雙變量問題（學(xué)生版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

第22講雙變量問題

知識梳理

破解雙參數(shù)不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由己知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化

為含單參數(shù)的不等式；

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.

必考題型全歸納

題型一：雙變量單調(diào)問題

例1.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(a+l)ln尤+辦？+1.

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求曲線V=/(x)在。，/⑴)處的切線方程；

(2)設(shè)aV-2,證明：對任意不，x2e(0,+oo),|/(X1)-/(^2)I>4|X1-%2|.

例2.(2024?安徽?校聯(lián)考三模)設(shè)aeR,函數(shù)/(x)=aln(-x)+(a+l)Q+l.

(I)討論函數(shù)/(x)在定義域上的單調(diào)性；

(II)若函數(shù)“X)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線8x+y-2=0平行，且對任意

國,乙€(-*0),芯片乙，不等式>加恒成立,求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

例3.(2024?福建漳州?高二福建省漳州第一中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)

1

/(x)=(a-1)Inx+af+1.

(I)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(II)若aNl時(shí)，任意的尤i>乙>0,總有|/(占)-/(乙)|>2|占-々I，求實(shí)數(shù)。

的取值范圍.

變式L(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=logM+——-,meR,。〉0且“wl.

(1)當(dāng)4=2時(shí)，討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=e時(shí)，若對任意的玉>馬>0,不等式//(毛)一龍1(％)<J恒成立,求實(shí)數(shù)加的

-x22

取值范圍.

變式2.(2024?天津南開?高三南開大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)

f(x)=lnx+ax2+(2t?+1)x.

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

3

⑵當(dāng)a<0時(shí)，證明/(x)4-元-2；

(3)若對任意的不等正數(shù)與三，總有〃百)一/伍)>2,求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

2

題型二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問題

例4.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=工-尤+alnx.

x

(1)討論的單調(diào)性；

(2)已知若/(X)存在兩個(gè)極值點(diǎn)與三，且可<%，求/色4的取值范圍.

2%]%2

例5.(2024?新疆?高二克拉瑪依市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)

f(x)=\nx+x2-ax(tzeR)

⑴若。=1,求函數(shù)/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程；

(2)當(dāng)。>0時(shí)，討論/(x)的單調(diào)性；

1,3

(3)設(shè)/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)X,三且再<9，若0<X[<5求證：/(^)-/(^2)>--^2.

例6.(2024?山東東營?高二東營市第一中學(xué)校考開學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+2lnx^a

為常數(shù))

⑴討論的單調(diào)性

O

(2)若函數(shù)“X)存在兩個(gè)極值點(diǎn)芭，x2(%]<x2),且％-尤求/(網(wǎng))-/(%)的范圍.

變式3.(2024?山東?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/■(x)=lnx+g(a-尤了，其

中4￡R.

3

⑴當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)〃x)在(1,7(1))處的切線方程;

(2)討論函數(shù)“X)的單調(diào)性；

(3)若/⑺存在兩個(gè)極值點(diǎn)看,七(毛<苫2),|/(x2)-/(x)|的取值范圍為g-In2,^--21n2

求〃的取值范圍.

變式4.(2024?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=一.+(。.?x+a3(x>0)

⑴討論函數(shù)/(無)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)再,馬,記例%,9)=/(%)/(%),求/t(xt,x2)的取值范圍.

變式5.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=g(/+i)+a(]nx-4x+l).

(1)討論/(無)的單調(diào)性；

(2)若/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)A，X],且〃&)+〃/)2/'(西々)-4。,求a的取值范圍.

變式6.(2024?吉林長春?高二長春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥?設(shè)函數(shù)

/(x)=ae2x+(1-x)e*+a(aeR).

(1)當(dāng)。=匚時(shí)，求g(x)=/'(x)e2T的單調(diào)區(qū)間；

2

⑵若/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)再,％(網(wǎng)<%),

4

①求。的取值范圍;

②證明：國+2工2>3.

題型三：雙變量不等式:極值和差商積問題

例7.(2024?黑龍江牡丹江?高三牡丹江一中?？计谀?已知aeR,函數(shù)

/(x)=xIn2x-x+—+2.

2x

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若/CO有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)a，x2(xj<x2).

(i)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(ii)證明：111%+21眸<-]-31112(e=2.71828……為自然對數(shù)的底數(shù)).

例8.(2024?內(nèi)蒙古?高三霍林郭勒市第一中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)

/(x)=ex-e~x-ax(aGR).

(1)討論"》)的單調(diào)性；

(2)若/⑸存在兩個(gè)極值點(diǎn)與9，證明：2_"小)一"無2)<0.

X]-x2

例9.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=xlnx+q%2一。.

5

(1)當(dāng)。=-1時(shí)，求曲線v=/(x)在X=1處的切線方程;

(2)若/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)為、x2,求實(shí)數(shù)。的取值范圍，并證明：/(土丁)>0.

變式7.(2024?遼寧沈陽?高二東北育才學(xué)校校考期中)已知函數(shù)/(x)=mei-Inx,meR.

(1)當(dāng)加時(shí)，討論方程〃切-1=0解的個(gè)數(shù)；

⑵當(dāng)加=e時(shí)，g(x)=/(尤)+lnx——--有兩個(gè)極值點(diǎn)毛，巧，且再<工2，若e<l<5，

證明：

(i)2<X]+x2<3；

(ii)g(Xj)+2g(x2)<0.

變式8.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx+|"x2-(a+l)x,aeR

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)為，％(0<西<x?)是函數(shù)g(x)=/(x)+x的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：g(x1)-g(x2)<.|-lntz

恒成立.

變式9.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/1(尤)=ln尤+mx/weR.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

6

(2)若g(x)=/(x)+gx2有兩個(gè)極值點(diǎn)占戶2,求證：g(X1)+g(x2)+3<0.

