《電磁場與電磁波》課件-第1章 矢量分析與場論基礎(chǔ)

1.1標量場和矢量場1.2矢量運算1.3常用正交坐標系1.4標量場的梯度1.5矢量場的通量與散度1.6矢量場的環(huán)量與旋度1.7拉普拉斯算符及其運算1.8亥姆霍茲定理1.1標量場和矢量場1.1.1標量和矢量電磁場中涉及的絕大多數(shù)物理量能夠容易地區(qū)分為標量或矢量。一個只有大小而沒有方向的物理量稱為標量；既有大小又有方向的物理量稱為矢量。標量可以用數(shù)字準確描述，而矢量則用黑斜體或帶箭頭的符號來表示。模值為1的矢量稱為單位矢量，常用來表示某矢量的方向。如矢量Ａ可寫成A=ａＡＡ，其中ａＡ是與Ａ同方向的單位矢量，Ａ為矢量Ａ的模值。如果給定的矢量在３個相互垂直的坐標軸上的分量都已知，那么這個矢量即可確定。在直角坐標系中，如矢量Ａ的坐標分量為（Ａｘ，Ａｙ，Ａｚ），則Ａ可表示為其中，ｅｘ、ｅｙ、ｅｚ分別表示直角坐標系中ｘ、ｙ、ｚ方向上的單位矢量。通過矢量的加減可得到它們的和差。設(shè)則1.1.２標量場和矢量場場有空間占據(jù)的概念。設(shè)有一個確定的空間區(qū)域，若該區(qū)域內(nèi)的每一個點都對應(yīng)著某個物理量的一個確定值，則認為該空間區(qū)域確定了這個物理量的一個場。物理量是標量的場稱為標量場，物理量是矢量的場稱為矢量場。如果場中的物理量不隨時間而變化，只是空間和點的函數(shù)，那么稱該場為穩(wěn)定場（或靜態(tài)場）；如果場中的物理量是空間位置和時間的函數(shù)，那么稱之為不穩(wěn)定場（或時變場）。由數(shù)學中函數(shù)的定義可知，給定了一個標量場就相當于給定了一個數(shù)性函數(shù)ｕ（Ｍ），而給定了一個矢量場就相當于給定了一個矢性函數(shù)Ａ（Ｍ），其中Ｍ為場對應(yīng)空間區(qū)域中的任意點。在直角坐標系中，點Ｍ由它的ｘ、ｙ、ｚ坐標確定，因此一個標量場可用數(shù)性函數(shù)表示為而矢量場則可用矢性函數(shù)表示為在標量場中，為了直觀研究其分布情況，引入了等值面（或等量面）的概念。等值面是指場中使函數(shù)取值相同的點組成的曲面。標量場的等值面方程為如溫度場中的等值面就是由溫度相同的點所組成的等溫面；電位場中的等值面就是由電位相同的點所組成的等位面，如圖1.1.1所示。等值面在二維平面上就是等值線，如常見的等高線、等溫線等。在矢量場中，可以用矢量線來描繪矢量場的分布情況。如圖1.1.２所示，在矢量場的每一點Ｍ處的切線方向與對應(yīng)于該點的矢量方向相重合。在流體力學中，矢量線就是流線。在電磁場中，矢量線就是電力線和磁力線。１．２矢量運算１．２．１標量積和矢量積矢量的乘積有兩種定義：標量積（點積）和矢量積（叉積）。１．標量積如圖１．２．１所示，有兩個矢量Ａ與Ｂ，它們之間的夾角為θ（０≤θ≤π）。兩個矢量Ａ與Ｂ的點積記為Ａ·Ｂ，它是一個標量，定義為矢量Ａ與矢量Ｂ的大小和它們之間夾角的余弦之積，即Ａ·Ｂ＝ＡＢｃｏｓθ。在直角坐標系中，各單位坐標矢量的點積滿足如下關(guān)系：矢量Ａ與矢量Ｂ的點積可表示為矢量點積滿足交換律和分配律：２．矢量積兩個矢量的叉積記為Ａ×Ｂ，它是一個矢量，垂直于包含矢量Ａ和矢量Ｂ的平面，方向滿足右手螺旋法法則，即當右手四指從矢量Ａ到Ｂ旋轉(zhuǎn)θ角時大拇指所指的方向，其大小為ＡＢｓｉｎθ，即在直角坐標系中，各單位坐標矢量的叉積滿足如下關(guān)系：矢量Ａ與矢量Ｂ的叉積可表示為叉積不滿足交換律，但滿足分配律：１．２．２三重積矢量Ａ與矢量（Ｂ×Ｃ）的點積稱為標量三重積。標量三重積滿足：Ａ×Ｂ的模表示由Ａ與Ｂ為相鄰邊所形成的平行四邊形的面積，因此Ｃ·（Ａ×Ｂ）的模是平行六面體的體積。矢量Ａ與矢量（Ｂ×Ｃ）的叉積稱為矢量三重積。矢量三重積滿足：1.3常用正交坐標系1.3.1三種常用坐標系在電磁場理論中,最常用的三種坐標系是直角坐標系?圓柱坐標系和球坐標系?1.直角坐標系直角坐標系是最常用和最被人們熟知的坐標系,這里只做簡單介紹?直角坐標系由x軸?y軸和z軸及其交點O(稱為坐標原點)組成,3個坐標變量的變化范圍均為負無窮到正無窮,如圖1.3.1所示?在直角坐標系中,以坐標原點為起點,指向點M(x,y,z)的矢量稱為點M的位置矢量,可表示為R=xex+yey+zez

