高中數(shù)學(xué)(人教B版)選擇性必修一同步講義1.1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系(4知識(shí)點(diǎn)+7題型+鞏固訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

1.1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間向量坐標(biāo)的定義.2.掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，會(huì)計(jì)算向量的長(zhǎng)度及兩向量的夾角.3.會(huì)利用向量的坐標(biāo)關(guān)系，判定兩個(gè)向量平行或垂直.4.了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫(huà)點(diǎn)的位置.5掌握空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式1.掌握空間向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示:掌握空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示2.掌握空間向量的模、夾角3.掌握空間向量坐標(biāo)與空間向量平行與垂直的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)01正交基底與單位正交基底正交基底如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量?jī)蓛苫ハ啻怪?，那么這個(gè)基底叫作正交基底單位正交基底當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，通常用{i,j,k}表示【即學(xué)即練1】（22-23高二上·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）設(shè){i,j,k}是單位正交基底，已知a=i+j,A．(10,12,14) B．(14,12,10)C．(12,14,10) D．(4,3,2)【即學(xué)即練2】（20-21高二·江蘇·課后作業(yè)）已知i,(1)a=?2(2)b=?5知識(shí)點(diǎn)02空間直角坐標(biāo)系1.定義：如圖，在空間選定一點(diǎn)0和一個(gè)單位正交基底{i，j，k}以0為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫作坐標(biāo)軸，這是我們說(shuō)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz。其中點(diǎn)O叫作坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫作坐標(biāo)軸，三條坐標(biāo)軸中的每?jī)蓷l確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別叫作xoy平面、yoz平面和xoz平面。2.右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系?！炯磳W(xué)即練3】（23-24高二上·上海·期中）如圖所示，以長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1的頂點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若【即學(xué)即練4】（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=2

知識(shí)點(diǎn)03空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)坐標(biāo)定義：對(duì)于空間任意一點(diǎn)A，作點(diǎn)A在三條坐標(biāo)軸上的射影，即通過(guò)點(diǎn)A作三個(gè)平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸和z軸分別交于P，Q，R，點(diǎn)P，Q，R在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標(biāo)依次為x，y，z，我們把有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）叫作A點(diǎn)的坐標(biāo)，記為A（x，y，z）。其中x，y，z分別叫作點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，豎坐標(biāo)?！炯磳W(xué)即練5】（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知點(diǎn)B3,?1,0,ABA．1,?6,3 B．5,4,?3C．?1,6,?3 D．2,5,?3【即學(xué)即練6】（22-23高二下·福建漳州·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,?2,?3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（

）A．(?1,2,3) B．(1,2,?3) C．(1,2,3) D．(?1,?2,?3)知識(shí)點(diǎn)04空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）設(shè)a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），則①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）②a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2）③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R).=4\*GB3④若u，v是兩個(gè)實(shí)數(shù)，ua＋vb(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；=5\*GB3⑤a·bx1x2＋y1y2＋z1z2；=6\*GB3⑥|a|eq\r(a·a)eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))；=7\*GB3⑦當(dāng)a≠0且b≠0時(shí)，cos〈a，b〉eq\f(a·b,|a|·|b|)eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2)))．(2)設(shè)A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則AB=OB-OA=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).2.空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示（1）已知空間向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，則a//b?b=λa?x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R).(2)a⊥b?a·b0?x1x2＋y1y2＋z1z20．3.空間向量坐標(biāo)的應(yīng)用(1)點(diǎn)P(x，y，z)到坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0,0)的距離OPeq\r(x2＋y2＋z2)．(2)任意兩點(diǎn)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)間的距離P1P2eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)．【即學(xué)即練7】（23-24高一下·天津·階段練習(xí)）已知A2,?4,?1，B=?1,5,1，C3,?4,1，令a=CAA．5,?9,2 B．?5,9,?2 C．5,9,?2 D．5,?9,?2【即學(xué)即練8】（23-24高二下·甘肅酒泉·期末）已知向量a=1,0,3,A．－3 B．3 C．9 D．0難點(diǎn)：空間向量與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題示例1：（多選）（23-24高二下·福建漳州·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1DA．不存在點(diǎn)P，使得DB．過(guò)三點(diǎn)A,M,D1的正方體ABCD?C．若D1P⊥B1D,則D．點(diǎn)N在棱BB1上，且B1N=4NB，若【題型1：空間向量的坐標(biāo)表示】例1．（23-24高二上·湖北·期末）已知點(diǎn)A2,0,1,B0,2,0,C0,0,3A．12 B．32 C．2 變式1．（23-24高二上·湖北武漢·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,3,?4)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)為B，而點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為C，則AC=A．(?2,0,0) B．(?2,3,0) C．(?2,0,?4) D．(1,0,?4)變式2．（23-24高二上·重慶九龍坡·期中）若M1,0,2，N2,m+1,3，P2,2,n+1A．4 B．-2 C．1 D．3變式3．（23-24高二上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=5,AD=4,AA1=3A．點(diǎn)A關(guān)于直線DD1對(duì)稱的點(diǎn)為(?4,0,0) B．點(diǎn)C1關(guān)于點(diǎn)C．點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(3,5,4) D．點(diǎn)C關(guān)于平面ABB變式4．（23-24高二上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）已知正方體ABCD?A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為1，以D為原點(diǎn)，DA,DC,DDA．23,23,13 B．變式5．（23-24高二上·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）設(shè)a1=2m?j+k，a2=m+3j?2k，a3=?2mA．1，?2，3 B．?2，1，?3C．?2，1，3 D．?1，2，3變式6．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）已知空間向量a=?3,2,m,b=?1,?1,3,變式7．（23-24高二上·河北石家莊·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，若平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A0,?2,1,B2,?3,0變式8．（23-24高二上·山東聊城·階段練習(xí)）已知直線l經(jīng)過(guò)A?2,1,1，B1,0,?3兩點(diǎn)，直線l上一點(diǎn)P，使得AP=?AB，則點(diǎn)【題型2：空間向量的加減數(shù)乘與數(shù)量積】例2．（23-24高二上·廣東惠州·階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，M為AB的中點(diǎn)，N為PD的中點(diǎn).若PA=4，AB=2，則MN?PC=變式1．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知O為原點(diǎn)，OA=1,2,3，OB=2,1,2，OP=1,1,2，點(diǎn)Q在直線A．12,34,13 B．變式2．（23-24高二上·福建泉州·期末）四棱錐P?ABCD的底面為矩形，PC⊥平面ABCD，M在棱PC上，AD=2，則AMA．?4 B．4 C．?32 D．變式3．（23-24高二上·河北滄州·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國(guó)東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在第五卷《商功》中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．已知在塹堵ABC?A1B1C1中，A．?1 B．1 C．?3 D．1變式4．（多選）（23-24高二上·河北石家莊·期末）如圖，長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，CCA．13 B．45 C．23變式5．（23-24高二下·上海青浦·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,?1,3)關(guān)于平面xOz的對(duì)稱點(diǎn)為B，則OA?OB=變式6．（23-24高二下·云南曲靖·階段練習(xí)）已知空間向量a=1,0,2,b變式7．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎猘=?1,2,0，b=2,0,1，則變式8．（23-24高二上·四川瀘州·期末）已知向量a=1,1,x，b=1,1,2，c=1,?1,1【方法技巧與總結(jié)】關(guān)于空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的兩類問(wèn)題（1）直接計(jì)算問(wèn)題首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，然后準(zhǔn)確運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算.（2）由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)首先把向量用坐標(biāo)形式設(shè)出來(lái)，然后通過(guò)建立方程（組），解方程（組）求出其坐標(biāo)..【題型3：空間向量的模長(zhǎng)】例3．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎狝B=0,1,2，則AB=變式1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，已知點(diǎn)A1,0,2，B0,2,1，點(diǎn)C，D分別在x軸，y軸上，且AD⊥BC，那么A．55 B．255 C．2變式2．（23-24高二上·廣東惠州·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，A(?1,2,0)，點(diǎn)B(?1,1,2)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，則|ACA．5 B．11 C．3 D．10變式3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方體ABCD?A1B1C1D1中，BC=3

