山東省德州市2024-2025學(xué)年高二年級上冊11月期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案及解析）

高二數(shù)學(xué)試題

2024.11

主考學(xué)校：平原一中

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷L2頁，第n卷3-4頁，共

150分，測試時間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在測試卷上.

第I卷選擇題（共58分）

一、選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合要求的.）

1.已知直線/的方程為瓜一3了一2=°,則/的傾斜角為（）

A30°B.60°C.120°D.150°

2.已知直線4:+l）x+2y+l=0與直線乙：3x+沖+1=0平行，則/〃的值為（）

A.-3B.-1C.2D.-3或2

3.已知雙曲線E：1—/=l（a〉0,b〉0）,若點(diǎn)（0,2）到￡的漸近線距離為平，則雙曲線E的離心

率為（）

A.72B.V3C.2D.3

4.在四面體。一48。中，點(diǎn)。為5c的中點(diǎn)，點(diǎn)E在4D上，且泡=2而，用向量力，OB>OC

表示礪，則無=（）

1ILK1IUD1ILLTULiniUUU1ILLi

A.——OA+-OB+-OCB.OA——OB+-OC

33333

iluniiLiuiluri_.i_.i_.

C.-OA+-OB——OCD,-OA+-OB+-OC

333333

5.已知圓+（y-/J=1不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與圓龍2+/=4相切，則加"的最大值為（）

6.已知菱形48CD的邊長為2,NA4c=60。，現(xiàn)將A/CD沿NC折起，當(dāng)若時，二面角

?！狽C—8平面角的大小為（）

A.30°B,60°C.120°D.150°

22

7.已知橢圓C：0+￡=l（a〉b〉O）上存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線x—y—1=0對稱.若橢圓離心率為

也，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）

3

A.（5,4）B.（4,3）C.（3,2）D.（2,1）

8.已知四棱錐P-483的各側(cè)棱與底面所成的角都相等，其各個頂點(diǎn)都在球。的球面上，滿足

PA=4,AB=AD=6,ZBCD=120°,則球。的表面積為（）

A.100KB.64兀C.36兀D.32兀

二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）

9.已知空間中四點(diǎn)4（0,1,0）,5（2,2,0）,C（-l,3,l）,Z）（1,1,1）,則（）

A.網(wǎng)=3B.ACYJD

C.就在萬5上的投影數(shù)量為一夜D.（48,40）為銳角

10.已知直線/:氣―歹+左=0,圓。：/+/一4》+3=0,尸（%,%）為圓C上任意一點(diǎn)，貝U（）

A直線/過定點(diǎn)。,0）

B.若圓C關(guān)于直線/對稱，則左=0

C.區(qū)的最大值為也

/3

D.*的最大值為3

11.在直三棱柱4BC—44G中，AB1AC,AB=4i，AC=1,幺4=2,點(diǎn)M為線段C6的中

點(diǎn)，N為線段4M上的動點(diǎn)，則（）

A.BM±AXM

B.存在點(diǎn)N使得JN垂直于平面A&M

C.若GNH平面ABM,則4N=NM

7T

D.直線BN與平面NCG4所成角的最大值為一

4

第n卷非選擇題（共92分）

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.已知V48C的三個頂點(diǎn)2（—2,1）,8（2,13）,C（5,12）,則AB邊上的高為.

13.在三棱錐尸—中，已知Z8=/C=Z尸=1,BC=也，點(diǎn)P到ZC，Z5的距離均為走，

一2

那么點(diǎn)P到平面ABC的距離為.

14.已知直線y=-2X+4與拋物線/=2夕x（夕>0）交于A、8兩點(diǎn)，且（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），

則夕=；VN08的面積為.

四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟.）

15.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知圓C過點(diǎn)（2,6）,（3,2）,且圓關(guān)于x軸對稱.

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知直線/經(jīng)過點(diǎn)（0,1）,與圓C交于/,B兩點(diǎn),若［48|=2后，求直線/的方程.

16.已知點(diǎn)尸為拋物線,=2夕x（p>0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)尸（2,相）在拋物線上，且|尸9=4.

（1）求拋物線的方程及機(jī)；

（2）斜率為2的直線/與拋物線的交點(diǎn)為A、B（A在第一象限內(nèi)），與x軸的交點(diǎn)為M/不重

合），若=2M由，求尸的周長.

