熱點專題 2-1 函數(shù)的基本概念及其性質（解析式定義域值域）（解析版）

備戰(zhàn)高考數(shù)學成套的一輪復習，二輪復習，專題高分突破，考前回歸，模擬試卷盡在備戰(zhàn)高考QQ群722859698也可聯(lián)系微信fjshuxue加入夸克網(wǎng)盤群3T一線老師必備資料一鍵轉存自動更新永不過期備戰(zhàn)高考數(shù)學成套的一輪復習，二輪復習，專題高分突破，考前回歸，模擬試卷盡在備戰(zhàn)高考QQ群722859698也可聯(lián)系微信fjshuxue加入夸克網(wǎng)盤群3T一線老師必備資料一鍵轉存自動更新永不過期專題2-1函數(shù)的基本概念（解析式，定義域，值域）近4年考情（2020-2024）考題統(tǒng)計考點分析考點要求2021年浙江卷：第12題，5分函數(shù)的解析式與定義域、值域問題是高考數(shù)學的必考內容.從近幾年的高考情況來看，高考對函數(shù)的概念考查相對穩(wěn)定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大，函數(shù)的解析式在高考中較少單獨考查，多在解答題中出現(xiàn).高考對本節(jié)的考查不會有大的變化，仍將以分段函數(shù)、定義域、值域及最值為主.(1)了解函數(shù)的含義，會求簡單函數(shù)的定義域和值域

(2)會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)

(3)了解簡單的分段函數(shù)，并會應用2022年浙江卷：第14題，5分2023年北京卷：第11題，5分2024年上海卷，第2題,5分模塊一模塊一總覽熱點題型解讀（目錄）【題型1】函數(shù)的概念 2【題型2】同一函數(shù)的判斷 4【題型3】已知函數(shù)類型求函數(shù)的解析式（待定系數(shù)法求解析式） 5【題型4】建立方程組求解析式（方程思想） 6【題型5】求嵌套函數(shù)的解析式（換元或配湊） 8【題型6】求具體函數(shù)的定義域 9【題型7】已知定義域求參數(shù) 11【題型8】抽象函數(shù)的定義域問題 13【題型9】分離常數(shù)法求值域 15【題型10】換元法求函數(shù)的值域 16【題型11】對勾函數(shù)值域問題 18【題型12】已知值域求參數(shù)范圍 19【題型13】分段函數(shù)及其應用 20模塊二核心題型模塊二核心題型·舉一反三【題型1】函數(shù)的概念一般地，設A、B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x).下列關系中是函數(shù)關系的是（）A．等邊三角形的邊長和周長關系B．電腦的銷售額和利潤的關系C．玉米的產(chǎn)量和施肥量的關系D．日光燈的產(chǎn)量和單位生產(chǎn)成本關系【答案】A【解析】根據(jù)函數(shù)關系的定義可得，選項A中，當?shù)冗吶切蔚倪呴L取一定的值時，周長有唯一且確定的值與其對應，所以等邊三角形的邊長和周長符合函數(shù)關系；其他選項中，兩個量之間沒有明確的對應關系，所以不是函數(shù)關系故選：A下列圖象中，表示函數(shù)關系的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的概念即可求解.【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義知，一個有唯一的對應，由圖象可看出，只有選項D的圖象滿足.如圖所示，下列對應法則，其中是函數(shù)的個數(shù)為（）

A．B．C．D．【答案】A【解析】①②③這三個圖所示的對應法則都符合函數(shù)的定義，即A中每一個元素在對應法則下，在中都有唯一的元素與之對應，對于④⑤，A的每一個元素在中有個元素與之對應，∴不是A到的函數(shù)，對于⑥，A中的元素、在中沒有元素與之對應，∴不是A到的函數(shù)，綜上可知，是函數(shù)的個數(shù)為.故選：A.【鞏固練習1】下列圖象中，能表示函數(shù)y=fx圖象的是（

A．①② B．②③ C．②④ D．①③【解題思路】根據(jù)函數(shù)的定義判斷可得出結論.【解答過程】解：∵一個x只能對應一個y，∴①③符合題意，對于②中，當x>0時，一個x對應兩個y，不符合函數(shù)的定義；對于④中，當x=0時，一個x對應兩個y，不符合函數(shù)的定義.【鞏固練習2】設集合，.下列四個圖象中能表示從集合到集合的函數(shù)關系的有（

