數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念 高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念一、學習目標1.了解引進虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)系的擴充過程；2.理解復數(shù)的概念、表示法及相關概念；3.掌握復數(shù)的分類及復數(shù)相等的充要條件.【情境探究】1.回顧一元二次方程的解,明確實數(shù)的概念與分類:(1)方程x2-2x-3=0的正整數(shù)解是__,有理數(shù)解是_____,實數(shù)解是_____.(2)方程x2-2x-1=0的無理數(shù)解是,實數(shù)解是.必備知識生成33,-13,-12.(1)方程x2=-1在實數(shù)集中是否有解?提示:因為實數(shù)的平方都是非負數(shù),所以方程x2=-1在實數(shù)集中無解.(2)為了解決此類方程無實數(shù)解的問題,我們引入新數(shù)i,定義i·i=i2=-1,將實數(shù)集加以擴充,得到一個新的數(shù)集,那么此方程在這個數(shù)集中就有一個解為__.i3.(1)復數(shù)a+bi(a,b∈R)何時表示零?提示:當且僅當a=b=0時表示零.(2)實數(shù)集R與復數(shù)集C有什么關系?提示:用文字語言描述:實數(shù)集R是復數(shù)集C的真子集,即RC.用圖形語言描述:點撥精講對于一元二次方程沒有實數(shù)根．引入一個新數(shù)：滿足引入一個新數(shù)，叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定（2）實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有的加、乘運算律仍然成立．

(1)復數(shù)定義：我們把形如a+bi(a、b

∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復數(shù)所構成的集合C={a+bi

|

a、b∈R}叫做復數(shù)集表示法：復數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a、b∈R).以后不作特殊說明時復數(shù)z=a+bi都有a、b∈R,其中的a與b

分別叫做復數(shù)的實部與虛部.復數(shù)的代數(shù)形式實部通常用字母

z

表示，即虛部其中稱為虛數(shù)單位。復數(shù)的分類：復數(shù)集虛數(shù)集實數(shù)集純虛數(shù)集1.復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)

(b＝0)，

(b≠0)純虛數(shù)

，非純虛數(shù)____________

實數(shù)虛數(shù)a＝0，b≠0a≠0,b≠0

1.下列哪些是純虛數(shù)？它們的實部和虛部分別是多少？看看你掌握了嗎？例1實數(shù)m取什么值時，復數(shù)是（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？解：（1）當，即時，復數(shù)z是實數(shù)．（2）當，即時，復數(shù)z是虛數(shù)．（3）當，且，即時，復

數(shù)z是純虛數(shù)．練習：當實數(shù)m為何值時，復數(shù)z＝

＋(m2－2m)i為：(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？相等復數(shù)如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數(shù)相等．即如果，那么00==?=+babia兩個復數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小例題講解解：根據(jù)復數(shù)相等的定義，得方程組所以例2已知，其中，求.yx與探究點二復數(shù)相等及其應用【典例3】1.已知復數(shù)z1=a+2i,z2=2(1+bi),若z1=z2,則實數(shù)a,b的值分別為

(

)

A.a=1,b=1 B.a=1,b=2C.a=2,b=1 D.a=2,b=22.已知關于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有實數(shù)根,求實數(shù)m的值及方程的實數(shù)根.【思維導引】1.根據(jù)復數(shù)相等的充要條件:實部與虛部分別相等求a,b的值.2.設出方程的實數(shù)解,代入原式整理為a+bi=0(a,b∈R)的形式解決.【解析】1.選C.因為復數(shù)z1=a+2i,z2=2+2bi,且z1=z2,則實數(shù)a=2,2b=2,即a=2,b=1.2.設a是原方程的實數(shù)根,則a2+(1-2i)a+(3m-i)=0,即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i,所以a2+a+3m=0且2a+1=0,所以且所以所以,方程的實數(shù)根為

【類題通法】復數(shù)相等問題的解題技巧(1)必須是復數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實部與實部相等,虛部與虛部相等列方程組求參數(shù)的解.(2)根據(jù)復數(shù)相等的條件,將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題,為應用方程思想提供了條件,同時這也是復數(shù)問題實數(shù)化思想的體現(xiàn).(3)如果兩個復數(shù)都是實數(shù),可以比較大小,否則兩個虛數(shù)不能比較大小.【定向訓練】已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,則實數(shù)m的值為_____.

【解析】因為M∪P=P,所以M?P.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解之得m=1.或由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得解之得m=2.綜上可知m=1或m=2.答案:1或2

【補償訓練】求適合等式(2x-1)+i=y+(y-3)i的x,y的值.其中x∈R,y∈R.【解析】由復數(shù)相等的充要條件可知解得

過關練習判斷正誤：1．若a，b為實數(shù)，則z＝a＋bi為虛數(shù)．(

)2．復數(shù)z＝bi是純虛數(shù)．(

)3．若兩個復數(shù)的實部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個復數(shù)相等．(

)××√

1．已知復數(shù)z＝1＋i，則下列結論中正確的個數(shù)是(

)①z的實部為1；②z>0；③z的虛部為i.A．1 B．2C．3 D．0AC3．i是虛數(shù)單位，i＋i2＋i3等于(

)A．－1 B．1C．－i D．i4．已知復數(shù)z1＝1＋3i的實部與復數(shù)z2＝－1－ai的虛部相等，則實數(shù)a等于(

)A．－3 B．3C．－1 D．1AC數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念核心知識方法總結核心素養(yǎng)易錯提醒1.數(shù)系的擴充.2.復數(shù)有關的概念(1)判斷復數(shù)是實數(shù)、虛數(shù)或者純虛數(shù)：①保證復數(shù)的實部、虛部均有意義．②根據(jù)分類的標準，列出實部、虛部應滿足的關系式再求解．(2)復數(shù)相等求參數(shù)的步驟：分別確定兩個復數(shù)的實部與虛部，利用實部與實部、虛部與虛部分別相等，列方程組求解．(1)兩個復數(shù)不全是實數(shù)，就不能比較大小．(2)一個數(shù)的平方非負在實數(shù)范圍內(nèi)是真命題，在復