17.如圖，在四棱錐P—中，底面是邊長為2的正方形，PA=4,ZPAD=60°,

NP￡>C=120°.

（I）求證：ADIPC；

（2）求平面。R4與平面APN所成角的余弦值.

18.已知雙曲線。5—5=1（a>0力>0）過點(diǎn)（2,3）,一條漸近線方程為百x—y=0.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若點(diǎn)尸為雙曲線右支上一點(diǎn)，幺&0)(7>0),求忸國的最小值；

(3)過點(diǎn)尸(2,0)的直線與雙曲線C的右支交于N兩點(diǎn)，求證：口，+口、為定值.

19.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為啦—1，

直線/:y=x+%與橢圓交于45兩點(diǎn)(其中點(diǎn)/在x軸上方，點(diǎn)3在x軸下方)，當(dāng)48過片時，

△48名的周長為40.

VAVA

折疊前

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)將平面X0沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面(平面Z'片耳)與y軸負(fù)半軸和x軸

所確定的半平面(平面8'片耳)垂直.

①當(dāng)B為橢圓的下頂點(diǎn)時，求折疊后直線A'F,與平面A'B'F2所成角的正弦值；

②求三棱錐A'-B'FK體積的最大值.

高二數(shù)學(xué)試題

2024.11

主考學(xué)校：平原一中

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷L2頁，第n卷3-4頁，共

150分，測試時間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在測試卷上.

第I卷選擇題（共58分）

一、選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合要求的.）

1.已知直線/的方程為瓜一3了一2=°,則/的傾斜角為（）

A.30°B,60°C.120°D.150°

【答案】A

【解析】

【分析】由直線方程計算直線斜率，由斜率得到傾斜角.

【詳解】由題意得，直線斜率為左=立，

3

即tana=占，又0°＜。＜180°，則a=30°.

3

故直線的傾斜角為30°.

故選：A.

2.已知直線4:（機(jī)+l）x+2y+l=0與直線乙：3x+利y+1=0平行，則機(jī)的值為（）

A,-3B.-1C.2D.-3或2

【答案】A

【解析】

【分析】由兩直線平行公式計算機(jī)的值，代入驗(yàn)證排除直線重合的情況即可得到結(jié)果.

【詳解】由兩直線平行得：（加+1）機(jī)-2'3=0,解得冽=2或機(jī)=—3.

當(dāng)冽=2時，：3x+2y+l=0,4：3x+2y+l=0,兩直線重合，不合題意.

當(dāng)加二—3時，4:—2x+2y+1=0,即2x—2y—1=0,l2:3x—3y+1=0,兩直線平行，符合題意.

故加的值為-3.

故選：A.

22

3.已知雙曲線E:二—a=l（a〉0力〉0）,若點(diǎn)（0,2）到￡的漸近線距離為管則雙曲線E的離心

率為（）

A.72B.V3C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合已知條件求出的值，即可求出該雙曲線的離心率的值.

a

【詳解】雙曲線的漸近線方程為＞=±2》，即2x±y=0,

aa

2273

因?yàn)辄c(diǎn)（0,2）到￡的漸近線距離為子，即J1+(6：3,解得?=拒，

因此，該雙曲線的離心率為e=2=?4^二

=6

故選：B.

4.在四面體O—48C中，點(diǎn)。為8c的中點(diǎn),點(diǎn)E在4D上，且泡=2而，用向量02，OB<OC

表示礪，則無=（）

1ILK1ILW1ILLTILU11LUU1ILLf

A.——OA+-OB+-OCB.OA——OB+-OC

33333

1LLU11LLW1ILLT1--1--1-.

C.-OA+-OB——OCD.-OA+-OB+-OC

333333

【答案】D

【解析】

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可得到結(jié)果.

o

如圖，由題意得，

OE=OA+AE=OA+-AD=OA+---（AB+AC）

332、>

=OA+-（OB-OA+OC-OA\=-OA+-OB+-OC.

3、J333

故選：D.

5.已知圓（x-〃z）2+（y-“J=1不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與圓龍2+/=4相切，則加"的最大值為（）

3981

A.1B.—C.—D.—

224

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)兩圓相切以及（x-掰『+（y-〃『=1不過原點(diǎn)先求解出機(jī)，〃的關(guān)系式，然后結(jié)合基本不等式

求解出最大值.

