高中數(shù)學(人教B版)必修一同步講義1.1.2集合的基本關系(5知識點+7題型+鞏固訓練)(學生版+解析)

1.1.2集合的基本關系課程標準學習目標1.理解子集、真子集概念以及集合相等。2.掌握用數(shù)學符號語言以及V圖語言表示集合間的基本關系。3.能夠區(qū)分集合間的包含關系與元素與集合的屬于關系。1.對集合之間包含與相等的含義以及子集、真子集概念的理解；2.集合的子集的辨析和應用；3.對給出的集合能寫出其子集和真子集；有集合元素個數(shù)求子集個數(shù)；4.在理解集合間關系的過程中，運用數(shù)軸和venn圖解決子集及真子集問題，提高學生分析問題和解決問題的能力；5.通過觀察身邊的實例，發(fā)現(xiàn)集合間的基本關系，體驗其現(xiàn)實意義。知識點1子集1.概念：一般地，如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集.2.記法：A?B（或B?A）.3.讀法：A包含于B（或"B包含A"）.4.如果A不是B的子集，記作A?B（或B?A），讀作“A不包含于B”（或“B不包含A”）.5.性質：A?A；??A.6.圖形表示：【即學即練1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）設集合M=1,2,3，A．N∈M C．N?M 【即學即練2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列各式：①1?0,1,2，②1∈0,1,2，③0,1,2?0,1,2A．1 B．2C．3 D．4【即學即練3】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知集合A=A．2 B．4C．6 D．8知識點2真子集1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A稱為集合B的真子集.2.記法：A?B（或BA）.3.讀法：A真包含于B（或“B真包含A”）.4.性質：對于集合A，B，C，①如果A?B,B?C,則A?C=2\*GB3②如果A?B，B?C，則A?C；5.圖形表示：6.如果集合A中含有n個元素，則有（1）A的子集的個數(shù)有2n個．（2）A的非空子集的個數(shù)有2n－1個．（3）A的真子集的個數(shù)有2n－1個．（4）A的非空真子集的個數(shù)有2n－2個．【即學即練4】（2024秋·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期中）若集合，，則集合A與B的關系是（）A．B．C．D．不確定【即學即練5】（2023春·江西南昌·高二南昌市鐵路第一中學?？茧A段練習）滿足條件的所有集合的個數(shù)是（）A．32B．31C．16D．15知識點3空集1、定義：一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，記為?，規(guī)定：空集是任何集合的子集．在這個規(guī)定的基礎上，結合子集和真子集的有關概念，可以得到：（1）空集只有一個子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集．2、0，{0}，?，{?}的關系?與0?與{0}?與{?}相同點都表示無的意思都是集合都是集合不同點?是集合；0是實數(shù)?中不含任何元素；{0}含一個元素0?不含任何元素；{?}含一個元素，該元素是?關系0???{0}?{?}或?∈{?}【即學即練6】（2024秋·湖北咸寧·高一?？茧A段練習）給出下列說法：①空集沒有子集；②任何集合至少有兩個子集；③空集是任何集合的真子集；④若，則．其中正確的說法有（）A．0個B．1個C．2個D．3個知識點4Venn圖用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為Venn圖。表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線。韋恩圖可以直觀、形象地表示出集合之間的關系【即學即練7】（2024·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考階段練習）下列表示集合M=x∈ZA． B．C． D．知識點5集合的相等與子集的關系1.定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等2.圖形表示：3.如果A?B，且B?A則A=B.4.如果A=B則A?B且B?A.【即學即練8】已知集合A={a,b,1},A．1 B．12 C．?1 D．1或易錯點忽略空集的特殊性致誤示例：設M{x|x2－2x－30}，N{x|ax－10}，若N?M，求所有滿足條件的a的取值集合．【題型1：集合間關系的判斷】例1.（2022秋·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期中）若集合，，則集合A與B的關系是（）A．B．C．D．不確定變式1.（2024·北京·高三專題練習）已知集合，，則（

）A．? B． C． D．變式2.（2024·全國·高三專題練習）下列結論正確的是（

）A．， B．，C． D．?變式3.（2024·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）下列集合關系中錯誤的是（

）A． B． C． D．變式4.（2023秋·高一課時練習）已知集合，，則M與P的關系為（）A．MPB．MPC．P?MD．MP變式5.（2024秋·江西南昌·高一校聯(lián)考期中）若P=yyA．P=Q B．P?Q C．變式6.【多選】（2024·高一單元測試）集合，，則下列關系錯誤的是（

）A． B．C． D．變式7.(2023秋·高一課時練習）若集合，，，則的關系是（）A．B．C．D．【方法技巧與總結】判斷集合間關系的方法(1)用定義判斷首先，判斷一個集合A中的任意元素是否屬于另一集合B，若是，則A?B，否則A不是B的子集；其次，判斷另一個集合B中的任意元素是否屬于第一個集合A，若是，則B?A，否則B不是A的子集；若既有A?B，又有B?A，則AB.(2)數(shù)形結合判斷對于不等式表示的數(shù)集，可在數(shù)軸上標出集合的元素，直觀地進行判斷，但要注意端點值的取舍．【題型2：確定集合的子集、真子集】例2．（2023秋·海南儋州·高一?？计谥校懗黾系乃凶蛹退恼孀蛹?變式1.．（2023秋·湖南郴州·高一校考階段練習）下列集合中，可以為集合的真子集的是（

）A． B． C． D．變式2.．（2023秋·高一校考課時練習）若，則.變式3.．（2024·高一課時練習）已知集合且，則（

）A． B． C． D．變式4.．（2023秋·山東日照·高一?？茧A段練習）設，．(1)寫出集合A的所有子集；(2)若B為非空集合，求a的值．【方法技巧與總結】對集合子集、真子集概念的認識：(1)真子集的概念也可以敘述為：若集合A?B，存在元素x滿足x∈B且xA，則稱集合A是集合B的真子集．(2)集合A是集合B的真子集，需要滿足以下兩個條件：①集合A是集合B的子集；②存在元素x滿足x∈B，且xA.所以，如果集合A是集合B的真子集，那么集合A一定是集合B的子集，反之不不成立．(3)空集是任意非空集合的真子集，這里強調的是“非空”兩字，解題時不能丟掉空集這一特例．(4)任意集合都一定有子集，但是不一定有真子集．空集沒有真子集．一個集合的真子集的個數(shù)比子集的個數(shù)少1.【題型3：子集、真子集個數(shù)問題】（一）求子集、真子集個數(shù)例3．（2023春·浙江衢州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則集合的子集有（