）A．3個B．2個C．1個D．0個【答案】C【分析】根據(jù)集合到集合的函數(shù)定義即可求解.【詳解】①中：因為在集合中當時，在中無元素與之對應，所以①不是；②中：對于集合中的任意一個數(shù)，在中都有唯一的數(shù)與之對應，所以②是；③中：對應元素，所以③不是；④中：當時，在中有兩個元素與之對應，所以④不是；因此只有②滿足題意【題型2】同一函數(shù)的判斷兩個函數(shù)相同需要滿足的條件是：1.定義域相同；2.解析式相同.（2024·重慶·二模）下列函數(shù)中，與y=x是相同的函數(shù)是A．y=x2 C．y=x2x【解題思路】求出各選項函數(shù)的定義域，并對解析式進行化簡，要求所選函數(shù)的定義域和解析式都與函數(shù)y=x的定義域和解析式一致，可得出正確的選項.【解答過程】對于A選項，函數(shù)y=x2=x定義域為對于B選項，函數(shù)y=lg10x=x的定義域為對于C選項，函數(shù)y=x2x的定義域為x對于D選項，y=x?12+1=x?1+1【鞏固練習1】（2024·山東·一模）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()A．fB．fxC．fD．f【解題思路】根據(jù)同一函數(shù)的定義對四個選項中的兩個函數(shù)進行比較即可.【解答過程】選項A:函數(shù)fx的定義域是x>0，函數(shù)g選項B:函數(shù)fx的定義域是x≠?2，函數(shù)g選項C:函數(shù)fx的定義域是x≠kπ+π2選項D:函數(shù)fx和gx的定義域都是全體實數(shù)，且【鞏固練習2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（

）A．f(x)=x,g(x)=x2xC．f(x)=x,g(x)=x,x≥0【解題思路】分別求得函數(shù)的定義域和對應法則，結合同一函數(shù)的判定方法，逐項判定，即可求解.【解答過程】對于A中，函數(shù)f(x)=x的定義域為R，函數(shù)兩函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；對于B中，函數(shù)f(x)=對于C中，函數(shù)f(x)=對于D中，函數(shù)f(x)=x的定義域為R，故選：C.【題型3】已知函數(shù)類型求函數(shù)的解析式（待定系數(shù)法求解析式）待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法來求解.若二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x,且f(0)＝2.求f(x)的解析式【答案】；（2）m＜0【解答】解：，由f(0)＝1得c＝2，故．因為f(x＋1)－f(x)＝2x，所以即2ax＋a＋b＝2x，所以EQ\B\lc\{(\a\al(2a＝2,a＋b＝0))，∴EQ\B\lc\{(\a\al(a＝1,b＝－1))，所以【鞏固練習1】已知二次函數(shù)滿足，且.求的解析式【答案】【思路點撥】設，利用建立恒等式求解即可；【詳解】設二次函數(shù)（），因為，所以.由，得，得，所以，得，故.【鞏固練習2】已知函數(shù)f(x)=?x2?2x+3，則f(x+1)=【解題思路】代入函數(shù)解析式計算即可.【解答過程】解：因為f(x)=?x2?2x+3f(x+1)=?x故答案為：?x【鞏固練習3】（2024·廣東東莞·二模）已知函數(shù)f(x)=ax?b(a>0)，f(f(x))=4x?3，則f(2)=．【解題思路】利用直接代入法結合對應系數(shù)相等可得a,b的值，將2代入可得結果.【解答過程】由題意，得f(f(x))=f(ax?b)=a?(ax?b)?b=a即a2=4ab+b=3a>0，解得a=2【題型4】建立方程組求解析式（方程思想）已知關于f(x)與或f(-x)等的表達式，可根據(jù)已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).（廣東深圳實驗校考）已知函數(shù)滿足，且，則.【答案】【思路點撥】用替換,再解方程組可得答案.【詳解】由①，用替換，得②，①×2－②，得，得.【鞏固練習1】（廣東廣雅中學?？迹┮阎?，則.【答案】【思路點撥】令，得到，進而求得函數(shù)的解析式.【詳解】令，則且，所以，所以函數(shù)的解析式為【鞏固練習2】若對任意實數(shù)，均有，求.【答案】.【解析】利用方程組法求解即可；∵（1）∴（2）由得，∴.故答案為：.【鞏固練習3】已知定義在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)的解析式.【答案】【思路點撥】根據(jù)已知把換成，建立方程組求解.【詳解】因為，把換成有：，聯(lián)立，解得.【題型5】求嵌套函數(shù)的解析式（換元或配湊）換元法：已知復合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.