有理數(shù)相關(guān)計(jì)算專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）

專題09有理數(shù)相關(guān)計(jì)算專題訓(xùn)練

加法運(yùn)算

【知識點(diǎn)睛】

①若a>0,b>0,則<7+6=+(向+忖)>0

②若a<0,b<0,則0+6=-(同+回)<0

③若0>0)<0,且問>問，貝卜+6=+(向-網(wǎng))>0

④若a>0,b<0,且向〈問，貝!!<2+6=-(網(wǎng)-|。［)<0

⑤若a>0,b<0,且同=網(wǎng)，則a+b=0

?a+0=a

易錯技巧點(diǎn)撥：

①有理數(shù)的加法計(jì)算步驟：

，，一判，，：判斷兩個加數(shù)的符號(即確定用哪一條法則和確定和的符號)

“二求”：求各加數(shù)的絕對值

“三加減”：同號絕對值相加，異號絕對值相減

②簡便運(yùn)算的幾種常見情形：

(1)互為相反數(shù)的兩個數(shù)可以先相加

(2)幾個數(shù)相加得整數(shù)時(shí)，可以先相加

(3)同分母的分?jǐn)?shù)可以先相加

(4)正負(fù)符號相同的數(shù)可以先相加

(5)題目中既有分?jǐn)?shù)又有小數(shù)時(shí)，可以先把小數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)一，再觀察是否可用簡便方法計(jì)算

【典例精析】

例1.(2021?云南)某地區(qū)2021年元旦的最高氣溫為9℃,最低氣溫為-2℃,那么該地區(qū)這天的最低

氣溫比最高氣溫低()

A.7℃B.-7℃C.11℃D.-11℃

例2.(2021秋?宜秀區(qū)校級月考)已知國=5,\y\=2,貝h+y的值()

A.±3B.±7C.3或7D.±3或土7

例3.(2021秋?東平縣期中)下面說法中正確的有()

(1)一個數(shù)與它的絕對值的和一定不是負(fù)數(shù).

(2)一個數(shù)減去它的相反數(shù)，它們的差是原數(shù)的2倍.

(3)零減去一個數(shù)一定是負(fù)數(shù).

(4)正數(shù)減負(fù)數(shù)一定是負(fù)數(shù).

(5)數(shù)軸上原點(diǎn)兩側(cè)的數(shù)互為相反數(shù).

A..2個B..3個C.4個D..5個

例4.計(jì)算：(1)(-11)+8+(-14).

(2)(-3)+12+(-17)+(+8).

例5.(2021秋?海州區(qū)校級期中)閱讀材料：我們知道：點(diǎn)/、8在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,/、B

兩點(diǎn)之間的距離表示為N5,在數(shù)軸上/、2兩點(diǎn)之間的距離/5=舊-外所以式子|x-3|的幾何意義

是數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點(diǎn)與表示有理數(shù)3的點(diǎn)之間的距離；同理|x-4|也可理解為x與4兩數(shù)在數(shù)

軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.

試探索：

(1)若|x-2|=5,則尤的值是.

(2)同理|x-5|+|x+3|=8表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應(yīng)的點(diǎn)到5和-3所對應(yīng)的兩點(diǎn)距離之和為8,則

所有符合條件的整數(shù)x的和為.

【練習(xí)】

1.約定上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù).例如，在圖1中，即4+3=7.則在圖2

中，當(dāng)y=-2時(shí)，〃的值為.

2.計(jì)算3工+(-2旦)+5旦+(-82)時(shí)，運(yùn)算律用得最為恰當(dāng)?shù)氖?)

4545

A.[3工+(-2§)]+[5-^-+(-8?)1

4545

B.(3工+5當(dāng)+[-2旦+(-8?)]

4455

C.[3工+(-衣)]+(-2旦+53)

4554

D.(-2鼻+5區(qū))+[3工+(-82)]

5445

3.方格中，除9和7外其余字母各表示一個數(shù)，已知方格中任何三個連續(xù)方格中的數(shù)之和為19,求

A+H+M+O的值.

