整式的加減（壓軸題30題）（解析版）

專題12整式的加減（壓軸題，30題）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.（2024.重慶渝北?二模）已知代數(shù)式網(wǎng)=a,m2=2a,從第三個(gè)式子開始，每一個(gè)代數(shù)式都等于前兩個(gè)

代數(shù)式的和，加3="%+?=3。，加4="%+，%=5”,…，則下列說法正確的是（）

①若"%=34。，貝！|〃=8

②叫+恤+m3T-mw=23la

③前2024個(gè)式子中，a的系數(shù)為偶數(shù)的代數(shù)式有674個(gè)

④記前”個(gè)式子的和為S,,,則S2n+2-S2n=m2+m4+m6+---++m,;;+2

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】本題主要考查整式的規(guī)律，理解題意并根據(jù)已有代數(shù)式歸納出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題目找出規(guī)律逐個(gè)判斷即可解答.

【詳解】解：由題意得：班=。，m2=2a,m3=ml+m2=3a,m4=m3+m2=5a,m5=m3+m4=Sa,m6=13a,

ntj=21a,=34a,砥=55a,班。=89a,

若也=34a,貝i]〃=8,故①正確；

叫%H——叫°=a+2a+3o+5a+...+89a=23la,故②正確；

推理得：奇，偶，奇，三個(gè)為一個(gè)周期，故前2024個(gè)式子中，2024+3=674……2,則。的系數(shù)為偶數(shù)的

代數(shù)式有675個(gè)，故③錯(cuò)誤.

記前〃個(gè)式子的和為S",則S2“+2=ml+m2+m3+---m2n_l+m21t+m21M,S2n=mA+m2+m3+---+mln_x,

所以邑"+2一$2'=（肛+牡+外+…+g,T+%+牡”+1）一（〃&+〃％+外+…+加2“.1）=tn2n+〃乙+1,故④錯(cuò)誤.

故選B.

2.（23-24七年級上?湖北襄陽?期末）用長度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案用了9

根木棍，第②個(gè)圖案用了14根木棍，第③個(gè)圖案用了19根木棍，第④個(gè)圖案用了24根木棍，…，按此

規(guī)律排列下去，則第20個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是（）

ACDeno<xco…

①②③④

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A.104B.109C.123D.129

【答案】A

【分析】根據(jù)前幾個(gè)圖形，發(fā)現(xiàn)每一個(gè)圖形的木棍數(shù)都等于4加上圖形位置序數(shù)的5的倍數(shù)，據(jù)此規(guī)律求

解即可.

本題主要考查了圖形的數(shù)字規(guī)律.根據(jù)圖形，數(shù)出木棍數(shù)，數(shù)形結(jié)合找到規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】由圖可知：

第1個(gè)圖案用木棍，4+5=9（根），

第2個(gè)圖案用木棍，4+5x2=14（根），

第3個(gè)圖案用木棍4+5x3=19（根），

第4個(gè)圖案用木棍，4+5x4=24（根），

.?.第〃個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是，4+5”；

當(dāng)〃=20時(shí)，4+5x20=104.

故選：A.

3.（23-24七年級上.浙江寧波?期末）將四張正方形紙片①，②，③，④按如圖方式放入長方形內(nèi)（相

鄰紙片之間互不重疊也無縫隙），未被四張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，要求出圖中兩塊陰影部分

的周長之差，只需知道其中一個(gè)正方形的邊長即可，則要知道的那個(gè)正方形編號是（）

【分析】本題考查了整式的加減混合運(yùn)算，根據(jù)圖形列出陰影部分的周長是解答本題的關(guān)鍵.

設(shè)正方形紙片①②③④的邊長為。、6、。、d-,列出兩個(gè)陰影部分邊長之差即可得到結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)正方形紙片①②③④的邊長為。、6、。、d,如圖：

左上角陰影部分的周長為：2（AB-c+AD-b）,

右下角陰影部分的周長為:2(A2?-ci—b+AZ)-c),

同步新課程，周周有練習(xí)，月月有重點(diǎn)!2

???兩部分陰影周長值差為：2(AB-c+AD-b)-2(AB-a-b^AD-c)

=2AB-2c+2AD-2b-2AB+2a+2b-2AD-^-2c

=2a,

???要求出圖中兩塊陰影部分的周長之差，只需知道其①正方形的邊長即可，

故選：A.

4.(23-24七年級上?浙江寧波?期末)在長方形A5co中放入3個(gè)正方形如圖所示，若A/=C/,MN=PQ,

則知道下列哪條線段的長就可以求出圖中陰影部分的周長和()

【答案】B

【分析】設(shè)正方形儂河的邊長為。，正方形在HP的邊長為。，正方形LGO7的邊長為由MN=P。可

得a+c=%,將陰影部分的周長和表示出來，再把各條線段用含有。、b、。的式子代換，然后再化簡，看

最后結(jié)果與哪條線段有關(guān)即可.

本題主要考查了列代數(shù)式及代數(shù)式的化簡.把各條線段用含有以反。的式子表示是解題的關(guān)鍵.

【詳解】設(shè)正方形儂河的邊長為。，正方形在打尸的邊長為。，正方形LGC7的邊長為

,/MN=PQ,

a—b=b—c,

:.a+c=2b,

,/AB=CD,AI=CJ=c,

DJ=IB=a,

???陰影部分的周長和=AD+7M+肝+ZJ+EF+GH+A/+狂+MF+LG+P"+H

—AD+a+Z?+c+EF+GH+c+Z7+a+c+Z?+a

—ALD+3cl+3b+3c+EF+GH

=IM+FG+GC+EF+GH+6b+3b

=a+b+c+9b

=3b+9b

=12b

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=12EH,

.??知道EH的長就可以求出圖中陰影部分的周長和.

