2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章統(tǒng)計(jì)與概率5.4統(tǒng)計(jì)與概率的應(yīng)用應(yīng)用案鞏固提升新人教B版必修第二冊(cè)

PAGE1-5.4統(tǒng)計(jì)與概率的應(yīng)用[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．“今日北京的降雨概率是60%，上海的降雨概率是70%”，下列說(shuō)法不正確的是()A．可能北京今日降雨了，而上海沒(méi)有降雨B．可能上海今日降雨了，而北京沒(méi)有降雨C．可能北京和上海都沒(méi)有降雨D．北京降雨的可能性比上海大解析：選D.因?yàn)楸本┑慕涤旮怕时壬虾５慕涤旮怕市?，故D說(shuō)法不正確．2．某人射擊4槍，命中3槍，3槍中有且只有2槍連中的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：選D.4槍命中3槍共有4種可能，其中有且只有2槍連中有2種可能，所以P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).3．若某個(gè)班級(jí)內(nèi)有40名學(xué)生，抽10名學(xué)生去參與某項(xiàng)活動(dòng)，每名學(xué)生被抽到的概率為eq\f(1,4)，其中說(shuō)明正確的是()A．4名學(xué)生中，必有1名被抽到B．每名學(xué)生被抽到的可能性為eq\f(1,4)C．由于抽到與不被抽到有兩種狀況，所以不被抽到的概率為eq\f(1,2)D．以上說(shuō)法都不正確解析：選B.依據(jù)概率的意義可以知道選B.4．某競(jìng)賽為兩運(yùn)動(dòng)員制定下列發(fā)球規(guī)則：規(guī)則一：投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面對(duì)上，甲發(fā)球，反面對(duì)上，乙發(fā)球；規(guī)則二：從裝有2個(gè)紅球與2個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)地取出2個(gè)球，假如同色，甲發(fā)球，否則乙發(fā)球；規(guī)則三：從裝有3個(gè)紅球與1個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)地取出2個(gè)球，假如同色，甲發(fā)球，否則乙發(fā)球．則對(duì)甲、乙公允的規(guī)則是()A．規(guī)則一和規(guī)則二 B．規(guī)則一和規(guī)則三C．規(guī)則二和規(guī)則三 D．規(guī)則二解析：選B.規(guī)則一每人發(fā)球的概率都是相等的，公允．規(guī)則二全部狀況有(紅1，紅2)，(紅1，黑1)，(紅1，黑2)，(紅2，黑1)，(紅2，黑2)，(黑1，黑2)6種，同色的有2種，所以甲發(fā)球的可能性為eq\f(1,3)，不公允．規(guī)則三全部狀況有(紅1，紅2)，(紅1，紅3)，(紅2，紅3)，(紅1，黑)，(紅2，黑)，(紅3，黑)，同色球有3種，所以兩人發(fā)球的可能性都是相等的，公允．5．通過(guò)模擬試驗(yàn)，產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：68303013705574307740442278842604334609526807970657745725657659299768607191386754假如恰有三個(gè)數(shù)在1，2，3，4，5，6中，則表示恰有三次擊中目標(biāo)，問(wèn)四次射擊中恰有三次擊中目標(biāo)的概率約為_(kāi)_______.解析：由題意四次射擊中恰有三次擊中對(duì)應(yīng)的隨機(jī)數(shù)有三個(gè)數(shù)字在1，2，3，4，5，6中，這樣的隨機(jī)數(shù)有3013，2604，5725，6576，6754，共5個(gè)，所求的概率約為eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)6．某汽車站，每天均有3輛開(kāi)往南京的分為上、中、下等級(jí)的客車．某天袁先生打算在該汽車站乘車前往南京辦事，但他不知道客車的車況，也不知道發(fā)車依次．為了盡可能乘上上等車，他實(shí)行如下策略：先放過(guò)第一輛，假如其次輛比第一輛好則上其次輛，否則上第三輛，那么他乘上上等車的概率為_(kāi)_______．解析：上、中、下三輛車的動(dòng)身依次是隨意的，有上、中、下；上、下、中；中、上、下；中、下、上；下、上、中；下、中、上，6種狀況，若其次輛車比第一輛好，有3種狀況：下、中、上；下、上、中；中、上、下，符合條件的僅有2種狀況；若其次輛不比第一輛好，有3種狀況：中、下、上；上、中、下；上、下、中，其中僅有1種狀況符合條件．所以袁先生乘上上等車的概率P＝eq\f(2＋1,6)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．某公司有5萬(wàn)元資金用于投資開(kāi)發(fā)項(xiàng)目，假如勝利，一年后可獲收益12%；一旦失敗，一年后將丟失全部資金的50%，下表是去年200例類似項(xiàng)目開(kāi)發(fā)的實(shí)施結(jié)果．