【詳解】因?yàn)椋╔-機(jī)丁+（V-M）2=1與V+/=4相切，

所以J掰2+〃2=2+1或J-2+/=2-1>

所以加2+〃2=9或加2+〃2=1,

因?yàn)椋ǎ?加J+（y一〃『=1不經(jīng)過原點(diǎn)，所以加2+〃20],

所以加2+/=9，

又因?yàn)榧又?/22mn，所以加〃<-------=—

22

當(dāng)且僅當(dāng)m=n=土述時取等號,

2

9

所以加”的最大值為一，

2

故選：C.

6.已知菱形48CD的邊長為2,NA4c=60。，現(xiàn)將ANCD沿ZC折起，當(dāng)若時，二面角

?！猌C—8平面角的大小為（）

A.30°B,60°C,120°D.150°

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)ZCnAD=E,由菱形的性質(zhì)得出N5ED就是二面角。―NC—8的平面角，求出的

邊長可得答案.

【詳解】設(shè)ZCnAD=E,菱形48CD滿足45=BC=2,NR4c=60。，

B

則V4BC和△ZDC都為等邊三角形，所以NC=2,BE=DEf，

又AC，BD,則所以NAED就是二面角Z）—/C—8的平面角，

由于80=百，所以BE=DE=BD,所以△8ED是等邊三角形，

所以ABED=60°,即二面角D-AC-B平面角的大小為60°.

故選：B.

22

7.已知橢圓C:j+￡=l（a〉b〉0）上存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線x—y—1=0對稱.若橢圓離心率為

向

則"N的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）

3

A.（5,4）B.（4,3）C.（3,2）D.（2,1）

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)點(diǎn)“01，月）、N（x2，y2），線段"N的中點(diǎn)為￡（玉）,九），由已知條件可得出勺=4,利用點(diǎn)差

a3

法以及點(diǎn)〃在直線％-V-1=0上，可得出關(guān)于/、%的值，解出這兩個量的值，即可得出線段的

中點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】設(shè)點(diǎn)W（x2,y2）,線段"N的中點(diǎn)為￡（/，%），貝U

V「1+」

由題意，橢圓的離心率為e=￡=?tg=Jl—±=走，可得與=2,

a\a2\a23a23

因?yàn)镸、N關(guān)于直線x—y-l=O對稱，且直線x—y-l=O的斜率為1,

則

f22

%+-V|-1

—+7T-1

ab

將點(diǎn)/、N的坐標(biāo)代入橢圓方程可得＜

22

三+區(qū)=1

上述兩個等式作差可得二^+五4=0,

CTb2

可得號■于即曰"（_i）=_g，即F=g

即2x0=3j0,①

又因?yàn)辄c(diǎn)￡（%,九）在直線x—.v-l=O上，則Xo-yo—luO,②

x=3

聯(lián)立①②可得0_故線段"N的中點(diǎn)為￡（3,2）.

Jo=2

故選：C

8.已知四棱錐P-483的各側(cè)棱與底面所成的角都相等，其各個頂點(diǎn)都在球。的球面上，滿足

PA=4,AB=AD=6,ZBCD=120°,則球。的表面積為（）

A.IOOTTB.64兀C.36兀D.32兀

【答案】B

【解析】

【分析】首先根據(jù)側(cè)棱與底面所成角相等推出頂點(diǎn)在底面的射影是底面外接圓的圓心，然后利用底面四邊

形的條件求出底面外接圓的半徑，再結(jié)合四棱錐的棱的長度求出該幾何體外接球的半徑，最后根據(jù)球的表

面積公式求出表面積即可.

【詳解】因?yàn)樗睦忮FP-48co的各側(cè)棱與底面所成的角都相等，

所以頂點(diǎn)P在底面ABCD的射影O'是底面四邊形ABCD外接圓的圓心.

因?yàn)闄z=3=6,所以為等腰三角形.因?yàn)镹BCD=120°,所以/氏4。=60。，

故4ABD為等邊三角形，則BD=6.設(shè)底面四邊形ABCD外接圓半徑為r,

則根據(jù)正弦定理得r變一=2r,即=解得廠=2收

smZBADsin60

設(shè)線段RD的中點(diǎn)E,則NELBD,

________________3

那么由勾股定理可知AE=-BE-=V62-32=373，所以NE=耳子，

故O'是等邊三角形ABD的中心，則PO'=y/PA2-r2=J16-12=2.