配湊法：由已知條件f(g(x))=F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式.函數(shù)fx滿足若fgx=9x+3，A．fx=3x C．fx=27x+10 【解題思路】對fgx的式子適當變形，即可直接求出【解答過程】因為fg所以f3x+1=9x+3=3若函數(shù)，且，則等于（）A．B．C．3D．【答案】D【解析】令，則，即故選：D.【鞏固練習1】已知函數(shù)f1?x=1?x2A．1x?12?1x≠0C．4x?12?1【解題思路】利用換元法令t=1?x，運算求解即可.【解答過程】令t=1?x，則x=1?t，且x≠0，則t≠1，可得ft所以fx【鞏固練習2】已知函數(shù)fx滿足：fx?1x=A．fx=xC．fx=x【解題思路】通過化簡即可得出函數(shù)的解析式.【解答過程】因為fx?1x=【鞏固練習3】設函數(shù)，則的表達式為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，則可得所以，所以，故選：B【題型6】求具體函數(shù)的定義域求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實質就是以函數(shù)解析式中所含式子(運算)有意義為準則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應使實際問題有意義.函數(shù)的定義域為________【答案】【解析】已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為______【答案】【解析】由函數(shù)的定義域是，得到，故即，解得:；所以原函數(shù)的定義域是：.【鞏固練習1】函數(shù)fx=3?xA．?∞,3 B．1,+∞ C．1,3【解題思路】由函數(shù)形式得到不等式組，解出即可.【解答過程】由題意得3?xx?1≥0x?1≠0，解得【鞏固練習2】函數(shù)的定義域為()A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,2x－1≠0，))解得x<1且x≠eq\f(1,2).【鞏固練習3】（2024·山東泰安·三模）已知函數(shù)fx=x2xA．?∞,1 B．?∞,?1C．?∞,?1∪?1,0 【解題思路】先求得函數(shù)fx【解答過程】因為fx=x2x?4x，所以所以函數(shù)fx?1x+1需滿足x?1<0且x+1≠0【題型7】已知定義域求參數(shù)函數(shù)定義域是研究函數(shù)的起點，常涉及到兩大問題：一是求函數(shù)定義域，二是已知函數(shù)的定義域求參數(shù).一個帶參數(shù)的函數(shù)，已知函數(shù)值域求參數(shù)的問題，這類問題就是按照求值域的思路并與已知的值域建立聯(lián)系求參數(shù)的值，本質上是已知不等式的解集求參數(shù)值，解題時從不等式的角度入手比較容易.若函數(shù)f(x)=1kA．(0,4) B．[0,4) C．[0,4] D．(0,4]【解題思路】由題意可知kx2+kx+1>0【解答過程】函數(shù)f(x)=若k=0，則不等式為1>0若k≠0，則k>0Δ=綜上可知，實數(shù)k的取值范圍是0≤k若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】的定義域是R，則恒成立，時，恒成立，時，則，解得，綜上，．故答案為：．【鞏固練習1】已知函數(shù)fx=mA．[1,9] B．(1,9)C．(?∞,1]∪[9,+∞【解題思路】利用題給條件列出關于m的不等式，解之即可求得實數(shù)m的取值范圍.【解答過程】由題意得mx2+(m?3)x+1≥0當m=0時，不等式可化為?3x+1≥0，其解集不是R，不符合題意；當m≠0時，由該不等式恒成立可得m>0m?32?4m≤0綜上，實數(shù)m的取值范圍是1≤m≤9【鞏固練習2】已知函數(shù)f(x)=a2?1x2+(a+1)x+1的定義域為A．?1,53 C．53,+∞【解題思路】分a=1、a=?1、a≠±1三種情況，結合二次函數(shù)的性質即可求解.【解答過程】當a=1時，f(x)=2x+1，則2x+1≥0，得x≥?12當a=?1時，f(x)=1，定義域為R，符合題意；當a≠±1時，由題意得關于x的不等式a2故a2?1>0Δ=(a+1)綜上，實數(shù)a的取值范圍是(?∞【鞏固練習3】已知函數(shù)fx的定義域x∣a2?4a<x<a2?8是關于xA．2+6,+∞C．2,2+6 D．【解題思路】依題意解不等式即可.