A．319010 B．22 C．32變式4．（23-24高二上·湖北武漢·期中）如圖所示，三棱錐A?BCD中，AB⊥平面BCD,∠BCD=π2，BC=2AB=2CD=2，點(diǎn)P為棱AC的中點(diǎn)，E,F分別為直線DP,AB上的動(dòng)點(diǎn)，則線段

A．24 B．22 C．104變式5．（23-24高二下·貴州六盤(pán)水·期中）已知a=2,1,0，b=?1,0,1.則變式6．（23-24高二上·上?！て谀┰诳臻g直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P坐標(biāo)可記為x,y,z：定義柱面坐標(biāo)系，在柱面坐標(biāo)系中，點(diǎn)P坐標(biāo)可記為r,θ,z．如圖所示，空間直角坐標(biāo)x,y,z與柱面坐標(biāo)r,θ,z之間的變換公式為：x=rcosθ,y=rsinθ,z=z．則在柱面坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1,

變式7．（23-24高二上·浙江紹興·期中）已知向量a=(0,?1,1),b=(4,1,0)，|λ變式8．（24-25高二上·上海·課堂例題）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M在線段(1)當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，求線段AP的長(zhǎng)度；(2)求線段AP長(zhǎng)度的最小值．【題型4：空間向量的夾角】例4．（23-24高一下·北京順義·階段練習(xí)）已知向量a=1,2,2，(1)求a?(2)求2a(3)求cosa變式1．（23-24高二上·河南鶴壁·階段練習(xí)）已知{i→,j→,k→}是空間的一個(gè)單位正交基底，且ABA．12 B．?13 C．3變式2．（23-24高二上·遼寧·階段練習(xí)）如圖，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF，AC與EF交于G，EF在AB與CD之間滑動(dòng)，但與AB和CD均不重合．現(xiàn)將四邊形EFCD沿直線EF折起，使平面EFCD⊥平面ABFE，在EF從AB滑動(dòng)到CD的過(guò)程中，∠AGC的大?。?/p>

）

A．先變小后變大 B．先變大后變小 C．不發(fā)生變化 D．由小變大變式3．（多選）（23-24高二上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，

A．BN=3 B．BA1?M變式4．（多選）（23-24高二上·福建泉州·期中）在菱形紙片ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，O是菱形ABCD的中心，AB=2，∠ABC=2π3，將菱形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC

A．E0,?32C．EF=12變式5．（24-25高二上·上海·隨堂練習(xí)）若a=?1,λ,?2，b=2,?2,?1，a與b的夾角為變式6．（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量a=3,0,1，b=k,2,0，若a與b夾角為π變式7．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）已知OA=1,0,0，OB=1,1,0,OC=1,1,1，點(diǎn)M【題型5：空間向量的投影】例5．（23-24高二下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知向量a=(9,8,5)，b=(2,1,1)，則向量a在向量b上的投影向量A．313,?31C．313,31變式1．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知空間向量a=(2,1,?3)，則向量a在坐標(biāo)平面xOzA．(0,2,1) B．(2,1,0)C．(0,1,?3) D．(2,0,?3)變式2．（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）已知向量a=1,1,2,bA．32,3C．34,3變式3．（23-24高三上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，圓臺(tái)OO1的軸截面為等腰梯形ABCD,AB=2CD,E在上底面的圓周上，且∠CO1E=A．3+28ABC．3+38AB變式4．（多選）（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，已知點(diǎn)A2,0,0A．ACB．異面直線OB與AC所成角的余弦值為15C．ABD．OB在BC上的投影向量的模為3變式5．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）已知向量a=2,?3,0，b=0,3,4，則向量a在向量變式6．（23-24高二上·福建莆田·階段練習(xí)）已知向量a在向量b上的投影向量是?32b，且b=1,1,?1變式7.（23-24高二上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E為棱

【題型6：空間向量的平行、垂直與銳角、鈍角問(wèn)題】例6．（23-24高二下·江蘇連云港·期中）設(shè)x,y∈R，向量a=x,1A．-1 B．1 C．2 D．3變式1．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知向量a=k,1,2，b=k,0,?2，則“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件變式2．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知空間向量a=1,2,?2、b=3,λ,μ?1，若a變式3．（23-24高二下·湖北·開(kāi)學(xué)考試）已知a=m+1,1,?1，b=1,n,3，其中m>0，n>0，若a⊥變式4．（23-24高二上·遼寧大連·期末）若空間向量a=1,1,x，b=2,x,4，向量a、b夾角為銳角，則變式5．（22-23高二下·江蘇·課后作業(yè)）若a=2,?1,4，b=?1,t,?2，若a變式6．（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）已知空間中三點(diǎn)A2,0,?2，B1,?1,?2，C3,0,?4，設(shè)a(1)已知a+kb⊥(2)若c=6，且c∥BC，求c變式7．（22-23高二上·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）已知a→=x,1,1(1)求a+(2)求向量a+b與變式8．（23-24高二上·廣西河池·階段練習(xí)）已知a=x,1,0，b=?1,y,2，c=(1)若a+kb、2a(2)若向量a+kb與2a【題型7：最值與取值范圍問(wèn)題】例7．（23-24高二上·廣東湛江·階段練習(xí)）已知直線l和平面α，且l∥α，l的方向向量為l=2,m,1，平面α的一個(gè)法向量為n=?1,1,n，A．2 B．4 C．42 D．變式1.（23-24高二上·廣東惠州·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐D1?ABCD中，D1D⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且D1D=DA=DC=3，E，F(xiàn)分別為A．11 B．522 C．1+6變式2．（多選）（23-24高二上·浙江·期中）已知向量e1A．若e1⊥e2，則t=?1 B．若e1C．e1的最大值2 D．e1變式3．（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)O0,0,0，A1,2,2，B2,1,1，P1,0,2，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)QA變式4．（23-24高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E滿足變式5．（23-24高二上·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為正方形，AB=2，SD⊥底面ABCD，點(diǎn)E、F分別為SC、AB的中點(diǎn)，若線段SD上存在點(diǎn)G，使得GE⊥GF，則線段SD的長(zhǎng)度最小值為變式6．（23-24高二下·上海·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，有兩點(diǎn)A(0,?2,4),B(2,1,5),P是xOy平面上任意一點(diǎn)，則AP+BP的最小值為變式7．（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）已知A(1,?2,1)，向量a=(?3,4,12)，且滿足(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)M在直線OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)MA?MB取最小值時(shí)，求點(diǎn)一、單選題1．（河南省開(kāi)封市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題）已知a=2,?1,3，b=4,2,x，且A．?6 B．?2 C．2 D．62．（23-24高一下·湖南·期末）已知A?2,1,3,B1,?1,4A．3,0,1 B．?1,?2,1 C．?1,0,7 D．3,?2,13．（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P1,2,3關(guān)于平面xOyA．?1,?2,3 B．?1,2,3 C．1,?2,3 D．1,2,?34．（23-24高一下·天津·階段練習(xí)）已知向量：a=?3,2,5，b=A．?4,?3,4 B．?5,?8,7C．?5,?8,3 D．?1,?3,65．（23-24高二下·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）已知向量a=0,0,1，b=1,?1,1，向量A．0,0,2 B．0,0,1C．0,0,?1 D．0,0,?26．（23-24高二上·河南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知空間三點(diǎn)A1,1,1，B?1,0,4，C2,?2,3，則ABA．π3 B．π6 C．2π7．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知向量AB=(1,m,?3)，AC=(?3,6,9)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則A．?3 B．?2 C．2 D．38．（23-24高二下·福建漳州·期末）已知向量a=(1,0,2)，b=(?2,1,?2)，c=(0,1,λ)，若a，b，cA．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．（23-24高二上·四川宜賓·期末）已知向量a=A．若x=14B．若x=1,y=1，則aC．若x=12D．若x=12,y=1，則向量a在向量10．（23-24高二上·重慶·期末）給出下列命題，其中正確的是（