9HMOX1

4.閱讀下列計(jì)算過程，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后利用規(guī)律計(jì)算:

(1+3)X3

1+2+3=-=6,

2

(1+4)X4

l+2+3+4="^--=10

(1+5)X5

l+2+3+4+5=--=15；

（1）猜想：1+2+3+4+,??+n=；

（2）利用上述規(guī)律計(jì)算：1+2+3+4+…+100；

（3）計(jì)算：

1.12、,123、/1234、12349、

5z而怎怎+…怎）.

二.減法運(yùn)算

【知識點(diǎn)睛】

有理數(shù)減法的計(jì)算步驟：

①將減號變成加號，把減數(shù)變成它的相反數(shù)

②按照加法運(yùn)算的步驟去做。

易錯技巧點(diǎn)撥：

①減法法則不能與加法法則中的異號兩數(shù)相加相混淆

②減法沒有交換律

③有理數(shù)大小的比較方法一一作差法（或叫差量法）

要比較兩個有理數(shù)a與b的大小，可先求a與b的差a-b,然后進(jìn)行判斷。

1）當(dāng)。-6>0時(shí)0a>6；

2）當(dāng)Q-b=0時(shí)u>a=b；

3）當(dāng)Q—bVO時(shí)=QV6；

【典例精析】

例1.（2021秋?鄧州市期中）把（-3）-（-7）+4-（+5）寫成省略加號的和的形式是（）

A.-3-7+4-5B.-3+7+4-5C.3+7-4+5D.-3-7-4-5

例2.（2021秋?溫州期中）某地一天的最高氣溫是5℃,最低氣溫是-4℃,則該地區(qū)這天的溫差

是℃.

例3.（2021秋?樂平市期中）某病人每天下午需要測量血壓，該病人上周日收縮壓為120單位，下表是

該病人這周每天與前一天相比較收縮壓的變化情況，則本周星期五的收縮壓是.

星期一二三四五

增減+20-30-25+15+30

例4.（2021秋?東興區(qū)校級期中）計(jì)算：|」——L|+|」——=+1」——L|+…+|二——1-|

101102102103103104109110

例5.為了增強(qiáng)同學(xué)們在足球比賽中快速轉(zhuǎn)身的能力，張老師設(shè)計(jì)了折返跑訓(xùn)練.張老師在東西方向的

足球場上畫了一條直線，并插上不同的折返旗幟，如果約定向西為正，向東為負(fù)，練習(xí)一組折返跑的

移動記錄如下(單位：米)：+40,-30,+50,-25,+25,-30,+15.

(1)學(xué)生最后到達(dá)的地方在出發(fā)點(diǎn)的哪個方向？距出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)？

(2)學(xué)生在一組練習(xí)過程中，跑了多少米？

(3)學(xué)生訓(xùn)練過程中，最遠(yuǎn)處離出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)？

【練習(xí)】

1.對于有理數(shù)a,b,c,d,給出如下定義：如果-c|+|6-c|=d.那么稱。和6關(guān)于c的相對距離為

d,如果m和3關(guān)于1的相對距離為5,那么m的值為.

2.卷-吟+卷一喘+54?-瞪+7表-啥+哧=---

3.若101X2020X2029,2V=2028X2021X101,貝！.

4.(1)用或或“="或或“W”填空：

01-5|+|4||-5+4|；

②|-6|+|3||-6+3|；

③I-3|+|-4||-3-4|；

@|0|+|-9||0-9|；

(2)歸納：同+|臼\a+b\；

(3)根據(jù)上題(2)得出的結(jié)論，若|加|+|川=7,|加+川=1?求加的值.

5.定義：對于確定位置的三個數(shù)：a,b,c,計(jì)算。-6,4,衛(wèi)二義，將這三個數(shù)的最小值稱為a,b,

23

C的“分差”，例如，對于1,-2,3,因?yàn)?-(-2)=3,上§_=-1,-2所以1,-

233

2,3的“分差”為-2

3

(1)-2,-4,1的“分差”為；

(2)調(diào)整“-2,-4,1”這三個數(shù)的位置，得到不同的“分差”，那么這些不同“分差”中的最大

值是;

（3）調(diào)整-1,6,x這三個數(shù)的位置，得到不同的“分差”，若其中的一個“分差”為2,求x的

值.

