技巧04 解答題解法與技巧（練）-第二篇 解題技巧篇-《2022年高考數(shù)學二輪復習講練測（新高考全國卷）》【解析版】

《2022年高考數(shù)學二輪復習講練測(新高考?全國卷)》

第二篇解題技巧篇

技巧04解答題解法與技巧(練)

1.(廣東省深圳市2022屆高三下學期一模)如圖，在AABC中，已知AB=2,AC=6五,

ZE4C=45°,BC,AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點P.

(1)求NBA”的正弦值；

(2)求NA/PN的余弦值.

3

【答案】⑴弓

⑵酒

50

【解析】

【分析】

(1)解法1、由余弦定理求得BC=2ji§,得到BM=CM=:BC=a,分別在“IBM和

△ACW,求得8S/BM4和8S/CM4,結合ZBMA和NCM4互補，求得AA/=5,再在

△A8M中，求得cosNWM,即可求解；

解法2、由題意，求得通.航=12,根據(jù)4M=5(A8+AC),結合的面積為“18。面

積的：，列出方程，即可求解；

(2)解法1、由余弦定理求得BN二而,得到=2叵，從尸=￥，在△ABP中，由余

33

弦定理求得cosNAP8=U叵，即可求解：

50

又由ZMPN=ZAPB,所以cos/MPN=cosNAP8=^^.

50

解法2、由麗=-麗+；/，求得|網(wǎng)=而，結合向量的夾角公式，即可求解.

(I)

解：解法1、由余弦定理得5c2=A82+AC2-4B-AC?COSN8AC，

即BC2=2?+(6廚一2x2x6x/ix*=52，所以8C=2>/13,

所以8M=CM=，BC=Vn,

2

*uq人^㈤/n-BM2+AM2-AB2AM1+9

在4ABM中，由余弦定理，得cosNBMA=--------="，

28MAMJl3AM

人人力…E3CM2+AM2-AC2AM2-59

在人!。/中，由余弦定理，得cos/CM4=—————=-7=-----

2cM.4M厄AM

ZBMA與NCM4互補，則cosN8M4+cosNCM4=0,解得4M=5,

在AAaW中，由余弦定理，得8S/84M=48+4”-8M-，,

2ABAM5

因為284Me(0,1)所以sinNBAM=J1-cos?NBAM=|.

解法2、由題意可得，Afi-AC=|AS|x|AC|xcos45o=12,

由AM為邊8c上的中線，貝ij4M=5(4B+AC),

兩邊同時平方得，AM2=^AB2+^AC2+^AB-AC=25,故|而|=5,

因為M為BC邊中點，則的面積為△48C面積的g,

所以ABxAMxsinN8AM=L』ABxACxsinZBAC,

222

g|Jx2x5xsinZ.BAM=；xgx2x6&xsin45。，

3

化簡得，sin/BAM=1.

(2)

解：方法1、在dABN中，由余弦定理，得助V2=482+AN2-2A8TM〈OS45。,

所以BN二府，

由AM,8V分別為邊BC,AC上的中線可知P為AABC重心,

可得人抑=乎,”=|.*墨

P^+PB^AB213M

在△A5P中，由余弦定理，得cos/APB=

2PAPB~5(r

13M

又由NA/RV=NA08,所以cosZMPN=cosNAPB

50

解法2：

因為BN為邊AC上的中線，所以麗=麗+病一而

麗?麗二g（而+碼?（—而+3利=彳府而=13,

麗、｛戢+g祠=AB-ABAC-￥^AC=IO>即網(wǎng)=M.

而7?麗1313w

所以cosNMPN=

|麗^麗「5x麗一50

2.（2022.山東.青島二中高三開學考試）一道解三角形的題目有一個條件不清楚，具體如下:

在AABC中，cosA二匝,c=幣，,求C.

7

經(jīng)推斷橫線處的條件為三角形一邊的長度，且答案提示C=60。，試問在橫線上的條件是。

的長度還是。的長度？并逐一說明理由.

【答案】橫線處的條件為力=3；答案見解析.

【解析】

【分析】

分別計算兩種條件下，利用正弦定理、余弦定理求C即可根據(jù)結果判斷條件.

【詳解】

（1）將C=60?？醋饕阎獥l件.

由cosA=2^,<fsinA=—.

77

?4"'應

由正弦定理，得一｝=-則。="菅=-—一=2.

sinesinAsine，3

T

驗證如卜：若該條件為。=2,

?.rzV2T

由正弦定理，得二—=—4，則.rcsinAV7x_75,

sinCsinAsinc=--------=-------------=—

a22

由c=/j>2=a,得C=60。或C=120。，即C有兩解，但“答案提示C=60。”，所以不合題

意.

（2）將。=60?？醋饕阎獥l件.

sin8=sin(A+60°)=sinAcos60。+cosAsin60°

」+空4=詼;

27214

由正弦定理，得號=工,則人=*?=—/~=3；驗證如下：該條件為b=3,

sinCsinBsinC

T

由余弦定理，i9a2=b2+c2-2bccos>4=9+7-2x3x>/7x=4,即。=2,

所以=4+9—7=」,故c=60。.

lab2x2x32

綜上，橫線處的條件為b=3.