）A．7個 B．6個 C．4個 D．3個變式1.（2024秋·湖北·高一校聯(lián)考）集合的子集的個數(shù)是（）A．16B．8C．7D．4變式2.（2023·全國·高一專題練習）集合，則的子集的個數(shù)為（）A．4B．8C．15D．16變式3.．（2024·高一單元測試）已知非空集合，且A中至多有一個奇數(shù)，則這樣的集合共有個．變式4.（2023秋·高一課時練習）已知非空集合滿足:對任意，總有，且.若，則滿足條件的的個數(shù)是（

）A．11 B．12 C．15 D．16變式5．（2023秋·江蘇揚州·高一統(tǒng)考階段練習）已知集合，則集合的真子集個數(shù)為（

）A．8 B．7 C．6 D．5變式6．（2024·河南開封·統(tǒng)考三模）已知集合，，則集合B的真子集個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．7 D．8變式7．（2023秋·高一課時練習）設集合，且，若，，則集合M的非空真子集的個數(shù)為（

）A．4 B．6 C．7 D．15變式8．（2023秋·高一課時練習）若一個集合含有n個元素，則稱該集合為“n元集合”.已知集合，則其“2元子集”的個數(shù)為（

）A．6 B．8 C．9 D．10變式9.（2023秋·高一校考課時練習）已知，則符合條件的集合的個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．6 D．8變式10.（2024秋·云南保山·高一校聯(lián)考）滿足的集合的個數(shù)為（）A．B．C．D．變式11．（2024·全國·高三對口高考）若集合A滿足?，則集合A所有可能的情形有（

）A．3種 B．5種 C．7種 D．9種?變式12.（2024·全國·高一專題練習）已知集合M滿足?則集合M的個數(shù)為．變式13.（2023秋·高一課時練習）已知集合，，則滿足條件的集合C的個數(shù)為，滿足條件?B的集合C的個數(shù)為．?【方法技巧與總結】1.求集合子集、真子集個數(shù)的三個步驟2.集合子集、真子集個數(shù)的有關結論若集合A中含有n個元素，集合A的子集個數(shù)為2n，真子集的個數(shù)為2n－1，非空真子集的個數(shù)為2n－2.（二）根據(jù)集合的子集、真子集個數(shù)求參數(shù)例4．（2023秋·廣東汕尾·高一華中師范大學海豐附屬學校校考階段練習）若集合有且僅有兩個子集，則實數(shù)的值是.變式1.．（2023秋·湖北武漢·高一校聯(lián)考期中）已知集合的子集只有兩個，則實數(shù)的值為．變式2．（2023秋·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）已知集合恰有兩個非空真子集，則m的值可以是．（說明：寫出滿足條件的一個實數(shù)m的值）變式3．（2023秋·上海浦東新·高一?？茧A段練習）集合．(1)若是，求實數(shù)的取值范圍(2)是否存在這樣的實數(shù)，使得集合有且僅有兩個子集，若存在，求出實數(shù)及對應的子集，若不存在，說明理由．【題型4：判斷兩個集合是否相等】例5.（2023·全國·高一專題練習）已知集合，則與集合相等的集合為（）A．B．C．D．變式1.（2023秋·高一課時練習）下列集合中表示同一集合的是（）A．，B．，C．，D．，變式2.（2023·全國·高一專題練習）下列與集合表示同一集合的是（）A．B．C．D．變式3.（2023秋·山西運城·高一?？迹┫旅骊P于集合的表示正確的序號是.①；②；③；④.【題型5：根據(jù)集合相等關系求參數(shù)】例6.（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）由三個數(shù)a，，1組成的集合與由，，0組成的集合相等，求的值．變式1.（2024秋·山東濟寧·高一月考）已知，，若，則（）A．0B．1C．D．變式2.（2024·高一課時練習）設，且，求實數(shù)x，y的值．變式3.（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）已知集合，若，求實數(shù)q的值．變式4.（2023秋·湖北恩施·高一巴東一中?？茧A段練習）已知集合，集合.（1）若，求的值；（2）若，求實數(shù)的值；（3）是否存在實數(shù)，使.變式5.（2024秋·四川·高一眉山第一中學?？迹ǘ噙x）若集合，則的值可能為（）A．B．C．0D．【題型6：空集性質及其應用】例7．（2024·全國·高一假期作業(yè)）下列集合中為的是（

）A． B．C． D．變式1.【多選】（2023秋·海南儋州·高一?？计谀┫铝嘘P系中表述正確的是（

）A． B． C． D．變式2.（2023·全國·高一專題練習）已知六個關系式①；②；③；④；⑤；⑥，它們中關系表達正確的個數(shù)為（）A．3B．4C．5D．6變式3.（2023秋·湖南永州·高一?？茧A段練習）若集合為空集，則實數(shù)的取值范圍是.變式4.（2023秋·高一?？颊n時練習）已知空集，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式5.（2024·高一課時練習）若集合，則實數(shù)a的取值范圍．變式6.（2023秋·上海浦東新·高一上海市進才中學?？茧A段練習）關于的不等式組的解集為，則實數(shù)的取值范圍為．【題型7：根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)】例8：（2023秋·遼寧大連·高三第二十高級中學?？奸_學考試）已知集合，，，則實數(shù)m的值為（）A．－1B．0C．1D．2變式1.（2023秋·安徽蕪湖·高一?？茧A段練習）若集合，，且，求實數(shù)m的值.變式2.（2023秋·湖南懷化·高一校聯(lián)考期末）已知集合，.若，求實數(shù)的取值范圍.變式3.（2024·高一課時練習）已知集合，，若，求a的取值范圍．變式4.（2023秋·廣東東莞·高一東莞實驗中學?？计谥校┰O集合.(1)當時，求的非空真子集的個數(shù)；(2)若，求的取值范圍.變式5.（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知集合.(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.變式6.（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知集合.(1)若，則實數(shù)a的值是多少?(2)若，則實數(shù)a的取值范圍是多少?(3)若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是多少?變式7.（2023秋·安徽滁州·高一校考階段練習）已知集合，，(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若?，求實數(shù)的取值范圍.【方法技巧與總結】根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)(1)分析集合關系時，首先要分析、簡化每個集合．(2)此類問題通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗證端點值，做到準確無誤，一般含“”用實心點表示，不含“”用空心點表示．(3)此類問題還應注意“空集”這一“陷阱”，尤其是集合中含有字母參數(shù)時，初學者會想當然認為非空集合而丟解，因此分類討論思想是必需的．一、單選題1．（2024·四川成都·三模）已知集合，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·天津·期末）若集合，，則集合B的真子集個數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知集合，，集合滿足，則所有滿足條件的集合的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（2024·廣東深圳·模擬預測）定義兩集合的差集：且，已知集合，，則的子集個數(shù)是（