=.乘法運(yùn)算

【知識點(diǎn)睛】

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；任何數(shù)與0相乘，積為0

易錯技巧點(diǎn)撥：

有理數(shù)乘法計(jì)算法則實(shí)質(zhì)為一一先確定積的符號，再將絕對值相乘！?。?/p>

①1乘一個數(shù)，仍得這個數(shù)；

②T乘一個數(shù)，得這個數(shù)的相反數(shù)；

③若兩個數(shù)的乘積為1,則稱這兩個有理數(shù)互為倒數(shù)；

特別地：。沒有倒數(shù)，互為倒數(shù)的兩個數(shù)同號，倒數(shù)是其本身的數(shù)有1和T

④當(dāng)因數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)先化成假分?jǐn)?shù)，然后相乘；

⑤分?jǐn)?shù)與小數(shù)相乘時(shí)，統(tǒng)一化成分?jǐn)?shù)相乘會比較簡單；

⑥幾個非0有理數(shù)相乘，當(dāng)負(fù)數(shù)有奇數(shù)個時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)數(shù)有偶數(shù)個時(shí)，積為正！

⑦幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0,則積為0；如果積為0,則至少有一個因數(shù)為0；

⑧乘法簡便運(yùn)算律包含：乘法交換律、乘法結(jié)合律、分配律；有時(shí)候不能用前面三個規(guī)律時(shí)，可利用添

項(xiàng)拆項(xiàng)等方法湊以上運(yùn)算律

【典例精析】

例1.（2020秋?北侖區(qū)期中）下列說法正確的個數(shù)是（）

①如果兩個數(shù)的和為0,則這兩個數(shù)互為倒數(shù)；

②絕對值是它本身的有理數(shù)是正數(shù)；

③幾個有理數(shù)相乘，積為負(fù)數(shù)時(shí)，負(fù)因數(shù)個數(shù)為奇數(shù)；

④若a+6<0,則a<0,b<0；

⑤若同=步|,則02=y.

A.1個B.2個C.3個D.4個

例2.（2021?蒼南縣模擬）在-4,-2,0,1,3,5這六個數(shù)中，任意三數(shù)之積的最大值是（）

A.15B.40C.24D.30

例3.Q021秋?堇B州區(qū)期中）計(jì)算機(jī)中常用的十六進(jìn)制是逢16進(jìn)1的計(jì)數(shù)制，采用數(shù)字0?9和字母/?

尸共16個計(jì)數(shù)符號，這些符號與十進(jìn)制的數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如下表：

十六進(jìn)制0123456789ABCDEF

十進(jìn)制0123456789101112131415

例如，十進(jìn)制中16+10=26,用十六進(jìn)制表示為10+/=1/；十進(jìn)制中25-15=10,用十六進(jìn)制表示

為19-尸=/.由上可知，在十六進(jìn)制中8義。=（運(yùn)算結(jié)果用十六進(jìn)制表示）.

例4.(2021秋?濯池縣期中)學(xué)習(xí)了有理數(shù)的乘法后，老師給同學(xué)們出了這樣一道題目：計(jì)算：49義支X

25

(-5),看誰算的又快又對.

小明的解法：原式=-A241X5=_1249=_249A.

2555

小軍的解法：原式=(49+^|*)X(-5)=49X(-5)+|rx(-5)=-24^|-

(1)對于以上兩種解法，你認(rèn)為誰的解法較好？

(2)小強(qiáng)認(rèn)為還有更好的方法：把49義查看作(50.」。)，請把小強(qiáng)的解法寫出來.

2525

(3)請你用最合適的方法計(jì)算：92X(-3).

6

例5.(2021秋?東城區(qū)校級期中)已知同=5,以=3,^\a+b\=a+b,求成的值.

例6.(2021秋?余杭區(qū)月考)計(jì)算:

(1)(-0.25)X3.14X40；

(2)-252^X8.