設(shè)球。的半徑為R，根據(jù)題意可知球心。在射線尸。'上，

當(dāng)球心。在線段?。'上時，如圖1所示，則。/2=。，/2+。,。2,即氏2=/+（2一尺）2,

解得A=4,止匕時2—7?=—2<0,不符合題意舍去.

當(dāng)球心。在射線尸。'上且在平面48。的下方時，如圖2所示，OA2=O'A2+O'O2,

即氏2=/+（夫—2）2,解得R=4,此時7?-2=2>0符合題意，

故球。的半徑A=4,所以根據(jù)球體的表面積公式知該四棱錐外接球的表面積為4兀7?2=64兀.

故選：B.

【點(diǎn)睛】求解幾何體外接球問題的關(guān)鍵是通過找到球

體球心的位置確定球體的半徑.

二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）

9.已知空間中四點(diǎn)4(0,1,0),5(2,2,0),C(-l,3,l),￡>(1,1,1),則()

A,網(wǎng)=3B.ACYJD

c.數(shù)在而上的投影數(shù)量為—J5D.（萬，赤）為銳角

【答案】BCD

【解析】

【分析】A：表示出商的坐標(biāo)，利用模長公式計算；B：表示出ZC,8。的坐標(biāo)，然后根據(jù)數(shù)量積判斷是

----I—.1BC-AD

否垂直；C：計算出根據(jù)一國一可計算出投影數(shù)量；D：根據(jù)方.赤的正負(fù)并結(jié)合是

否共線作判斷.

【詳解】A：因?yàn)榈?(2,1,0),所以［74=，幣=君，故錯誤；

B：因?yàn)閗=(—1,2,1),麗1,1),所以k.麗=1—2+1=0,所以就,而，故正確；

C：因?yàn)閿?shù)=(—3,1,1),而=(1,0,1),所以就.通=-3+1=—2，|詬卜VTZT=行，

BCAD-2/-

所以瑟在同上的投影數(shù)量為同=忑=72,故正確；

D：因?yàn)榉?(2,1,0),赤=(1,0,1),所以9?石=2>0，

由坐標(biāo)可知N瓦方不共線，所以(彳瓦赤)為銳角，故正確；

故選：BCD.

10.已知直線/：自一歹+左=0,圓C:x2+y2—4x+3=0,尸(%,%)為圓C上任意一點(diǎn)，貝?。?)

A.直線/過定點(diǎn)(1,0)

B.若圓C關(guān)于直線/對稱，則左=0

C.區(qū)的最大值為且

X。3

D.+"的最大值為3

【答案】BC

【解析】

/、fx+1=0

【分析】A：將直線方程化為/:左(x+1)-y=0,根據(jù)《八可確定出定點(diǎn)坐標(biāo)；B：考慮直線經(jīng)過圓

〔丁=0

心的情況；C:根據(jù)里的幾何意義，考慮。尸與圓相切；D:根據(jù)■+K的幾何意義，先計算|OP|max，然

xo

后可求結(jié)果.

【詳解】。：必+/—4》+3=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為C：(x—21+/=1,圓心為(2,0),半徑為1；

x+1=0x——1/、

A：因?yàn)?:日一y+左=0=/:左(x+l)—y=0,令＜c，可得＜八，所以/過定點(diǎn)(一1,0),故

[y=°V=°

錯誤；

B：若圓。關(guān)于/對稱，貝U過圓心(2,0),所以2左—0+左=0,解得左=0,故正確;

C：魚表示。尸連線的斜率，設(shè)。尸:>=履，即0尸：而一了=0,如下圖,

%

當(dāng)—y=0與C：(x—2y+y2=1相切時，此時左取最值，

所以，^1=1,解得左=±1，所以上的最大值為走，即總的最大值為立，故正確；

D：需表示口用，因?yàn)镈Hpq+r=2+1=3,所以葉)=9,故錯誤；

IImax\/max

故選：BC.