）A．任意向量a，b，c滿足(B．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(?1,3,5)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)是N(1,3,5)C．已知a=e1?2e2+e3，b=?eD．已知A(?1,1,2)，B(2,2,4)，C(3,?2,0)，則向量AC在向量AB上的投影向量是1111．（23-24高二上·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí)）下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．向量a,b(aB．若空間四個(gè)點(diǎn)P,A,B,C，PC=14C．已知{a,b,cD．已知向量a=(1,1,x)，b=(?3,x,9)，若x<3三、填空題12．（23-24高二上·四川宜賓·期末）已知A(1,1,0),B(0,4,0),C(2,2,2)，則向量AB在AC上的投影向量的坐標(biāo)是.13．（22-23高二上·北京·階段練習(xí)）若異面直線l1,l2的方向向量分別是a=0,?2,?1，b14．（22-23高二上·北京豐臺(tái)·階段練習(xí)）已知空間向量a=1,0,2,b=?2,1,3四、解答題15．（23-24高二下·江蘇常州·期中）已知空間三點(diǎn)A?2,0,2，B?1,1,2，C?3,0,4，設(shè)a(1)若ka+b與k(2)若c=3，c//BC16．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知空間中三點(diǎn)A2,0,?2，B1,?1,?2，C3,0,?4，設(shè)a(1)若c=6，且c∥BC(2)已知向量ka?b與b(3)若點(diǎn)P1,?1,m在平面ABC上，求m17．（23-24高二上·廣西玉林·階段練習(xí)）已知a=(1)求實(shí)數(shù)x,y,z的值；(2)求a+c與18．（22-23高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)A位于坐標(biāo)原點(diǎn)，若

(1)求點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)及EF；(2)求向量EF在DC19．（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，△PBC為等腰直角三角形，且∠CPB=90°，四邊形ABCD為直角梯形，滿足AD//BC，CD⊥AD，BC=CD=2AD=4，(1)若點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)，求cos?(2)若點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為AB上一點(diǎn)，當(dāng)EM⊥BF時(shí)，求1.1.3空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間向量坐標(biāo)的定義.2.掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，會(huì)計(jì)算向量的長(zhǎng)度及兩向量的夾角.3.會(huì)利用向量的坐標(biāo)關(guān)系，判定兩個(gè)向量平行或垂直.4.了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫(huà)點(diǎn)的位置.5掌握空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式1.掌握空間向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示:掌握空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示2.掌握空間向量的模、夾角3.掌握空間向量坐標(biāo)與空間向量平行與垂直的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)01正交基底與單位正交基底正交基底如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量?jī)蓛苫ハ啻怪?，那么這個(gè)基底叫作正交基底單位正交基底當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，通常用{i,j,k}表示【即學(xué)即練1】（22-23高二上·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）設(shè){i,j,k}是單位正交基底，已知a=i+j,A．(10,12,14) B．(14,12,10)C．(12,14,10) D．(4,3,2)【答案】D【分析】根據(jù)向量p在基底a,b,c下的坐標(biāo)為8,6,4得到p=12【詳解】因?yàn)橄蛄縫在基底a,b,c下的坐標(biāo)為8,6,4，所以p=8a+6.【即學(xué)即練2】（20-21高二·江蘇·課后作業(yè)）已知i,(1)a=?2(2)b=?5【答案】(1)?2,8,3(2)?5,0,2【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示直接寫(xiě)出坐標(biāo).【詳解】（1）a（2）b知識(shí)點(diǎn)02空間直角坐標(biāo)系1.定義：如圖，在空間選定一點(diǎn)0和一個(gè)單位正交基底{i，j，k}以0為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫作坐標(biāo)軸，這是我們說(shuō)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz。其中點(diǎn)O叫作坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫作坐標(biāo)軸，三條坐標(biāo)軸中的每?jī)蓷l確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別叫作xoy平面、yoz平面和xoz平面。2.右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系?！炯磳W(xué)即練3】（23-24高二上·上?！て谥校┤鐖D所示，以長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1的頂點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若【答案】(?3,4,2)【分析】根據(jù)已知先求B1坐標(biāo)，再結(jié)合圖形可得A,【詳解】在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D因此A(3,0,0),C1(0,4,2)故答案為：(?3,4,2)【即學(xué)即練4】（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=2

【答案】E1,0,2，【分析】利用空間直角坐標(biāo)系結(jié)合空間想象能力求解.【詳解】由題意，AD=AA1=2，AB=6，E、F分別為A1D1、D知識(shí)點(diǎn)03空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)坐標(biāo)定義：對(duì)于空間任意一點(diǎn)A，作點(diǎn)A在三條坐標(biāo)軸上的射影，即通過(guò)點(diǎn)A作三個(gè)平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸和z軸分別交于P，Q，R，點(diǎn)P，Q，R在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標(biāo)依次為x，y，z，我們把有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）叫作A點(diǎn)的坐標(biāo)，記為A（x，y，z）。其中x，y，z分別叫作點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，豎坐標(biāo)?！炯磳W(xué)即練5】（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知點(diǎn)B3,?1,0,ABA．1,?6,3 B．5,4,?3C．?1,6,?3 D．2,5,?3【答案】C【分析】根據(jù)終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即為所求向量的坐標(biāo)，即可得解.【詳解】設(shè)Ax,y,z則AB=所以3?x=?2?1?y=?5?z=3，解得所以點(diǎn)A坐標(biāo)為5,4,?3..【即學(xué)即練6】（22-23高二下·福建漳州·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,?2,?3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（