【解答過程】函數(shù)fx定義域非空集，則a2－4a＜記gx因為?2?a<?2?2=?4，所以gx>0的解集為依題意有a2?8≤?a?2或a2?4a≥2，所以又a>2，a2+a>4+2=6，所以【題型8】抽象函數(shù)的定義域問題求抽象函數(shù)定義域的方法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a,b]，則復合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域為[a,b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a,b]上的值域.總結：抽象函數(shù)的定義域的方法是：整體代換法（括號內取值范圍相同）.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)復合函數(shù)定義域之間的關系進行求解即可.【詳解】∵函數(shù)的定義域為，即，可得，∴函數(shù)的定義域為，令，解得，故函數(shù)的定義域為.已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)的定義域求出的定義域，從而可求解.【詳解】因為函數(shù)的定義域是，所以，所以,即的定義域為，所以，解得，即的定義域是.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為()A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意得：，解得：，由，解得：，故函數(shù)的定義域是，故選：B．【鞏固練習1】已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為________【答案】【分析】根據(jù)復合函數(shù)定義域之間的關系進行求解即可.【詳解】∵函數(shù)的定義域為，即，可得，∴函數(shù)的定義域為，令，解得，故函數(shù)的定義域為.【鞏固練習2】已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】首先求出，則定義域為，再利用，解出即可.【詳解】，則，的定義域為，所以，解得，故其定義域為【鞏固練習3】已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，所以，所以．故選：D【鞏固練習4】（2024·陜西西安·一模）若函數(shù)fx的定義域是[0，4]，則函數(shù)gA．[0，2] B．(0，2) C．[0，2) D．(0，2]【解題思路】根據(jù)分式與fx【解答過程】要使函數(shù)有意義，依題意需有x≠00≤2x≤4解得，0<x≤2【題型9】分離常數(shù)法求值域一次分式函數(shù)：分離常數(shù)法+圖像法，形如的函數(shù)第一步：分離常數(shù)，將分子變?yōu)槌?shù)分離出常數(shù)和分子為常數(shù)的分式第二步：結合反比例函數(shù)的值域求函數(shù)的值域．函數(shù)的值域為________【答案】【詳解】因為，又因為，所以，所以函數(shù)的值域為．【鞏固練習1】（廣西南寧三中?？迹┤?，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點撥】將函數(shù)變現(xiàn)為，結合反比例函數(shù)的性質計算可得.【詳解】因為，又因為，所以，所以，所以，所以函數(shù)，的值域為．【鞏固練習2】函數(shù)的值域為________【答案】【詳解】因為，又因為，所以，所以函數(shù)的值域為．【題型10】換元法求函數(shù)的值域求根式型函數(shù)值域：換元法形如的函數(shù)第一步：把函數(shù)中的根式設為一個變量t，并用t表示x，求出t的取值范圍．第二步：將所求關于x的函數(shù)變換為關于t的函數(shù)．第三步：求出y的取值范圍，即所求函數(shù)的值域．函數(shù)的值域是．【答案】【思路點撥】通過變量代換將函數(shù)轉化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象與性質分析運算即可得解.【詳解】解：由題意，函數(shù)的定義域為，令，則，，函數(shù)轉化為，，∵，對稱軸為，最大值為，∴當時，，即值域為，∴函數(shù)的值域是.【鞏固練習1】（湖南長沙·高一長郡中學?？迹┖瘮?shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】A【思路點撥】設，化簡函數(shù)為，結合二次函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】設，則，且，則函數(shù)可化為，所以函數(shù)的值域為【鞏固練習2】函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】C【思路點撥】根據(jù)換元法以及二次函數(shù)的性質求解結果.