故選：B

357

5.（23-24七年級上?廣東梅州?期中）按一定規(guī)律排列的數(shù)：鼻，木，-看，L,則這列數(shù)的第〃個(gè)

2

數(shù)是（）

/八〃+22〃+1一2九一1n+12ft—1

A.(T+1B.C.D.(-1)

n2+lra2+1

【答案】D

【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)規(guī)律分別找到分子、分母及符號的規(guī)律即可解答，分別找到分

子、分母及符號的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：分子1,3,5,7,L的規(guī)律為2〃-1,

分母2,5,10,17,L的規(guī)律為川+i,

符號的規(guī)律為（-1）用,

故第〃個(gè)數(shù)為（-1）向谷

故選：D.

6.（23-24七年級上.陜西渭南.期末）用黑、白棋子按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有黑色棋

子7顆，第②個(gè)圖案中有黑色棋子10顆，第③個(gè)圖案中有黑色棋子13顆，依照此規(guī)律排列下去，則第

個(gè)圖案中有黑色棋子（）

OOO?

OO?OOO?

?O?O?O?OOO?

Oe?OOe?OOO

①②③

A.301顆B.304顆C.307顆D.310顆

【答案】B

【分析】本題考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)已知圖形得出規(guī)律"第”個(gè)圖形中黑色棋子的個(gè)數(shù)為3（"+1）+1”,

找到正確的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：第一個(gè)圖形中有2x3+l=7顆黑色棋子；

第二個(gè)圖形中有3x3+1=10顆黑色棋子；

第三個(gè)圖形中有4x3+1=13顆黑色棋子；

L,

則第n個(gè)圖形中黑色棋子的個(gè)數(shù)為3（〃+1）+1,

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.??第100個(gè)圖形中黑色棋子的個(gè)數(shù)為3x101+1=304個(gè)，

故選：B.

7.(23-24七年級上.重慶榮昌.期末)從x,y,z三個(gè)數(shù)中任意取兩個(gè)數(shù)相加再減去第三個(gè)數(shù)，根據(jù)不同

的選擇得到三個(gè)結(jié)果4，%,Z1稱為一次操作，下列說法：

①若尤=4,y=~l,z=2,則X],%,Z]三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是7；

②若x="Jy=l,z=6,且X],必，4中最小值為一2,則〃z=3或9；

③給定x,z三個(gè)數(shù)，將第一次操作的三個(gè)結(jié)果4，%,Z]按上述方法再進(jìn)行一次操作，得到三個(gè)結(jié)

果吃,當(dāng),均，以此類推，第〃次操作的結(jié)果是乙，％,z?,則%+%+2”的值為定值.

其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【分析】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，根據(jù)題中所給計(jì)算方式，依次進(jìn)行計(jì)算即可解決問題，能根據(jù)所給計(jì)

算方式發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題知，

因?yàn)閤=4,y=-1,z=2,

所以4+(-1)_2=1,4+2-(-1)=7,-1+2-4=-3,

則7>1>-3,

所以4，%,向三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是7；

故①正確.

因?yàn)閤=機(jī)，y=l,z=6,

所以〃z+l—6=，"—5,m+6—1=m+5,l+6—m=—m+r7.

又因?yàn)閄1,%,Z中最小值為—2,

若m—5=-2,

解得m=3,

此時(shí)〃2+5=8,-〃7+7=4,且一2<4<8,故符合題意.

若,"+5=-2,

解得w=-7,

此時(shí)機(jī)-5=-12,-12<-2,故不符合題意.

若—m+7=—2,

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解得m=9,

此時(shí)機(jī)一5=4,m+5=14,且一2V4V14,故符合題意.

所以m=3或9.

故②正確.

由題知，

%+必+Z]=%+y—z+%+z—y+y+z—%=x+y+z；

%+%+z2=不+%—Zi+玉+Z[—y+%+Zi—玉=f+必+Z]=%+y+z；

??,,

依次類推，x?+yn+zn=x?_1++z“_|=…=玉+%+Z|=尤+y+z；

所以x.+%+z“的值為定值.

故③正確.

故選：A.

8.(23-24七年級上.陜西西安?期中)對任意代數(shù)式，每個(gè)字母及其左邊的符號(不包括括號外的符號)稱

為一個(gè)數(shù)，如：〃-e),其中稱。為“數(shù)1”，。為“數(shù)2"，+c為“數(shù)3”，為“數(shù)4”，-e為“數(shù)

5”，若將任意兩個(gè)數(shù)交換位置，則稱這個(gè)過程為“換位思考”，例如：對上述代數(shù)式的“數(shù)1”和“數(shù)5”進(jìn)行“換

位思考”，得到：-e-(6+C)-(-d+a)；又如對“數(shù)2”和“數(shù)3”進(jìn)行“換位思考”，得到：a-(c+6)-(-d-e).下

列說法：

①代數(shù)式(。-6)+(。-4)-6進(jìn)行一次“換位思考”，化簡后只能得到1種結(jié)果；

②代數(shù)式d-e)進(jìn)行一次“換位思考”，化簡后可以得到5種結(jié)果；

③代數(shù)式-(c-d-e)]進(jìn)行一次“換位思考”，化簡后可以得到6種結(jié)果；

④代數(shù)式a+[6+c-(d-e)]進(jìn)行一次“換位思考”，化簡后可以得到8種結(jié)果，其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題考查了去括號，屬于新定義題型，關(guān)鍵是熟練掌握新定義的運(yùn)算法則.根據(jù)題目所給“換位

