湘教版七年級數(shù)學(xué)下冊解題技巧之平行線中拐點(diǎn)問題 壓軸題五種模型（解析版）

專題10解題技巧專題：平行線中拐點(diǎn)問題壓軸題五種模型全攻略

.【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

1

修【典型例題】.............................................................................1

【考點(diǎn)一平行線中含一個拐點(diǎn)問題】.........................................................1

【考點(diǎn)二平行線中含兩個拐點(diǎn)問題】........................................................8

【考點(diǎn)三平行線中含多個拐點(diǎn)問題】.......................................................13

【考點(diǎn)四平行線中在生活上含拐點(diǎn)問題】....................................................19

【考點(diǎn)五平行線與平移綜合拐點(diǎn)問題】......................................................24

尸

莘【典型例題】

【考點(diǎn)一平行線中含一個拐點(diǎn)問題】

例題：（2024上?甘肅白銀,八年級統(tǒng)考期末）【問題背景】同學(xué)們，觀察小豬的豬蹄，你會發(fā)現(xiàn)熟悉的幾何圖

形，我們就把這個圖形的形象稱為"豬蹄模型"，豬蹄模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系.

【問題探究】（1）如圖1,AB//CD,E為AB、CO之間一點(diǎn)，連接AE、CE.可以得到—AEC與/A、

NC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【靈活應(yīng)用】（2）如圖2,直線AB〃CD,若NE=ZB=60。，N尸=85。，求—D的度數(shù).

【答案】（1）ZAEC=ZA+Z.C,理由見解析；（2）25°

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)及應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)定理和判定

定理，并能熟練應(yīng)用.

（1）過點(diǎn)E作EP〃AB,利用平行線的性質(zhì)即可解答；

（2）先利用三角形的內(nèi)角和定理可得/3HF=35。，從而利用對頂角相等可得NAHE=N3HF=35。，然后

利用"豬蹄模型"可得ZE=ZAHE+ND,最后進(jìn)行計算即可解答.

【詳解】(1)ZAEC=ZA+ZC,

理由：如圖，過點(diǎn)E作砂〃AB,

ZA=ZAEP,

AB//CD,

EP//CD,

ZC=ZCEP,

ZAEC=ZAEP+ZCEP,

ZAEC=ZA+ZC；

（2）;ZB=6QP,N尸=85°,

ZBHF=180°-ZB-ZF=35°,

ZAHE=NBHF=35°,

AB//CD,

..?由（1）可得：ZE=ZAHE+ZD,

ZD=ZE-ZAHE=60°-35°=25°,

ZD=25。.

【變式訓(xùn)練】

1.（2024上?山西長治?七年級統(tǒng)考期末）如圖，ABCD,ZPAB=,/PCD=120。，則/APC的度數(shù)

C.120°.110°

【答案】D

【分析】此題考查的是平行線的判定及性質(zhì)，掌握構(gòu)造平行線的方法是解決此題的關(guān)鍵.過P作直線

MN//AB,根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求出/APN,然后根據(jù)平行于同一條直線的兩直線平行可

得MN〃CD,進(jìn)而可求出Z2VpC,從而求出，APC.

【詳解】解：過尸作直線肱V〃Afi,如下圖所示，

SMN//AB,ZPAB=130°,

BZPAB+ZAPN=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），

0ZAPN=180°-ZPAB=50°,

^MN//AB,ABCD,ZPCD=120°,

0MN〃CD,

0ZPCD+ZNPC=l80°,

SZNPC=60°,

EZAPC=ZNPC+ZAPN=60°+50°=110°,

故選：D.

AB

M--------------------------------N

C---------------D

2.（2023上?吉林長春?七年級統(tǒng)考期末）【感知探究】（1）如圖①，己知，AB〃CD,點(diǎn)M在A3上，點(diǎn)N

在8上.求證：ZMEN=ZBME+Z.DNE.

【類比遷移】（2）如圖②，NF、NBMF、/DNF的數(shù)量關(guān)系為（不需要證明）

【結(jié)論應(yīng)用】（3）如圖③，已知A3〃OE,ZBAC=120°,ZD=80°,則NACE>=_。.

圖①圖②圖③

【答案】（1）見解析；（2）ZF=ZBMF-ZDNF-（3）20

【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，作輔助線是解題的關(guān)鍵.