）個．A．2 B．4 C．8 D．16二、多選題5．（2024高一上·全國·專題練習）關于下圖說法正確的是（

）A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素B．集合A、B、U中有相同的元素C．集合U中有元素不在集合B中D．集合A、B、U中的元素相同6．（22-23高一上·山東青島·階段練習）下列說法正確的有（

）A．集合有16個真子集 B．對于任意集合A，C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，則7．（23-24高一上·浙江·階段練習）已知，集合與集合相等，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．8．（22-23高一上·新疆烏魯木齊·期中）下列關系中正確的有（

）A． B． C． D．9．（23-24高二上·山西晉中·階段練習）已知集合，，則下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則或D．若，則或或10．（23-24高一上·山東·期中）已知集合，且，則實數(shù)可能的取值是（

）A． B．0 C．-1 D．三、填空題11．（23-24高二下·安徽·階段練習）設集合，則集合的真子集個數(shù)為．12．（2024·重慶·三模）已知集合，，則滿足的集合的個數(shù)為.四、解答題13．（22-23高一·全國·課堂例題）指出下列各組集合之間的關系：(1)，；(2)，；(3)，．14．（24-25高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）確定下列每組兩個集合的包含關系或相等關系：(1)A={為12的正約數(shù)}與；(2)與{為4的正整數(shù)倍}.15．（2022高一上·全國·專題練習）設，寫出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集．16．（2023高一·江蘇·專題練習）已知集合，，若BA，求實數(shù)m的取值范圍.17．（2024高一上·全國·專題練習）已知集合．(1)若，為常數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．(2)若，為常數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．(3)若為常數(shù)，是否存在實數(shù)m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．18．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合．(1)若，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若AB，求實數(shù)m的取值范圍．19．（23-24高一上·廣東佛山·期末）設集合(1)若，試判斷集合與的關系；(2)若，求的值組成的集合．20．（23-24高一上·安徽馬鞍山·階段練習）已知集合，其中是關于的方程的兩個不同的實數(shù)根.(1)若，求出實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.21．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合(1)若A中只有一個元素，求a的值(2)若A中至多有一個元素，求a的取值范圍(3)若，求a的取值范圍22．（23-24高一上·吉林四平·階段練習）已知集合.(1)若，存在集合使得為的真子集且為的真子集，求這樣的集合；(2)若集合是集合的一個子集，求的取值范圍.23．（23-24高一上·江蘇南通·階段練習）已知，對于，若且，則稱k為A的“孤立元”.給定集合，則A的所有子集中，只有一個“孤立元”的集合的個數(shù)為（

）A．10 B．11 C．12 D．1324．（21-22高一·全國·課后作業(yè)）定義A?B{z|zxy，x∈A，y∈B}．設集合A{0，2}，B{1，2}．(1)求集合A?B的所有元素之和．(2)寫出集合A?B的所有真子集．25．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，集合，定義為中元素的最小值，當取遍的所有非空子集時，對應的的和記為，則.26．（23-24高一上·內蒙古赤峰·階段練習）含有有限個元素的數(shù)集，定義“元素和”如下：把集合中的各數(shù)相加；定義“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從大到小的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地減加各數(shù).例如的元素和是；交替和是；而的元素和與交替和都是5.(1)寫出集合的所有非空子集的交替和的總和；(2)已知集合，根據(jù)提示解決問題.求集合所有非空子集的元素和的總和；27．（23-24高三上·上海浦東新·期中）是正整數(shù)集的子集，滿足：，并有如下性質：若、，則，其中表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，則的非空子集個數(shù)為．28．（2012高一·全國·競賽）已知集合的子集B滿足：對任意，有，則集合B中元素個數(shù)的最大值是（

