蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊常見幾何模型解讀與提分訓(xùn)練：圓中的重要模型-四點(diǎn)共圓模型（原卷版）

專題03圓中的重要模型-四點(diǎn)共圓模型

四點(diǎn)共圓是初中數(shù)學(xué)的?？贾R點(diǎn)，近年來，特別是四點(diǎn)共圓判定的題目出現(xiàn)頻率較高。相對四點(diǎn)共

圓性質(zhì)的應(yīng)用，四點(diǎn)共圓的判定往往難度較大，往往是填空題或選擇題的壓軸題，而計(jì)算題或選擇中四點(diǎn)

共圓模型的應(yīng)用（特別是最值問題），通常能簡化運(yùn)算或證明的步驟，使問題變得簡單。本文主要介紹四點(diǎn)

共圓的四種重要模型。

四點(diǎn)共圓：若在同一平面內(nèi)，有四個點(diǎn)在同一個圓上，則稱這四個點(diǎn)共圓，一般簡稱為“四點(diǎn)共圓”。

模型1、定點(diǎn)定長共圓模型（圓的定義）

【模型解讀】若四個點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等，則這四個點(diǎn)共圓。這也是圓的基本定義，到定點(diǎn)的距離等于

定長點(diǎn)的集合。

條件：如圖，平面內(nèi)有五個點(diǎn)O、A、B、C、D,使得OA=O8=OC=O￡）,

結(jié)論：A、B、C、。四點(diǎn)共圓（其中圓心為O）。

例1、（2023?連云港期中）如圖，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)A、C、。到點(diǎn)。的距離相等，若NABC=40°,

則ZADC的度數(shù)是.

例2.（2022秋?江西贛州?九年級校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)B,C,D到點(diǎn)。的距離相

等，連接AC,BD.則下面結(jié)論不一定成立的是（）

A.0ACB=9O°B.0BDC=0BACC.AC平分I3BADD.BBCD+0BAD=18O°

AOB

例3.（2021?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt~4SC中，ZACB=90°,。為A3的中點(diǎn)，0。平分ZAOC

交AC于點(diǎn)G,0D=Q4,8。分別與AC,OC交于點(diǎn)E,尸，連接相＞,8,則的值為_____；^CE=CF,

BC

則聶的值為.

OF

例4.（2022?北京?清華附中九年級階段練習(xí)）如圖，四邊形ABC。中，DA=DB=DC,NBDC=72。，則NBAC

的度數(shù)為

模型2、定邊對雙直角共圓模型

同側(cè)型異側(cè)型

1）定邊對雙直角模型（同側(cè)型）

條件：若平面上A、B、C、。四個點(diǎn)滿足ZAaD=ZACD=90。,

結(jié)論：A,B、C、。四點(diǎn)共圓，其中A。為直徑。

2）定邊對雙直角模型（異側(cè)型）

條件：若平面上4B、C、。四個點(diǎn)滿足NABC=NADC=90。,

結(jié)論：A,B、C、。四點(diǎn)共圓，其中AC為直徑。

例L（2022秋?廣東梅州?九年級校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=ZADC=90°,E是

AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，若ABAC=15°,ADAC=45°,CD=4,則EF的長為（）

A.0B.25/2C.2D.2A/3

例2.（2021糊北鄂州?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形中，AC^BC,ZACB=90°,AD上皮＞于點(diǎn)。.若

BD=2,CD=472,則線段AB的長為.

例3.（2022?浙江嘉興?二模）如圖，四邊形A3C。中，0ABC=0BCD=90",AB=1,AE^AD,交BC于點(diǎn)E,

EA平分SBED（1）CO的長是；（2）當(dāng)點(diǎn)尸是AC中點(diǎn)時，四邊形ABC。的周長是.

例4.（2022?湖北武漢??？级＃┤鐖D，等腰RtEIABC中，0ACB=9O°,D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD.

（1）如圖1,作BEEIAD延長線于E,連接CE,求證：0AEC=45°；

（2）如圖2,P為AD上一點(diǎn)，且EIBPD=45。，連接CP.若AP=2,求回APC的面積；

模型3、定邊對定角共圓模型

條件：如圖1,平面上A、B、C,。四個點(diǎn)滿足/4DS=/4CB,結(jié)論：A、B、C、。四點(diǎn)共圓.

條件：如圖2,AC,BD交于H,AHCH=BHDH,結(jié)論：4B、C、。四點(diǎn)共圓.

例1.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）如圖，在MAABC中，0BAC=9O°,13ABe=40。，將AABC繞A點(diǎn)順時

針旋轉(zhuǎn)得到AAOE,使。點(diǎn)落在2C邊上.

（1）求的度數(shù)；（2）求證：A、。、B、E四點(diǎn)共圓.