投資勝利投資失敗192次8次則該公司一年后估計(jì)可獲收益的平均數(shù)是________元．解析：應(yīng)先求出投資勝利與失敗的概率，再計(jì)算收益的平均數(shù)．設(shè)可獲收益為x元，假如勝利，x的取值為5×12%，假如失敗，x的取值為－5×50%.一年后公司勝利的概率約為eq\f(192,200)，失敗的概率約為eq\f(8,200)，所以估計(jì)一年后公司收益的平均數(shù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×12%×\f(192,200)－5×50%×\f(8,200)))×10000＝4760(元)．答案：47608．某人撿到不規(guī)則形態(tài)的五面體石塊，他在每個(gè)面上都作了記號(hào)，投擲了100次，并且記錄了每個(gè)面落在桌面上的次數(shù)(如下表)．假如再投擲一次，估計(jì)該石塊的第4面落在桌面上的概率約是________．石塊的面12345頻數(shù)3218151322解析：第四面落在桌面上的概率為P＝eq\f(13,100)＝0.13.答案：0.139．為調(diào)查某森林內(nèi)松鼠的繁殖狀況，可以運(yùn)用以下方法：先從森林中捕獲松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上記號(hào)，然后再把它們放回森林．經(jīng)過(guò)半年后，再?gòu)纳种胁东@50只，假設(shè)尾巴上有記號(hào)的松鼠共有5只．試依據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)此森林內(nèi)約有松鼠的數(shù)量．解：設(shè)森林內(nèi)的松鼠總數(shù)為n.假定每只松鼠被捕獲的可能性是相等的，從森林中任捕一只，設(shè)事務(wù)A＝{帶有記號(hào)的松鼠}，則由古典概型可知，P(A)＝eq\f(100,n)①，其次次從森林中捕獲50只，有記號(hào)的松鼠共有5只，即事務(wù)A發(fā)生的頻數(shù)m＝5，由概率的統(tǒng)計(jì)定義可知，P(A)≈eq\f(5,50)＝eq\f(1,10)②，由①②可得：eq\f(100,n)≈eq\f(1,10)，所以n≈1000，所以，此森林內(nèi)約有松鼠1000只．[B實(shí)力提升]10．假定某運(yùn)動(dòng)員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%，現(xiàn)采納隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每?jī)蓚€(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：9328124585696834312573930275564887301135據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員兩次擲鏢恰有一次正中靶心的概率為()A．0.50 B．0.45C．0.40 D．0.35解析：選A.兩次擲鏢恰有一次正中靶心表示隨機(jī)數(shù)中有且只有一個(gè)數(shù)為1，2，3，4中的之一，它們分別是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35，共10個(gè)，因此所求的概率為eq\f(10,20)＝0.50.11．假如消息M發(fā)生的概率為P(M)，那么消息M所含的消息量為I(M)＝log2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(P（M）＋\f(1,P（M）)))，若小明在一個(gè)有4排8列座位的小型報(bào)告廳聽(tīng)報(bào)告，則發(fā)布的以下4條消息中，信息量最大的是()A．小明在第4排B．小明在第5列C．小明在第4排第5列D．小明在某一排解析：選C.本題考查了信息的理解遷移及其應(yīng)用，小明在4排的概率P(A)＝eq\f(1,4)，則I(A)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋4))＝log2eq\f(17,4)；P(B)＝eq\f(1,8)，I(B)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)＋8))＝log2eq\f(65,8)；P(C)＝eq\f(1,32)，則I(C)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32＋\f(1,32)))；P(D)＝1，則I(D)＝1，故最大值為選項(xiàng)C.12．設(shè)有外形完全相同的兩個(gè)箱子，甲箱中有99個(gè)白球1個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)白球99個(gè)黑球．隨機(jī)地抽取一箱，再?gòu)娜〕龅囊幌渲谐槿∫磺?，結(jié)果取得白球，我們可以認(rèn)為這球是從________箱中取出的．解析：甲箱中有99個(gè)白球1個(gè)黑球，故隨機(jī)地取出一球，得到白球的可能性是eq\f(99,100)，乙箱中有1個(gè)白球99個(gè)黑球，從中任取一球，得到白球的可能性是eq\f(1,100).