）A．(?1,2,3) B．(1,2,?3) C．(1,2,3) D．(?1,?2,?3)【答案】D【分析】直接根據(jù)空間直角坐標(biāo)系對(duì)稱點(diǎn)的特征即可得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】點(diǎn)A(1,?2,?3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(1,2,3)，．知識(shí)點(diǎn)04空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）設(shè)a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），則①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）②a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2）③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R).=4\*GB3④若u，v是兩個(gè)實(shí)數(shù)，ua＋vb(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；=5\*GB3⑤a·bx1x2＋y1y2＋z1z2；=6\*GB3⑥|a|eq\r(a·a)eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))；=7\*GB3⑦當(dāng)a≠0且b≠0時(shí)，cos〈a，b〉eq\f(a·b,|a|·|b|)eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2)))．(2)設(shè)A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則AB=OB-OA=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).2.空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示（1）已知空間向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，則a//b?b=λa?x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R).(2)a⊥b?a·b0?x1x2＋y1y2＋z1z20．3.空間向量坐標(biāo)的應(yīng)用(1)點(diǎn)P(x，y，z)到坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0,0)的距離OPeq\r(x2＋y2＋z2)．(2)任意兩點(diǎn)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)間的距離P1P2eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)．【即學(xué)即練7】（23-24高一下·天津·階段練習(xí)）已知A2,?4,?1，B=?1,5,1，C3,?4,1，令a=CAA．5,?9,2 B．?5,9,?2 C．5,9,?2 D．5,?9,?2【答案】C【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)锳2,?4,?1，B=?1,5,1，所以a=CA=所以a+【即學(xué)即練8】（23-24高二下·甘肅酒泉·期末）已知向量a=1,0,3,A．－3 B．3 C．9 D．0【答案】C【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)閎?c.難點(diǎn)：空間向量與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題示例1：（多選）（23-24高二下·福建漳州·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1DA．不存在點(diǎn)P，使得DB．過(guò)三點(diǎn)A,M,D1的正方體ABCD?C．若D1P⊥B1D,則D．點(diǎn)N在棱BB1上，且B1N=4NB，若【答案】AB【分析】對(duì)于A，利用空間向量分析判斷，對(duì)于B，取BB1中點(diǎn)Q，連接D1M,MQ,AQ，可得A、M、D1、Q四點(diǎn)共面，然后求出其面積判斷，對(duì)于C，利用空間向量可得P【詳解】對(duì)于A，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Px,y,0,0≤x,y≤1，則若D1P⊥AD1，則對(duì)于B，取BB1中點(diǎn)Q，連接因?yàn)镈1A//MQ，所以可得所以過(guò)三點(diǎn)A、M、D1的正方體ABCD?A1B1C1D所以AH=AD1所以S=1對(duì)于C，設(shè)Px,y,0，x≥0,y≥0所以D1因?yàn)镈1P⊥B1D,所以P點(diǎn)在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡為線段AC，其長(zhǎng)為2，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，N1,1,即x(x?1)+y(y?1)+15=0所以圓心12又x,y∈[0,1]，所以軌跡為圓：x?1B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是利用空間向量求出點(diǎn)的軌跡方程，由此即可順利得解.【題型1：空間向量的坐標(biāo)表示】例1．（23-24高二上·湖北·期末）已知點(diǎn)A2,0,1,B0,2,0,C0,0,3A．12 B．32 C．2 【答案】A【分析】由題意設(shè)DE=x【詳解】AB=由已知可得DE=xAB+y所以?2x?2y=?12x=?1?x+2y=a，解得變式1．（23-24高二上·湖北武漢·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,3,?4)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)為B，而點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為C，則AC=A．(?2,0,0) B．(?2,3,0) C．(?2,0,?4) D．(1,0,?4)【答案】A【分析】由對(duì)稱性得出點(diǎn)C坐標(biāo)，進(jìn)而得出AC.【詳解】點(diǎn)A(1,3,?4)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)為B?1,?3,4則點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為C?1,3,?4，AC=變式2．（23-24高二上·重慶九龍坡·期中）若M1,0,2，N2,m+1,3，P2,2,n+1A．4 B．-2 C．1 D．3【答案】A【分析】利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，求出m,n即可.【詳解】若M1,0,2，N2,m+1,3，由MN=1,m+1,1，MP=1,2,n?1，則有解得m=1,n=2，所以m+n=3.變式3．（23-24高二上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=5,AD=4,AA1=3A．點(diǎn)A關(guān)于直線DD1對(duì)稱的點(diǎn)為(?4,0,0) B．點(diǎn)C1關(guān)于點(diǎn)C．點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(3,5,4) D．點(diǎn)C關(guān)于平面ABB【答案】D【分析】利用空間點(diǎn)的對(duì)稱性即可逐項(xiàng)判斷得出結(jié)論.【詳解】由圖可得A4,0,0，則點(diǎn)A關(guān)于直線DD1由于C10,5,3,B4,5,0，所以點(diǎn)C1點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(4,5,3)由于點(diǎn)C0,5,0，則點(diǎn)C關(guān)于平面ABB1.變式4．（23-24高二上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）已知正方體ABCD?A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為1，以D為原點(diǎn)，DA,DC,DDA．23,23,13 B．【答案】C【分析】建立空間坐標(biāo)系，標(biāo)出點(diǎn)坐標(biāo)，由共面向量定理得，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(λ,μ)，使BP=λ【詳解】在正方體中，以D為原點(diǎn)DA,DC,DD