例2.（2022秋?江蘇無錫?九年級?？计谥校┤鐖D，在RZ0ABe中，0ACB=90°,AC=BC=4,將0A8C繞點(diǎn)A

沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到SWE,直線B。、CE相交于點(diǎn)。，連接AO.則下列結(jié)論中：①版ACE；

②回COD=135。；③AOSBD；④0Aoe面積的最大值為8,其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

例3.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）綜合與實(shí)踐

“善思"小組開展"探究四點(diǎn)共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補(bǔ)的四邊形四個頂點(diǎn)共圓.該小組繼續(xù)利用

上述結(jié)論進(jìn)行探究.

提出問題：如圖1,在線段AC同側(cè)有兩點(diǎn)3,D,連接A。，AB,BC,CD,如果BB=aD,那么A,B,C,

D四點(diǎn)在同一個圓上.

探究展示：如圖2,作經(jīng)過點(diǎn)A,C,。的回0,在劣弧AC上取一點(diǎn)E（不與A,C重合），連接AE,CE,

則0AEC+回。=180。（依據(jù)1）

=0D00AEC+0B=180°

回點(diǎn)A,B,C,E四點(diǎn)在同一個圓上（對角互補(bǔ)的四邊形四個頂點(diǎn)共圓）

團(tuán)點(diǎn)B,。在點(diǎn)A,C,E所確定的回。上（依據(jù)2）

國點(diǎn)A,B,C,。四點(diǎn)在同一個圓上

⑴上述探究過程中的"依據(jù)1"、"依據(jù)2"分別是指什么？依據(jù)L—；依據(jù)2：.

（2）如圖3,在四邊形ABC。中，01=02,國3=45。，貝幅4的度數(shù)為.

拓展探究：⑶如圖4,已知ZkABC是等腰三角形，AB=AC,點(diǎn)。在BC上（不與BC的中點(diǎn)重合），連接AO.作

點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)E,連接E8并延長交的延長線于F,連接AE,DE.①求證：A,。，8,E四

點(diǎn)共圓；②若AB=2也,的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由

例4.（2022?陜西?九年級校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC,對角線平分/ADC,

ACVCD,且Za4C=ZAD3.（1）證明：ZBAD+ZBCD=1SO°；（2）若ZAT?=30。，AO+C￡>=4石，求BD

的長.

A

1

B

模型4、對角互補(bǔ)共圓模型

條件：如圖1,平面上A、B、C,。四個點(diǎn)滿足/4BC+NADC=180。，結(jié)論：A,B、C、。四點(diǎn)共圓.

條件：如圖2,54、C。的延長線交于尸，PAPB^PDPC,結(jié)論：A,B、C、。四點(diǎn)共圓.

例L（2022秋,廣東惠州,九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，將AABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90S得到VADE,其中

點(diǎn)8與點(diǎn)。對應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)E對應(yīng).

⑴畫出VADE.⑵直線8C與直線DE相交于點(diǎn)尸，證明：A,C,F,E四點(diǎn)共圓.

例2.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）如圖，AABC中，Zfi4c=60。，AD平分ZBAC,N3￡）C=120。，連接3D,

DF3

以》并延長分別交AC,AB于點(diǎn)E和點(diǎn)尸，若DE=6,答=（,則3。的長為（)

D.16

例3.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）如圖，ABJ.BC,AB=5,點(diǎn)、E、尸分別是線段A3、射線上的動

點(diǎn)，以所為斜邊向上作等腰RtADEF,?D90?,連接AD,則AD的最小值為

F

D

例4.(2022春?浙江九年級課時練習(xí))在正方形ABCD中，M是3C邊上一點(diǎn)，點(diǎn)尸在射線AM上，將線段

AP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AQ,連接取，DQ.

備用圖

(1)如圖1,求證：BP=DQ.(2)如圖2,若點(diǎn)P,B,。三點(diǎn)共線，求證：A,Q,P,。四點(diǎn)共圓;

(3)若點(diǎn)尸，Q,C三點(diǎn)共線，且AD=3,求3P的長.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

四邊形ABCD中，DCHAB,BC=1,AB=AC=AD=2.貝ljBD的長為（）

D.2"

2.（2023秋?河北張家口,九年級?？计谀┤鐖D①,若BC是RtAABC和RtAOBC的公共斜邊，貝|A、B、

C、D在以BC為直徑的圓上，則叫它們“四點(diǎn)共圓如圖②，ZkABC的三條高A。、BE、CF相交于點(diǎn)X,

則圖②中"四點(diǎn)共圓"的組數(shù)為

圖①

A.2B.36

3.（2022秋?北京海淀?九年級?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)。為線段A3的中點(diǎn)，點(diǎn)8C,D到點(diǎn)。的距離相等，

連接AC,3D.請寫出圖中任意一組互補(bǔ)的角為和（不添加輔助線，不添加數(shù)字角標(biāo)

和字母）

4.（2022?廣東,東莞市九年級期末）如圖，在銳角0ABe中，AB=2,AC=布,0ABe=60。.。是平面內(nèi)一

動點(diǎn)，且財(cái)。8=30。，則。的最小值是

rD

5.（2022?廣西?九年級專題練習(xí)）如圖所示，AB=AC=AD,23C=18。，則NC4D=

6.（2022春?九年級課時練習(xí)）如圖所示，AB=AC=AD,ZBAC=60°,求NBDC.

