蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)壓軸題攻略：難點(diǎn)探究之利用二次函數(shù)求面積、周長最值問題 壓軸題四種模型（原卷版）

專題06難點(diǎn)探究專題：利用二次函數(shù)求面積、周長最值問題壓軸題四

種模型全攻略

咆

寧怔【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】.............................................................................1

【考點(diǎn)一利用二次函數(shù)求面積最大值問題】...................................................1

【考點(diǎn)二利用二次函數(shù)求面積最小值問題】...................................................3

【考點(diǎn)三利用二次函數(shù)求周長最大值問題】...................................................5

【考點(diǎn)四利用二次函數(shù)求周長最小值問題】...................................................7

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【典型例題】

【考點(diǎn)一利用二次函數(shù)求面積最大值問題】

例題：（2023春?安徽合肥?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù),="2+法+。的圖象與x軸交于。為

原點(diǎn)），A兩點(diǎn)，已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2,6）,且其對(duì)稱軸為直線x=2.

⑴試確定二次函數(shù)的表達(dá)式;

⑵已知y軸上一點(diǎn)3（0,4）,點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上位于x軸下方的一點(diǎn)，連接上4,PB,AB.設(shè)點(diǎn)P的橫

坐標(biāo)為f,ARAB的面積為S.

①求S與f之間的函數(shù)表達(dá)式（不要求寫自變量的取值范圍）;

②當(dāng)S取最大值時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?山東日照?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，拋物線y=/+bx+c與X軸交于

A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線x=2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）.

⑴求該拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵在直線BC的下方的拋物線上存在一點(diǎn)使得ABCW的面積最大，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)

⑶點(diǎn)尸是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，作跖〃AD交x軸于點(diǎn)E,是否存在點(diǎn)尸，使得以A、

。、E、產(chǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

2.（2023?黑龍江綏化?校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)＞=-/+云+。的圖象與x軸交

于A,B點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（o,3）,點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)尸是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

且在直線BC的上方.

⑴求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

⑵當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△3PC的面積最大？請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)和△3PC面積的最大值.

⑶連接PO,PC,并把△POC沿CO翻折，得到四邊形尸OPC,那么是否存在點(diǎn)P,使四邊形尸OPC為

菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

3.（2023春?江西宜春?八年級(jí)?？计谀┤鐖D1,己知拋物線>=-/+桁+。經(jīng)過點(diǎn)4（1,0）,8（-5,0）兩點(diǎn),

且與y軸交于點(diǎn)C.

⑴求6,c的值.

（2）在第二象限的拋物線上，是否存在一點(diǎn)P,使得APBC的面積最大？求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)及APBC的面積最大

值.若不存在，請(qǐng)說明理由.

（3）如圖2,點(diǎn)E為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與8,C重合），經(jīng)過8、E、。三點(diǎn)的圓與過點(diǎn)8且垂直于8C的

直線交于點(diǎn)尸，當(dāng)AOEF面積取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E坐標(biāo).

【考點(diǎn)二利用二次函數(shù)求面積最小值問題】

例題：（2022秋?廣東廣州?九年級(jí)中山大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,3C=12,

點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊向點(diǎn)B以1個(gè)單位每秒的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2個(gè)單

位每秒的速度移動(dòng).如果尸，。兩點(diǎn)在分別到達(dá)8,C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒（。7<6）,回

答下列問題：

⑴運(yùn)動(dòng)開始后第幾秒時(shí)APBQ的面積等于8.

⑵設(shè)五邊形APQCD的面積為S,寫出S與/的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)r為何值時(shí)S最??？求S的最小值.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023,安徽合肥?合肥市第四十五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線y=-/+法+c交x軸于A（-l,0）,3（3,0）,

與y軸交于點(diǎn)C.

⑴求6,c的值；

（2）已知P為拋物線y=-/+法+。一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合）,若點(diǎn)尸關(guān)于無軸對(duì)稱的點(diǎn)p恰好在直線BC上，

求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶在（2）的條件下，平移拋物線y=-x2+Zu+c,使其頂點(diǎn)始終在直線>上，且與PP相交于點(diǎn)。，求

△Q3P面積的最小值.

2.（2023?全國,九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/+Zu+c的圖象與坐標(biāo)軸相交

于A,B,C三點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,2點(diǎn)坐標(biāo)為連接AC,BC.動(dòng)點(diǎn)尸從A點(diǎn)出發(fā)，在線

段AC上以每秒&個(gè)單位長度向點(diǎn)C做勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。從8點(diǎn)出發(fā)，在線段54上以每秒1個(gè)單

位長度向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r秒.

