蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)壓軸題攻略：難點(diǎn)探究之二次函數(shù)中求線段最值問題 壓軸題三種模型（原卷版）

專題05難點(diǎn)探究專題：二次函數(shù)中求線段最值問題壓軸題三種模型全攻略

.【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

1

'-1-*【典型例題】.............................................................................1

【考點(diǎn)一利用二次函數(shù)求單線段最值問題】...................................................1

【考點(diǎn)二二次函數(shù)中的將軍飲馬型最值問題】.................................................3

【考點(diǎn)三二次函數(shù)中的胡不歸最值問題】.....................................................7

尸;I

I*【典型例題】

【考點(diǎn)一利用二次函數(shù)求單線段最值問題】

例題：（2023?上海?九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知拋物線耳：y=-x2+5,拋物線鳥與^關(guān)于點(diǎn)。，。）中心對(duì)

稱，耳與此相交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線片上，且位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間；點(diǎn)N在拋物線心上，也位于

點(diǎn)A和點(diǎn)8之間，且MNLx軸.

⑴求拋物線吊的表達(dá)式；

⑵求線段長(zhǎng)度的最大值.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023?湖北襄陽,統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-矛-2與無軸交于點(diǎn)A,與y軸

交于點(diǎn)B,拋物線y=-(x-〃?)2+病的頂點(diǎn)為p,過點(diǎn)尸分別作x軸，y軸的垂線交AB于點(diǎn)v，Q,直線

交x軸于點(diǎn)N.

⑴若點(diǎn)尸在y軸的左側(cè)，且N為尸M中點(diǎn)，求拋物線的解析式；

⑵求線段尸。長(zhǎng)的最小值，并求出當(dāng)PQ的長(zhǎng)度最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若尸，M,N三點(diǎn)中，任意兩點(diǎn)都不重合，且PN>MN,求機(jī)的取值范圍.

1

2.(2023秋?福建龍巖?九年級(jí)校考開學(xué)考試)如圖，已知拋物線>左『9+〃圖象經(jīng)過點(diǎn)4-1,0),且

3

對(duì)稱軸為直線％=

⑴求拋物線的解析式；

(2)若CG外加-D是拋物線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，。是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合)，過點(diǎn)。

分別作DE〃3c交AC于E,DF〃AC交BC千F.

①求C點(diǎn)坐標(biāo)；

②求證：四邊形DE(才是矩形；

③連接反，線段E尸的長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出所的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)二二次函數(shù)中的將軍飲馬型最值問題】

例題：(2023秋?安徽滁州?九年級(jí)校聯(lián)考期末)已知：二次函數(shù)y=d+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),

其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),與丁軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。(-2,-3)在拋物線上.

⑴求拋物線的解析式；

⑵拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求出PA+PD的最小值；

⑶若拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)尸，使三角形ARP的面積為6,求產(chǎn)點(diǎn)坐標(biāo).

【變式訓(xùn)練】

1.（2023秋?安徽蕪湖?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，拋物線y=V+bx+c交無軸于點(diǎn)A（l,0）,點(diǎn)、B,交y軸

⑴點(diǎn)8的坐標(biāo)為.

⑵求拋物線的解析式.

⑶點(diǎn)尸是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使△PAC的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說明理由.

2.（2023?河北石家莊?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線j=ax1+bx+c（aw0）與x軸交于點(diǎn)A（-3,0）,B（2,0）.與

y軸交于點(diǎn)C,ZCAO=45°,直線V=丘交拋物線于點(diǎn)E,且AE=EC.

備用圖①備用圖②

⑴求拋物線的解析式;

⑵若點(diǎn)M為直線y=l上一點(diǎn)，點(diǎn)N為直線EC上一點(diǎn)，求CW+MN的最小值；

⑶點(diǎn)尸為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)。為平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,。，使得以E,C,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是

矩形？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

3.(2023秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖1所示，已知直線>=京+加與拋物線y=ax2+bx+c分別交于x軸

和y軸上同一點(diǎn)，交點(diǎn)分別是點(diǎn)3(6,0)和點(diǎn)C(0,6),且拋物線的對(duì)稱軸為直線x=4.