11.在直三棱柱Z8C-44G中，AB1AC,AB=e，AC=1,=2,點(diǎn)”為線段C。的中

點(diǎn)，N為線段4M上的動點(diǎn)，則()

A.BM±A.M

B.存在點(diǎn)N使得GN垂直于平面AXBM

C.若GNU平面ABM,則A[N=NM

7T

D,直線8N與平面ZCG4所成角的最大值為7

【答案】ACD

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，以43,NC,所在直線為x/，2軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),3(亞,0,0),。(0,1,0)，4(0,0,2)6(0,1,2),河(0,1,1),

對于A,因?yàn)槲?卜也1,1),而:=((),1,—1),

所以麗.曲=-&xO+lxl+lx(-l)=O,

貝U麗)，而:，即故A正確；

對于B,由A知，麗7=(—四,1,1),雨7=(0」,一1),

設(shè)乖=幾曲(044<1),貝|]m=(04一4),即N(0,%2—4),

所以亭=(0〃—1,—為，又GN,平面九f,

-W=2-l-2=0

—.，無解，

E-A,M=A-l+A=0

所以不存在點(diǎn)N使得GN垂直于平面4氏0,故B錯誤；

對于C,由B知，設(shè)而(OW4<1),可得早=(0,4—

又兩而=(0,1,1),

設(shè)平面48”的一個法向量為訪=(%1，月/1),

m-BM=-y[2xy+u+z,=0/、

則一_.111，令％=1,得應(yīng)=(O,l,—1),

in'AXM=乂+Z]=0

因?yàn)镚N〃平面所以9_L浣，

_?一1,

則GN?加=幾一1+幾=0,解得4=5，此時&N=7VA/,故C正確；

對于D,由B知，設(shè)麗=4詞(0W4V1),可得N(0,42-4),

所以麗=(-V2,2,2-2),易知平面ACCXAX的一個法向量為n=(1,0,0),

設(shè)直線BN與平面ZCG4所成角為0，

I—.I〔5N.司72V2

則sincosW,?=?,=,==/,:，

忸葉|〃|^2+22+(2-2)^2(2-1)+4

所以當(dāng)4=1時，sin。取得最大值"，

2

7T

即直線BN與平面ZCG4所成角的最大值為一，故D正確.

故選：ACD.

z」

第n卷非選擇題（共92分）

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.已知V48C的三個頂點(diǎn)2（—2,1）,8（2,13）,C（5,12）,則AB邊上的高為.

【答案】VTo

【解析】

【分析】求出直線48的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可.

【詳解】心=五萬=3,則直線46的方程為y-l=3（x+2）,即3x—y+7=0,

|3x5-12+7|

則點(diǎn)C（5,12）到直線AB的距離為

Vio

則48邊上的高為所.

故答案為：麗.

13.在三棱錐尸一48。中，已知48=/C=4P=l,BC=C，點(diǎn)尸到ZC，48的距離均為走，

2

那么點(diǎn)P到平面ABC的距離為.

【答案】—

2

【解析】

【分析】如圖，取2c中點(diǎn)為。，連接尸口，AD,過尸作40垂線，垂足為G,可證尸G與平面48C垂直

及。和G重合，即可得答案.

【詳解】過P作/C,垂線，垂足為￡,F,由題，則尸￡=尸尸=走.

2

7T

又PA=PA,PE=PF,NPEA=NPFA=—,則三△P4F，

2

又4P=1,PE=PF=—，則ZE=AF='nF5=EC=L.

222

則2￡=2/=工=/鳴=EC=L,又由勾股定理，可得尸8=PC=1.

22

取3C中點(diǎn)為。，連接尸。，ND由以上分析可知尸OLBGADLBC.

因PZ）c4D=DPD,40<=平面尸/。，則8C_L平面尸ND

過尸作垂線，垂足為G,則尸GLZ。，又尸Gu平面R4D,則尸G,8c.

因8Cc4D=。，BC,4Du平面N8C,則尸G_L平面48C,

即PG為P到平面ABC的距離.

在△必。中，因「B=PC=I,BC=4I>則尸。=交.

2

L、歷

又在V/3c中，AB=AC=1,BC=日則AD=J；

2

又4P=1,則△4?￡>為以。為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則尸QL4D

6

即。和G重合，則尸￡>=PG=J

2

故答案為：自

14.已知直線y=—2x+4與拋物線/=28（夕〉0）交于A、2兩點(diǎn),且041.08（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）,

則?=；VN08的面積為.

【答案】①.1V17

【解析】

【分析】設(shè)點(diǎn)4（小,月）、S（x2,y2）,將直線48的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由題意可得出

0A0B=Q^結(jié)合韋達(dá)定理可求得。的值，然后利用三角形的面積公式可求得VZ08的面積.

y——2x+4

【詳解】設(shè)點(diǎn)4（%1/1）、8（%2》2），聯(lián)立〈2c可得V+抄一42=0,

j=2px

A=p2+\6p>Q,由韋達(dá)定理可得%+%=一。，乂%二-42，

所以，OA,OB=x1x2+y^2——~1+弘%=4—4夕=0,解得p=1,

4p

所以，%+%=-1，%%二—4,則|必_%|=必+%）2=J1+16=VT7，

直線y=—2x+4交x軸于點(diǎn)￡（2,0）,

所以，\0?=1W-h-^|=|x2xVT7=VT7.