則A'(1,0,1),B(1,1,0),C若點(diǎn)P(x,y,z)，在平面A'存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(λ,μ)，使BP=λBA'+μ在A中，代入點(diǎn)坐標(biāo)23在B中，代入點(diǎn)坐標(biāo)34,3在C中，代入點(diǎn)坐標(biāo)12在D中，代入點(diǎn)坐標(biāo)?1,3變式5．（23-24高二上·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）設(shè)a1=2m?j+k，a2=m+3j?2k，a3=?2mA．1，?2，3 B．?2，1，?3C．?2，1，3 D．?1，2，3【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量相等，即可求得答案.【詳解】由題意可分別以m，j，k為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則a1=(2,?1,1)，a2=(1,3,?2)，則a4=λa即得3=2λ+μ?2ν2=?λ+3μ+ν5=λ?2μ?3ν，解得變式6．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）已知空間向量a=?3,2,m,b=?1,?1,3,【答案】6【分析】根據(jù)向量共面列方程，化簡(jiǎn)求得m+n的值.【詳解】若a,b,c共面，則存在實(shí)數(shù)即1,?4,n=x所以?3x?y=12x?y=?4mx+3y=n，解得x=?1,y=2,?m+6=n．所以故答案為：6變式7．（23-24高二上·河北石家莊·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，若平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A0,?2,1,B2,?3,0【答案】(0,1,2)【分析】設(shè)D的坐標(biāo)為(x,y,z)，根據(jù)AD=【詳解】設(shè)D的坐標(biāo)為(x,y,z)，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A0,?2,1故AD=BC，即則x=0y+2=3z?1=1,∴故答案為：(0,1,2)變式8．（23-24高二上·山東聊城·階段練習(xí)）已知直線l經(jīng)過(guò)A?2,1,1，B1,0,?3兩點(diǎn)，直線l上一點(diǎn)P，使得AP=?AB，則點(diǎn)【答案】?5,2,5【分析】利用空間向量的坐標(biāo)、向量的相等、向量的運(yùn)算分析運(yùn)算即可得解.【詳解】解：設(shè)Px,y,z，則AP=x+2,y?1,z?1∴由AP=?AB得：∴x+2=?3y?1=1z?1=4，解得：∴點(diǎn)P坐標(biāo)為：?5,2,5.故答案為：?5,2,5.【題型2：空間向量的加減數(shù)乘與數(shù)量積】例2．（23-24高二上·廣東惠州·階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，M為AB的中點(diǎn)，N為PD的中點(diǎn).若PA=4，AB=2，則MN?PC=【答案】?8【分析】考慮到此題中條件適合建系，故通過(guò)建系后求出空間向量的坐標(biāo)計(jì)算數(shù)量積即得.【詳解】如圖，由題意可以AB,AD,AP為因M為AB的中點(diǎn)，N為PD的中點(diǎn)，故M(1,0,0),N(0,1,2),于是MN=(?1,1,2),PC=(2,2,?4)，則故答案為：?8.變式1．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知O為原點(diǎn)，OA=1,2,3，OB=2,1,2，OP=1,1,2，點(diǎn)Q在直線A．12,34,13 B．【答案】D【分析】利用向量OQ//OP表示出點(diǎn)Q坐標(biāo)，再求出QA，【詳解】因點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則OQ//OP，設(shè)OQ=t因?yàn)镺A=(1,2,3)，OB=(2,1,2)，所以A1,2,3因此QA=(1?t,2?t,3?2t)，QB于是得QA=6t則當(dāng)t=43時(shí)，QA?所以當(dāng)QA?QB取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為變式2．（23-24高二上·福建泉州·期末）四棱錐P?ABCD的底面為矩形，PC⊥平面ABCD，M在棱PC上，AD=2，則AMA．?4 B．4 C．?32 D．【答案】C【分析】以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CD=a,CM=c【詳解】如圖所示，以C為原點(diǎn)，CD,CB,CP所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由AD=2，設(shè)CD可得C(0,0,0),B(0,2,0),A(a,2,0),M(0,0,c)，則AM=(?a,?2,c),所以AM?．變式3．（23-24高二上·河北滄州·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國(guó)東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在第五卷《商功》中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．已知在塹堵ABC?A1B1C1中，A．?1 B．1 C．?3 D．1【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系后計(jì)算即可得.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，AA1所在直線為建立空間直角坐標(biāo)系，∵AB=2,AC=AA∴A0,0,0∴AE=1,0,．變式4．（多選）（23-24高二上·河北石家莊·期末）如圖，長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，CCA．13 B．45 C．23【答案】CD【分析】以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C1D1、C1B1、C1C所在直線為x、y、z【詳解】以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C1D1、C1B1、C則C10,0,0、D12,0,0、設(shè)B1P=λ則C1D1所以，C1因?yàn)?≤λ≤1，則?15≤λ?所以，C1D．變式5．（23-24高二下·上海青浦·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,?1,3)關(guān)于平面xOz的對(duì)稱點(diǎn)為B，則OA?OB=【答案】12【分析】根據(jù)題意，得到B(2,1,3)，求得OA=(2,?1,3),【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，可得點(diǎn)A(2,?1,3)關(guān)于平面xOz的對(duì)稱點(diǎn)為B(2,1,3)，則OA=(2,?1,3),OB=(2,1,3)故答案為：12.變式6．（23-24高二下·云南曲靖·階段練習(xí)）已知空間向量a=1,0,2,b【答案】5,?2,?4【分析】利用空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】由a=1,0,2,故答案為：5,?2,?4變式7．（23-24高二下·上海·期中）已知a=?1,2,0，b=2,0,1，則【答案】?7【分析】首先求出2a+3b【詳解】因?yàn)閍=?1,2,0，所以2aa?所以2a故答案為：?7變式8．（23-24高二上·四川瀘州·期末）已知向量a=1,1,x，b=1,1,2，c=1,?1,1【答案】?【分析】利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可求出結(jié)果.【詳解】由a=1,1,x，c=所以a+解得x=?5故答案為：?【方法技巧與總結(jié)】關(guān)于空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的兩類問(wèn)題（1）直接計(jì)算問(wèn)題首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，然后準(zhǔn)確運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算.（2）由條件求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)首先把向量用坐標(biāo)形式設(shè)出來(lái)，然后通過(guò)建立方程（組），解方程（組）求出其坐標(biāo)..【題型3：空間向量的模長(zhǎng)】例3．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎狝B=0,1,2，則AB=【答案】5【分析】由空間向量的模長(zhǎng)公式可直接求得答案.【詳解】因?yàn)锳B=0,1,2，所以故答案為：5.變式1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，已知點(diǎn)A1,0,2，B0,2,1，點(diǎn)C，D分別在x軸，y軸上，且AD⊥BC，那么A．55 B．255 C．2【答案】C【分析】設(shè)Cx,0,0，D0,y,0，應(yīng)用向量垂直的坐標(biāo)表示可得x+2y=2，再應(yīng)用向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)性質(zhì)求【詳解】設(shè)Cx,0,0，D0,y,0，且A1,0,2∴AD=?1,y,?2，BC=∴AD?BC=?x?2y+2=0∵CD=∴CD=當(dāng)且僅當(dāng)y=4變式2．（23-24高二上·廣東惠州·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，A(?1,2,0)，點(diǎn)B(?1,1,2)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，則|ACA．5 B．11 C．3 D．10【答案】D【分析】根據(jù)空間坐標(biāo)系中的對(duì)稱性求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，計(jì)算即得AC的坐標(biāo)和模長(zhǎng).【詳解】因點(diǎn)B(?1,1,2)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C(1,1,?2)，A(?1,2,0)，則AC=(2,?1,?2)，故|.變式3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方體ABCD?A1B1C1D1中，BC=3

A．319010 B．22 C．32【答案】C【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)P的軌跡結(jié)合函數(shù)求最值即可.【詳解】

依據(jù)題意可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D1設(shè)Px,y,0所以B1即B1P?而B(niǎo)1由二次函數(shù)的單調(diào)性可知t=10y當(dāng)y=1時(shí)，tmax=22，則變式4．（23-24高二上·湖北武漢·期中）如圖所示，三棱錐A?BCD中，AB⊥平面BCD,∠BCD=π2，BC=2AB=2CD=2，點(diǎn)P為棱AC的中點(diǎn)，E,F分別為直線DP,AB上的動(dòng)點(diǎn)，則線段

