數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性及其檢驗

數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性及其檢驗平穩(wěn)性檢驗的圖示判斷給出一個隨機(jī)時間序列，首先可通過該序列的時間路徑圖來粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的。一個平穩(wěn)的時間序列在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動的過程；而非平穩(wěn)序列則往往表現(xiàn)出在不同的時間段具有不同的均值（如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。第2頁,共25頁，星期六，2024年，5月進(jìn)一步的判斷:

檢驗樣本自相關(guān)函數(shù)及其圖形隨著滯后階數(shù)的增加，樣本自相關(guān)函數(shù)下降且趨于零。但從下降速度來看，平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多。第3頁,共25頁，星期六，2024年，5月例1從圖形看：它在其樣本均值0附近上下波動，且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，隨后在0附近波動且逐漸收斂于0。因此，初步判斷，該隨機(jī)過程是一個平穩(wěn)過程。

第4頁,共25頁，星期六，2024年，5月例2：該序列具有相同的均值，但從樣本自相關(guān)圖看，雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，但隨著時間的推移，則在0附近波動且呈發(fā)散趨勢。因此，初步判斷，該隨機(jī)過程是一個是非平穩(wěn)過程。

第5頁,共25頁，星期六，2024年，5月平穩(wěn)性的單位根檢驗第6頁,共25頁，星期六，2024年，5月

對時間序列的平穩(wěn)性除了通過圖形直觀判斷外，運用統(tǒng)計量進(jìn)行統(tǒng)計檢驗則是更為準(zhǔn)確與重要的。

單位根檢驗（unitroottest）是統(tǒng)計檢驗中普遍應(yīng)用的一種檢驗方法。1、DF檢驗我們已知道，隨機(jī)游走序列

Xt=Xt-1+

t是非平穩(wěn)的，其中

t是白噪聲。而該序列可看成是隨機(jī)模型

Xt=

Xt-1+

t中參數(shù)

=1時的情形。第7頁,共25頁，星期六，2024年，5月也就是說，我們對式

Xt=

Xt-1+

t（*）

做回歸，如果確實發(fā)現(xiàn)

=1，就說隨機(jī)變量Xt有一個單位根。

（*）式可變形式成差分形式：

Xt=(1-)Xt-1+t=Xt-1+t(**)檢驗（*）式是否存在單位根

=1，也可通過（**）式判斷是否有

=0。第8頁,共25頁，星期六，2024年，5月

一般地:

檢驗一個時間序列Xt的平穩(wěn)性，可通過檢驗帶有截距項的一階自回歸模型

Xt=+Xt-1+t（*）中的參數(shù)

是否小于1。

或者：檢驗其等價變形式

Xt=+Xt-1+t（**）中的參數(shù)是否小于0。

第9頁,共25頁，星期六，2024年，5月因此，針對式

Xt=+Xt-1+t

我們關(guān)心的檢驗為：零假設(shè)H0：

=0。

備擇假設(shè)H1：

<0上述檢驗可通過OLS法下的t檢驗完成。然而，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統(tǒng)計量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t檢驗無法使用。

Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計量服從的分布（這時的t統(tǒng)計量稱為

統(tǒng)計量），即DF分布（見表9.1.3）。由于t統(tǒng)計量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布。第10頁,共25頁，星期六，2024年，5月因此，可通過OLS法估計

Xt=+Xt-1+t并計算t統(tǒng)計量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較：

如果：t<臨界值，則拒絕零假設(shè)H0：

=0，認(rèn)為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。第11頁,共25頁，星期六，2024年，5月注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結(jié)果是相同的。例如：“如果計算得到的t統(tǒng)計量的絕對值大于臨界值的絕對值，則拒絕ρ=0”的假設(shè)，原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。第12頁,共25頁，星期六，2024年，5月

進(jìn)一步的問題：在上述使用

Xt=+Xt-1+t對時間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗中，實際上假定了時間序列是由具有白噪聲隨機(jī)誤差項的一階自回歸過程AR(1)生成的。但在實際檢驗中，時間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，或者隨機(jī)誤差項并非是白噪聲，這樣用OLS法進(jìn)行估計均會表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項出現(xiàn)自相關(guān)（autocorrelation），導(dǎo)致DF檢驗無效。另外，如果時間序列包含有明顯的隨時間變化的某種趨勢（如上升或下降），則也容易導(dǎo)致上述檢驗中的自相關(guān)隨機(jī)誤差項問題。為了保證DF檢驗中隨機(jī)誤差項的白噪聲特性，Dicky和Fuller對DF檢驗進(jìn)行了擴(kuò)充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）檢驗。

2、ADF檢驗第13頁,共25頁，星期六，2024年，5月ADF檢驗是通過下面三個模型完成的：

模型3中的t是時間變量，代表了時間序列隨時間變化的某種趨勢（如果有的話）。

檢驗的假設(shè)都是：針對H1:<0,檢驗H0：

=0，即存在一單位根。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數(shù)項和趨勢項。第14頁,共25頁，星期六，2024年，5月