（1）過點(diǎn)￡作印〃四，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；

（2）如圖②，過F作FH〃AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（3）如圖③，過C作CG〃AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：如圖①，過點(diǎn)E作EF〃AB,

又回AB〃CD,

^\EF//CD,

:.ZNEF=ZDNE,

ZMEN=ZMEF+ZNEF,

即ZMEN=NBME+/DNE；

(2)解：ZBMF=ZMFN+AFND.

證明：如圖②，過尸作bKAB,

圖②

:.ZBMF=ZMFK,

團(tuán)AB〃CD,

國FKCD,

.\ZFND=ZKFN,

ZMFN=ZMFK-ZKFN=ZBMF-ZFND,

即：ZBMF=ZMFN+AFND.

故答案為：ZBMF=ZMFN+ZFND；

(3)如圖③，過C作CG〃A3,

ZGCA=1SO°-ZBAC=60°f

^\AB//DE,

團(tuán)CG〃OE,

/.ZGCD=Z.CDE=80°,

ZACD=20°,

圖③

故答案為：20.

3.（2024下?全國?七年級假期作業(yè)）如圖①，已知直線:〃乙，且4和24分別交于兩點(diǎn),乙和44分別

交于CO兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段A3上，設(shè)ZACP=Nl,NBDP=N2,NCPD=N3.

⑴試找出行，2,?3之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖②，點(diǎn)A在點(diǎn)8的北偏東40°的方向上，在點(diǎn)C的北偏西45。的方向上.應(yīng)用（1）中的結(jié)論求NBAC

的度數(shù)；

（3）如果點(diǎn)尸在直線4上且在線段AB外側(cè)運(yùn)動（點(diǎn)尸和A2兩點(diǎn)不重合），其他條件不變，試探究Nl,Z2,

N3之間的關(guān)系.

【答案】⑴N1+N2=N3.理由見解析

(2)ZBAC=85°

⑶Nl,Z2,N3之間的關(guān)系為/3=/1-/2或N3=N1-N2

【詳解】(1)Z1+Z2=Z3.理由如下：

.".Zl+ZPCD+ZPDC+Z2=180°.

在三角形尸CD中，Z3+ZPCD+ZPDC=180°,.-.Z1+Z2=Z3.

(2)由(1)可知，ABAC=ZDBA+ZACE=40°+45°=85°.

(3)①當(dāng)點(diǎn)P在54的延長線上時，如圖①所示.過點(diǎn)P作P尸〃乙，交乙于點(diǎn)/，則4=NEPC.

1//l2,:.PF//l2,:.Z2=ZFPD.

Z3=/FPD-/FPC,.-.Z3=Z2-Z1；

②當(dāng)點(diǎn)尸在AB的延長線上時，如圖②所示.過點(diǎn)尸作PG〃/2,交乙于點(diǎn)G,則N2=NGP”

lx//l2,:.PG//l{,Z1=ZCPG.

Z3=NCPG-ZGPD,Z3=Z1-Z2.

綜上所述，Zl,Z2,N3之間的關(guān)系為N3=N1-N2或N3=N1-N2

4.（2024上?安徽安慶?八年級統(tǒng)考期末）問題情境:如圖1,AB//CD,ZPAB^130°,NPCD=120。，求，APC

的度數(shù).

問題遷移：

圖1圖2圖3

⑴如圖2,AD〃臺C,點(diǎn)P在射線OA/上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)尸在A,B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時，ZADP=Za,NBCP=2/3,

求/CPD,Za,4之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

⑵在（1）的條件下，如果點(diǎn)尸在A,2兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時（點(diǎn)P與點(diǎn)48,。三點(diǎn)不重合），請直接寫出/CPD,

"”之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）NCPO=NC+N/7,理由見解析

（2）NCPD=N/7—N（z或ZCPD=Za-Z/?

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用；

（1）過尸作交CD于E,推出&￡>〃尸E〃臺C,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出Nc=4>PE,N0=NCPE,

即可得出答案；

（2）畫出圖形（分兩種情況：①點(diǎn)尸在&L的延長線上，②點(diǎn)P在A3的延長線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)

得出=N/3=NCPE,即可得出答案.