由此可知，這一白球從甲箱中抽出的概率比從乙箱中抽出的概率大得多，既然在一次抽樣中抽到白球，當(dāng)然可以認(rèn)為是由概率大的箱子中取出的，所以我們可以認(rèn)為該球是從甲箱中取出的．答案：甲13．如圖所示，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：所用時(shí)間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；(2)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑．解：(1)由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率為0.44.(2)設(shè)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時(shí)，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車站．由頻數(shù)分布表知，40分鐘趕往火車站，選擇不同路徑L1，L2的頻率分別為(6＋12＋18)÷60＝0.6，(4＋16)÷40＝0.5，所以估計(jì)P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.5，則P(A1)＞P(A2)，因此，甲應(yīng)當(dāng)選擇路徑L1，同理，50分鐘趕到火車站，乙選擇路徑L1，L2的頻率分布為48÷60＝0.8，36÷40＝0.9，所以估計(jì)P(B1)＝0.8，P(B2)＝0.9，P(B1)＜P(B2)，因此乙應(yīng)當(dāng)選擇路徑L2.[C拓展探究]14．工廠質(zhì)檢員從生產(chǎn)線上每半個(gè)小時(shí)抽取一件產(chǎn)品并對(duì)其某個(gè)質(zhì)量指標(biāo)Y進(jìn)行檢測(cè)，一共抽取了48件產(chǎn)品，并得到如下統(tǒng)計(jì)表．該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在一年內(nèi)所需的維護(hù)次數(shù)與指標(biāo)Y有關(guān)，詳細(xì)見(jiàn)下表．質(zhì)量指標(biāo)Y[9.4，9.8)[9.8，10.2](10.2，10.6]頻數(shù)82416一年內(nèi)所需維護(hù)次數(shù)201(1)以每個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)值作為每組指標(biāo)的代表，用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該廠產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)Y的平均值(保留兩位小數(shù))；(2)用分層抽樣的方法從上述樣本中先抽取6件產(chǎn)品，再?gòu)?件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，求這2件產(chǎn)品的指標(biāo)Y都在[9.8，10.2]內(nèi)的概率；(3)已知該廠產(chǎn)品的維護(hù)費(fèi)用為300元/次，工廠現(xiàn)推出一項(xiàng)服務(wù)：若消費(fèi)者在購(gòu)買該廠產(chǎn)品時(shí)每件多加100元，該產(chǎn)品即可一年內(nèi)免費(fèi)維護(hù)一次．將每件產(chǎn)品的購(gòu)買支出和一年的維護(hù)支出之和稱為消費(fèi)費(fèi)用．假設(shè)這48件產(chǎn)品每件都購(gòu)買該服務(wù)，或者每件都不購(gòu)買該服務(wù)，就這兩種狀況分別計(jì)算每件產(chǎn)品的平均消費(fèi)費(fèi)用，并以此為決策依據(jù)，推斷消費(fèi)者在購(gòu)買每件產(chǎn)品時(shí)是否值得購(gòu)買這項(xiàng)維護(hù)服務(wù)？解：(1)指標(biāo)Y的平均值＝9.6×eq\f(1,6)＋10×eq\f(3,6)＋10.4×eq\f(2,6)≈10.07.(2)由分層抽樣法知，先抽取的6件產(chǎn)品中，指標(biāo)Y在[9.8，10.2]內(nèi)的有3件，記為A1、A2、A3；指標(biāo)Y在(10.2，10.6]內(nèi)的有2件，記為B1、B2；指標(biāo)Y在[9.4，9.8)內(nèi)的有1件，記為C.從6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，共有樣本點(diǎn)15個(gè)(A1，A2)、(A1，A3)、(A1，B1)、(A1，B2)、(A1，C)、(A2，A3)、(A2，B1)、(A2，B2)、(A2，C)、(A3，B1)、(A3，B2)、(A3，C)、(B1，B2)、(B1，C)、(B2，C)．其中，指標(biāo)Y都在[9.8，10.2]內(nèi)的樣本點(diǎn)有3個(gè)：(A1，A2)、(A1，A3)、(A2，A3)．所以由古典概型可知，2件產(chǎn)品的指標(biāo)Y都在[9.8，10.2]內(nèi)的概率為P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(3)不妨設(shè)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元，