實際檢驗時從模型3開始，然后模型2、模型1。何時檢驗拒絕零假設(shè)，即原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列，何時檢驗停止。否則，就要繼續(xù)檢驗，直到檢驗完模型1為止。

檢驗原理與DF檢驗相同，只是對模型1、2、3進(jìn)行檢驗時，有各自相應(yīng)的臨界值。第15頁,共25頁，星期六，2024年，5月同時估計出上述三個模型的適當(dāng)形式，然后通過ADF臨界值表檢驗零假設(shè)H0：

=0。1）只要其中有一個模型的檢驗結(jié)果拒絕了零假設(shè)，就可以認(rèn)為時間序列是平穩(wěn)的；2）當(dāng)三個模型的檢驗結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時，則認(rèn)為時間序列是非平穩(wěn)的。這里所謂模型適當(dāng)?shù)男问骄褪窃诿總€模型中選取適當(dāng)?shù)臏蟛罘猪棧允鼓Ｐ偷臍埐铐検且粋€白噪聲（主要保證不存在自相關(guān)）。一個簡單的檢驗過程：第16頁,共25頁，星期六，2024年，5月單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程第17頁,共25頁，星期六，2024年，5月

隨機(jī)游走序列

Xt=Xt-1+

t經(jīng)差分后等價地變形為

Xt=

t

由于

t是一個白噪聲，因此差分后的序列{

Xt}是平穩(wěn)的。⒈單整第18頁,共25頁，星期六，2024年，5月

一般地，如果一個時間序列經(jīng)過d次差分后變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是d階單整（integratedofd）序列，記為I(d)。顯然，I(0)代表一平穩(wěn)時間序列?，F(xiàn)實經(jīng)濟(jì)生活中:1)只有少數(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，如利率等;2)大多數(shù)指標(biāo)的時間序列是非平穩(wěn)的，如一些價格指數(shù)常常是2階單整的，以不變價格表示的消費額、收入等常表現(xiàn)為1階單整。大多數(shù)非平穩(wěn)的時間序列一般可通過一次或多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的。但也有一些時間序列，無論經(jīng)過多少次差分，都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的。這種序列被稱為非單整的（non-integrated）。

如果一個時間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原序列是一階單整（integratedof1）序列，記為I(1)。第19頁,共25頁，星期六，2024年，5月

⒉趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程

前文已指出，一些非平穩(wěn)的經(jīng)濟(jì)時間序列往往表現(xiàn)出共同的變化趨勢，而這些序列間本身不一定有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這時對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，盡管有較高的R2，但其結(jié)果是沒有任何實際意義的。這種現(xiàn)象我們稱之為虛假回歸或偽回歸（spuriousregression）。如：用中國的勞動力時間序列數(shù)據(jù)與美國GDP時間序列作回歸，會得到較高的R2

，但不能認(rèn)為兩者有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，而只不過它們有共同的趨勢罷了，這種回歸結(jié)果我們認(rèn)為是虛假的。第20頁,共25頁，星期六，2024年，5月

為了避免這種虛假回歸的產(chǎn)生，通常的做法是引入作為趨勢變量的時間，這樣包含有時間趨勢變量的回歸，可以消除這種趨勢性的影響。

然而這種做法，只有當(dāng)趨勢性變量是確定性的（deterministic）而非隨機(jī)性的（stochastic），才會是有效的。換言之，如果一個包含有某種確定性趨勢的非平穩(wěn)時間序列，可以通過引入表示這一確定性趨勢的趨勢變量，而將確定性趨勢分離出來。第21頁,共25頁，星期六，2024年，5月

1)如果

=1，

=0，則（*）式成為一帶位移的隨機(jī)游走過程：

Xt=+Xt-1+t

（**）根據(jù)

的正負(fù)，Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢。這種趨勢稱為隨機(jī)性趨勢（stochastictrend）。

2)如果

=0，

0，則（*）式成為一帶時間趨勢的隨機(jī)變化過程：

Xt=+t+t

（***）根據(jù)

的正負(fù)，Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢。這種趨勢稱為確定性趨勢（deterministictrend）?？紤]如下的含有一階自回歸的隨機(jī)過程：

Xt=+t+Xt-1+t（*）其中:

t是一白噪聲，t為一時間趨勢。第22頁,共25頁，星期六，2024年，5月

3)如果

=1，

0，則Xt包含有確定性與隨機(jī)性兩種趨勢。

判斷一個非平穩(wěn)的時間序列，它的趨勢是隨機(jī)性的還是確定性的，可通過ADF檢驗中所用的第3個模型進(jìn)行。該模型中已引入了表示確定性趨勢的時間變量t，即分離出了確定性趨勢的影響。因此，(1)如果檢驗結(jié)果表明所給時間序列有單位根，且時間變量前的參數(shù)不顯著異于零，則該序列顯示出隨機(jī)性趨勢;

(2)如果沒有單位根，且時間變量前的參數(shù)顯著地異于零，則該序列顯示出確定性趨勢。第23頁,共25頁，星期六，2024年，5月

隨機(jī)性趨勢可通過差分的方法消除如：對式

Xt=+Xt-1+t

可通過差分變換為

Xt=+