思考”的定義，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：①(a-6)+(c-d)-e中括號前都是加號，所以無論怎么換位，結(jié)果不變，

化簡后是1種，故符合題意；

②當(dāng)。、。"換位思考"，結(jié)果為b—(〃+c—d—e)=-a+b—c+d+e,

同步新課程，周周有練習(xí)，月月有重點(diǎn)!6

當(dāng)〃、c"換位思考"，結(jié)果為c—伍+〃-d—e)=-a—b+c+d+e,

當(dāng)〃、e"換位思考"，結(jié)果為一e—(Z?+c—d+a)=—a—Z?—c+d—e,

當(dāng)〃、d"換位思考"，結(jié)果為一d—僅+c+a—e)=-a-c—d+e,

當(dāng)。、c"換位思考"，結(jié)果為a—(c+Z?—d—e)=a—b—c+d+e,

當(dāng)。、d"換位思考"，結(jié)果為a-(-d+c+〃-e)=a-b-c+d+e,

當(dāng)。、e"換位思考"，結(jié)果為a—(—e+c—d+Z?)=a—Z?—c+d+e,

當(dāng)c、d"換位思考"，結(jié)果為a—0—d+c—e)=a—Z?—c+d+e,

當(dāng)c、e"換位思考"，結(jié)果為a—(b—e—d+c)=a—Z?—c+d+e,

當(dāng)d、e"換位思考"，結(jié)果為a-(b+c-e-d)=a-Z?-c+d+e,

???化簡后可以得到5種結(jié)果；故符合題意；

③當(dāng)〃、?！皳Q位思考”，結(jié)果為b+[〃一(c—d—e)]=a+b—c+d+e,

當(dāng)〃、c"換位思考"，結(jié)果為c+[。-(a-d-e)]=-a+0+c+d+e,

當(dāng)a、e"換位思考"，結(jié)果為一e+[b—(c—d+a)]=—Q+人一c+d—e,

當(dāng)〃、換位思考"，結(jié)果為一d+[/?—(c+a—e)]=—Q+Z?—c—d+e,

當(dāng)b、c"換位思考"，結(jié)果為a+[c—(6—d—e)]=Q—b+c+d+e,

當(dāng)0、換位思考”，結(jié)果為Q+[—d—(c+Z?-e)]=Q—b—c—d+e,

當(dāng)b、e“換位思考"，結(jié)果為a+[—e—(c—d+。)]=a—Z?—c+d—e,

當(dāng)c、d“換位思考"，結(jié)果為a+[/?—(—d+c—e)]=a+Z?—c+d+e,

當(dāng)c、e“換位思考"，結(jié)果為a+[b—(—e—d+c)]=Q+Z?—c+d+e,

當(dāng)d、e"換位思考"，結(jié)果為Q+[。一(c—e—d)]=a+。-c+d+e,

???化簡后可以得到7種結(jié)果；故不符合題意；

④當(dāng)〃、Z?"換位思考"，結(jié)果為b+[a+c—(d—e)]=a+b+c—d+e,

當(dāng)〃、c"換位思考"，結(jié)果為c+[b+a—(d—e)]=a+Z?+c—d+e,

當(dāng)〃、e"換位思考"，結(jié)果為一e+[/?+c—(d+a)]=—〃+Z?+c—d—e,

2024-2025學(xué)年一線教師制作精品尖子生培優(yōu)系列資料，已編校！

當(dāng)a、步換位思考”，結(jié)果為d+[。+c-(a-e)]=-a+6+c+d+e,

當(dāng)6、c“換位思考"，結(jié)果為＜7+[0+6-(1-0)]=4+6+o-4+0,

當(dāng)匕、換位思考"，結(jié)果為a+[d+c—(6—e)]=。-6+c+d+e,

當(dāng)b、e"換位思考"，結(jié)果為a+[-e+c-(d+6)]=a-6+c-d-e,

當(dāng)c、泊換位思考”，結(jié)果為a+[。+d-(c-e)]=a+6-c+d+e,

當(dāng)c、e“換位思考"，結(jié)果為。+[b-e-(d+c)]=a+6-c-d-e,

當(dāng)d、e“換位思考"，結(jié)果為。+[b+c-(-e+d)]=a+6+c-d+e,

.?.化簡后可以得到7種結(jié)果；故不符合題意；

綜上：正確的有①②，共2個(gè)，

故選：B.

9.(23-24七年級上?江蘇徐州?階段練習(xí))找出圖形變化的規(guī)律，則第2023個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是()

A.2022B.3035C.3029D.3036

【答案】B

【分析】本題考查了圖形的規(guī)律變化類，根據(jù)圖形的變化規(guī)律歸納出第"個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量即可

求解，通過圖形找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)圖形變化規(guī)律可知：

第1個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量為2,

第2個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量為3,

第3個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量為5,

第4個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量為6,

L,

n+1

???當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，黑色正方形的個(gè)數(shù)為W+;-,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，黑色正方形的個(gè)數(shù)為〃+5，

2023+1

/.第2023個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是2023+二^一=3035,

故選：B.

10.(23-24七年級上?福建漳州?階段練習(xí))漢諾塔問題是指有三根桿子和套在桿子上的若干大小不等的碟

同步新課程，周周有練習(xí)，月月有重點(diǎn)!8

片，按下列規(guī)則，把碟片從一根桿子上全部移到另一根桿子上；

(1)每次只能移動(dòng)1個(gè)碟片.