(1.3.1)位置矢量的微分元可表示為dR=exdx+eydy+ezdz

(1.3.2)與單位坐標矢量相垂直的3個面積元分別為dSx=exdydz

(1.3.3a)dSy=eydxdz

(1.3.3b)dSz=ezdxdy(1.3.3c)體積元可表示為dV=dxdydz

(1.3.4)2.圓柱坐標系圓柱坐標系的3個坐標變量是ρ??和z,它們的變化范圍分別是0≤ρ<∞,0≤?≤2π,-∞<z<∞?如圖1.3.2所示,圓柱坐標系的3個單位坐標矢量分別是eρ?e??ez,它們之間符合右手螺旋法則,除ez是常矢量外,eρ?e?都是變矢量,方向均隨點M的位置而改變?

在圓柱坐標系中,矢量R可表示為R=ρeρ+zez

(1.3.5)位置矢量的微分元可表示為dR=d(ρeρ)+d(zez)=eρdρ+e?ρd?+ezdz

(1.3.6)其中,dρ?ρd?和dz分別表示位置矢量在ρ??和z增加方向的微分元,如圖1.3.3所示?與單位坐標矢量相垂直的3個面積元分別為dSρ=eρd?dz (1.3.7a) dS?=e?dρdz (1.3.7b)dSz=ezρdρd? (1.3.7c)體積元可表示為dV=ρdρd?dz (1.3.8)

3.球坐標系球坐標系的3個坐標變量是r?θ和?,它們的變化范圍分別是0≤r<∞，0≤θ≤π，0≤?≤2π?如圖1.3.4所示,在球坐標系中,過空間中任意一點M的單位坐標矢量是er?eθ和e?,它們分別是r?θ和?增加的方向,且符合右手螺旋法則,都是變矢量?在球坐標系中,矢量A可表示為A=Arer+Aθθθ+A?e? (1.3.9)其中,Ar?Aθ和A?分別是矢量A在3個坐標方向上的投影?球坐標系中的位置矢量為

R=rer (1.3.10)它的微分元可表示為dR=d(rer)=erdr+eθrdθ+e?rsinθd? (1.3.11)其中,dr?rdθ和rsinθd?表示位置矢量沿球坐標方向的3個長度微分元,如圖1.3.5所示?與單位坐標矢量相垂直的3個面積元分別為dSr=err2sinθdθd? (1.3.12a) dSθ=eθrsinθdrd? (1.3.12b)dS?=e?rdrdθ (1.3.12c)體積元可表示為dV=r2sinθdrdθd? (1.3.13)1.3.2三種坐標系之間的相互轉(zhuǎn)換如圖1.3.6所示,在空間中有任意一點M,它的直角坐標系的坐標是(x,y,z),圓柱坐標系的坐標是(ρ,?,z),球坐標系的坐標是(r,θ,?),則各坐標之間的關(guān)系如下:(1)直角坐標系與圓柱坐標系的關(guān)系為