A．24 B．22 C．104【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量建立EF的函數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】三棱錐A?BCD中，過(guò)C作Cz⊥平面BCD，由∠BCD=π2，知以C為原點(diǎn)，直線CD,CB,Cz分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由AB⊥平面BCD，得AB//Cz，則C(0,0,0),D(1,0,0),B(0,2,0),A(0,2,1),P(0,1,1令DE=tDP=t(?1,1,12于是|EF當(dāng)且僅當(dāng)t=32,m=t2變式5．（23-24高二下·貴州六盤(pán)水·期中）已知a=2,1,0，b=?1,0,1.則【答案】3【分析】應(yīng)用空間向量加法和模的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，a+所以a+故答案為：3變式6．（23-24高二上·上?！て谀┰诳臻g直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P坐標(biāo)可記為x,y,z：定義柱面坐標(biāo)系，在柱面坐標(biāo)系中，點(diǎn)P坐標(biāo)可記為r,θ,z．如圖所示，空間直角坐標(biāo)x,y,z與柱面坐標(biāo)r,θ,z之間的變換公式為：x=rcosθ,y=rsinθ,z=z．則在柱面坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1,

【答案】10【分析】先將兩點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)求出來(lái)，結(jié)合向量的模、正弦函數(shù)的最值即可得解.【詳解】由題意點(diǎn)A1,π2,2與點(diǎn)所以AB=4cos故答案為：10.變式7．（23-24高二上·浙江紹興·期中）已知向量a=(0,?1,1),b=(4,1,0)，|λ【答案】3或?2【分析】先求出λa+b，再求出λ【詳解】λa所以λa+b=4故答案為：3或?2變式8．（24-25高二上·上海·課堂例題）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M在線段(1)當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，求線段AP的長(zhǎng)度；(2)求線段AP長(zhǎng)度的最小值．【答案】(1)2(2)6【分析】（1）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，再由向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】（1）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD系，則A1,0,0，B1,1,0，設(shè)M0,1,m，Px,y,1，則AP=x?1,y,1，BD1=所以AP?BM當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，m=0，x=y=1，此時(shí)AP=則AP的長(zhǎng)度為12（2）AP=即線段AP長(zhǎng)度的最小值為62【題型4：空間向量的夾角】例4．（23-24高一下·北京順義·階段練習(xí)）已知向量a=1,2,2，(1)求a?(2)求2a(3)求cosa【答案】(1)?2(2)5(3)?【分析】由空間向量的數(shù)量積，模長(zhǎng)公式及夾角公式的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解.【詳解】（1）a?（2）2a則2a（3）a=1+4+4變式1．（23-24高二上·河南鶴壁·階段練習(xí)）已知{i→,j→,k→}是空間的一個(gè)單位正交基底，且ABA．12 B．?13 C．3【答案】A【分析】設(shè)AB→與CD→夾角為【詳解】由題意得i→所以AB→=?i→+設(shè)AB→與CD→的夾角為θ，所以cosθ=.變式2．（23-24高二上·遼寧·階段練習(xí)）如圖，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF，AC與EF交于G，EF在AB與CD之間滑動(dòng)，但與AB和CD均不重合．現(xiàn)將四邊形EFCD沿直線EF折起，使平面EFCD⊥平面ABFE，在EF從AB滑動(dòng)到CD的過(guò)程中，∠AGC的大?。?/p>

）

A．先變小后變大 B．先變大后變小 C．不發(fā)生變化 D．由小變大【答案】D【分析】以E為原點(diǎn)，EA，EF，ED所在的直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，AE=a，利用空間向量的數(shù)量積可判斷.【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，AE=a，Aa,0,0，C0,1,1?a，G0,a,0，F(xiàn)AG=?a,a,0，cos∠AGC由面面垂直關(guān)系可知∠AGC=120°，即角度不會(huì)發(fā)生變化，所以C正確；.

變式3．（多選）（23-24高二上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，

A．BN=3 B．BA1?M【答案】ABD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系C?xyz，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解ABD，根據(jù)等體積法即可求解C.【詳解】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA、CB、CC1為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

由題意得N(1,0,1),B(0,1,0)，∴|BNA1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),C1∴BA1=(1,?1,2),CB1故BA∴BA1?CB1=3V=1BD變式4．（多選）（23-24高二上·福建泉州·期中）在菱形紙片ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，O是菱形ABCD的中心，AB=2，∠ABC=2π3，將菱形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC

A．E0,?32C．EF=12【答案】ACD【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)可判定A、B、C，由空間向量的數(shù)量積公式求夾角可判定D.【詳解】由題意可知：AC=23所以A0,?則OE=0,?32,易知∠EOF為鈍角，所以cos∠EOF=?綜上A、C、D三項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤.CD變式5．（24-25高二上·上海·隨堂練習(xí)）若a=?1,λ,?2，b=2,?2,?1，a與b的夾角為【答案】?335【分析】根據(jù)空間向量的夾角公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閍=?1,λ,?2，b=2,?2,?1，a與所以cosπ解得λ=?3故答案為：?3變式6．（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量a=3,0,1，b=k,2,0，若a與b夾角為π【答案】2【分析】利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示得到關(guān)于k的方程，解之即可得解.【詳解】因?yàn)閍=3,0,1，b=k,2,0，且a則a=3+1=2，b所以cosa由題可知k>0，解得k=2故答案為：2.變式7．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）已知OA=1,0,0，OB=1,1,0,OC=1,1,1，點(diǎn)M【答案】2【分析】設(shè)OM=tOC=【詳解】設(shè)OM=t則MB=所以cosOA既然求最大值，必有1?t>0，令1?t=m,m>0，則=1當(dāng)m=1，即t=0時(shí)取等號(hào)，所以cosOA,MB故答案為：22【題型5：空間向量的投影】例5．（23-24高二下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知向量a=(9,8,5)，b=(2,1,1)，則向量a在向量b上的投影向量A．313,?31C．313,31【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的意義求解即得.【詳解】由向量a=(9,8,5)，b=(2,1,1)，得a?向量a在向量b上的投影向量c=變式1．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知空間向量a=(2,1,?3)，則向量a在坐標(biāo)平面xOzA．(0,2,1) B．(2,1,0)C．(0,1,?3) D．(2,0,?3)【答案】A【分析】由空間點(diǎn)在坐標(biāo)平面上投影的性質(zhì)確定向量a在平面xOz上的投影向量.【詳解】若a=(2,1,?3)起點(diǎn)為原點(diǎn)，則終點(diǎn)為(2,1,?3)，該點(diǎn)在平面xOz上投影坐標(biāo)為(2,0,?3)所以向量a在平面xOz上的投影向量是(2,0,?3).變式2．（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）已知向量a=1,1,2,bA．32,3C．34,3【答案】D【分析】由投影向量的概念求解即可.【詳解】∵a=∴a+b?∴a+b在a上的投影向量為.變式3．（23-24高三上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，圓臺(tái)OO1的軸截面為等腰梯形ABCD,AB=2CD,E在上底面的圓周上，且∠CO1E=A．3+28ABC．3+38AB【答案】C【分析】連接OO1，以點(diǎn)【詳解】如圖，連接OO1，則OO以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，不妨設(shè)圓臺(tái)OO1的高為?，CD=4a，則故A0,?4a,0則AB=所以AB?所以AE在AB上的投影向量為AB?.變式4．（多選）（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，已知點(diǎn)A2,0,0A．ACB．異面直線OB與AC所成角的余弦值為15C．ABD．OB在BC上的投影向量的模為3【答案】CC【分析】根據(jù)向量的模、向量的夾角、向量的數(shù)量積及投影向量判斷選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)锳C=因?yàn)镺B=1,1,?2,所以異面直線OB與AC所成角的余弦值為1530因?yàn)锳B?由投影向量的定義知，OB在BC上的投影向量的模為OB?C變式5．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）已知向量a=2,?3,0，b=0,3,4，則向量a在向量【答案】0,?【分析】先求出向量a在b方向上的投影,再求出與b同向的單位向量，進(jìn)而求出向量a在b方向上的投影向量.【詳解】由題意，向量a在b方向上的投影為：a?b|則與b同向的單位向量為0,3所以向量a在b方向上的投影向量為：?9故答案為：0,?變式6．（23-24高二上·福建莆田·階段練習(xí)）已知向量a在向量b上的投影向量是?32b，且b=1,1,?1【答案】?32【分析】根據(jù)題意，由投影向量的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閎=1,1,?1，則b=3，且向量a在向量即a?所以a?故答案為：?變式7.（23-24高二上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E為棱

