧?逆襄學(xué)露

CL

一、確定角上5wN+）終邊所在象限的方法

n

ry

法1分類討論法：利用已知條件寫(xiě)出a的范圍（用左表示），由此確定竺的范圍，在對(duì)左進(jìn)行分類討論，從

n

而確定上ry所在象限。

n

法2幾何法：先把各象限分為，等份，再?gòu)膞軸的正方向的上方起，逆時(shí)針依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二

rv

四……則a原來(lái)是第幾象限的角，標(biāo)號(hào)為幾的區(qū)域即角-終邊所在的區(qū)域。

n

0

【典例1】（23?24高三下?四川綿陽(yáng)?三模）已知sin/tane<0,且cos6?sin。<0,則一為（）

2

A.第一或二象限角B.第二或三象限角C.第一或三象限角D.第二或四象限角

【答案】C

?2/□

【解析】由sine?tan8<0,——<0,貝！Jcos。<0且sin。w0,又cos8?sin。<0,

cos。

兀

因此cos。<0且sin?！?，。是第二象限角，即一+2左兀<。<兀+2左兀，左EZ,

2

則:+E<g<￡+E#eZ,當(dāng)上為偶數(shù)時(shí)，鳥(niǎo)是第一象限角，當(dāng)上為奇數(shù)時(shí)，鳥(niǎo)是第三象限角,

42222

n

所以W是第一或三象限角.故選：c

2

zy

【典例2]（23-24高三上?廣東廣州?二調(diào)）已知sin。>0,cosa<0,則《的終邊在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第一、二、四象限

【答案】D

【解析】因?yàn)閟ina>0,cosa<0,

jr

所以。為第二象限角，即一+2左兀<。<兀+2左兀,左EZ,

2

7i2左兀a兀2ku,?

所以7+丁W+k，壯z，

63333

_.oc..,.v?，.?、t（7i7i]（5TLII3TT5兀、――，??m

則§的終邊所在象限為仁兀）J所在象限，

即1的終邊在第一、二、四象限.故選：D.

aCYa

【典例3]（23-24高三上?甘肅天水?月考）設(shè)。角屬于第二象限，且coS'M-coS],則￡角屬于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】Q。為第二象限角，.?.90°+k360°<a<180°+k360°ReZ）,

zy

45°+—180°<—<90°+-180。（。4）；

當(dāng)無(wú)=2M〃eZ）時(shí)，5為第一象限角；當(dāng)上=2〃+1（〃?2）時(shí)，5為第三象限角；

.為第一或第三象限角；

??,cos1=-cosW，??.cos^vO,?為第三象限角.故選:C.

2222

二、扇形的弧長(zhǎng)與面積應(yīng)用

1、利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.

2、求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題.

3、在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.

【典例1］（23-24高三上?黑龍江哈爾濱?月考）已知扇形弧長(zhǎng)為圓心角為2,則該扇形面積為（）

A.—B.—C.-D.1

18363

【答案】B

【解析】設(shè)扇形所在圓的半徑為,，

因?yàn)樯刃位￠L(zhǎng)為：IT，圓心角為2,可得"=TT可得r=ITB，

336

由扇形的面積公式，可得S=Lb=1x亞故選：B.

223636

【典例2］（23-24高三上?江蘇徐州?月考）已知某扇形的面積為3,則該扇形的周長(zhǎng)最小值為（）

A.2B.4C.2也D.473

【答案】D

【解析】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為/,半徑為「，

所以扇形的面積為1?//=3,所以〃=6,

又扇形的周長(zhǎng)為7+2廠，所以7+2y=4百，

當(dāng)且僅當(dāng)（=2］即/=2'=2百時(shí)，取等號(hào).故選：D.

/r=6

【典例3］（23-24高三下?湖南?一模）出土于魯國(guó)故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）的璜身滿刻

勾云紋，體扁平，呈扇面狀，黃身外樓空雕飾“S”型雙龍，造型精美.現(xiàn)要計(jì)算璜身面積（厚度忽略不計(jì)）,

3

測(cè)得各項(xiàng)數(shù)據(jù)（圖2）：ABx8cm,AD~2cm,AO~5cm，若sin37°a二,71a13.14,則璜身（即曲邊四邊形48cD）