(2)較大的碟片不能放在較小的碟片上面.

如圖所示，將1號桿子上所有碟片移到2號桿子上，3號桿可以作為過渡桿使用，稱將碟片從一根桿子移

動(dòng)到另一根桿子為移動(dòng)一次，記將1號桿子上的〃個(gè)碟片移動(dòng)到2號桿子上最少需要%次，則&=()

213

A.31次B.33次C.62次D.63次

【答案】D

【分析】本題考查了歸納推理、圖形變化的規(guī)律問題.根據(jù)移動(dòng)方法與規(guī)律發(fā)現(xiàn)，隨著盤子數(shù)目的增多，

都是分兩個(gè)階段移動(dòng)，用盤子數(shù)目減1的移動(dòng)次數(shù)都移動(dòng)到2柱，然后把最大的盤子移動(dòng)到3柱，再用同

樣的次數(shù)從2柱移動(dòng)到3柱，從而完成，然后根據(jù)移動(dòng)次數(shù)的數(shù)據(jù)找出總的規(guī)律求解即可.

【詳解】解："=1時(shí)，??=1;

〃=2時(shí)，小盤—>3柱，大盤—>2柱，小盤從3柱—>2柱，完成，即02=3=2。-1；

〃=3時(shí)，小盤-2柱，中盤―3柱，小盤從2柱一3柱，大盤―2柱，再用〃=2的方法轉(zhuǎn)移，

即生=7=23_1,

以此類推，凡=2"-1,

6

a6=2—1=63.

故選：D.

11.(2023?重慶銅梁?模擬預(yù)測)對任意代數(shù)式，每個(gè)字母及其左邊的符號(不包括括號外的符號)稱為一

個(gè)數(shù)，如：a-(b+c)-(-d-e),其中稱a為“數(shù)1"，b為“數(shù)2"，+c為“數(shù)3"，-d為“數(shù)4"，-e為“數(shù)5”,

若將任意兩個(gè)數(shù)交換位置，則稱這個(gè)過程為“換位運(yùn)算”，例如：對上述代數(shù)式的“數(shù)1”和“數(shù)5”進(jìn)行“換位

運(yùn)算“，得到：-e-e+c)-(-d+a),則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是()

①代數(shù)式a-0+c-d-e)進(jìn)行1次“換位運(yùn)算”后，化簡后結(jié)果可能不發(fā)生改變

②代數(shù)式(a—b)+(c-d)—e進(jìn)行1次“換位運(yùn)算”，化簡后只能得至Ija-b+c-d—e

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③代數(shù)式a+[6-(c-d-e)]進(jìn)行1次“換位運(yùn)算”，化簡后可能得到7種結(jié)果

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本題考查了整式的加減，理解新定義及整式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.根據(jù)括號外面是“+”，去括號

不改變括號里面式子的符號；括號外面是"一"，去括號改變括號里面式子的符號；依此即可求解.

【詳解】解：①代數(shù)式a-0+c-d-e)進(jìn)行一次“換位運(yùn)算”，當(dāng)6、c進(jìn)行“換位運(yùn)算“，時(shí)，與原結(jié)果相等，

故①符合題意；

②在代數(shù)式(a-6)+(c-d)-e中，將任意兩個(gè)數(shù)交換位置，均不會(huì)改變每個(gè)數(shù)的符號，故化簡后只能得到

一種結(jié)果，均為a-b+c-d-e,故②符合題意；

③代數(shù)式a+[b-(c-d-e)]中，有三種情況：

(1)。與。進(jìn)行換位思考以及—三個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)進(jìn)行換位思考，化簡后只有1種結(jié)果，均為：

a+b—c+d+e；

(2)。與c,-d,-e分別進(jìn)行換位思考，化簡后得到3種結(jié)果，分別為：

—ci+Z?+c+d+e,—a+b—c—d+e—a+b—c+d—c；

(3)6與c,-d,-e分別進(jìn)行換位思考，化簡后得到3種結(jié)果，分別為：

a—Z?+c+d+e,a—b—c—d+e,a—b—c+d—e,

故該代數(shù)式共得到7種結(jié)果，故③符合題意；

故選：D.

12.(23-24九年級下.重慶.階段練習(xí))依次排列的兩個(gè)整式-2°+，，2a-3b將第1個(gè)整式乘2再減去第2

個(gè)整式，稱為第1次操作，得到第3個(gè)整式-6a+56；將第2個(gè)整式乘2再減去第3個(gè)整式，稱為第2次

操作，得到第4個(gè)整式1。4-1班；將第3個(gè)整式乘2再減去第4個(gè)整式，稱為第3次操作，得到第5個(gè)整

式-22a+2仍；…，以此類推，下列4個(gè)說法，其中正確的結(jié)論有()個(gè).

①第6個(gè)整式為T24+43萬；

②第"個(gè)整式中。系數(shù)與6系數(shù)的和為1；

③若a=6=2024,則前”個(gè)整式之和為2024〃.

④第〃次與第〃+1次操作后得到的兩個(gè)整式中。與b所有系數(shù)的絕對值之和為2"3；

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】先根據(jù)題意得出前面五次操作的結(jié)果，再進(jìn)行觀察，分析得出規(guī)律，結(jié)合舉反例的方法，從而可

得答案.