32

(3)X(-60)

4126

【練習(xí)】

1.下列說法中不正確的個數(shù)有()

①有理數(shù)混+i的倒數(shù)是

m2+l

②絕對值相等的兩個數(shù)互為相反數(shù)

③絕對值既是它本身也是它的相反數(shù)的數(shù)只有0

④幾個有理數(shù)相乘，若有奇數(shù)個負(fù)因數(shù)，則乘積為負(fù)數(shù)

⑤若a>b,則Q(c2+l)>b(c2+l)

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.已知4個不相等的整數(shù)q、b、c、d,它們的積qbcd=25,則q+b+c+d=.

3.規(guī)定：Ma)=-2,MQ)=(-2)X(-2),M(3)=(-2)X(-2)X(-2),???M(〃)=

(-2)X(-2)X(-2)X?—(-2).

n(-2)

(1)計(jì)算：M(5)+M(6)；

（2）求2XM（2021）+河（2022）的值；

（3）試說明：2XM⑺與“5+1）互為相反數(shù).

四.除法運(yùn)算

【知識點(diǎn)睛】

①兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除；0除以任何一個非0的數(shù)都得0

②除以一個非零數(shù)，等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)

用字母表示為：a^b=ax-（b^0）

b

易錯技巧點(diǎn)撥：

有理數(shù)除法計(jì)算法則實(shí)質(zhì)為一一先確定商的符號，再將絕對值相除?。?！

①。不能作為除數(shù)；

②多個有理數(shù)相除時(shí)，如果能整除，則直接相除，如果不能整除，通常把除法轉(zhuǎn)化為乘法，統(tǒng)一為乘法

再運(yùn)算；

③除法運(yùn)算中遇到小數(shù)或者帶分?jǐn)?shù)時(shí)，要把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，然后再進(jìn)行相除；

④除法沒有交換律、結(jié)合律、分配律

【典例精析】

例1.（2020秋?浦東新區(qū)期末）計(jì)算：7XJL+7X工的值等于（）

77

A.1B.-LC.49D.A

497

例2.（2020秋?濟(jì)南期末）取一個自然數(shù)，若它是奇數(shù)，則乘以3加上1,若它是偶數(shù)，則除以2,按

此規(guī)則經(jīng)過若干步的計(jì)算最終可得到1.這個結(jié)論在數(shù)學(xué)上還沒有得到證明.但舉例驗(yàn)證都是正確

的.例如：取自然數(shù)5.經(jīng)過下面5步運(yùn)算可得1,即：如圖所示.如果自然數(shù)加恰好經(jīng)過7步運(yùn)算

可得到b則所有符合條件的m的值有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

例3.（2021春?奉賢區(qū)期末）計(jì)算：3.（_19）=.

55

例4.（2021秋?吉林期末）計(jì)算：-Px（-工）+8+（-2）.

2

例5.（2021秋?黔南州月考）請你認(rèn)真閱讀下列材料:

計(jì)巢得"（Fid/

解法一：因?yàn)樵降牡箶?shù)為看得吊電”-焉

=W)X(-30)

=-20+3-5+12

=-10,

所以原式=

10

解法二：原式=-+）4--—

I30J匕，I30J10k306I30J5

=_"1+1—1+1-1-?

2035126

（1）上述得出的結(jié)果不同，肯定有錯誤解法，你認(rèn)為哪種解法是錯誤的？為什么？

（2）根據(jù)你對所提供材料的理解，計(jì)算下面的題目：（，）.（?!」-一2.J.y

‘42'"1437,

五.乘方

【知識點(diǎn)睛】

①符號法則：正數(shù)的任何次嘉都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次嘉是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次塞為正數(shù)

②特例：。的任何正整數(shù)次嘉=0;0。無意義；1的任何次是=1,T的奇次零=T,T的偶次帛=1

③運(yùn)算：乘方是特殊的乘法運(yùn)算，其他運(yùn)算規(guī)律同乘法運(yùn)算一樣；

易錯技巧點(diǎn)撥：

①注意（-a）'與-a11的不同意義

②注意‘“與［'］的不同意義

③若a與b互為相反數(shù),則有a?=b2,aHbtO

【典例精析】

例1.（2021秋?廣饒縣期中）下列各組數(shù)中，數(shù)值相等的是（）

A.32和23B.-23和（-2）3

C.-32和（-3）2D.-3X22和-（3X2）2

例2.（2021秋?畢節(jié)市期中）在有理數(shù)：-|-=，（-3）2,（-2）3,-（-5）,-12中，負(fù)數(shù)的個數(shù)

