數(shù)學(xué)命題及其教學(xué)

數(shù)學(xué)命題及其教學(xué)一、判斷與命題概述

（一）判斷的意義、分類(lèi)和結(jié)構(gòu)1、判斷的意義判斷：是對(duì)思維對(duì)象有所斷定的一種思維方式.

例如：“2是自然數(shù)”、“1是質(zhì)數(shù)”、“A=B”、“1+2=9”第2頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月

判斷具有兩個(gè)基本特征：（1）一定要“有所斷定”.

不能作出肯定或否定的思維形式，不稱(chēng)其為判斷.例如：“1小于9嗎？”“1+2=3嗎？”等都不是判斷.（2）判斷有真假之分.第3頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月2、判斷的分類(lèi)（一) 判斷

第4頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月2、判斷的分類(lèi)（二） 第5頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月

判斷：有些

直角三角形

不是

等腰三角形

（判斷）=（量項(xiàng)）+（主項(xiàng)）+（連項(xiàng)）+（謂項(xiàng)）3.判斷的結(jié)構(gòu)第6頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月（二）命題及其基本運(yùn)算 1命題的含義命題：表達(dá)判斷的陳述語(yǔ)句.（1）數(shù)學(xué)有一類(lèi)語(yǔ)句的表達(dá)沒(méi)有真假可言，如：含有變量x的“x-1=2”和“x>3”

就是沒(méi)有判斷真假的句子.第7頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月(2)命題也有真假之分，命題可用A，B，C或p,q,r等表示.當(dāng)命題p是真命題時(shí)，記為“p=1”.當(dāng)命題p是假命題時(shí)，記為“p=0”.這里的1和0就稱(chēng)為命題的真值.第8頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月2、命題的運(yùn)算 （1）否定（非）命題p的否定，記作，讀作“非p”，有時(shí)也稱(chēng)為負(fù)命題或否定命題。其真值表如下：

P

1

0

0

1第9頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月（2）合?。ㄅc、并且）

兩個(gè)命題p,q用邏輯聯(lián)詞“與”聯(lián)結(jié)起來(lái)的新命題“p與q”稱(chēng)為命題的合取式，也稱(chēng)為聯(lián)言命題.記作“

”

pq

1

10100100

1000兩個(gè)為真合取為真第10頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，合取式常用其簡(jiǎn)化形式表達(dá)：如：(2>1)∧(2<3)簡(jiǎn)記為1<2<3

“15是3的倍數(shù)且15是5的倍數(shù)”簡(jiǎn)記為“15是3和5的公倍數(shù)”.第11頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月(3)析?。ɑ颍? 兩個(gè)命題p,q用邏輯聯(lián)詞“或”聯(lián)結(jié)起來(lái)的新命題“p或q”稱(chēng)為命題p,q的析取式，也稱(chēng)選言命題.記作“

”

pq

0

111

0101000

1110有一個(gè)為真析取為真第12頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，析取式也常用其簡(jiǎn)化形式表達(dá)：如：(x=5)∨(x<5)簡(jiǎn)記為x≤5.第13頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月(4)蘊(yùn)涵（如果（若）---，那么（則）---）把兩個(gè)命題用邏輯連詞“如果---，那么---”（或：若——?jiǎng)t——)

聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到新的(復(fù)合)命題“如果p，那么q”，或者“若p,則q”就稱(chēng)為蘊(yùn)涵式，也稱(chēng)假言命題.記作“

”.其中p叫做蘊(yùn)涵式的前件（或條件），q叫做后件（或結(jié)論）.

p

q

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

１如條件本身不真，則命題視為真.第14頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月注釋?zhuān)?）可用真值表驗(yàn)證一下第15頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月等價(jià)命題若兩個(gè)命題的真值完全相同，則這兩個(gè)命題稱(chēng)為等價(jià)命題（或邏輯等價(jià)）.記著“≡”.邏輯等價(jià)的兩個(gè)命題，在推理論證時(shí)可以互相替換.常用的邏輯等價(jià)式（略）.第16頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月2）“若1+2=3，則雪是白的”在邏輯學(xué)上是真命題，但不能作為數(shù)學(xué)上的真命題.（條件和結(jié)論間沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系)3）“若1>2，則7<5”在邏輯學(xué)上是真命題，但不能作為數(shù)學(xué)上的真命題.（條件不真，結(jié)論無(wú)實(shí)際意義）第17頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月（5）等價(jià)（當(dāng)且僅當(dāng)） 把兩個(gè)命題p,q用邏輯連詞“當(dāng)且僅當(dāng)”聯(lián)結(jié)起來(lái)得到的新命題“p當(dāng)且僅當(dāng)q”稱(chēng)為等價(jià)式，記作. 也稱(chēng)為充分必要假言命題.

p

q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1注意其與“蘊(yùn)涵”的差別第18頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月注：等價(jià)式與邏輯等價(jià)是不一樣的.