同步新課程，周周有練習(xí)，月月有重點(diǎn)!10

【詳解】解：①第1個(gè)整式：-2°+6,

第2個(gè)整式：2a-3b,

第3個(gè)整式：2（-2a+%）-（2a-36）=-6a+56,（第一次操作）

第4個(gè)整式：2（2a-36）-（-6a+56）=10a-l仍，（第二次操作）

第5個(gè)整式：2（-60+56）-（10.-1g）=-22°+2仍，（第三次操作）

第6個(gè)整式：2（10a-11&）-（-22a+21b）=42a-43b,（第四次操作）

第7個(gè)整式：2（—22a+216）—（42°-43與=-860+856,（第五次操作）

故①錯(cuò)誤；

由前面7個(gè)等式可得6的系數(shù)之和為-1,

...第〃個(gè)整式中。系數(shù)與6系數(shù)的和為-1；故②錯(cuò)誤；

：a=b=2024,當(dāng)〃=3時(shí)，前3個(gè)整式之和為：

—2Q+Z7+2a—3b—6a+5b——6a+3b

=-6x2024+3x2024

=-3x2024^3x2024,故③錯(cuò)誤；

當(dāng)〃=1時(shí)，第一次操作得_6〃+5人第二次操作得10a-1仍，

此時(shí)所有的系數(shù)的絕對值之和為|-6|+5+10+卜11|=32=25,

此時(shí)2"+3=21+3=16^25,故④錯(cuò)誤，

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查的是整式的加減運(yùn)算，整式的加減運(yùn)算中的規(guī)律探究，舉反例方法的應(yīng)用，絕對值的含

義，掌握探究的方法是解本題的關(guān)鍵.

二、填空題

13.（23-24七年級下?江蘇鹽城?期中）探索下列式子的規(guī)律：23-2=3X2,25-23=3X23,27-25=3X25,...,

請計(jì)算：2+23+25+...+22025=.

,2027_）

［答案］-~—

3

【分析】本題考查了整式的規(guī)律探究.根據(jù)題意推導(dǎo)一般性規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

由題意可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：2"2-2"=3x2",即2-2=3x2,25-23=3x23,27-25=3x25,.......

22025-22023=3X22023,22027-22025=3X22025,將等式左右同時(shí)相加得，

23-2+25-23+27-25■??+22025-22023+22027-22025=3x2+3x23+3x25?■?+3x22023+3x22025,即

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-2+22027=3(2+23+25.--+22023+22025),計(jì)算求解即可.

【詳解】解：V23-2=3x2,25-23=3x23,27-25=3x25,

.?.可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：2"2-2"=3x2",

二23-2=3x2,

25-23=3X23,

27-25=3x2%

22025_22023_3X22023

22027_22025_3X22025,

將等式左右同時(shí)相加得,

23-2+25-23+27-25??■+22025-22023+22027-22025=3x2+3x23+3x25???+3x22023+3x22025,

二-2+2的=3(2+23+25…+22023+22025),

92027_0

解得，2+23+25…+22023+22025=^一二,

3

92027_D

故答案為：-——.

14.（24-25七年級上?江蘇無錫?階段練習(xí)）探索規(guī)律：現(xiàn)有一列數(shù)，al,a2,a3,---a91,a9i,agg,ai00,其中

%=9,%=-7,098=-3,且滿足任意相鄰三個(gè)數(shù)的和為同一常數(shù)，則

%++/+〃4+?,,+〃97+“98+〃99+"100=.

【答案】-40

【分析】本題考查了數(shù)字的規(guī)律變化.解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)字的變化規(guī)律.

根據(jù)任意相鄰三個(gè)數(shù)的和為同一常數(shù)可得：卬=%=-7,%=%8=-3,任意相鄰三個(gè)數(shù)的和為-1,根據(jù)

100+3=33........1,得到。100==—7,得至ljq+%+〃3+。4+F。97+。98+。99+"100=一40.

【詳解】I,任意相鄰三個(gè)數(shù)的和為同一常數(shù)，

?.CZ]+CZ2+"^3

=a2+a3+a4

=a3+a4+a5

=a^+a5+a6

同步新課程，周周有練習(xí)，月月有重點(diǎn)!12

一。97+。98+。99

一〃98+。99+"100，

??—Q7=-7,a?~098=—3，

+%+%=—7—3+9——1,

V100-3=33……1,

??Goo__7，

...q+/+/+〃4+，，，+%7+”98+“99+"100=-1*33—7——40.

故答案為：-40.

15.（23-24七年級上.浙江寧波?期末）有一行數(shù)2,0,2,3,現(xiàn)將任意相鄰的兩個(gè)數(shù)用左邊的數(shù)減去右

邊的數(shù)，所得的差寫在這兩個(gè)數(shù)中間，得一行新數(shù)2,2,0,-2,2,-1,3,稱為第一次操作，再做

第二次操作……，經(jīng)過3次操作，得到的這一行數(shù)的各個(gè)數(shù)之和為，經(jīng)過2023次操作，得到的這

一行數(shù)的各個(gè)數(shù)之和為.

【答案】4-2016

【分析】本題考查了規(guī)律探索；根據(jù)所給計(jì)算方式炸出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

分別計(jì)算第一次操作所得數(shù)的和、第二次操作所得數(shù)的和；找出規(guī)律即可求解.