2

為（）

A.2B.3C.4D.5

例3.某細(xì)菌每過30分鐘就由1個分裂成2個，1個這種細(xì)菌經(jīng)過3小時(shí)能分裂成（）

A.8個B.16個C.32個D.64個

例4.（2020秋?奉化區(qū)校級期中）若a、b、c、"是互不相等的整數(shù)（a〈b〈c〈d）,且Mcd=9,貝U：

ac+bd—.

例5.（2021春?楊浦區(qū)期中）若丁=625,則x

例6.（2021秋?沂水縣期中）（1）計(jì)算：

①（3X5）2與32x52；

②［（-2）X3f與（-2）2X32；

③［（-3）X（-4）尸與（一3）2x（-4）2；

（2）根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果猜想：（ab）2,Q6）3分別等于什么？（直接寫出結(jié)果）

（3）猜想與驗(yàn)證：當(dāng)〃為正整數(shù)時(shí)，Cab）"等于什么？請你利用乘方的意義說明理由.

（4）利用上述結(jié)論，求（-8）2。21義0.1252。22的值.

六科學(xué)計(jì)數(shù)法axl0"（l?|a|V10）

易錯技巧點(diǎn)撥：

①一般地：10的n次帛，在1的后面就有n個。

②n的值的兩種確定方法：1.將這個數(shù)的整數(shù)部分的位數(shù)-1就是n

2.聘這個數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動的位數(shù)就是n

【典例精析】

例1.電影《流浪地球》中的行星發(fā)動機(jī)利用重核聚變技術(shù)，可以直接利用石頭作為燃料，每座發(fā)動機(jī)

產(chǎn)生150億噸推力，請用科學(xué)記數(shù)法表示150億為（）

A.150X109B.1.5X1O10C.1.5X1011D.1.5X1012

例2.第七次全國人口普查數(shù)據(jù)顯示，貴州省常住人口約為3856.21萬人，將38562100用科學(xué)記數(shù)法表

示為（）

A.3.85621X108B.3.85621X107C.0.385621X107D.0.385621X108

例3.（2021秋?鹽都區(qū)月考）有理數(shù)3.645精確到十分位的近似數(shù)為（）

A.3.7B.3.64C.3.6D.3.65

例4.（2021秋?淮北期中）近似數(shù)0.7070的精確度是（）

A.精確到百分位B.精確到十萬分位C.精確到萬分位D.精確到千分位

例5.把。精確到百分位的近似數(shù)是3.27,則。的取值范圍是（）

A.3.265<a<3.275B.3.265Wa<3.275C.3.265<aW3.275D.3.265&W3.275

【練習(xí)】

1.已知43X47=2021,貝!］（-43）0」-的值為（）

47

A.2021B.-2021C.—D.--

20212021

2.觀察下列各式的計(jì)算結(jié)果:

1-3—1乂3

224422

工=

1-J-=l-.8_2y4

329933

1-J-=l-1=ll=3x5.

42161644

1-—=1-1=24=_4X_6.

52252555

（1）用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填寫下列式子的結(jié)果：1-3=—X-；1-一號=—X—.

62102

（2）用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：

（1-L）x（1-x（1-x-x（i--1—）x（1-—1—）x---1—）.

22324220202202I220222

3.觀察下列算式：

21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,…根據(jù)上述算式中的規(guī)律，你

認(rèn)為22。的末位數(shù)字是（）

A.2B.4C.6D.8

4.下列各組的兩個數(shù)中，運(yùn)算后的結(jié)果相等的是（）

A.23和32B.-33和（-3）3C.-22和（-2）2D.-|-2|和|-2|

5.已知|a-2|+（6+3）2=0,則〃的值是（）

A.-6B.6C.-9D.9

6.若“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號，并且1!=1,2!=2X1=2,3!=3X2X1=6,4!=4X3X2X

1,…，則四”的值為（）

98!

A