或(2)直角坐標系與球坐標系的關(guān)系為或(3)圓柱坐標系與球坐標系的關(guān)系為或同理可得3種坐標系的單位坐標矢量間的關(guān)系,如直角坐標系與圓柱坐標系的單位坐標矢量的關(guān)系為1.4

標量場的梯度1.4.1方向?qū)?shù)標量場的等值面只描述了場量u的分布狀況,而場中某點的標量沿著各個方向的變化率可能不同,為此,引入方向?qū)?shù)來描述標量場的這種變化特性?標量場在某點的方向?qū)?shù)表示標量場自該點沿某一方向上的變化率?如圖1.4.1所示,標量場u在點M處沿l方向上的方向?qū)?shù)定義為在直角坐標系中,設(shè)l方向的單位矢量為el=excosα+eycosβ+ezcosγ,cosα?cosβ?cosγ為l的方向余弦,則方向?qū)?shù)可表示為1.4.2標量場的梯度在標量場中,從一個給定點出發(fā)有無窮多個方向?一般而言,標量場在給定點沿不同方向的變化率是不同的?引入標量場梯度的概念來描述標量場在哪個方向變化率最大?標量場u在點M處的梯度是一個矢量,它的方向是沿場量u變化率最大的方向,大小等于其最大的變化率,并記為gradu,即在直角坐標系中,標量場u沿l方向的方向?qū)?shù)可以寫為根據(jù)梯度的定義,可得直角坐標系中梯度的表達式為圓柱坐標系中梯度的表達式為球坐標系中梯度的表達式為在矢量分析中,經(jīng)常用到哈密頓算符(算子)“

”(讀作Del),在直角坐標系中有可見，算符“

”兼有矢量和微分的雙重作用。在直角坐標系中，標量場的梯度可用算符“

”表示為梯度運算符合下列運算規(guī)則(C為常數(shù),u?v分別為標量場函數(shù)):1.5

矢量場的通量與散度1.5.1矢量場的通量描述矢量場時,矢量線可以形象描繪出場的分布,但它不能定量描述矢量場的大小?在分析矢量場性質(zhì)的時候,往往引入矢量場穿過曲面的通量這一重要概念?假設(shè)S是一個空間曲面,dS為曲面S上的面元,取一個與此面元相垂直的法向單位矢量en,則稱矢量dS=endS為面元矢量?單位矢量en的取法有兩種:對開曲面上的面元,要求圍成開曲面的邊界走向與en之間滿足右手螺旋法則,如圖1.5.1所示;對閉合面上的面元,en一般取外法線方向?在矢量場F中,任取一個面元矢量dS,因為面元很小,可認為其上各點的F值相同,則F與dS的點積為矢量F穿過面元矢量dS的通量?通量是一個標量?對于空間開曲面S,矢量F穿過開曲面S的通量定義為對于空間閉合曲面S,矢量F穿過閉合曲面S的通量定義為由通量的定義可知,若矢量與面元矢量成銳角,則通過面積元的通量為正值;若成鈍角,則通過面積元的通量為負值?閉合曲面的通量是穿出閉合曲面S的正通量與進入閉合曲面S的負通量的代數(shù)和,即穿出閉合曲面S的凈通量?矢量場F的通量說明了在一個區(qū)域中場與源的一種關(guān)系?當通量大于0時,表示穿出閉合曲面S的通量多于進入的通量,此時閉合曲面S內(nèi)必有發(fā)出矢量線的源,稱為有正源;當通量小于0時,表示穿出閉合曲面S的通量少于進入的通量,此時閉合曲面S內(nèi)必有匯集矢量線的源,稱為有負源;當通量為零時,表示穿出閉合曲面S的通量等于進入的通量,此時閉合曲面S內(nèi)正通量源和負通量源的代數(shù)和為0,稱為無源?1.5.2矢量場的散度通量是矢量場在一個大范圍面積上的積分量,只能說明場在一個區(qū)域中總的情況,而不能說明區(qū)域內(nèi)每點場的性質(zhì)?為了研究場中任一點矢量場F與源的關(guān)系,縮小閉合面,使包含這個點在內(nèi)的體積元趨于零,并定義如下的極限為矢量場在某點處的散度,記為divF,即矢量場的散度可表示為哈密頓算子與矢量F的標量積,即在直角坐標系中類似地,可推出圓柱坐標系和球坐標系的散度計算式:矢量場的散度是標量,它表示在矢量場中給定點單位體積內(nèi)散發(fā)出來的矢量的通量,反映了矢量場在該點的通量源強度?在矢量場某點處,若散度為正,則該點存在發(fā)出通量線的正源;若散度為負,則該點存在發(fā)出通量線的負源;若散度為零,則該點無源?1.5.3散度定理由散度的定義可知,矢量的散度是矢量場中任意點處單位體積內(nèi)向外散發(fā)出來的通量,將它在某一個體積上作體積分就是該體積內(nèi)向外散發(fā)出來的通量總和,而這個通量顯然和從該限定體積V的閉合曲面S向外散發(fā)的凈通量是相同的,于是可得這就是散度定理,也稱高斯定理?1.6