【詳解】（1）ZCPD=Za+Z^,理由如下：

如圖3,過P作尸E〃AD交C￡＞于E,

^\AD//BC,

^AD//PE//BC,

田Na=/DPE,Zj3=ZCPE,

圖3

(2)當(dāng)P在AB延長線時，ZCPD=Z/3-Za；

理由：如圖4,過尸作PE〃AT＞交于E,

BAD//BC,

SAD//PE//BC,

BZa=ZDPE,ZJ3=ZCPE,

fflZCPD=ZCPE-NDPE=—Na；

圖4

當(dāng)P在30之間時，ZCPD=Za-Z/3.

理由：如圖5,過戶作PE77AD交8于E,

SAD//BC,

SAD//PE//BC,

SZa^ZDPE,N0=NCPE,

0ZCPD=ZDPE-ZCPE=Na-N0.

M

/A

N~pICE

圖5

;.4CPD=4a-40

綜上所述，ZCPD,Za,4之間的數(shù)量關(guān)系為NCP￡)=N/?—Nc或NCPr>=N(z—N6.

【考點(diǎn)二平行線中含兩個拐點(diǎn)問題】

例題：(2024上?重慶?七年級重慶八中?？计谀?如圖，直線ABC。，點(diǎn)E,尸分別在直線A3和直線8上,

點(diǎn)尸在兩條平行線之間，NA￡P(guān)和NCFP的角平分線交于點(diǎn)H,已知ZP=78°,則NH的度數(shù)為.

【答案】141。/141度

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，過點(diǎn)尸作P0〃AB,過點(diǎn)“作"G|AB.根據(jù)平行線的性質(zhì)

得至1]NEPF=NBEP+NDFP=78°,結(jié)合角平分線的定義得到/AEH+NCNH,同理可得

ZEHF=ZAEH+ZCFH.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)尸作PQ〃A8,過點(diǎn)H作8GAB,

0ABCD,

^\PQ//CD,HG//CD,

田NBEP=/QPE,NDFP=NQPF,

0ZEPF=ZQPE+ZQPF=78°,

團(tuán)/BEP+ZDFP=78°,

0ZAEP+ZBEP=180°,NCFP+/DFP=180。,

0ZAEP+ZCFP=360°—78°=282°,

回神平分Z4EP,HF平分NCFP,

0ZAEH+ZCFH=282°+2=141°.

0HG〃CD〃AB,

0NEHG=/AEH,ZFHG=ZCFH,

0ZEHF=ZEHG+ZFHG=ZAEH+ZCFH=141°

故答案為：141。.

【變式訓(xùn)練】

1.(2024上?陜西咸陽?八年級統(tǒng)考期末)如圖，已知ABCDS，尸分別為AB,CD之間的點(diǎn).

圖I圖2圖3

⑴如圖1,若ZE=100°,求Z3+N7)的度數(shù)；

(2)若/8=36°,40=108°.

①如圖2,請?zhí)剿鳌?NE的度數(shù)是否為定值，請說明理由；

②如圖3,已知EP平分NBEF,FG平分NEFD,反向延長尸G交EP于點(diǎn)尸，求一尸的度數(shù).

【答案］⑴100。

(2)@ZEFD-ZBEF=36°,是定值②/尸=18。

【分析】(1)：過點(diǎn)E作EMAB,則EMABCD,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到="=,

即可解題；

(2)①如圖，過E作ENAB,過F作五尸AB,證明ABEN\FPCD,可得Nl=/3=36。，

Z4=180°-ZD=72°,Z3=Z2,再利用角的和差運(yùn)算可得結(jié)論；

②如圖，EP平分NBEF,FG平分NEFD,可得N2=N1=：/3EF,Z3=Z4=1z￡FD,由三角形的內(nèi)角

和定理可得NP=280。-(N2+NPFE)=N3?Z,結(jié)合①得：ZEFD-ZBEF=36°,從而可得/尸=18。.

【詳解】(1)解：過點(diǎn)后作近度AB,

^ABCD,

團(tuán)EMABCD,

?ZB=NBEM,ZD=ZDEM,

團(tuán)N5+NO=/BE+/DEM=ABED=100。；

(2)①/EFD—/BEF=36。,是定值，理由如下:

0ABENFPCD,而N3=36°,/D=108°,

0Z1=ZB=36°,Z4=180°-ZD=72°,Z3=Z2,

ENEFD—NBEF=Z3+Z4-Z1-Z2=Z4-Z1=72°-36O=36°；

②如圖,ElEP平分NBEF,FG平分ZEFD,

.-.ZP=180o-(Z2+ZPFE)=180°-(Z2+180°-Z3)=Z3-Z2,

回由①得：NEFD—NBEF=36°,

Z3-Z2=1(ZEFr)-ZBEF)=1x36°=18°,

二/尸=18°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用,

熟練的構(gòu)建平行線，利用平行線的性質(zhì)解決問題是解本題的關(guān)鍵.