【答案】2【分析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)Ea,1,1，其中0≤a≤1，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得AE【詳解】在正方體ABCD?A1B1C1D1中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA、DC、

則A1,0,0、C0,1,0，設(shè)點(diǎn)Ea,1,1所以，AC=?1,1,0，所以，AE在AC方向上的投影向量的模為AE?故答案為：22【題型6：空間向量的平行、垂直與銳角、鈍角問(wèn)題】例6．（23-24高二下·江蘇連云港·期中）設(shè)x,y∈R，向量a=x,1A．-1 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由空間向量垂直和平行的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閍⊥所以2x?2+2=0?x=0，又b//所以設(shè)b=λc，即所以x+y=1，.變式1．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知向量a=k,1,2，b=k,0,?2，則“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示結(jié)合充分、必要條件分析求解.【詳解】若a⊥b，則a?顯然“k=2”可以推出“k=±2”，“k=±2”不可以推出“k=2”，所以“k=2”是“a⊥.變式2．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知空間向量a=1,2,?2、b=3,λ,μ?1，若a【答案】1【分析】依題意可得b=t【詳解】因?yàn)閍=1,2,?2、b=所以b=ta，則3,λ,μ?1=t1,2,?2，即所以λ+μ=6+?5故答案為：1變式3．（23-24高二下·湖北·開(kāi)學(xué)考試）已知a=m+1,1,?1，b=1,n,3，其中m>0，n>0，若a⊥【答案】9【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)形式可得m,n的等量關(guān)系，利用基本不等式可求1m【詳解】因?yàn)閍⊥b，故m+1+n?3=0即故1m當(dāng)且僅當(dāng)m=23,n=43故答案為：92變式4．（23-24高二上·遼寧大連·期末）若空間向量a=1,1,x，b=2,x,4，向量a、b夾角為銳角，則【答案】?【分析】依題意可得a?b>0且a【詳解】因?yàn)橄蛄縜=1,1,x，b=2,x,4，且所以a?b>0且a當(dāng)a?b>0時(shí)，則1×2+x+4x>0當(dāng)a與b同向時(shí)，則a=tbt>0，即2t=1綜上可得?25<x<2或x>2，即x故答案為：?變式5．（22-23高二下·江蘇·課后作業(yè)）若a=2,?1,4，b=?1,t,?2，若a【答案】?10,【分析】由a與b的夾角是鈍角轉(zhuǎn)化為a?b<0且a【詳解】已知a=2,?1,4，因?yàn)閍與b的夾角是鈍角，所以cosa,b即a?b=2×若a與b的夾角為180°，則存在λ，使a=λ所以2=?λ?1=λt4=?2λ，解得λ=?2，所以t>?10，且t≠1故t的取值范圍是?10,1變式6．（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）已知空間中三點(diǎn)A2,0,?2，B1,?1,?2，C3,0,?4，設(shè)a(1)已知a+kb⊥(2)若c=6，且c∥BC，求c【答案】(1)1(2)c=(4,2,?4)或【分析】（1）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a+kb?（2）根據(jù)向量的模的計(jì)算和向量共線，求c的坐標(biāo).【詳解】（1）由題知a=AB=所以a+k因?yàn)閍+k所以a+kb?b=0?k?1+4k=0（2）因?yàn)閏∥BC，BC=所以c=λBC=因?yàn)閏=6，所以2λ2+所以c=4,2,?4或變式7．（22-23高二上·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）已知a→=x,1,1(1)求a+(2)求向量a+b與【答案】(1)3(2)π【分析】（1）先根據(jù)a⊥b,b∥（2）求出坐標(biāo)，然后求數(shù)量積，根據(jù)數(shù)量積可得夾角.【詳解】（1）∵b∥c∵a∴a（2）由（1）可得2a∴a∴向量a+b與即向量a+b與2a變式8．（23-24高二上·廣西河池·階段練習(xí)）已知a=x,1,0，b=?1,y,2，c=(1)若a+kb、2a(2)若向量a+kb與2a【答案】(1)k=(2)?1,【分析】（1）根據(jù)空間向量的模長(zhǎng)公式以及a?c=0可求出x、y的值，可得出向量a、b的坐標(biāo)，根據(jù)a+kb（2）分析可知a+kb?2a+b【詳解】（1）解：因?yàn)閍=x,1,0，b=?1,y,2，c=則b=1+y2+4=5所以a=1,1,0，b=?1,0,2，所以因?yàn)閍+kb//2a（2）解；由（1）知，a+kb=因?yàn)橄蛄縜+kb與所以a+kb?又當(dāng)k=12時(shí)，所以實(shí)數(shù)k的范圍為?1,1【題型7：最值與取值范圍問(wèn)題】例7．（23-24高二上·廣東湛江·階段練習(xí)）已知直線l和平面α，且l∥α，l的方向向量為l=2,m,1，平面α的一個(gè)法向量為n=?1,1,n，A．2 B．4 C．42 D．【答案】A【分析】利用空間向量法解決線面平行，得到m+n=2，再利用代換1法，來(lái)求最小值.【詳解】由l∥α得：l?所以1因?yàn)閙>0,n>0，所以nm所以1m+1.變式1.（23-24高二上·廣東惠州·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐D1?ABCD中，D1D⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且D1D=DA=DC=3，E，F(xiàn)分別為A．11 B．522 C．1+6【答案】A【分析】證明線面垂直，得到線線垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，推出P點(diǎn)在BD上時(shí)，PE+PF取得最小值，作出點(diǎn)【詳解】因?yàn)镈1D⊥平面ABCD，DA,DC?平面所以D1D⊥DA，D1又四邊形ABCD是正方形，所以DA⊥DC，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線分別為則E1,1,2過(guò)點(diǎn)E,F分別為EG⊥BD，F(xiàn)H⊥BD于點(diǎn)G,H，則EG⊥平面ABCD，F(xiàn)H⊥平面ABCD，過(guò)點(diǎn)P作PJ⊥DH于點(diǎn)J，連接PG,PH,JE,JF，則PE=EG2PE+PF=EG2故PE+PF要想取得最小值，則PJ=0，即只需P其中F2,2,1關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)為Q連接EQ，此時(shí)PE+PF取得最小值，最小值為其中EQ=2?1變式2．（多選）（23-24高二上·浙江·期中）已知向量e1A．若e1⊥e2，則t=?1 B．若e1C．e1的最大值2 D．e1【答案】AB【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.若e1⊥e2，則B.若e1∥e2，則e1t=λ2t?22t=?λt2=?λCD.e1=t2+4B變式3．（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)O0,0,0，A1,2,2，B2,1,1，P1,0,2，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)QA【答案】(910【分析】令Q(x,y,z)，根據(jù)題設(shè)OQ=λOP=(λ,0,2λ)，λ∈R，進(jìn)而有【詳解】由題設(shè)，OP=(1,0,2)，則OQ=λOP令Q(x,y,z)，則OQ=(x,y,z)，所以x=λ,y=0,z=2λ，則Q(λ,0,2λ)故QA=(1?λ,2,2?2λ),所以QA?QB=5λ故當(dāng)λ=910時(shí)，QA?QB取得最小值，此時(shí)故答案為：(變式4．