題型四：雙變量不等式:中點(diǎn)型

例10.(2024?天津北辰?高三天津市第四十七中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)

/(x)=]nx-ax2+(2-tz)x,aeR.

(1)已知X=1為的極值點(diǎn)，求曲線>=〃x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

(2)討論函數(shù)g(x)=/(x)+ax的單調(diào)性；

(3)當(dāng)時(shí)，若對于任意X],%€(1,+8)(網(wǎng)<%)，都存在X。，使得

/,(/)=#上正1,證明：^±A<Xo.

x2-xx2

例11.(2024?湖北武漢?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=g/+(l-a)x-Mnx.

(I)討論的單調(diào)性；

(II)設(shè)〃〉0,證明：當(dāng)0<X<Q時(shí)，/(〃+、)</(〃—％);

(III)設(shè)4%是“X)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明/''[W1]>。.

例12.(2024?云南?高三云南師大附中?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)

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f(x)-x2+(i-2a)x-aInx(aeR且ah0).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。＞2時(shí)，若函數(shù)＞=/(》)的圖象與x軸交于A,8兩點(diǎn)，設(shè)線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)

為x0,證明:/'(%)＞0.

變式10.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=In尤-ad+(2-a)x.

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)＞=/(x)的圖像與x軸交于4,8兩點(diǎn)，線段N8中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為飛,證明:

變式11.(2024?四川綿陽?高二四川省綿陽南山中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)

12

/(x)=\nx+—ax+(a+l)x.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)/(X)圖象上不重合的兩點(diǎn)，(西，必),,%)(再＞X?).證明：戛＞八—強(qiáng))?(kAB

是直線N3的斜率)

變式12.(2024?福建泉州?高二福建省永春第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)

/(%)=/_勿X+21nx(a〉0).

8

(1)討論函數(shù)〃X)的單調(diào)性;

(2)設(shè)g(x)=lnx-6x-c/,若函數(shù)/(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)X],＜(為＜/)恰為函數(shù)g(x)的

兩個(gè)零點(diǎn)，且＞=(%-的取值范圍是[ln3-l,+⑹，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

題型五：雙變量不等式:剪刀模型

例13.(2024?天津和平?耀華中學(xué)?？寄M預(yù)測)己知函數(shù)/6)=卜+勾9-°)0＞0)在點(diǎn)

(-1,/(-I))處的切線方程為(e-l)x+ey+e-l=0.

⑴求q、b；

⑵設(shè)曲線v=/a)與1軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為尸，曲線在點(diǎn)尸處的切線方程為歹=〃(X),求證：對

于任意的實(shí)數(shù)%,都有

⑶若關(guān)于％的方程/(司=冽(冽＞0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、而，且再＜/，證明：

m(l-2e)

x2-項(xiàng)蠟+--------.

例14.(2024?遼寧沈陽?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)〃x)=(x+6)(/-磯6＞0)在點(diǎn)，gJ

處的切線方程為(e-l)x+a+^=°?

(1)求“，b；

(2)函數(shù)/(無)圖像與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為P,且在點(diǎn)P處的切線方程為》=人卜)，函數(shù)

F(x)=/(x)-A(x),xeR,求尸(x)的最小值;

(3)關(guān)于X的方程/(無)="?有兩個(gè)實(shí)數(shù)根X],x?且不＜%，證明：X2-±W匕”-萼.

21-e

9

例15.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=e*+l,ln3是〃x)的極值點(diǎn).

⑴求”的值；

⑵設(shè)曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為產(chǎn)，曲線在點(diǎn)P處的切線為直線/.求證：曲線

V=/(尤)上的點(diǎn)都不在直線/的上方；

7777

<2

(3)若關(guān)于x的方程/(尤)=刃(機(jī)>0)有兩個(gè)不等實(shí)根X],<x2),求證：x2-x,~—■

變式13.(2024?安徽?校聯(lián)考二模)已知函數(shù)〃x)=3x-e"+l,其中e=2.71828…是自然對

數(shù)的底數(shù).

⑴設(shè)曲線y=/(x)與x軸正半軸相交于點(diǎn)P(X°,O),曲線在點(diǎn)尸處的切線為/,求證：曲線

y=〃x)上的點(diǎn)都不在直線/的上方；

⑵若關(guān)于X的方程〃x)=m(加為正實(shí)數(shù))有兩個(gè)不等實(shí)根否,3(七<%),求證：

c3

x2-xx<2--m.

變式14.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)g(x)=/,xeR,在點(diǎn)(l,g⑴)處的切線方

程記為了=m(x),令f(x)=m(x)-g(x)+3.

(1)設(shè)函數(shù)/(x)的圖象與x軸正半軸相交于P,AM在點(diǎn)P處的切線為/,證明：曲線>=〃x)

上的點(diǎn)都不在直線/的上方；

10

⑵關(guān)于X的方程〃x)=a(“為正實(shí)數(shù))有兩個(gè)實(shí)根X],4，求證：K-x/<2

題型六：雙變量不等式:主元法

例16.(2024?江蘇鹽城?高三鹽城中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)已知函數(shù)/(無)=xlnx.

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；

(2)當(dāng)b>0時(shí)，求證：bb>(其中e為自然對數(shù)的底數(shù));

(3)若a>0,b>0求證:/(a)+(a+b)ln2±。求+b)-/@).

例17.(2024?河南信陽?高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=xlnx.

(1)求曲線>=/(x)在點(diǎn)(ej(e))處的切線方程;

(2)求函數(shù)/(x)的最小值，并證明：當(dāng)6>0時(shí)，//引J).(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

例18.(2024?山西晉中?高二?？茧A段練習(xí)