2.(2023下?海南省直轄縣級單位?七年級統(tǒng)考期末)如圖1,AB〃CD,點(diǎn)尸為直線AB,CD間一點(diǎn)，點(diǎn)E,

尸分別是直線AB,CD上的點(diǎn)，連接EP,FP.

Ad----7E-B.4刀￡------------8A----------E[B

CFDC~-FDCFD

圖1圖2圖3

(1)【證明推斷】求證：ZEPF=ZAEP+ZCFP,請完善下面的證明過程，并在()內(nèi)填寫依據(jù).

證明：過點(diǎn)P作直線〃鉆，

MN//AB(已作)，

:.ZAEP=/EPN(),

又-MN//AB,AB//CD(已知)

,()

:.ZCFP=ZFPN,

ZAEP+ZCFP=ZEPN+ZFPN=.

(2)如圖2,若NA￡P(guān)的平分線與NPPC的平分線交于點(diǎn)Q.

①【類比探究】試猜想NEPF與/EQF之間的關(guān)系，并說明理由；

②【結(jié)論運(yùn)用】若NBEP+ZDFP=240°,求NE。尸的度數(shù).

⑶【拓展認(rèn)知】如圖3,直線AB〃CE>,點(diǎn)P,H為直線AB、CD間的點(diǎn)，請直接寫出Z4￡P(guān),ZPHF,ZEPH,

NHFD的數(shù)量關(guān)系：.

【答案】⑴兩直線平行，內(nèi)錯角相等；MN//CD-.平行于同一直線的兩直線平行；ZEPF

⑵①NEPF=2NEQF,理由見解析；@60°

⑶ZAEP+NFHP=ZEPH+NDFH

【分析】(1)過點(diǎn)P作直線"N〃回，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案；

(2)①分別過點(diǎn)P,Q作PHAB,QGAB,由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得

ZAEQ+ZQFC=^ZAEP+ZPFC)=^ZEPF,進(jìn)而即可求解；②結(jié)合平角的定義和

ZEPF=ZAEP+NCFP即可得到答案；

(3)過點(diǎn)P、H作加、“SAB,可得=Z2=Z3,ZDFH=Z4,進(jìn)而即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：過點(diǎn)P作直線”NAB,

MNAB(己作)，

:.ZAEP=NEPN(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)

又.MNAB,ABCD(已知)，

:.MNCD,(平行于同一直線的兩直線平行)，

:.NCFP=NFPN,

ZAEP+ZCFP=ZEPN+ZFPN=ZEPF；

(2)解：①NEPF=2NEQF.

理由：如圖1,分別過點(diǎn)P,。作耽AB,QGAB.

ZAEP的平分線與NPFC的平分線交于點(diǎn)Q,

ZAEQ=-ZAEP,ZCFQ=-NPFC.

22

ZAEQ+ZQFC=1(ZAEP+ZPFC)=|ZEPF.

同(1)^EQF=ZAEQ+ZCFQ,

NEPF=2ZEQF.

②ZAEP+NBEP=180°,Z.PFC+Z.DFP=180°,

ZAEP+ZBEP+ZPFC+ZDFP=360°

ZAEP+ZPFC=360°-ZBEP-ZDFP=360°-240°=120°.

又NEPF=ZAEP+ZCFP,

ZEQF=|ZEPF=1(ZAEP+ZPFC)=60°

(3)過點(diǎn)P、H作八ZAB,

I3AB//CD,

團(tuán)機(jī)、〃、AB、CD,

團(tuán)NA石尸=N1,N2=N3,ZDFH=Z4,

團(tuán)ZAEP+Z3+Z4=Z1+Z2+ZDFH,即ZAEP^ZFHP=NEPH+ZDFH

故答案為：ZAEP+ZFHP=ZEPH+ZDFH

B

【點(diǎn)睛】本題考查平行的性質(zhì)，角平分線的定義，添加合適的輔助線是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)三平行線中含多個拐點(diǎn)問題】

例題：（2023下?湖北武漢■七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，AB//CD,ZB=ZD=12O°,則/尸、NG之

間滿足的數(shù)量關(guān)系為.