矢量場的環(huán)量與旋度

1.6.1矢量場的環(huán)量矢量F沿閉合路徑l的曲線積分稱為矢量場F沿閉合路徑l的環(huán)量(旋渦量)?環(huán)量是一個代數(shù)量,它的大小和正負不僅與矢量場的分布有關(guān),而且與所取的積分環(huán)繞方向有關(guān)?矢量的環(huán)量與矢量穿過閉合曲面的通量一樣,都是描述矢量場性質(zhì)的重要物理量?根據(jù)前面的內(nèi)容,如果矢量穿過閉合曲面的通量不為零,則表示該閉合曲面內(nèi)有通量源?同樣,如果矢量沿閉合曲線的環(huán)量不為零,則表示閉合曲線內(nèi)有另一種源,即旋渦源?磁場中,磁場強度在環(huán)繞電流的閉合曲線上的環(huán)量不為零,其電流就是產(chǎn)生該磁場的旋渦源?1.6.2矢量場的旋度從式(1.6.1)可以看出,環(huán)量是矢量F在大范圍閉合曲線上的線積分,反映了閉合曲線內(nèi)旋渦源的分布情況?而在矢量分析中,常常希望知道在每個點附近的旋渦源分布情況,因此可以將閉合曲線收縮,使它包圍的面積ΔS趨于0,取極限此極限的意義是環(huán)量的面密度(或稱環(huán)量強度)?由于面積元是有方向的,它與閉合曲線的繞行方向成右手螺旋關(guān)系,因此在給定點上,上述極限對不同的面積元是不同的,在某一確定的方向上,環(huán)量面密度取得最大值?為此,引入旋度的定義,即旋度的大小是矢量F在給定點處的最大環(huán)量面密度,其方向是當面積元的取向使環(huán)量面密度最大時該面積元的法線方向?矢量場的旋度可用哈密頓算子與矢量F的矢量積來表示,即在直角坐標系中寫成行列式形式為類似地,可推出圓柱坐標系和球坐標系中的旋度計算式:旋度運算符合下列運算規(guī)則:其中,u為標量函數(shù)?式(1.6.7d)和式(1.6.7e)分別稱為“梯無旋”和“旋無散”?1.6.3斯托克斯定理在矢量場Ｆ所在的空間中，對于任意一個以閉合曲線ｌ所包圍的曲面Ｓ，有關(guān)系式：式（1.6.8）稱為斯托克斯定理。式（1.6.8）說明：矢量場的旋度在曲面上的面積分等于矢量場在限定曲面的閉合曲線上的線積分，它是矢量旋度的面積分與該矢量沿閉合曲線積分之間的一個變換關(guān)系，也是電磁場理論中重要的恒等式。1.7拉普拉斯算符及其運算標量場u的梯度

是一個矢量，如果再對它求散度，即

，則稱為標量場的拉普拉斯運算，記為式中，

稱為拉普拉斯算符。在直角坐標系中類似地，標量場在圓柱坐標系和球坐標系中的拉普拉斯運算分別為矢量場的拉普拉斯運算定義為在直角坐標系中1.8亥姆霍茲定理1.8.1散度、旋度的比較散度和旋度之間具有如下區(qū)別：（１）矢量場的散度是一個標量函數(shù)，而矢量場的旋度是一個矢量函數(shù)。（２）