）．A．1005 B．1006 C．1007 D．100829．（21-22高一上·河南·階段練習）定義：表示集合中元素的個數(shù)，.已知集合，集合，集合，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．且1.1.2集合的基本關系課程標準學習目標1.理解子集、真子集概念以及集合相等。2.掌握用數(shù)學符號語言以及V圖語言表示集合間的基本關系。3.能夠區(qū)分集合間的包含關系與元素與集合的屬于關系。1.對集合之間包含與相等的含義以及子集、真子集概念的理解；2.集合的子集的辨析和應用；3.對給出的集合能寫出其子集和真子集；有集合元素個數(shù)求子集個數(shù)；4.在理解集合間關系的過程中，運用數(shù)軸和venn圖解決子集及真子集問題，提高學生分析問題和解決問題的能力；5.通過觀察身邊的實例，發(fā)現(xiàn)集合間的基本關系，體驗其現(xiàn)實意義。知識點1子集1.概念：一般地，如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集.2.記法：A?B（或B?A）.3.讀法：A包含于B（或"B包含A"）.4.如果A不是B的子集，記作A?B（或B?A），讀作“A不包含于B”（或“B不包含A”）.5.性質：A?A；??A.6.圖形表示：【即學即練1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）設集合M=1,2,3，A．N∈M C．N?M 【答案】A【分析】根據(jù)集合與集合間的關系可得出結論.【詳解】因為M=1,2,3，N=.【即學即練2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列各式：①1?0,1,2，②1∈0,1,2，③0,1,2?0,1,2A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【分析】由元素與集合的關系，集合與集合的關系考查所給式子是否正確即可．【詳解】由元素與集合的關系可知1∈0,1,2由集合與集合的關系可知1?任何集合都是自身的子集，故③正確；空集是任何非空集合的子集，故④正確；集合中的元素具有互異性和無序性，故⑤正確；綜上可得，只有①②錯誤．故選B．【即學即練3】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知集合A=A．2 B．4C．6 D．8【答案】A【分析】列出含有元素0的A的子集，求出答案.【詳解】含有元素0的A的子集有0，0,1，0,2，0,3，0,1,2，0,1,3，0,2,3，0,1,2,3，故含有元素0的A的子集個數(shù)為8..知識點2真子集1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A稱為集合B的真子集.2.記法：A?B（或BA）.3.讀法：A真包含于B（或“B真包含A”）.4.性質：對于集合A，B，C，①如果A?B,B?C,則A?C=2\*GB3②如果A?B，B?C，則A?C；5.圖形表示：6.如果集合A中含有n個元素，則有（1）A的子集的個數(shù)有2n個．（2）A的非空子集的個數(shù)有2n－1個．（3）A的真子集的個數(shù)有2n－1個．（4）A的非空真子集的個數(shù)有2n－2個．【即學即練4】（2024秋·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期中）若集合，，則集合A與B的關系是（）A．B．C．D．不確定【答案】C【解析】因為集合A中的元素，都在集合B中，而B中的元素不一定都在A中，所以，故選：.【即學即練5】（2023春·江西南昌·高二南昌市鐵路第一中學?？茧A段練習）滿足條件的所有集合的個數(shù)是（）A．32B．31C．16D．15【答案】C【解析】由集合滿足條件，所以集合至少含元素1,2，將1,2看成一個整體用來表示，則上述集合關系式變成：，則此時集合為集合的真子集，問題轉化為求集合的真子集的個數(shù)即：，故滿足題意的集合有31個..知識點3空集1、定義：一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，記為?，規(guī)定：空集是任何集合的子集．在這個規(guī)定的基礎上，結合子集和真子集的有關概念，可以得到：（1）空集只有一個子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集．2、0，{0}，?，{?}的關系?與0?與{0}?與{?}相同點都表示無的意思都是集合都是集合不同點?是集合；0是實數(shù)?中不含任何元素；{0}含一個元素0?不含任何元素；{?}含一個元素，該元素是?關系0???{0}?{?}或?∈{?}【即學即練6】（2024秋·湖北咸寧·高一?？茧A段練習）給出下列說法：①空集沒有子集；②任何集合至少有兩個子集；③空集是任何集合的真子集；④若，則．其中正確的說法有（）A．0個B．1個C．2個D．3個【答案】A【解析】由于任何一個集合都是它本身的子集，空集的子集還是空集，故①不正確；由于空集的子集還是空集，所以空集的子集只有一個，故②不正確；由于空集的子集還是空集，但不是真子集，故③不正確；由于，則或，故④不正確；綜上，正確的說法有0個..知識點4Venn圖用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為Venn圖。表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線。韋恩圖可以直觀、形象地表示出集合之間的關系【即學即練7】（2024·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考階段練習）下列表示集合M=x∈ZA． B．C． D．【答案】C【分析】先求出集合M、N，然后根據(jù)集合之間的關系選出對應的韋恩圖.【詳解】解：由題意得：由題意得M=1,-1,2,-2所以N是M的真子集．知識點5集合的相等與子集的關系1.定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等2.圖形表示：3.如果A?B，且B?A則A=B.4.如果A=B則A?B且B?A.【即學即練8】已知集合A={a,b,1},A．1 B．12 C．?1 D．1或【答案】A【分析】根據(jù)A=B求得a,【詳解】由于A=所以對于集合B有a2=1,a若a=?1，則b=2，此時A=若a=1，則集合A所以ab的值為1易錯點忽略空集的特殊性致誤示例：設M{x|x2－2x－30}，N{x|ax－10}，若N?M，求所有滿足條件的a的取值集合．【錯解】由N?M，M{x|x2－2x－30}{－1，3}，得N{－1}或{3}．當N{－1}時，由1a－1，得a當N{3}時，由1a3，得a1故滿足條件的a的取值集合為{-1，13【正解】由N?M，M{x|x2－2x－30}{－1，3}，得N?或N{－1}或N{3}．當N?時，ax－10無解，即a0.當N{－1}時，由1a－1，得a當N{3}時，由1a3，得a1故滿足條件的a的取值集合為{-1，0，13【易錯警示】錯誤原因糾錯心得錯解忽略了N?這種情況．空集是任何集合的子集，解這類問題時，一定要注意“空集優(yōu)先”的原則．【題型1：集合間關系的判斷】例1.（2022秋·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期中）若集合，，則集合A與B的關系是（）A．B．C．D．不確定【答案】C【解析】因為集合A中的元素，都在集合B中，而B中的元素不一定都在A中，所以，故選：.變式1.（2024·北京·高三專題練習）已知集合，，則（

）A．? B． C． D．【答案】A【分析】用列舉法寫出集合A，利用集合間的基本關系判斷．【詳解】，，則?..變式2.（2024·全國·高三專題練習）下列結論正確的是（

）A．， B．，C． D．?【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合，集合與集合的關系逐項判斷.【詳解】對于A，因為為無理數(shù)，不是有理數(shù)知，A錯誤；對于B，因為為任何集合的子集，所以，又集合中含有元素，所以，B正確；對于C，集合表示方程中的變量的范圍的集合，故，，C錯誤；對于D，正方形是菱形，但菱形不一定是正方形，所以D錯誤．.變式3.（2024·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）下列集合關系中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合與集合的關系判斷即可.【詳解】對于A：集合為點集，含有元素，集合含有兩個元素，，所以不包含于，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：因為，所以，故D正確；變式4.（2023秋·高一課時練習）已知集合，，則M與P的關系為（）A．MPB．MPC．P?MD．MP【答案】A【解析】①對于任意∵，∴，∴，由子集定義知.②∵，此時，即，而在時無解，.綜合①②知，MP.故選：變式5.（2024秋·江西南昌·高一校聯(lián)考期中）若P=yyA．P=Q B．P?Q C．【答案】D【解析】先判斷P是實數(shù)集合，再判斷Q是點集，然后得出結果.【詳解】P=而Q=x,.變式6.【多選】（2024·高一單元測試）集合，，則下列關系錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】將兩個集合化簡后比較分子的關系可得兩個集合的關系.【詳解】因為，表示整數(shù)，表示奇數(shù)，故，故選項A、B、D錯誤，選項C正確，BD.變式7.(2023秋·高一課時練習）若集合，，，則的關系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】已知，，，顯然可表示整數(shù)，而只能表示偶數(shù)；所以.．【方法技巧與總結】判斷集合間關系的方法(1)用定義判斷首先，判斷一個集合A中的任意元素是否屬于另一集合B，若是，則A?B，否則A不是B的子集；其次，判斷另一個集合B中的任意元素是否屬于第一個集合A，若是，則B?A，否則B不是A的子集；若既有A?B，又有B?A，則AB.(2)數(shù)形結合判斷對于不等式表示的數(shù)集，可在數(shù)軸上標出集合的元素，直觀地進行判斷，但要注意端點值的取舍．【題型2：確定集合的子集、真子集】例2．（2023秋·海南儋州·高一?？计谥校懗黾系乃凶蛹退恼孀蛹?【答案】答案見解析.【分析】根據(jù)子集和真子集的定義進行求解即可.【詳解】集合的所有子集為；集合的所有真子集為.變式1.．（2023秋·湖南郴州·高一校考階段練習）下列集合中，可以為集合的真子集的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接根據(jù)真子集的概念得答案.【詳解】集合的真子集為..變式2.．（2023秋·高一?？颊n時練習）若，則.【答案】【分析】由題意可知B是由A集合的子集構成的集合，利用列舉法寫出集合B即可.【詳解】因為，所以集合中的元素是集合的子集：，則集合.故答案為：.變式3.．（2024·高一課時練習）已知集合且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二元一次方程組求解方程組的根，進而可得集合,由子集的性質即可求解.【詳解】由，又且,所以，變式4.．（2023秋·山東日照·高一?？茧A段練習）設，．(1)寫出集合A的所有子集；(2)若B為非空集合，求a的值．【答案】(1)；(2)3【分析】（1）求解即可得；（2）由B為非空集合，得或或，分別將元素代入解出a即可.【詳解】（1）由解得或，則，故集合A的子集為：；（2）B為非空集合，得或或，由或代入可得，故a的值為3.【方法技巧與總結】對集合子集、真子集概念的認識：(1)真子集的概念也可以敘述為：若集合A?B，存在元素x滿足x∈B且xA，則稱集合A是集合B的真子集．(2)集合A是集合B的真子集，需要滿足以下兩個條件：①集合A是集合B的子集；②存在元素x滿足x∈B，且xA.所以，如果集合A是集合B的真子集，那么集合A一定是集合B的子集，反之不不成立．(3)空集是任意非空集合的真子集，這里強調的是“非空”兩字，解題時不能丟掉空集這一特例．(4)任意集合都一定有子集，但是不一定有真子集．空集沒有真子集．一個集合的真子集的個數(shù)比子集的個數(shù)少1.【題型3：子集、真子集個數(shù)問題】（一）求子集、真子集個數(shù)例3．（2023春·浙江衢州·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則集合的子集有（