故答案為：1；JF7.

四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟.）

15.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知圓C過點(diǎn)（2,6）,（3,2）,且圓關(guān)于x軸對稱.

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知直線/經(jīng)過點(diǎn)（0」），與圓C交于/,8兩點(diǎn)，若|48|=2后，求直線/的方程.

【答案】（1）（X-3）2+/=4

（2）x-ly+7=0ngx+_y-l=0

【解析】

【分析】（1）設(shè)出圓心并根據(jù)圓上的兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出圓心和半徑可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）利用弦長公式計算求得圓心到直線的距離，即可求得直線方程.

【小問1詳解】

由圓關(guān)于x軸對稱可知圓心在x軸上，

設(shè)圓心C（a,0）,半徑為「；

即可得（。一2）2+（0—=（a—3y+（0—2）2,解得a=3,半徑r=2,

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-3）2+儼=4

【小問2詳解】

當(dāng)直線/的斜率不存在時，直線方程為x=0,顯然不合題意；

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)方程為>=依+1；

,—|3左+1|

易知圓心到直線y=丘+1的距禺d=/

V1+F

又|幺回=2,2_/=2也可解得左=；或左=7,

即直線/的方程為x-7y+7=0或x+y-1=0.

16.已知點(diǎn)/為拋物線/=2內(nèi)（P>0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)尸（2,加）在拋物線上，且|尸刊=4.

（1）求拋物線的方程及機(jī)；

（2）斜率為2的直線/與拋物線的交點(diǎn)為A、B（A在第一象限內(nèi)），與x軸的交點(diǎn)為M（/、尸不重

合），若ZA?=2Mm，求尸的周長.

【答案】（1）拋物線方程為/=8x,m=+4

（2）14+6新

【解析】

【分析】⑴由拋物線的定義結(jié)合|尸葉=4可求得。的值，可得出拋物線的方程，再將點(diǎn)尸的坐標(biāo)代入拋

物線方程，即可求得機(jī)的值；

（2）設(shè)點(diǎn)"（〃,0）,則此2,可得直線/的方程為x=gy+〃，設(shè)點(diǎn)4（巧,月）、鞏犯必），則乂〉0，

由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出弘=-2%,將直線/的方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可求出〃、

%、%的值，進(jìn)而可求得4/3尸的周長.

【小問1詳解】

拋物線的焦點(diǎn)為尸?,準(zhǔn)線方程為x=',

由拋物線的定義可得戶司=2+曰=4,可得P=4,

所以，拋物線的方程為

將點(diǎn)尸的坐標(biāo)代入拋物線方程可得掰2=8'2=16,解得加=±4.

【小問2詳解】

設(shè)點(diǎn)加(〃,0),則〃/2,因?yàn)橹本€/的斜率為2,則直線/的方程為x=；y+〃，

設(shè)點(diǎn)4(小加)、B(x2,y2),則％>0,

AM=2MB>可得(〃一玉,一%)=2(%2-，貝卜必=2%,可得力=-2%,

.1

x=-v+n.1

聯(lián)立，2',可得y2—4y—8〃=0,A=16+32/?>0,可得“〉一—,

7=8x2

由韋達(dá)定理可得%+%=4,%%=—8〃，

所以，%+為=弘一^弘=4，可得"=8，%=—4，

所以，—8〃=%必=—32,可得〃=4,

所以，+_%|=孝義12=6石,

|2司+忸/|=西+々+4=g(y+%)+8+4=2+8+4=14,

所以，△/時的周長為以耳+忸尸|+|48|=14+6指.

17.如圖，在四棱錐P—中，底面是邊長為2的正方形，P/=4,ZPAD=60°,

ZPZ)C=120°.