【詳解】解：由題可得：原來這行數(shù)的和為：2+0+2+3=7；

令原來四個(gè)數(shù)分別為。，b,c,d,

原來這行數(shù)的和為：a+b+c+d；

第一次操作所得數(shù)的和為：a+b+c+d+a-b+b-c+c-d,

整理為：a+b+c+d+a-d；

即第一次操作所得數(shù)的和為原來這數(shù)行的和加上首數(shù)與尾數(shù)的差，

二第一次操作所得數(shù)的和為：7+2-3=6=7-1；

令第一次操作所得數(shù)為：e,f,g,h,i,j,k,

第一次操作所得數(shù)的和為：e+f+g+h+i+j+k,

貝I］第二次操作所得數(shù)的和為：e+f+g+h+i+j+k+e-f+f-g+g-h+h-i+i-j+j-k,

整理為：e+f+g+h+i+j+k+e-k-

即第二次操作所得數(shù)的和為第一次操作所得數(shù)的和加上首數(shù)與尾數(shù)的差，

所以第二次操作所得數(shù)的和為：6+2-3=5=7-2;

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所以第"次操作所得數(shù)的和為：7-〃；

當(dāng)〃=3時(shí)，7-”=7-3=4；

即經(jīng)過3次操作，得到的這一行數(shù)的各個(gè)數(shù)之和為4；

當(dāng)〃=2023時(shí)，7-〃=7-2023=-2016,

即經(jīng)過2023次操作，得到的這一行數(shù)的各個(gè)數(shù)之和為-2016.

故答案為：4,-2016.

16.(23-24七年級上.湖南湘西?期末)觀察圖中“品”字形中各數(shù)之間的規(guī)律，根據(jù)觀察到的規(guī)律，求出。的

值為

【分析】此題考查了數(shù)字變化規(guī)律，由圖可知，上邊的數(shù)與下邊左邊的數(shù)的和正好等于下邊右邊的數(shù)，上

邊的數(shù)為連續(xù)的偶數(shù)，上邊的數(shù)為2人下邊左邊的數(shù)為3",由此可得a、b的值，即可求解，通過表中的

數(shù)找到它們之間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???上邊的數(shù)為連續(xù)的偶數(shù)，

由2〃=12,得〃=6,

??,下邊左邊的數(shù)為3",

/.a=3s=729,

???上邊的數(shù)與下邊左邊的數(shù)的和正好等于下邊右邊的數(shù)，

.?==12+4=12+729=741,

故答案為：741.

17.(24-25七年級上?浙江杭州?階段練習(xí))《算法統(tǒng)宗》是我國明代數(shù)學(xué)著作，它記載了多位數(shù)相乘的方法，

如圖1給出了34x25=850的步驟：

(1)將34,25分別寫在方格的上邊和右邊；

(2)把上述各數(shù)字乘積的十位(不足寫0)與個(gè)位分別填入小方格中斜線兩側(cè)；

(3)沿斜線方向?qū)?shù)字相加，記錄在方格左邊和下邊；

(4)將所得數(shù)字從左上到右下依次排列(滿十進(jìn)一).

若圖2中a,b,c,d均為自然數(shù)，且c,d都不大于5,該圖表示的乘積結(jié)果為.

同步新課程，周周有練習(xí)，月月有重點(diǎn)!14

圖2

【答案】510

【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，總結(jié)歸納出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.根據(jù)運(yùn)算規(guī)律可知每

個(gè)方框外上邊和右邊的數(shù)字相乘，十位數(shù)寫在方框內(nèi)斜上方白色部分個(gè)位數(shù)寫在方框斜下方陰影部分，多

位數(shù)相乘時(shí)則出現(xiàn)同一數(shù)位多個(gè)數(shù)字求和，即斜線方向數(shù)字相加，根據(jù)此規(guī)律求出圖2各值即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可知3xaV4,且。為自然數(shù)，

a=1,

故d的斜上方為4-3=1,

\'3xb=lxW+d,且c,d都不大于5的自然數(shù)，

f/?=4f/?=5

,，或/l

[d=2[d=5

?.?當(dāng)6=4時(shí)，c=6,

???此組解不符合題意舍去，

即b=5,d-5,c=O,

???圖2表示的是34x15=510,

故答案為:510.

18.（23-24七年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）將正偶數(shù)按下表排列5歹U：

第1列第2列第3列第4列第5列

第一行2468

第二行16141210

第三行18202224

2826

根據(jù)上面規(guī)律，則2000應(yīng)在

【答案】第250行，第1列

【分析】本題主要考查了數(shù)字變化類的一些規(guī)律問題，根據(jù)圖表中的信息可得出：表中每一行4個(gè)連續(xù)偶

2024-2025學(xué)年一線教師制作精品尖子生培優(yōu)系列資料，已編校！

數(shù)，奇數(shù)行第一列空，從左到右增大；偶數(shù)行第五列空，從左到右減小，利用算式2000+2=1000與

1000+4=250,即可得出2000在第250行第1歹（J,能夠找出其內(nèi)在規(guī)律，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)圖表中的信息可得出：表中每一行4個(gè)連續(xù)偶數(shù)，奇數(shù)行第一列空，從左到右增大；偶

數(shù)行第五列空，從左到右減小，

?.■2000^2=1000,1000+4=250,

...2000是第1000個(gè)正偶數(shù)，排在第250行，第一列，

故答案為：第250行，第1歹！J.

19.（22-23七年級上?浙江溫州?期中）排球比賽時(shí)，甲方6名隊(duì)員開始站位如圖所示，比賽開始由甲方1

號位的選手發(fā)球，再輪到甲方選手發(fā)球時(shí)是第二輪發(fā)球，此時(shí)甲方全體隊(duì)員按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)一個(gè)位置（轉(zhuǎn)

一圈），即1號位的隊(duì)員到6號位置，6號位到5號位，…，此時(shí)2號位隊(duì)員到1號位置發(fā)球，以此類推,

如果甲方選手小花開場時(shí)站在6號位置，記q=6；甲方第二輪發(fā)球時(shí)，小花站在出號位置，…，這場比

賽甲方發(fā)了21輪球，則q+%+…+%的值為.