）A．7個 B．6個 C．4個 D．3個【答案】D【分析】列舉出集合的子集即可得解.【詳解】因為集合，所以集合的子集有共個..變式1.（2024秋·湖北·高一校聯(lián)考）集合的子集的個數(shù)是（）A．16B．8C．7D．4【答案】C【解析】集合，集合含有3個元素，所以集合的子集個數(shù)是..變式2.（2023·全國·高一專題練習）集合，則的子集的個數(shù)為（）A．4B．8C．15D．16【答案】A【解析】集合，,，故有個子集.．變式3.．（2024·高一單元測試）已知非空集合，且A中至多有一個奇數(shù)，則這樣的集合共有個．【答案】5.【分析】列舉出滿足條件的集合即可得答案.【詳解】若A中沒有奇數(shù)，則，共1個；若A中有一個奇數(shù)，A可能為：，共4種可能性.則滿足條件的集合有5個.故答案為：5.變式4.（2023秋·高一課時練習）已知非空集合滿足:對任意，總有，且.若，則滿足條件的的個數(shù)是（

）A．11 B．12 C．15 D．16【答案】A【分析】由題意得，集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同時出現(xiàn)的集合，即可求解.【詳解】當中有元素時，，當中有元素時，，所以，所以集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同時出現(xiàn)的集合，故滿足題意的集合有，共11個..變式5．（2023秋·江蘇揚州·高一統(tǒng)考階段練習）已知集合，則集合的真子集個數(shù)為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【分析】先求出集合中包含的元素個數(shù)，再求真子集個數(shù).【詳解】集合，所以集合的真子集個數(shù)為：..變式6．（2024·河南開封·統(tǒng)考三模）已知集合，，則集合B的真子集個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)題意得到集合，然后根據(jù)集合中元素的個數(shù)求集合的真子集個數(shù)即可.【詳解】由題意得，所以集合的真子集個數(shù)為..變式7．（2023秋·高一課時練習）設集合，且，若，，則集合M的非空真子集的個數(shù)為（

）A．4 B．6 C．7 D．15【答案】C【分析】求得集合，即可求得結果.【詳解】根據(jù)題意知，集合且，其非空真子集的個數(shù)為.變式8．（2023秋·高一課時練習）若一個集合含有n個元素，則稱該集合為“n元集合”.已知集合，則其“2元子集”的個數(shù)為（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根據(jù)子集的定義即可求解.【詳解】集合的所有“2元子集”為，，，，，共6個..變式9.（2023秋·高一?？颊n時練習）已知，則符合條件的集合的個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】由條件分析集合的元素的特征，列舉滿足條件的的個數(shù)即可得解.【詳解】因為，所以或或或，即滿足條件的集合的個數(shù)為4.．變式10.（2024秋·云南保山·高一校聯(lián)考）滿足的集合的個數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，滿足題意的集合有：，，，，，，，，共個..變式11．（2024·全國·高三對口高考）若集合A滿足?，則集合A所有可能的情形有（