（2）在P,。運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)r為何值時(shí)，四邊形8CPQ的面積最小，最小值為多少？

⑶已知點(diǎn)M是該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，若要使得線段M4+MP的值最小，則試求出點(diǎn)

M的坐標(biāo).

【考點(diǎn)三利用二次函數(shù)求周長最大值問題】

例題：（2023?山東東營?統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)。（0,0）,￡（10,0）,矩形ABCD的邊A2在線段OE

上（點(diǎn)8在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)C,。在拋物線上，設(shè)3a0）,當(dāng)/=2時(shí)，BC=4.

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)，為何值時(shí)，矩形ABCO的周長有最大值？最大值是多少？

⑶保持/=2時(shí)的矩形A3C。不動(dòng)，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G,H,且直

線GH平分矩形ABCD的面積時(shí)，求拋物線平移的距離.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?湖南長沙?八年級(jí)校考期末）已知拋物線丫=（"1）12+（2〃-7卜+/一4（a為常數(shù),。>0）的圖

象經(jīng)過原點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動(dòng).

⑴求。的值.

⑵若點(diǎn)尸（8fs）和點(diǎn)。（"4,r）都是這個(gè)拋物線上的點(diǎn)，且有s>r,求r的取值范圍.

⑶設(shè)點(diǎn)A位于x軸的下方且在這個(gè)拋物線的對(duì)稱軸的左側(cè)運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)A作無軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D,

過點(diǎn)A作AB/x軸，垂足為點(diǎn)3,過點(diǎn)。作OCLx軸，垂足于點(diǎn)C,試問四邊形ABCD的周長是否存在最

大值？如果存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值和對(duì)應(yīng)的尤值，如果不存在，請(qǐng)說明理由.

2.（2023?安徽合肥?合肥壽春中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線>=近與拋物線y=ax2+c

交于4（8,6）、3兩點(diǎn)，點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為-2.

⑴求直線和拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)尸是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、3重合），過點(diǎn)P作x軸的平行線,與直線AB交于點(diǎn)C,

連接P0,設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為

①若點(diǎn)P在龍軸上方，當(dāng)加為何值時(shí)，△尸OC是等腰三角形；

②若點(diǎn)尸在無軸下方，設(shè)△POC的周長為P,求P關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)加為何值時(shí)，△尸OC的周長最

大，最大值是多少？

3.（2023春?內(nèi)蒙古赤峰?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸分別交于4。,3）、8（-1,0）、

C(3,0)三點(diǎn).

⑴求二次函數(shù)的解析式；

⑵在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)V、N,且點(diǎn)N在點(diǎn)"的左側(cè)，過M、N作x軸的垂線

交x軸于點(diǎn)G、//兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形跖忸G為矩形時(shí)，求該矩形周長的最大值；

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⑶當(dāng)矩形跖VHG的周長最大時(shí)，在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使△口、《的面積是矩形MMfG面積的7？

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若存在，直接寫出該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)四利用二次函數(shù)求周長最小值問題】

例題：（2023?天津?校聯(lián)考一模）拋物線了=加+桁-3（叱0）與x軸交于點(diǎn)4（-3,0）,點(diǎn)3。，。），與y軸交于

點(diǎn)C.

⑴求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)Q在拋物線對(duì)稱軸上，當(dāng)△BCQ的周長最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

⑶產(chǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，"是對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△/如W是以上4為腰的等腰直角三角

形時(shí)，求出符合條件的所有點(diǎn)〃的坐標(biāo).

【變式訓(xùn)練】

1.(2023秋?云南臨滄?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，拋物線y=Y+"+c與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與，軸交于點(diǎn)

C,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,點(diǎn)8坐標(biāo)為(3,0),。為拋物線的頂點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式.

⑵尸為該拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ACP的周長最小時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(3)當(dāng)函數(shù)y=爐+bx+c的自變量x滿足根WxV/n+2時(shí)，函數(shù))的最小值為3,求加的值.

2.(2023春?廣東湛江?九年級(jí)湛江市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，已知拋物線y=-f+bx+c與y軸交于

點(diǎn)C,與x軸交于A(T,0),2(3,0)兩點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式.

⑵連接AC,在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得△ACP的周長最??？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)和△ACP

的周長的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

⑶點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，直

接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo).

3.(2023?湖南張家界?統(tǒng)考中