D

7.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）如圖，在AABC中，/C=90。，-0=90。，AB的中點(diǎn)為。.求證：A,

B,C,。四點(diǎn)在以。為圓心的圓上.

8.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）已知：如圖，在正方形ABCD中，E、尸分別是A。、。的中點(diǎn).

⑴線段AF與BE有何關(guān)系.說明理由；

⑵延長針、8C交于點(diǎn)H,則8、。、G、H這四個點(diǎn)是否在同一個圓上.說明理由.

9.（2022秋?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在RCABC中，/AC3=90。，點(diǎn)。為線段BC一點(diǎn)，連接AD,將AD

繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至AE,連接BE和DE（BEKBD）.

⑴如圖1,若NEBC=NR4C,AB=3E,點(diǎn)P是AC延長線一點(diǎn)，連接3尸，若=BC=6,BD-AC=1,

求DE的長；（2）如圖2,ZEBA^ZABC,作CF1AB于點(diǎn)G交止于點(diǎn)歹，求證：EF=DF；

（3）如圖3,在（2）的條件下，若54=2AC=6,點(diǎn)M是直線8C上一動點(diǎn)，連接力不，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動到BC中

點(diǎn)時，將AWD/沿Mr翻折至△MZXF,連接即'，請直接寫出面積的最大值.

10.（2022秋?江蘇鹽城?九年級?？计谥校┤鐖D，以點(diǎn)P（-LO）為圓心的圓，交x軸于8、C兩點(diǎn)（B在C的

左側(cè)），交y軸于4。兩點(diǎn)（A在。的下方），AD=2,將44BC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180。，得到△MCB.

（1）求8、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）請?jiān)趫D中畫出線段MB、MC,并判斷四邊形ACMB的形狀（不必證明），求出點(diǎn)

M的坐標(biāo)；⑶動直線/從與重合的位置開始繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)，到與BC重合時停止，設(shè)直線/與CM交

點(diǎn)為E,點(diǎn)。為助的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EGL3C于G,連接M。、QG.請問在旋轉(zhuǎn)過程中—MQG的大小是

否變化？若不變，求出-MQG的度數(shù)；若變化，請說明理由.

11.（2022,江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測）如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中

SD4B=45。，回CAB=30。，點(diǎn)。為斜邊A8的中點(diǎn)，連接交A8于點(diǎn)E.設(shè)A8=l.

（1）求證：A、B、C、。四個點(diǎn)在以點(diǎn)。為圓心的同一個圓上；

（2）分別求0ABe和0A8O的面積；（3）過點(diǎn)。作。交A8于點(diǎn)R求?！辏?尸的比值.

C

D

12.（2022秋?江蘇鹽城?九年級校考階段練習(xí)）在邊長為12cm的正方形ABCD中，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，沿邊

DC以lcm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，同時，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CB以lcm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)E達(dá)

到點(diǎn)C時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，連接AE、DF交于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)E.F運(yùn)動時間為t秒.回答下列問題：

⑴如圖1,當(dāng)t為多少時，EF的長等于4指cm?（2）如圖2,在點(diǎn)E、F運(yùn)動過程中，①求證：點(diǎn)A、B、F、P

在同一個圓（回。）上；②是否存在這樣的t值，使得問題①中的回。與正方形ABCD的一邊相切?若存在，求出

t值；若不存在，請說明理由；③請直接寫出問題①中，圓心。的運(yùn)動的路徑長為.

D-^ECD—ECnCD

13.(2021?九年級課時練習(xí))如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。。，對角線AC13。，垂足為E,CF1AB于

點(diǎn)、F,直線CP與直線89于點(diǎn)G.

(1)若點(diǎn)G在。。內(nèi)，如圖1,求證：G和。關(guān)于直線AC對稱；

(2)連接AG,若AG=8C,且AG與。。相切，如圖2,求—ABC的度數(shù).

14.(2023?江蘇?九年級假期作業(yè))【問題情境】如圖①，在四邊形ABCD中，ZB=ZD=9O0,求證：A、B、

C、。四點(diǎn)共圓.

小吉同學(xué)的作法如下：連結(jié)AC,取AC的中點(diǎn)O,連結(jié)。8、OD,請你幫助小吉補(bǔ)全余下的證明過程;

【問題解決】如圖②，在正方形ABCD中，AB=2,點(diǎn)E是邊8的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是邊8C上的一個動點(diǎn),

連結(jié)AE,AF,作EP_L詼于點(diǎn)P.

(1)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在正方形ABCD對角線上時，線段”的長度為

(2)如圖③，過點(diǎn)P分別作于點(diǎn)V,PNLBC千點(diǎn)、N,連結(jié)MN,則MN的最小值為

圖①圖③

15.（2023?山東日照?統(tǒng)考中考真題）在探究“四點(diǎn)共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動課上，小霞小組通過探究得出：在

平面內(nèi)，一組對角互補(bǔ)的四