發(fā)球區(qū)

【答案】78

【分析】此題主要考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)題意列舉發(fā)現(xiàn)發(fā)球輪數(shù)與所占位置的規(guī)律是解題關(guān)鍵.分

別列舉出發(fā)球與所占位置的規(guī)律，進(jìn)而得出兩者之間的數(shù)字規(guī)律進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：小花上場時(shí)，站在6號位置，第1輪發(fā)球時(shí)，站在⑥號位置，則弓=6；

第2輪發(fā)球時(shí)，站在⑤號位置，則出=5；

第3輪發(fā)球時(shí)，站在④號位置，則。3=4；

第4輪發(fā)球時(shí)，站在③號位置，則4=3；

第5輪發(fā)球時(shí)，站在②號位置，則％=2；

第6輪發(fā)球時(shí)，站在①號位置，則&=1;

第7輪發(fā)球時(shí)，站在⑥號位置，則為=6；

第8輪發(fā)球時(shí)，站在⑤號位置，則4=5；

同步新課程，周周有練習(xí)，月月有重點(diǎn)!16

由此可得，每6輪重復(fù)出現(xiàn)相應(yīng)的位置上，

,.?21+6=33,6+5+4+3+2+1=21,

=4

=6+5+4+3+2+1+6+...+6+5+4

=21x3+6+5+4

=63+15

=78.

故答案為：78

20.（23-24七年級上.四川成都.階段練習(xí)）將實(shí)數(shù)-1,2,-3,4,-5--按圖所示方式排列.若用（機(jī)〃）表示第加

排從左向右第〃個(gè)數(shù),則（4,3）與（23,20）表示的兩數(shù)之和是.

-1第1排

2-3第2排

4-56第3排

-78-910第4排

-1112-1314-15第5排

【答案】-282

【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律；根據(jù)數(shù)的排列方法可知，第一排：1個(gè)數(shù)，第二排2個(gè)數(shù).第三排

3個(gè)數(shù)，第四排4個(gè)數(shù)，…第（加一1）排有（〃一1）個(gè)數(shù)，從第一排到（加-1）排共有：1+2+3+4+…+（冽—1）

個(gè)數(shù)，根據(jù)數(shù)的排列方法找出第帆排第w個(gè)數(shù)到底是哪個(gè)數(shù)后再計(jì)算即可，判斷出所求的數(shù)是第幾個(gè)數(shù)是

解決本題的難點(diǎn)；得到相應(yīng)的變化規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵.

【詳解】從圖示中知道，（4,3）所表示的數(shù)是：-9；

;第22排最后一個(gè)數(shù)的序號是：1+2+3+4+…+22=253,

（23,20）表示的是第253+20=273個(gè)數(shù)，

???由圖觀察規(guī)律知奇數(shù)個(gè)為負(fù)，偶數(shù)個(gè)為正，

（23,20）所表示的數(shù)是-273,

/.（4,3）與（23,20）表示的兩數(shù)之和是：—9+（-273）=—282.

故答案為：-282.

21.（2024?浙江?一模）已知awO且"1,我們定義工（“）=」一，記為卬；力⑷=4，記為電；……；

1—a1一q

2024-2025學(xué)年一線教師制作精品尖子生培優(yōu)系列資料，已編校！

力（。）=,記為若將數(shù)組（T，1，31中的各數(shù)分別作力的變換，得到的數(shù)組記為（44，cJ；將

作的變換力，得到的數(shù)組記為（。2,"2,。2）；......；則。[+弓+C]+%+4+.......+。2024+%24+。2024的

值為_______

【答案】4160

【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，要先根據(jù)題意找到規(guī)律，多算幾組，發(fā)現(xiàn)每三次變換為一個(gè)循環(huán),

進(jìn)而可得到結(jié)果，準(zhǔn)確計(jì)算、發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

!__Lg,2,q）

【詳解】由題意得:

~2

.）q++q=2；

1

（a2,t>2,c2）=（---,-^—,—p-）2

i-idf）

*,?%+82+02=§;

/7、/111、"1八

他4c3）=仁5，匚百，二）=

3

*,?%+&+J=25；

/7、/111、CCD

（%也,。4）=（匚西，口，匚#匕,2，蜜

2

?，?〃4+&+Q=2；

/7、/111

（a5,b5,c5）=（--—/~~rv）=

2

a5+4+。5=1-；

/7、/111、（[1八

&也⑷=（匚p匚可，*）=[七，3）

3

*,?4+，6+。6=2萬

??（〃3左-2，"3人一2,03左一2）二（耳，2,一耳）,“3%-2+”3左一2+。3&一2=2,k=1,2,3,

712

a3k-\+b3k-\+C3k-\=1]

（〃3&，4%，%%）=（-1，；，3），a3k+b3k+C3k=2；

由規(guī)律可得每三次變換為一個(gè)循環(huán),

同步新課程，周周有練習(xí)，月月有重點(diǎn)!18

2024+3=674……2

q+4+C]+°2+b?+...........+6^2024+02024+02024=674x^2+1—+2—+2+—=4160

故答案為：4160.