【答案】ZEFG=ZBEF+ZDGF-120°

【分析】如圖，過E作過P作7W〃AB,過G作GK4AB,再證明

再結(jié)合平行線的性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過E作EQ〃AB,過產(chǎn)作過G作GK〃鉆，

^\AB//CD,

&AB〃EQ〃FN〃GK〃CD,

0ZB=ZD=12O°,

ENQEB=180°-ZB=60°,ZDGK=180°—ZD=60°,

0QE〃FN〃GK,

RNQEF=NEFN,ZKFG=ZGFN,

0NEFG=NEFN+NGFN=NQEF+ZKGF,

0ZQEF+NKGF=ZBEF-60°+ZDGF-60°=ZBEF+ZDGF-120°,

0ZEFG=ZBEF+ZZX;F-120°；

故答案為：NEFG=NBEF+NDGF—120。

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上?黑龍江哈爾濱?八年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？计谥校┮阎喝鐖D，AB//CD,ZABG的平分

線與NCDE■的平分線交于點(diǎn)NM=45。，ZF=64°,NE=66。，則NG=°.

【答案】88。/88度

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等，解題的關(guān)鍵是會添加常用輔助線（即過"拐點(diǎn)"作平行

線），一般而言，有幾個"拐點(diǎn)"就需要作幾條平行線，從而利用"拐點(diǎn)"模型的基本結(jié)論解決問題；過點(diǎn)G,R、

E、M分別作G//〃AB,尸?！ㄊˋS,跖V〃AB,根據(jù)平行線的傳遞性得出

AB//CD//GH//FQ//EP//MN,再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等以及角平分線的定義即可求解；

【詳解】過點(diǎn)G、b、E、M分別作G8〃AB,尸?！?/p>

^\AB//CD

AB//CD//GH//FQ//EP//MN,

ZBNN=Zl,NNMD=Z4,

平分ZABG,MD平分NCDE,

Z1=Z2=-ZBMN,Z3=Z4=-ZNMD,

22

QZBA?=45°,

,24+2/3=90°,

Z5=2Z1,Z10=2N3,Z6=Z7,Z8=Z9,

ZGFE=N7+N8=N6+N9=64°,

Z.FED=Z9+ZD=Z9+2Z3=66°,

2Z3-Z6=2°,

，2N1+N6=9O?！?。=88。,

ZBGF=Z5+Z6=2Z1+Z6=88°.

故答案為：88。.

2.（2023上?七年級課時練習(xí)）觀察圖形:

。ijQQa?尸a

LF仁2仁b'

、b

圖1圖2圖3圖4

已知。人，在圖1中，可得Nl+N2=_______________度，在圖2中，可得N1+N2+N4

度……按照以上規(guī)律，貝|/1+/2+/勺++今=_______________度.

【答案】180,360,180（n+l）.

【分析】作平行線，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)解題即可.

【詳解】解：如圖1,

團(tuán)ab,

團(tuán)Nl+N2=180;

如圖2,過《作

團(tuán)ab,

團(tuán)PQab,

團(tuán)N1+ZA[Q]=180。，Z2+ZB/^Q=18（）。，

團(tuán)Nl+N2+NA《B=360；

B圖2

同理可得：/1+N2+NQ++NQ=180(幾+1);

故答案為：180,360,180(n+1).

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

3.（2022下,江蘇連云港?七年級統(tǒng)考期中）已知"CD.

ffl!用2用3HH4

［知識回顧］（1）如圖1,點(diǎn)E在兩平行線之間，試說明：NBED=ZABE+NEDC.

［知識應(yīng)用］（2）如圖2,BP、D尸分別平分/ABE、NEDC,利用⑴中的結(jié)論，試說明：NBPD=；NBED；

（3）如圖2,直接寫出/即＞￡＞、NBED、NPBE、ZPDE四個角之間的數(shù)量關(guān)系.