⑵如圖2,點(diǎn)Q是線段上一點(diǎn)，且CQ=40,點(diǎn)M是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段MQ+MA的最小值；

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使，PBC是直角三角形？若存在請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)，不存在請(qǐng)說明

理由.

4.(2023春?廣東湛江?九年級(jí)湛江市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，已知拋物線y=-d+bx+c與y軸交于

點(diǎn)C,與x軸交于4-1,0),3(3,0)兩點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式.

⑵連接AC,在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得△ACP的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)和△ACP

的周長(zhǎng)的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

⑶點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，直

接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo).

5.（2023?廣東佛山?二模）己知拋物線>=加+法+3經(jīng)過點(diǎn)4L0）和點(diǎn)8（-3,0）,與y軸交于點(diǎn)C.

⑴求該拋物線的表達(dá)式；

⑵如圖1,在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)E,使△AEC的周長(zhǎng)最小.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和△AEC周長(zhǎng)

的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

⑶如圖2,設(shè)點(diǎn)P是對(duì)稱軸左側(cè)該拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)。在對(duì)稱軸上，當(dāng)VBPQ為等邊三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫

出符合條件的直線AP的函數(shù)表達(dá)式.

【考點(diǎn)三二次函數(shù)中的胡不歸最值問題】

例題：（2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+6x+c與x軸交于B（4,0）,

C（-2,0）兩點(diǎn).與y軸交于點(diǎn)A（0,-2）.

⑴求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵若點(diǎn)P是直線A3下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作x軸的平行線交43于點(diǎn)K,過點(diǎn)P作y軸的平行線

交x軸于點(diǎn)D,求與gPK+PD的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)使得△腸匕是以A3為一條直角邊的直角三角形：若存在，請(qǐng)求

出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?四川內(nèi)江?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知拋物線y=加+bx+c（aW0）與y軸相交于點(diǎn)C（0,-2）,

與x軸分別交于點(diǎn)2（3,0）和點(diǎn)A,且tanNC4O=l,

⑴求拋物線解析式.

（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使得/A4Q=ZABC,若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

⑶拋物線的對(duì)稱軸交X軸于點(diǎn)，在，軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)。使日尸C+如的值最小，若存在‘請(qǐng)求出

最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

2.(2023?山東濟(jì)南?統(tǒng)考三模)如圖1,拋物線＞=-/+云+。與無軸交于a,臺(tái)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,已

知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3.

⑴求該拋物線的解析式，并寫出其對(duì)稱軸；

(2)設(shè)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸第一象限部分上一點(diǎn)，連接叢，將線段出繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)為D若點(diǎn)。恰好落在該拋物線上，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖2,連接CB,若點(diǎn)。是直線上方拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△QBC面積最大時(shí)，求

QM+^OM的最小值.

3.(2023?四川巴中?統(tǒng)考一模)如圖1,已知拋物線、=狽2+法+1經(jīng)過點(diǎn)A(-LO)和點(diǎn)3,且與y軸交于點(diǎn)C,

直線y=-；x+〃z經(jīng)過B點(diǎn)和點(diǎn)C.

⑴求直線和拋物線的解析式.

(2)若點(diǎn)P為直線上方的拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作EEJL3c于點(diǎn)E,作P尸〃y軸，交直線BC于點(diǎn)尸,

當(dāng)！PE尸的周長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

⑶在第(2)間的條件下，直線CP上有一動(dòng)點(diǎn)。，連接B。，求2。+半C。的最小值.

4.(2023,江蘇鎮(zhèn)江?校聯(lián)考一模)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-J尤2+bx+c的圖像與無軸交

于點(diǎn)4(-1,0)和點(diǎn)3(4,0),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為點(diǎn)D

⑴求二次函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)連接AC、BC,求..ABC外接圓的半徑；

⑶點(diǎn)尸為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，