（1）求證：ADVPC-,

（2）求平面Z）P4與平面APN所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見詳解；

⑵恒

13

【解析】

【分析】（1）通過線面垂直的判定定理證明40,平面尸CD即可證得;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可

【小問1詳解】

142+22-PD2l

在中，由余弦定理得（：05/尸2。=（：0560。=—=-------------,解得尸。=2百，

22x4x2

所以尸￡）2+402=尸幺2,故4D_LP￡），

又40，CD,CDCPD=D,CD,PDu平面PCD,

所以NO，平面尸CD,又尸Cu平面尸CD,

所以幺。，尸C；

【小問2詳解】

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，方五反分別為x，V軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則￡>(0,0,0),42,0,0),5(2,2,0),尸(0,-百,3),

所以方=(2,0,0),DP=(0,-73,3),AB=(0,2,0),AP=(-2,-6,3),

設(shè)平面。尸力的一個法向量為加=（%,%，4）,

m-DA=2x=0

則｛一.廣，令4=1,則玉=0,乂=也,所以加二（O,J§J）,

m-DP-73yl+34=0

設(shè)平面AE4的一個法向量為〃=（%2，%/2），

n-AB—2y=0一

則〈一.?廣，令％=3,則%=0/2=2,所以〃=(3,0,2),

ri'AP=-2X273y2+3z2=0

2V13

故cos(應(yīng)㈤=微早

2^/13-13

所以平面DPA與平面BPA所成角的余弦值為叵

13

18.已知雙曲線。攝一條=1((1>0力>0)過點(diǎn)(2,3),一條漸近線方程為瓜一歹=0.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點(diǎn)尸為雙曲線右支上一點(diǎn)，幺&0)(/>0),求忸國的最小值；

(3)過點(diǎn)E(2,0)的直線與雙曲線C的右支交于N兩點(diǎn)，求證：口落+口、為定值.

【答案】(1)x2-^=l

3

(2)答案見解析(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意列方程組，即可求得答案；

(2)設(shè)尸(%,%),X。之1,表示出|0山，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，討論即可得答案；

(3)討論直線斜率是否存在，存在時，設(shè)直線方程并聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系，求出

11

+乙西的表達(dá)式，化簡即可證明結(jié)論.

\MF\|NF|

【小問1詳解】

由題意知雙曲線=l(a>o,b>0)過點(diǎn)(2,3),一條漸近線方程為后一y=0，

4__9_

=1

a2?=1

則,解得<

b__b=C'

故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為——=1；

3

【小問2詳解】

點(diǎn)尸為雙曲線右支上一點(diǎn)，設(shè)尸（%,%）,%21，2（/,0川＞0）,

當(dāng)一41,即0</W4時,

4

當(dāng)一＞1,即/＞4時,

4

【小問3詳解】

當(dāng)過點(diǎn)E（2,0）的直線斜率不存在時，方程為》=2,

此時不妨取"（'"NT,"則看+京：

當(dāng)當(dāng)過點(diǎn)尸（2,0）的直線斜率存在時,設(shè)直線方程為y=k（x-2）,M（西,yi）,N（x2,y2）,

不妨令石>2,1<X2<2,

IF：

y=k{x-T）

聯(lián)立《2y2,得（3—左2）》2+4左2》—4左2—3=0,

x--—=1

3

由于直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，必有A〉0,

直線與雙曲線c的右支交于M,N兩點(diǎn)，需滿足左〉G或左＜-6,

??—4左2—4左2—3

貝！JX,+x=-----.XiX—-------—，

1923-E1923-k2

11_11

則向+阿=M+盧卜_2|++/艮—2|

1r1]、_ix\~x2

J1+左2、占-22—x2?J1+左2（x「2）（2-工2）

1

1+P

]

T+F

Y

（-4k2-4F-3

-4-

1、3_k2,3-k2

/死、—-3

T772

、3-吃3-k2

16左，+4（4/2+3）（3—左2）

1

-9

3-k2

6“2+1

]-（3-用_]6〃2+I_2,

T77-91+左293

3-左2

11

綜合以上可知兩+所為定值.

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直線和雙曲線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，計算量大，難點(diǎn)在于證明

定值問題，解答時要注意計算的準(zhǔn)確性，基本都是字母參數(shù)的運(yùn)算，需要十分細(xì)心.

19.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為片，乙，橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為8—1，

直線/：＞=x+%與橢圓交于48兩點(diǎn)（其中點(diǎn)/在x軸上方，點(diǎn)5在x軸下方），當(dāng)48過久時,

△4BF2的周長為4后.

，A

折.前

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）將平面xQy沿x軸折疊，使/軸正半軸