［知識拓展］（4）如圖3,若NBEF=145°,ZEFD=135°,BP、DP分別平分/4BE、ZCDF,那么4PD=

。；（只要直接填上正確結(jié)論即可）

（5）如圖4,若ZBEF、/EFG、/FGD三個角的和是〃，BP、DP分別平分—ABE、NCDG,那么=

.（用含〃的式子表示）

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）50；（4）|-180°

【分析】（1）過點(diǎn)石作出〃45,利用豬腳模型進(jìn)行計算，即可解答；

⑵利用⑴的結(jié)論可得得：NBED=ZABE+NCDE,ZBPD=ZABP+ZCDP,再利用角平分線的定義可得

ZABP=-ZABE,ZCDP=-ZCDE,然后進(jìn)行計算即可解答；

22

（3）根據(jù)角平分線的定義可得=ZEDP=^ZCDE,再利用⑴的結(jié)論，從而進(jìn)行計算可得

ZPBE+ZPDE=g/BED,再利用（2）的結(jié)論可得NBPD=；NBED,然后進(jìn)行計算即可解答；

（4）過點(diǎn)E作EM//AB,過點(diǎn)b作FNAB,從而可得ABEM\FN\CD,然后利用平行線的性質(zhì)可得

ZMEF+ZNFE=180°,從而可得/3￡取+/。叱=100。，再利用平行線的性質(zhì)可得=做，

NCDF=NDFN,從而可得/ABE+NCD尸=100。，最后利用角平分線的定義可得=1/ABE,

2

ZCDP=-ZCDE,從而利用（1）的結(jié)論可得=+=+進(jìn)行計算即可解

答；

（5）過點(diǎn)E作過點(diǎn)e作RV過點(diǎn)G作利用（4）的解題思路進(jìn)行計算即可解答.

【詳解】解：（1）過點(diǎn)石作￡似〃A5,

:.ZABE=ZBEM,

AB//CD,

CDEM,

:.ZCDE=ZDEMf

ZBED=ZBEM+ZDEM,

ABED=ZABE+NCDE；

(2)由⑴得：Z.BED=ZABE+ZCDE,

ZBPD=ZABP+ZCDP,

BP、￡＞尸分別平分ZABE、ZEDC,

ZABP=-ZABE,ZCDP=-ZCDE,

22

:./BPD=ZABP+ZCDP

=-ZABE+-ZCDE

22

=g(NABE+NCDE)

=-ZBED,

2

即ZBPD=-ZBED；

2

(3)ZBPD+ZPBE+NPDE=ZBED,

理由：BP、DP分別平分4BE、NEDC,

ZEBP=-ZABE,ZEDP=-ZCDE,

22

ZPBE+ZPDE=-ZABE+-ZCDE

22

=g(NABE+NCDE)

=-ZBED,

2

由（2）得：/BPD=g/BED,

/BPD+ZPBE+ZPDE=-/BED+-/BED=ZBED,

22

即ZBPD+ZPBE+ZPDE=ZBED；

（4）過點(diǎn)E作過點(diǎn)方作FNAB,

AB//CD,

ABEM\FNCD,

EM//FN,

:"MEF+/NFE=180。,

.ZBEF=145°fZEFD=135°,

:./BEM+ZDFN=ZBEF+ZEfD-（ZMEF+ANFE）=100°,

ABEM,FNCD,

.\ZABE=ZBEM,/CDF=4DFN,

.?.NABE+NCD尸=100。，

BP、DP分別平分/ABE、ZCDF,

/.ZABP=-NABE,ZCDP=-ZCDE,

22

/.NBPD=ZABP+ZCDP

=-ZABE+-ZCDE

22

=1（ZABE+ZCDE）

=-xl00°

2

=50°,

故答案為：50；

（5）過點(diǎn)￡作石過點(diǎn)尸作FNAB,過點(diǎn)G作

圖4

AB//CD,

:.ABEM\\FN\\GH\CD,

EM//FN,FN//GH,

，NMEF+NNFE=180。,/NFG+NHGF=180。,

ZBEF+ZEFG+ZFGD=n,

/BEM+ZDGH=ZBEF+ZEFG+ZFGD—(/MEF+ZNFE+NNFG+NHGF)=n-360°,

BP、。尸分別平分/ABE、/CDG,

:.ZABP=-ZABEZCDP=-ZCDG,

2f2

/BPD=NABP+ZCDP

=-ZABE+-ZCDG

22

=；(NABE+NCDG)

=一360。)

=-77-180°,

2

故答案為：1?-180°.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，列代數(shù)式，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題