）A．3種 B．5種 C．7種 D．9種【答案】D【分析】由集合的包含關系討論A所含元素的可能性即可.【詳解】由?，可知集合A必有元素，即至少有兩個元素，至多有四個元素，依次有以下可能：七種可能.變式12.（2024·全國·高一專題練習）已知集合M滿足?則集合M的個數(shù)為．【答案】7【分析】直接根據(jù)集合的關系列舉出集合即可得結果.【詳解】因為，所以可以為：，，，，，，共計7個，故答案為：7.變式13.（2023秋·高一課時練習）已知集合，，則滿足條件的集合C的個數(shù)為，滿足條件?B的集合C的個數(shù)為．【答案】43【分析】分別求出集合A，B，根據(jù)集合間的包含關系求出集合C即可.【詳解】解：，解得或，則，由，可得，滿足條件的集合為或或或，共4個，滿足條件?B的集合為或或，共3個，故答案為：4；3．【方法技巧與總結】1.求集合子集、真子集個數(shù)的三個步驟2.集合子集、真子集個數(shù)的有關結論若集合A中含有n個元素，集合A的子集個數(shù)為2n，真子集的個數(shù)為2n－1，非空真子集的個數(shù)為2n－2.（二）根據(jù)集合的子集、真子集個數(shù)求參數(shù)例4．（2023秋·廣東汕尾·高一華中師范大學海豐附屬學校?？茧A段練習）若集合有且僅有兩個子集，則實數(shù)的值是.【答案】【分析】通過集合有且僅有兩個子集，可知集合中只有一個元素，根據(jù)二次項系數(shù)是否為分類討論.【詳解】由集合有且僅有兩個子集，得中只有一個元素.當即時，，符合題意.當即時，解得.故答案為：變式1.．（2023秋·湖北武漢·高一校聯(lián)考期中）已知集合的子集只有兩個，則實數(shù)的值為．【答案】0或1【分析】分類討論確定集合中元素或元素個數(shù)后得出其子集個數(shù)，從而得結論．【詳解】時，，子集只有兩個，滿足題意，時，若即，則，子集只有1個，不滿足題意；若，即，則集合有兩個元素，子集有4個，不滿足題意，時，，，子集只有兩個，滿足題意，所以或1.故答案為：0或1，變式2．（2023秋·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）已知集合恰有兩個非空真子集，則m的值可以是．（說明：寫出滿足條件的一個實數(shù)m的值）【答案】（答案不唯一）【分析】先根據(jù)題意得集合A中所含元素個數(shù)，再通過二次方程得答案.【詳解】集合恰有兩個非空真子集,則集合A中含有2個元素，即方程由2個不等實根，，解得且.故答案為：（答案不唯一）.變式3．（2023秋·上海浦東新·高一?？茧A段練習）集合．(1)若是，求實數(shù)的取值范圍(2)是否存在這樣的實數(shù)，使得集合有且僅有兩個子集，若存在，求出實數(shù)及對應的子集，若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)當時，對應的兩個子集為和；當時，對應的兩個子集為和.【分析】（1）若，對應的方程沒有實數(shù)根，可求實數(shù)的取值范圍；（2）要使集合A有且僅有兩個子集，集合A有且只有一個元素，即對應的方程有且只有一個實根，可求實數(shù)的值．【詳解】（1）若，方程沒有實數(shù)根，當時，方程有實數(shù)根不合題意；則，二次方程沒有實數(shù)根，，解得.所以實數(shù)的取值范圍為（2）要使集合A有且僅有兩個子集，則集合A有且只有一個元素，即對應的方程有且只有一個實根，當時，方程化為，解得，此時，對應的兩個子集為和；當，二次方程只有一個實根，，解得，此時，對應的兩個子集為和.【題型4：判斷兩個集合是否相等】例5.（2023·全國·高一專題練習）已知集合，則與集合相等的集合為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】對A，，故A錯誤；對B，中，解得，故，故B錯誤；對C，，故C錯誤；對D，，故D正確..變式1.（2023秋·高一課時練習）下列集合中表示同一集合的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】對于A，表示不同的點，故A不正確；對于B，集合與集合相同，故B正確；對于C，為點的集合，為數(shù)的集合，兩者不相同，故C不正確；對于D，為點的集合，為數(shù)的集合，兩者不相同，故D不正確..變式2.（2023·全國·高一專題練習）下列與集合表示同一集合的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由解得或，所以，C正確；選項A不是集合，選項D是兩條直線構成的集合，選項B表示點集，變式3.（2023秋·山西運城·高一?？迹┫旅骊P于集合的表示正確的序號是.①；②；③；④.【答案】③④【解析】∵集合中的元素具有無序性，∴，∴①不不成立；∵是點集，而不是點集，∴②不不成立；∵與都表示大于1的實數(shù)組成的集合，∴③不成立；∵與都表示奇數(shù)組成的集合，∴④不成立.故答案為：③④.【題型5：根據(jù)集合相等關系求參數(shù)】例6.（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）由三個數(shù)a，，1組成的集合與由，，0組成的集合相等，求的值．【答案】1【分析】由題意可得或，從而可求出的值，再檢驗3個數(shù)是否能組成集合，然后代入計算即可.【詳解】由a，，1組成一個集合，可知且，，由題意可得或，綜上可得，當時，三個數(shù)為，可以組成一個集合，符合題意，所以.變式1.（2024秋·山東濟寧·高一月考）已知，，若，則（）A．0B．1C．D．【答案】D【解析】因為，所以或，解得或或，又集合中的元素需滿足互異性，所以，則．.變式2.（2024·高一課時練習）設，且，求實數(shù)x，y的值．【答案】【分析】根據(jù)集合中的元素對應相等，結合互異性即可分情況求解.【詳解】由于，所以且，若集合中，則，此時，由得，所以此時符合要求，若集合中，則，此時這與矛盾，故這種情況不不成立，綜上可知變式3.（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）已知集合，若，求實數(shù)q的值．【答案】【分析】由集合相等的定義一一討論元素對應關系即可.【詳解】由元素的互異性得，若，則有以下兩種情況：①，不符合題意舍去；②或（舍去），綜上，.變式4.（2023秋·湖北恩施·高一巴東一中?？茧A段練習）已知集合，集合.（1）若，求的值；（2）若，求實數(shù)的值；（3）是否存在實數(shù)，使.【答案】（1）0或；（2）；（3）不存在.【分析】（1）中不可能等于，讓另外兩個元素分別等于求得檢驗；（2）讓中元素分別等于，求得，然后檢驗；（3）由，令和分別求得，然后檢驗是否符合題意．【詳解】（1）集合中有三個元素：，，，，或，解得或，當時，，，，不成立；當時，，，，不成立.的值為0或.（2）集合中也有三個元素：0，1，.，當取0，1，時，都有，集合中的元素都有互異性，，，.實數(shù)的值為.（3），若，則，，5，，若，則，，，，不存在實數(shù)，，使.變式5.（2024秋·四川·高一眉山第一中學?？迹ǘ噙x）若集合，則的值可能為（）A．B．C．0D．【答案】AB【解析】根據(jù)題意，只有一個實數(shù)根，當時，化為，所以；當時，，則，又是方程的解，所以，得．故答案為:【題型6：空集性質及其應用】例7．（2024·全國·高一假期作業(yè)）下列集合中為的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合的表示方法，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由集合中有一個元素，不符合題意；對于B中，由集合中有一個元素，不符合題意；對于C中，由方程，即，此時方程無解，可得，符合題意；對于D中，不等式，解得，，不符合題意..變式1.【多選】（2023秋·海南儋州·高一?？计谀┫铝嘘P系中表述正確的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)集合的相關概念逐項分析判斷.【詳解】對A：寫法不對，應為或，A錯誤；對B：是任何集合的子集，故不成立，B正確；對C：是不含任何元素的集合，故，C錯誤；對D：是所有自然數(shù)組成的集合，故不成立，D正確.D.變式2.（2023·全國·高一專題練習）已知六個關系式①；②；③；④；⑤；⑥，它們中關系表達正確的個數(shù)為（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【解析】根據(jù)元素與集合、集合與集合關系：是的一個元素，故，①正確；是任何非空集合的真子集，故、，②③正確；沒有元素，故，④正確；且、，⑤錯誤，⑥正確；所以①②③④⑥正確.變式3.（2023秋·湖南永州·高一?？茧A段練習）若集合為空集，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】或【分析】根據(jù)不等式的解集為空集，比較左右端點值的大小，列式即可求解.【詳解】因為集合為空集，所以，即或.故答案為：或變式4.（2023秋·高一?？颊n時練習）已知空集，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次方程無解等價于判別式小于0計算即可.【詳解】由題意，二次方程無解，故，解得.變式5.（2024·高一課時練習）若集合，則實數(shù)a的取值范圍．【答案】【分析】利用判別式小于0求解【詳解】故無解則故答案為：變式6.（2023秋·上海浦東新·高一上海市進才中學校考階段練習）關于的不等式組的解集為，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】由題意得，解不等式即可得出答案.【詳解】由題意得：，所以．故答案為：.【題型7：根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)】例8：（2023秋·遼寧大連·高三第二十高級中學?？奸_學考試）已知集合，，，則實數(shù)m的值為（）A．－1B．0C．1D．2【答案】C【解析】或（不可能，舍去）或（不可能，舍去）變式1.（2023秋·安徽蕪湖·高一?？茧A段練習）若集合，，且，求實數(shù)m的值.【答案】或或【分析】分和兩種情況討論，結合已知即可得解.【詳解】，當時，，當時，，因為，所以或，所以或，綜上所述，或或.變式2.（2023秋·湖南懷化·高一校聯(lián)考期末）已知集合，.若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】或.【分析】由題意，求得，再根據(jù)，結合韋達定理分和兩種情況討論即可求出答案．【詳解】由，則.，為方程的解集.①若，則，或或，當時有兩個相等實根，即不合題意，同理，當時，符合題意；②若則，即，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為或變式3.（2024·高一課時練習）已知集合，，若，求a的取值范圍．【答案】【分析】分和兩種情況討論，當時，利用數(shù)軸列出不等式組即可.【詳解】當時，，解得，當時，因為，則，解得，綜上.變式4.（2023秋·廣東東莞·高一東莞實驗中學?？计谥校┰O集合.(1)當時，求的非空真子集的個數(shù)；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)254(2)【分析】（1）由題得即可解決.（2）根據(jù)得，即可解決.【詳解】（1）由題知，，當時，共8個元素，的非空真子集的個數(shù)為個；（2）由題知，顯然，因為，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.變式5.（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知集合.(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)不存在【分析】（1）根據(jù)題意，分和兩種情況討論，列出不等式組，即可求解；（2）根據(jù)題意，結合，列出不等式組，即可求解.【詳解】（1）解：①當時，即，解得，此時滿足；②當時，要使得，則滿足，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.（2）解：由題意，要使得，則滿足，此時不等式組無解，所以實數(shù)不存在，即不存在實數(shù)使得.變式6.（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知集合.(1)若，則實數(shù)a的值是多少?(2)若，則實數(shù)a的取值范圍是多少?(3)若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是多少?【答案】(1)(2)(3)【分析】利用集合相等的性質及集合的包含關系，結合數(shù)軸法求解即可.【詳解】（1）因為集合，，所以.（2）因為，如圖，