三、解答題

22.（22-23七年級上?云南昆明?期末）在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，針對題目“按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：T,3d,

-5%3.7x4,-9V,則第〃個(gè)單項(xiàng)式是什么？”

⑴首先楊老師給出如下四個(gè)引導(dǎo)問題：

①這組單項(xiàng)式中不變的是什么？直接寫下來.

②這組單項(xiàng)式中系數(shù)的符號規(guī)律是什么？

③這組單項(xiàng)式中系數(shù)的絕對值規(guī)律是什么？

④這組單項(xiàng)式的次數(shù)規(guī)律是什么？

同學(xué)們回答完四個(gè)問題后，繼續(xù)進(jìn)行了以下探究：

⑤猜想出第〃個(gè)單項(xiàng)式是；（只用一個(gè)含〃的式子表示，w是正整數(shù)）

⑥第2023個(gè)單項(xiàng)式是.

（2）接著，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組對問題進(jìn)行了遷移.

按一定規(guī)律排列的等式：

第一個(gè)等式：32-l2=8=8xl,

第二個(gè)等式：52-32=16=8x2,

第三個(gè)等式：7?-52=24=8X3,

第四個(gè)等式：92-72=32=8X4,

?..,

第〃個(gè)等式是：（〃是正整數(shù)）；

（3）請你利用以上結(jié)論計(jì)算20232-202仔的值.

【答案】⑴⑤@4O45x2023

（2）（2ra+l）2-（2w-l）2=8/?

（3）8088

【分析】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律.解題關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)字的變化情況總結(jié)所給式子中存在的規(guī)

律.

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(1)由所給的單項(xiàng)式得：奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，系數(shù)的數(shù)字部分為奇數(shù)，可表示為：2”-1,指數(shù)為

從1開始的自然數(shù)，據(jù)此即可歸納出規(guī)律，并求解；

(2)由題意得，相鄰奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)，結(jié)合前四個(gè)等式即可按規(guī)律推得第"個(gè)等式；

(3)直接利用(2)中總結(jié)出的規(guī)律，求解即可.

【詳解】(1)⑤觀察得：奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，系數(shù)的數(shù)字部分為奇數(shù)，可表示為：2〃-1,指數(shù)為

從1開始的自然數(shù)，

...第〃個(gè)單項(xiàng)式為(-1)"(2〃-l)x"；

故答案為：

⑥根據(jù)該規(guī)律可得第2023個(gè)單項(xiàng)式，

(-1)2023(2x2023-1)*2°23=4O45X2023；

故答案為：4O45%2023；

(2)?.,第一個(gè)等式：32-12=8=8x1,

第二個(gè)等式：52-32=16=8x2,

第三個(gè)等式：72-52=24=8x3,

第四個(gè)等式：92-72=32=8x4,

???,

???可以看出，相鄰兩奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)，

按規(guī)律，第〃個(gè)等式是：

(2M+1)2-(2H-1)2=8M5是正整數(shù))；.

故答案為：(2〃+1)2-(2〃-：1)2=8〃；

(3)由(2)得：

2023z-202F

=(1011X2+1)2-(1011X2-1)2

=8x1011

=8088,

故20232-202F的值為：8088.

23.(24-25七年級上?重慶?開學(xué)考試)已知一個(gè)三位自然數(shù)，若滿足百位數(shù)字等于十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的

和，則稱這個(gè)數(shù)為“和數(shù)”，若滿足百位數(shù)字等于十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的平方差，則稱這個(gè)數(shù)為“諧數(shù)”.如

果一個(gè)數(shù)既是“和數(shù)”，又是“諧數(shù)”，則稱這個(gè)數(shù)為“和諧數(shù)”.例如321,：3=2+1,，321是，和數(shù)”；：

3=22-12,二321是“諧數(shù)”；321是“和諧數(shù)”.

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(1)證明：任意“諧數(shù)”的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和一定是偶數(shù)；

(2)已知。=10加+4〃+716(0<m<7,l<n<3,且加、〃均為正整數(shù))是一個(gè)“和數(shù)”,請求出所有。的值.

【答案】(1)見解析

(2)734或770

【分析】本題考查數(shù)字類問題，熟練掌握“和數(shù)”與“諧數(shù)”的概念是解題的關(guān)鍵.

⑴設(shè)“諧數(shù)”的百位數(shù)字為x,十位數(shù)字為y,個(gè)位數(shù)字為z,根據(jù)“諧數(shù)”的概念得x=z2=(y+z)(y-z),

由彳+'+2=(丫+2)(、-2)+丫+2=(丫+2)(、-2+1)及產(chǎn)2,丁-2+1必然一奇一偶可得答案；

(2)將a變形為7xl00+(m+2)xl0+(4“一4),根據(jù)“和數(shù)''的定義得出7=機(jī)+2+4〃一4,再根據(jù)相，”的

取值范圍得出加，〃的值，即可求解.

【詳解】(1)解:設(shè)‘'諧數(shù)"的百位數(shù)字為x,十位數(shù)字為y,個(gè)位數(shù)字為z,其中l(wèi)〈xW9,0WyW9,0Wz<9,y>z,

且x,y,z為整數(shù)，

由題意知：x=y2-z?=(y+z)(y-z),

x+y+z=(y+z)(y_z)+y+z=(y+z)(y_z+l),

y+z,y—z的奇偶性相同，

y+z,y-z+l必定一奇一偶，

(y+z)(y-z+l)必為偶數(shù)，

???任意“諧數(shù)”的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和一定是偶數(shù)；

(2)解：???0<?1<7,

2<m+2<9,

l<n<3,

4<4?<