面積近似為（）

圖1圖2

A.6.8cm2B.9.8cm2C.14.8cm2D.22.4cm2

【答案】C

【解析】顯然“03為等腰三角形,OA=OB=5,AB=8,

則c上3

4,sinN045=—

5

OA5

又sin37°e|,所以/O/B°37°，于是=180°—2義37°=106°=答，

所以璜身的面積近似為3//。鞏。1-。。2）=9警（52-乎卜14.8（cm?）.故選：C

三、三角函數(shù)的定義中常見(jiàn)的三種題型及解決辦法

1、已知角a的終邊上一點(diǎn)尸的坐標(biāo)，求角a的三角函數(shù)值

方法：先求出點(diǎn)尸到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解。

2、已知角a的一個(gè)三角函數(shù)值和終邊上一點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，求與角a有關(guān)的三角函數(shù)值

方法：先求出點(diǎn)尸到原點(diǎn)的距離（帶參數(shù)），根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未

知數(shù)，從而求解問(wèn)題。

3、已知角的終邊所在的直線方程（）=右,左力0）,求角的三角函數(shù)值

方法：先設(shè)出終邊上一點(diǎn)尸伍,左a）,a#0,求出點(diǎn)尸到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解，注意

。的符號(hào)，對(duì)a進(jìn)行討論。若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫(xiě)出角。的三角函數(shù)值。

【典例1］（23-24高三下?江西?二模）已知角二的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)河（行,1）,則cosa=（）

A.—B.—C.V2D.—

332

【答案】A

【解析】根據(jù)題意廠=|OM|="拒『+a=J5,

由三角函數(shù)的定義得cosa='=嗎=逅.故選：A.

rV33

【典例2］（23-24高三下?北京朝陽(yáng)?二模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，銳角夕以O(shè)為頂點(diǎn)，Ox為始邊.將。的

終邊繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn);后與單位圓交于點(diǎn)P（x/）,若cosc=①，則了=（）

410

43_34

A.—B.——C.-D.一

5555

【答案】D

【解析】如圖，

由cosa----,0<cr<—,得sina=Jl-cos2a=-------,

10210

所以y=sin(a+^)=^-(sina+cosa)==.故選：D

【典例3】（23?24高三下?河南?一模）以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為始邊的角。，其終邊落在直線〉二%

上，則有（）

A.sina=------B.cos=—C.sina+cosa—±V2D.tana=±1

22

【答案】C

【解析】因角a的終邊落在直線V=x上，a=-+2knsga=—+2kn,keZ.

44

對(duì)于A,當(dāng)a=2+2E,左eZ時(shí)，sina=—,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

42

對(duì)于B,當(dāng)二=孚+2左兀,左￡2時(shí)，cosa=_—1故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

42

對(duì)于C,當(dāng)a=］+2左兀，左eZ時(shí)，sina+cosa=75，

5兀

當(dāng)。=7~+2左兀,左￡Z時(shí)，sina+cosa=-逝，故B項(xiàng)正確;

7T

對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)a=—+2E,左eZ時(shí),sina=—,cosa=—,則tana=l；

422

當(dāng)［=學(xué)+2左兀,左￡2時(shí)，sincr=，cosa=——?jiǎng)ttana=1.故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.

422

四、對(duì)sina,cosd,tana的知一求二問(wèn)題

1、知弦求弦：利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系sin2a+cos2a=l求解

2>知弦求切：常通過(guò)平方關(guān)系，與對(duì)稱式sina土cosa,sinorcosa建立聯(lián)系，注意tana=""的靈活應(yīng)用

cos

3、知切求弦：先利用商數(shù)關(guān)系得出sina=tanGrcosa或cosa=^4,然后利用平方關(guān)系求解

tana

【典例1］（23-24高三上?河北邢臺(tái)?期末）若sina=-4,且。為第三象限角，則tana=（)

4

V39

A.

~L3~

【答案】B

【解析】因?yàn)閟inc=-3,且a為第三象限角，所以cosa=-

4

sina

故tana-a故選：B

cosaIF

3

【典例2］（23-24高三上?上海松江?期中）已知cos6=不，且sin6<0,貝UtanS的值為（）

【答案】A

_______4

【解析】由題意得si"=-Jl-cos2e=-J,貝==￡=-g，故選:

'⑸5cos?！?

5

371

【典例3］（23-24高三上?內(nèi)蒙古赤峰?期中）已知tana=3,兀<a<——貝Ucosa—sina=

2

【答案】平

3兀

【解析】Qtana=3,兀<a<—,

2

3廂

cosa=理-

a1010

Vio3V10Vio

則cosi-sina=--1---二—

10105

五、利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟

任意負(fù)角任意正角0?2n的

利用誘導(dǎo)公式利用誘導(dǎo)公式一利用誘導(dǎo)公式二銳角三

的三角函的三角函角的三角

角函數(shù)

數(shù)二或~■*數(shù)函數(shù)或四或五

也就是：“負(fù)化