等價(jià)式是由p,q構(gòu)成的新命題；

而邏輯等價(jià)是指兩個(gè)命題p,q間的關(guān)系： 即兩個(gè)命題的真值表是完全相同的. 第19頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月例1：求復(fù)合命題(p∧q)→p的真值.例2：求復(fù)合命題p∧的真值.恒真命題和恒假命題第20頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月二命題運(yùn)算應(yīng)用舉例

1.命題的四種形式及關(guān)系

p

q

11001111100101100110100100111111注：從表中可以看出，互為逆否關(guān)系的兩個(gè)命題是等價(jià)的.第21頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月第22頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月

2.命題的條件

P是q的10充分但非必要01必要但非充分11充分且必要

00既不充分又不必要第23頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月3.命題的合并

（1）同一數(shù)學(xué)對(duì)象的諸性質(zhì)定理可以合并.依據(jù)：

例題：若兩條直線平行，則同位角相等且內(nèi)錯(cuò)角相等.第24頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月（2）同一數(shù)學(xué)對(duì)象的判定定理也可以合并.依據(jù)：例題：同位角相等或內(nèi)錯(cuò)角相等，則兩直線平行.第25頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月（3）相應(yīng)的性質(zhì)定理與判定定理還可以進(jìn)一步合并.例題：

“兩條直線平行的充要條件是同位角相等”與“兩條直線平行的充要條件是內(nèi)錯(cuò)角相等”可以合并為“兩條直線平行的充要條件是同位角相等或內(nèi)錯(cuò)角相等”.第26頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月4.逆命題的制作

按邏輯學(xué)上的規(guī)定，就是將原命題的結(jié)論與條件交換即可.但在初等數(shù)學(xué)中，往往還研究將一個(gè)復(fù)合命題中相同個(gè)數(shù)的條件與結(jié)論交換位置所得的“逆命題”，有人稱(chēng)之為“偏逆命題”.即：把復(fù)合命題的結(jié)論與其中一個(gè)條件交換位置而得的命題.第27頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月如命題“若則”，它有一個(gè)逆命題“若則”“若,，則”.但它還有兩個(gè)“偏逆命題”：“若，則”，第28頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月制作“逆命題”的注意事項(xiàng)：

（1）必須分清條件和結(jié)論.例如：“在中，若一銳角等于，則它所對(duì)的邊等于斜邊的一半”及“若在兩個(gè)三角形中有兩對(duì)對(duì)邊相等，則第三邊大的所對(duì)的角也大”中的“”及“第三邊”也都是條件。第29頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月制作“逆命題”的注意事項(xiàng)：

（2）命題的條件、結(jié)論互換后，必須要適當(dāng)作些語(yǔ)詞修飾.

如“等腰三角形兩底角相等”的逆命題制作必須要適當(dāng)作些語(yǔ)詞修飾.

第30頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月

制作“逆命題”的注意事項(xiàng)：

（3）命題的條件、結(jié)論中，如果含有多個(gè)判斷的選言判斷，在制作逆命題時(shí)，選言判斷只能當(dāng)作一個(gè)整體，不能再加以分解.如：“若，則”只有一個(gè)逆命題而沒(méi)有偏逆命題.

第31頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月5、否命題、逆否命題的制作可根據(jù)命題的邏輯運(yùn)算，應(yīng)注意全稱(chēng)量詞“

”和特稱(chēng)量詞“

”的互換關(guān)系.第32頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月二、數(shù)學(xué)命題的教學(xué)概念、命題、推理、證明的密切聯(lián)系：命題由概念組成，概念由命題揭示；命題是推理的要素，推理可獲得命題；命題是證明的依據(jù)，而命題的真實(shí)性一般又需經(jīng)證明而確認(rèn).第33頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月數(shù)學(xué)命題教學(xué)的基本要求是：使學(xué)生認(rèn)識(shí)命題的條件和結(jié)論，掌握命題推理證明的方法，運(yùn)用所學(xué)命題進(jìn)行推理論證并解答實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)而弄清數(shù)學(xué)命題間的關(guān)系，將學(xué)過(guò)的命題系統(tǒng)化，形成結(jié)構(gòu)緊密的知識(shí)體系，從而發(fā)展和提高學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平和數(shù)學(xué)能力.第34頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024年，5月1.數(shù)學(xué)命題引入的教學(xué)（1）發(fā)現(xiàn)式引入——通過(guò)實(shí)踐去發(fā)現(xiàn)；（2）過(guò)渡性引入——新公式通過(guò)舊公式過(guò)渡遷移而引入.2.數(shù)學(xué)命題證明與推導(dǎo)的教學(xué)公式、定理的教學(xué)重點(diǎn)在于讓學(xué)生掌握證題的思路和方法，對(duì)于有典型意義的思想、方法要及時(shí)加以總結(jié)，以提高學(xué)生的解題能力.第35頁(yè),共37頁(yè)，星期六，2024