由圖可知，即實數(shù)a的取值范圍是.（3）因為B?A，如圖，

由圖可知，即實數(shù)a的取值范圍是.變式7.（2023秋·安徽滁州·高一?？茧A段練習）已知集合，，(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若?，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)集合之間的包含關系，建立不等式組，解得答案.【詳解】（1）因為，當時：，即符合題意；當時，，，綜上所述：.（2）因為?，當時，，，解得，無解，當時，或，，綜上所述：.【方法技巧與總結】根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)(1)分析集合關系時，首先要分析、簡化每個集合．(2)此類問題通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗證端點值，做到準確無誤，一般含“”用實心點表示，不含“”用空心點表示．(3)此類問題還應注意“空集”這一“陷阱”，尤其是集合中含有字母參數(shù)時，初學者會想當然認為非空集合而丟解，因此分類討論思想是必需的．一、單選題1．（2024·四川成都·三模）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查集合間的包含關系，根據(jù)題意，分析集合之間的關系，進而作出判斷即可.【詳解】因為，所以，即，故選項D正確，選項A、B、C錯誤..2．（23-24高二下·天津·期末）若集合，，則集合B的真子集個數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】先用列舉法求出集合，在根據(jù)真子集的公式求解.【詳解】由題意可知，所以集合的真子集個數(shù)為個.3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知集合，，集合滿足，則所有滿足條件的集合的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)集合的定義求得，再根據(jù)集合的包含關系，即可求得.【詳解】，又，，故集合為包含元素和，且為的子集，故集合可以為：，則集合的個數(shù)是個..4．（2024·廣東深圳·模擬預測）定義兩集合的差集：且，已知集合，，則的子集個數(shù)是（

）個．A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】根據(jù)題意求得集合，從而求得其子集的個數(shù).【詳解】因為，，所以，所以，有兩個元素，則的子集個數(shù)是個．．二、多選題5．（2024高一上·全國·專題練習）關于下圖說法正確的是（

）A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素B．集合A、B、U中有相同的元素C．集合U中有元素不在集合B中D．集合A、B、U中的元素相同【答案】ABC【分析】由圖形可知集合間的包含關系，對選項中的結論進行判斷.【詳解】由韋恩圖可得，ABU，且，結合真子集的定義可知，集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素，A選項正確；集合A、B、U中有相同的元素，B選項正確；集合U中有元素不在集合B中，C選項正確；集合A、B、U不相等，D選項錯誤.BC.6．（22-23高一上·山東青島·階段練習）下列說法正確的有（