的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)四平行線中在生活上含拐點(diǎn)問題】

例題：（2024上?廣東深圳?八年級統(tǒng)考期末）太陽灶、衛(wèi)星信號接收鍋、探照燈及其他很多燈具都與拋物線

有關(guān).如圖，從點(diǎn)。照射到拋物線上的光線。3,OC反射后沿著與PO平行的方向射出，已知圖中

ZABO=44°,Z5OC=133°,則/OC￡>的度數(shù)為（）

A.88°B.89°C.90°D.91°

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯角相等.由平行線的性質(zhì)即可得出々8=44。,

ZCOP=Z.BOC-Z.BOPZCOP=89°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：由題意知AB〃尸O〃CD,

^ZBOP=ZABO=44°,

回Z.COP=ZBOC-ZBOP=133°-44°=89°,

0ZOCD=ZCOP=89°,

故選：B.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?山西呂梁?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，這是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行?若

4=32。，Z2=62°,則N3的度數(shù)為（

C.150°D.162°

【答案】C

【分析】過點(diǎn)8作54〃工作籃底部，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作BA〃工作籃底部，

.-.Z3+ZA/BA=180°,

工作籃底部與支撐平臺平行，朋〃工作籃底部

.?.54〃支撐平臺，

:.ZABN=Z1=32°,

Z2=ZABN+ZMBA,Z2=62°,

二/MBA=30。，

.-.Z3=150o,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記"兩直線平行，內(nèi)錯角相等"、"兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)"是解題

的關(guān)鍵.

2.（2024下?全國?七年級假期作業(yè)）如圖為一盞可折疊臺燈及其平面示意圖，其中支架AO與底座OE垂直，

支架A3,8C為固定支撐桿，當(dāng)燈體8與底座OE平行時，ZBAO=138°,NBCD=154。,則23的度數(shù)

為______

【答案】74

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，垂線的定義，過點(diǎn)8作BG〃8,過點(diǎn)A作AF〃OE,先

由垂線的定義得到/AOE=90。，則由兩直線平行內(nèi)錯角相等得到NO4F=90。，證明3G〃A廠得到

NABG=NBAF=48。，再根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到NCBG=26。，則NABC=NABG+NCBG=74。.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)8作BG〃CD,過點(diǎn)A作AF〃OE,

EAO±OE,

回NAOE=90°,

S1AF//OE,

回NOAF=NAOE=90。，

0ZBAO=138°,

團(tuán)ZBAF=138°-90°=48°,

由BG〃CD,AF//OE,CD//OE,

^\BG//AF9

BZABG=ZBAF=48°.

0ZBCD=154°,BG//CD,

0ZGBC+ZBCD=18O°,

團(tuán)ZCBG=180°-154°=26°,

0ZABC=ZABG+ZCBG=480+26°=74°.

故答案為：74.

3.（2023下?福建寧德?七年級校聯(lián)考期中）光線照射到鏡面會產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識，入射光線與鏡面

的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，例如：在圖1中，有N1=N2.

圖3圖4

⑴如圖2,已知鏡子MO與鏡子QN的夾角NMON=90。，請判斷入射光線A5與反射光線的位置關(guān)系,

并說明理由；

⑵如圖3,有一口井，已知入射光線49與水平線。。的夾角為40。，問如何放置平面鏡MN,可使反射光

線。5正好垂直照射到井底？(即求與水平線OC的夾角)

(3)如圖4,直線所上有兩點(diǎn)A、C,分別引兩條射線AB、CD.NBAb=120。，ZDCF=40°,射線AB、CD

分別繞A點(diǎn)，。點(diǎn)以3度/秒和1度/秒的速度同時逆時針轉(zhuǎn)動，設(shè)時間為/秒，在射線轉(zhuǎn)動一周的時間

內(nèi)，是否存在某時刻，使得。。與A3平行？若存在，求出所有滿足條件的時間九

【答案】⑴AB〃CD,理由見解析；

⑵當(dāng)平面鏡MN與水平線0C的夾角為65?；?15。時,可使反射光線OB正好垂直照射到井底；

⑶存在，r=10s或T=100s

【分析】(1)計算NABC+4CD的值即可求解；

(2)先計算/AO5,進(jìn)一步得NAOM+NBON的值，根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾

角相等即可求解；

(3)分類討論0＜，＜20,20＜，＜40,40〈，〈80,80〈，＜120即可求解.