（23-24高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E滿足【答案】6【分析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由線面垂直的判定定理，證得A1C⊥平面BC1D，記A1C與平面BC1D交于點(diǎn)H，連接A1C1，C【詳解】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA,DC,DD如圖所示，則A13,0,3，E3,2,3因?yàn)锽D⊥AC，BD⊥A1A，且AC∩A1又因?yàn)锳1C?平面A1同理得BC1⊥平面A1B1C因?yàn)锽D∩BC1=B，且BD,BC1?平面記A1C與平面BC1D交于點(diǎn)H，連接A1C則A1HHC由得點(diǎn)A13,0,3關(guān)于平面BC所以A1F+故答案為：6.變式5．（23-24高二上·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為正方形，AB=2，SD⊥底面ABCD，點(diǎn)E、F分別為SC、AB的中點(diǎn)，若線段SD上存在點(diǎn)G，使得GE⊥GF，則線段SD的長(zhǎng)度最小值為【答案】4【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SD=a且DG=λ，求得GE=0,1,a【詳解】以D為原點(diǎn)，以DA,DC,DS所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)SD=a,a>0，DG=λ,0<λ<a，則S0,0,a則GE=因?yàn)镚E⊥GF，所以GE?則a=2λ+1λ≥2×2λ?所以a≥4，即SD≥4，所以SD長(zhǎng)度的最小值為4.故答案為：4.變式6．（23-24高二下·上海·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，有兩點(diǎn)A(0,?2,4),B(2,1,5),P是xOy平面上任意一點(diǎn)，則AP+BP的最小值為【答案】94【分析】求出點(diǎn)B2,1,5關(guān)于平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)B1，再根據(jù)【詳解】如圖，點(diǎn)B2,1,5關(guān)于平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)為B則AP+當(dāng)且僅當(dāng)A,P,B所以AP+BP的最小值為故答案為：94.變式7．（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）已知A(1,?2,1)，向量a=(?3,4,12)，且滿足(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)M在直線OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)MA?MB取最小值時(shí)，求點(diǎn)【答案】(1)B(2)M【分析】（1）設(shè)Bx,y,z（2）由向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求出MA,MB，再由坐標(biāo)計(jì)算【詳解】（1）設(shè)Bx,y,z，則AB因?yàn)锳B=2所以x?1=?6y+2=8z?1=24，解得所以B?5,6,25（2）因?yàn)辄c(diǎn)M在直線OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，所以O(shè)M=λ所以MA=MB=所以MA=6λ∴當(dāng)λ=76時(shí)，∴M7一、單選題1．（河南省開(kāi)封市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題）已知a=2,?1,3，b=4,2,x，且A．?6 B．?2 C．2 D．6【答案】C【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示，列方程求x.【詳解】因?yàn)閍=2,?1,3，b=所以a?b=8?2+3x=0.2．（23-24高一下·湖南·期末）已知A?2,1,3,B1,?1,4A．3,0,1 B．?1,?2,1 C．?1,0,7 D．3,?2,1【答案】A【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】由題意可得AB=.3．（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P1,2,3關(guān)于平面xOyA．?1,?2,3 B．?1,2,3 C．1,?2,3 D．1,2,?3【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)x,y,z關(guān)于平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)是x,y,?z分析求解.【詳解】由題意可知：點(diǎn)P1,2,3關(guān)于平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)是1,2,?3.4．（23-24高一下·天津·階段練習(xí)）已知向量：a=?3,2,5，b=A．?4,?3,4 B．?5,?8,7C．?5,?8,3 D．?1,?3,6【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解即可.【詳解】因?yàn)閍=?3,2,5，所以a=(?3,2,5)?(2,10,?2)=(?5,?8,7)，5．（23-24高二下·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）已知向量a=0,0,1，b=1,?1,1，向量A．0,0,2 B．0,0,1C．0,0,?1 D．0,0,?2【答案】A【分析】根據(jù)投影向量的公式計(jì)算即可.【詳解】向量a+b在向量a6．（23-24高二上·河南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知空間三點(diǎn)A1,1,1，B?1,0,4，C2,?2,3，則ABA．π3 B．π6 C．2π【答案】D【分析】求得兩向量的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式可求AB與CA的夾角.【詳解】∵AB→=∴cos∴結(jié)合向量夾角范圍易知：AB與CA的夾角為2π7．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知向量AB=(1,m,?3)，AC=(?3,6,9)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則A．?3 B．?2 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)條件得到AB=λ【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，則AB=λAC，又向量AB=(1,m,?3)所以1=?3λm=6λ?3=9λ，解得.8．（23-24高二下·福建漳州·期末）已知向量a=(1,0,2)，b=(?2,1,?2)，c=(0,1,λ)，若a，b，cA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由題意得a與b不共線，所以由空間向量共面定理可知存在實(shí)數(shù)x,y，使c=xa+y【詳解】因?yàn)?所以a=(1,0,2)與b所以存在實(shí)數(shù)x,y，使c=x所以(0,1,λ)=x(1,0,2)+y(?2,1,?2)=(x?2y,y,2x?2y)，所以x?2y=0y=12x?2y=λ，解得二、多選題9．（23-24高二上·四川宜賓·期末）已知向量a=A．若x=14B．若x=1,y=1，則aC．若x=12D．若x=12,y=1，則向量a在向量【答案】ACD【分析】代入x,y的值，得到向量a,【詳解】向量a=若x=14,y=?2，則a=1若x=1,y=1，a=2,1,1,b=若x=12,y=1，a若x=12,y=1，a=1,1,1c=CD10．（23-24高二上·重