）A．集合有16個真子集 B．對于任意集合A，C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，則【答案】CCD【分析】根據(jù)集合的真子集個數(shù)公式判斷A；利用空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判斷B、C、D.【詳解】集合有4個元素，故其有個真子集，故A錯誤；空集是任何集合的子集，則，故B正確；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C正確；空集是任何非空集合的真子集，若，則，故D正確.CD.7．（23-24高一上·浙江·階段練習）已知，集合與集合相等，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CCD【分析】根據(jù)題意，利用集合相等的概念，結合集合中元素的互異性可解．【詳解】根據(jù)題意，，或，當時，，不合題意；當時，，，則，解得（舍）或，所以，，CD．8．（22-23高一上·新疆烏魯木齊·期中）下列關系中正確的有（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合的關系及空集的性質、集合相等的定義判斷各項的正誤.【詳解】A：是集合中的元素，故，正確；B：是任意非空集合的真子集，故，正確；C：是的真子集，故，正確；D：研究數(shù)值，而研究有序數(shù)對，故它們不相等，錯誤.BC9．（23-24高二上·山西晉中·階段練習）已知集合，，則下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則或D．若，則或或【答案】ABC【分析】解一元二次方程求得集合，根據(jù)集合包含關系，集合相等的定義和集合的概念即可逐一判斷．【詳解】依題意可得，對于A，若，則，解得，故A正確；對于B，若，則，解得，故B正確；對于C，當時，則，解得或，故C正確；對于D，當時，，故D錯誤．BC．10．（23-24高一上·山東·期中）已知集合，且，則實數(shù)可能的取值是（

）A． B．0 C．-1 D．【答案】ABC【分析】首先求出集合A，然后結合的條件，對集合B中的參數(shù)a分類討論即可得答案.【詳解】解：，且，則：①當時，或，解得或，A適合題意；②若，則，解得，③若，則，此時無解，④若，則，此時無解，不合題意；綜上：的值為0和.BC.三、填空題11．（23-24高二下·安徽·階段練習）設集合，則集合的真子集個數(shù)為．【答案】63【分析】依題意求出集合，即可求得其真子集個數(shù)．【詳解】由可知是的正因數(shù)，即可取，故可得的值依次取，即，故集合的真子集有個．故答案為：63.12．（2024·重慶·三模）已知集合，，則滿足的集合的個數(shù)為.【答案】7【分析】化簡集合，結合求集合的子集的結論即可求得結果.【詳解】因為，，所以滿足的集合中必有元素2，3，所以求滿足的集合的個數(shù)，即求集合的真子集個數(shù)，所以滿足的集合的個數(shù)為個.故答案為：7.四、解答題13．（22-23高一·全國·課堂例題）指出下列各組集合之間的關系：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用數(shù)軸即可判斷集合關系；（2）利用集合所表示的含義即可判斷；（3）求出集合即可判斷.【詳解】（1）在數(shù)軸上表示出集合A，B，如圖所示，由圖可知．（2）∵集合A是偶數(shù)集，集合B是4的倍數(shù)集，∴．（3）．在集合B中，當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，∴，∴．14．（24-25高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）確定下列每組兩個集合的包含關系或相等關系：(1)A={為12的正約數(shù)}與；(2)與{為4的正整數(shù)倍}.【答案】(1)(2)為的真子集【分析】（1）用列舉法表示出集合可得答案；（2）根據(jù)集合與里元素的性質可得答案.【詳解】（1）因為，所以；（2）因為，，所以為.的真子集.15．（2022高一上·全國·專題練習）設，寫出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集．【答案】答案見解析【分析】解出集合，按元素個數(shù)進行分類寫出其子集即可.【詳解】由，得，解方程得或或，故集合.由0個元素構成的子集為；由1個元素構成的子集為；由2個元素構成的子集為；由3個元素構成的子集為,因此集合A的子集為:，，，．真子集為:，，.16．（2023高一·江蘇·專題練習）已知集合，，若BA，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】【分析】由集合的包含關系，列不等式求m的取值范圍.【詳解】當時，由，得.當時，如圖所示.

則，得，即，綜上可得，實數(shù)m的取值范圍是.17．（2024高一上·全國·專題練習）已知集合．(1)若，為常數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．(2)若，為常數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．(3)若為常數(shù)，是否存在實數(shù)m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)不存在，理由見解析【分析】（1）由集合的包含關系，分和兩種情況，列不等式求實數(shù)m的取值范圍；（2）由集合的包含關系，列不等式求實數(shù)m的取值范圍；（3）由集合的相等關系，列方程組求實數(shù)m的值.【詳解】（1）①若，滿足，則，解得．②若，滿足，則解得．由①②可得，符合題意的實數(shù)m的取值范圍為．（2）若，數(shù)軸表示如下：依題意有即此時m的取值范圍是．（3）假設存在滿足題意的實數(shù)m．若，則必有且，此時無解，即不存在使得的實數(shù)m．18．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合．(1)若，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若AB，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意首先有，得，結合包含關系列出方程組即可求解.（2）結合A是B的真子集列出不等式組即可求解.【詳解】（1）因為為非空數(shù)集，得，解得，若，則，解得，即實數(shù)m的取值范圍是.（2）若AB，則（等號不同時取得），解得，即實數(shù)m的取值范圍是.19．（23-24高一上·廣東佛山·期末）設集合(1)若，試判斷集合與的關系；(2)若，求的值組成的集合．【答案】(1)，是的真子集；(2)．【分析】（1）當時求出集合A與B，再判斷關系；（2）求出集合B，注意對與分類討論，根據(jù)，列方程求解．【詳解】（1）當時，，所以B是A的真子集．（2）．若，則，是真子集不成立；若，則，因為是A真子集，或，所以或．所以的值組成的集合．20．（23-24高一上·安徽馬鞍山·階段練習）已知集合，其中是關于的方程的兩個不同的實數(shù)根.(1)若，求出實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)得到，結合方程的兩根得到方程，求出；（2），故，結合方程的兩根得到不等式，求出.【詳解】（1）因為，故，又的兩根分別為，故，故；（2）因為，故，又的兩根分別為，故，解得，故實數(shù)的取值范圍是.21．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合(1)若A中只有一個元素，求a的值(2)若A中至多有一個元素，求a的取值范圍(3)若，求a的取值范圍【答案】(1)0或(2)(3)【分析】（1）分和兩種情況，結合二次方程的判別式分析求解；（2）分A中有一個元素或兩種情況，結合二次方程的判別式分析求解；（3）分類討論A是否為空集以及是否為0，結合二次方程的判別式和韋達定理分析求解.【詳解】（1）若時，，符合題意；當時，可知方程為一元二次方程，則，解得；綜上所述：或.（2）若A中至多有一個元素，即A中有一個元素或，若A中有一個，由（1）可知：或；若，則，解得；綜上所述：a的取值范圍為.（3）因為，則有：若