【詳解】(1)解：AB//CD,理由如下：

團(tuán)N1=N2,N3=N4

團(tuán)ZABC=18O°-Z1-Z2=18O°-2Z2

ZBCD=180°-Z3-Z4=180°-2Z3

團(tuán)ZABC+NBCD=360°-2(Z2+Z3)

0ZBOC=90°

團(tuán)N2+N3=90。

團(tuán)NABC+NBCD=180。

^AB//CD

(2)解：0ZAOC=40°,ZBOC=90°

^ZAOM+ZBON=50°

.\ZAOM=ZBON=25°

/COM=25°+40°=65°,/CON=25°+90°=115°

團(tuán)當(dāng)平面鏡MN與水平線0c的夾角為65?；?15。時,可使反射光線OB正好垂直照射到井底；

(3)解：①04r420時，如圖：

D

若AB〃8,則N8AC=ZAC￡U20+3f=140+f

解得：Z=10s；

②20<f440時，如圖：

ZBAE<90°<ZACD,不滿足題意;

③40<r480時，如圖：

NBAE<ZACD不滿足題意;

④80<Y120時,如圖：

E

A、

若AB〃CD,貝lJ/BAC=N￡>CE3f—240=f-40

解得：t=100s；

綜上所述：當(dāng)t=10s或r=100s時，使得CO與A3平行

【點(diǎn)睛】本題以物理知識為背景，考查了平行線的判定與性質(zhì).熟記相關(guān)定理內(nèi)容，掌握分類討論思想是

解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)五平行線與平移綜合拐點(diǎn)問題】

例題：（2023下?河北邢臺?七年級?？计谀┤鐖D1,AB,8C被直線AC所截，4=72。，過點(diǎn)A作AE〃3C,

。是線段AC上的點(diǎn)，過點(diǎn)。作DE/AB交AE于點(diǎn)E.

⑴求NE的度數(shù)；

⑵將線段AE沿線段AC方向平移得到線段PQ,連接.

①如圖2,當(dāng)ZEDQ=45。時，求NQ的度數(shù)；

②如圖3,當(dāng)乙￡?。=90。時，求NQ的度數(shù)；

③在整個平移過程中，是否存在/即Q=3NQ?若存在，京撰寫出此時/ED0的度數(shù)，若不存在，請說明

理由.

【答案】⑴NE=72°

(2)①/。=27°；②NQ=18°；③存在，/磯＞。=54°或/磯＞(2=108°

【分析】⑴利用平行線的性質(zhì)得/&歸+4=180。，ZE+Zfi4E=180o,根據(jù)同角的補(bǔ)角相等可得答案；

(2)①如圖1中，過點(diǎn)D作Z)?〃AE,則NEDF=/E=72°,再證明。尸〃尸Q,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

答案；

②如圖3中，過點(diǎn)。作D尸〃AE,則NEDP=/E=72。，再證明0P〃尸Q,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得答案

即可求解；

③分兩種情形：圖2,圖3分別求解即可.

【詳解】(1)B1AE//BC,

SZBAE+ZB=180°.

^DE/7AB,

0ZE,+ZBAE=18O°,

0ZE=ZB=72°；

(2)①如圖2,過點(diǎn)。作

0Zfr＞F=ZE=72°,

0ZFDQ=ZEDF-ZEDQ=72°-45°=27°.

^\PQ//AE,DF//AE,

^DF//PQ,

回NQ=NFDQ=27。；

②如圖3,過點(diǎn)D作。?〃AE,

0Z￡?F=ZE=72°,

0NFDQ=NEDQ-NEDF=90°-72°=18°.

^PQ//AE,

^DF//PQ,

0Z2=ZF￡>2=18°；

③存在，/￡?。=54?；?瓦>。=108°.

如圖2,當(dāng)/EDQ=3NQ時，

由①知，3NQ+NQ=72。，/。=18。，

0Z￡D2=54°；

如圖3,當(dāng)/EDQ=3/Q時，

由②知，3NQ=NQ+72。，ZQ=36°,

0ZED2=108°

人戶A^-——-，E

【點(diǎn)睛】本題考查了平移性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，角的和差等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)

造平行線解決問題，并學(xué)會用分類討論的思想思考問題.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023下?廣東廣州?七年級統(tǒng)考期末）如圖①，直線A?〃CD,直線跖與AB,CD分別交于點(diǎn)G,H,

/￡77。=研0。<1<90。）.將一個含30。角的直角三角板孫亞放置圖中，使點(diǎn)N,/分別在直線旗，CD上，

NP=90°,ZPMN=60°.

￡

⑴填空：ZPNB+ZPMD__