【詳解】令，則．設函數(shù)，當時，取最大值9．因為，所以．函數(shù)的值域為.【鞏固練習3】（2024·湖北·三模）函數(shù)y=x?4x?x2A．2?22,4 B．0,4 C．0,2+22【解題思路】由4x?x2?0，解得0?x?4．可得函數(shù)f(x)=y=x?4x?x【解答過程】解：因為y=x?由4x?x2?0可得函數(shù)y=f(x)=x?4x?x2又f'(x)=1?2?x令gx=4x?x2?(2?x)，則令4x?x2?(2?x)=0即f(x)在0,2?2上單調遞減，在2?所以x=2?2又f(2?2)=2?22，f(0)=0∴函數(shù)y=x?4x?x2【題型11】對勾函數(shù)值域問題對于對勾函數(shù)，是修訂的必修一教材新增的內容，在P92頁以探究的形式出現(xiàn)（看課本上好像也沒有叫對勾函數(shù)），可以通過圖像法或構造基本不等式來求值域求函數(shù)的值域．【答案】【分析】考慮到和函數(shù)的兩個和式的積為常數(shù)，故可利用基本不等式求其最值，從而得到函數(shù)的值域，注意討論x的正負．【詳解】解：當當且僅當x=1取等號，當當且僅當x=1取等號故函數(shù)的值域為(-∞，-2]U[2，+∞)求函數(shù)的值域．（1）（2）【答案】；【鞏固練習1】求函數(shù)的值域．【答案】【鞏固練習2】求函數(shù)的值域．（1）（2）【答案】；【題型12】已知值域求參數(shù)范圍這類問題就是按照求值域的思路并與已知的值域建立聯(lián)系求參數(shù)的值。這個例題中，可以通過判別式法求值域，將值域的范圍轉化為判別式一元二次不等式中y的范圍，進而利用根與系數(shù)的關系求得參數(shù)。1、雖然這類題型往往是已知值域，但在實際做題分析時，仍然從求值域的角度入手分析。2、辨析值域為R或零到正無窮、定義域為R之間的區(qū)別不要死記判別式的情況，因為內層函數(shù)不一定是二次函數(shù)，我們要get到的是：為了讓值域能達到XX，我們內層函數(shù)最初提供的范圍，只能多不能少，因為受定義域限制，多的可以舍掉，但是提供的少了那可就真不夠了。3、其他一般題型，我們建議多多嘗試數(shù)形結合。若函數(shù)的值域為，則實數(shù)m的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】B【思路點撥】根據(jù)題意由二次函數(shù)值域利用判別式即可求得實數(shù)m的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)的值域為，所以能取遍所有大于或等于零的實數(shù)，即方程在實數(shù)范圍內有解．所以，解得．（2023上·寧波·余姚中學高一校考）已知函數(shù)的值域為，則函數(shù)的定義域為________【答案】【思路點撥】首先求出函數(shù)的定義域，再利用抽象函數(shù)的定義域求解【詳解】由值域為，得，故，即的定義域為，令得，故的定義域為【鞏固練習1】（襄陽市第一中月考）已知函數(shù)的值域為，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】【思路點撥】根據(jù)函數(shù)的值域為，可得是函數(shù)的值域的子集，再分和兩種情況討論即可.【詳解】因為函數(shù)的值域為，所以是函數(shù)的值域的子集，當時，，符合題意，當時，則，解得，綜上所述，.【鞏固練習2】（2023·山東省實驗中學?？迹┮阎瘮?shù)的定義域與值域均為，則實數(shù)的取值為（

）A．-4 B．-2 C．1 D．1【答案】A【思路點撥】依題意知的值域為，則方程的兩根為或，可得，，從而確定當時，取得最大值為，進而解得.【詳解】依題意，的值域為，且的解集為，故函數(shù)的開口向下，，則方程的兩根為或，則，，即，則，當時，取得最大值為，即，解得：.【題型13】分段函數(shù)及其應用分段函數(shù)問題往往需要進行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數(shù)問題，分段解決．（2024·吉林長春·三模）已知函數(shù)f(x)=2x,x>0f(x+2),x≤0，則A．1 B．2 C．4 D．8【解題思路】根據(jù)分段函數(shù)解析式，代入求值即可.【解答過程】由函數(shù)可得，f(?3)=f(?1)=f(1)=2（2024·廣東佛山·二模）如圖，△OAB是邊長為2的正三角形，記△OAB位