3.(西南四省名校2021-2022學年高三第二次大聯(lián)考數(shù)學(文)試題)在△ABC中，角A,

B,。的對邊分別為a,b,c,且A為銳角，〃=3&,附.送=3，再從條件①，條件②這

兩個條件中選擇一個作為己知.求：

⑴角4;

(2)△A8c的內切圓半徑匚

(l)Z?sin-^-^-=￡7sinB；(2)Z>tanA=(2c-b)tanB.

【答案】⑴?

0)25/J-戈

2

【解析】

【分析】

(1)若選條件①，由正弦定理邊化角，結合誘導公式可得；若選條件②，切化弦結合正弦

定理邊化角，然后可解；

(2)向量數(shù)量積結合余弦定理可得〃+小再由%改=?csinA=g(a+b+c)r可解.

(I)

若選條件①.

乃一A

由正弦定理得，sinBsin-----=sinAsin8,

2

因為8G(0,兀)，所以sinB>0,所以sin與A=sinA

.-.cos-=2sin-cos-,

222

又2任(0，1),所以COS^HO,所以sin^=；,

所以

Lo

所以.人=?

若選條件②.

phbtanA=(2c-b)tan8,

得sin=(2sinC-sinB),

cosAcosB

sinAcosB=2sinCcosA-sinBcosA,

/.sin(A+B)=2sinCcosA,

1

cosA=一,

2

vAe(O,7t)

3

(2)

由麗,近=c%cosA=3，得bc=6.

在&4BC中，由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA,

.?.18=S+C)2-3/?C,/.S+C)2=36,

:.b+c=6.

又=?csinA=耳(a+b+c)r,

A3

.=反sinA="2=石=百(2-應)=2舊-瓜.

"~a+b+c~3y/2+6~2+>/2~2~2

4.(遼寧省丹東市五校2020-2021學年高三上學期聯(lián)考數(shù)學試題)已知函數(shù)

/(x)=2>/5sinx8sx+28s21+用其中〃1為實常數(shù)，

⑴求/")的單調遞增區(qū)間；

⑵設集合4=卜|-4"3},已知當xeA時，/(力的最小值為2,當xwA時，求/(x)

的最大值.

【答案】(1)|~-彳+八5+壯］#wZ.

(2)4.

【解析】

【分析】

(1)運用三角恒等換化簡函數(shù)A*),再由-J+2版可求得函數(shù)

/(X)的單調遞增區(qū)間;

(2)由(1)得/(%)=2sin(2%+勻+1+m,由已知求得045皿(2聲卷)M1,由此可求得

答案.

(1)

解：因為/(力=2\/5$皿%以)訃+2852工+〃?，所以

f(x)=75sin2x+cos2x+l+m

=21—2sin2x+—2cos2xJ+1+TM

=2sin(2x++1+m,

所以/(x)=2sin(2x+%)+1+m,

th——+2kjr<.2.r+—<,—+2kjr,k<=Z,解得一匹工+上”，上wZ,

26236

所以/(力的單調遞增區(qū)間為1-g+Amg+A/?eZ：

L36J

(2)

解：由(1)得/(%)=2sin(2%+。+1+m,當一看菅時，0^2x+^^y,所以

0<sin(2-?，

所以/(X)"而=2x01+6=2,解得相=1,所以/a)max=2X1+1+1=4,

所以當xeA時，求“X)的最大值為4.

5.(2022?湖南?高一課時練習)已知函數(shù)"x)=cos：—2X)+2Gcos*x-\/3.

⑴若求函數(shù)/(力的值域；

(2)在“IBC中，。=1,c=&，且銳角8滿足f(8)=l,求6的值.

【答案】⑴［一有,2］；

(2)1

【解析】

【分析】

(1)先把“X)化簡為〃x)=2sin(2x+?｝即可求出值域；

(2)先求出角B,利用余弦定理即可求出〃.

⑴

.f(x)=+26cos2x-73=sin2x4-\/3cos2x=2sin2x+fl-

當嗚時，2X+-JG1，與，所以sin(2x+?)e—^,1,所以/(力工-6司,

即函數(shù)/(力的值域為[-6,2]

(2)

因為銳角8滿足"8)=1,所以2sin(2嗚)=1,解得：B=(

在△ABC中，a=1,c=>/2,B=?，

由余弦定理得：b=>Ja2+c2-2accosB=Jl+2-2xlx&x=1.

即邊長b=l.

6.(2022?安徽省宣城中學高三開學考試(文))設首項為2的數(shù)列｛%｝的前〃項積為7；,且

_(n+2)anTn

_?

n

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設仇=，，求數(shù)列｛"｝的前〃項和

【答案】(1)%=〃2+〃

⑵羔

【解析】

【分析】

(1)由遞推關系可得也=9,再由累乘法求數(shù)列的通項公式;

凡〃

(2)根據(jù)裂項相消法求數(shù)列的和即可.

(1)

??r_(〃+2)《工

?4+1―

n

由累乘法得,

a

〃一44~〃“-2&42〃

"%4.2%.3%出4

〃+lnn-\543.(八

n-ln-2n-3321'7

當〃=1時，4=2也滿足上式，

2

an=n+n.

(2)

2

由(1)知，an=n+n,

,111

?b=------=-------

**w〃(〃+1)nn+i'

,小，，,,11111,1n

則rI1S”=b.+仇H-----\-b?=1---1-----1-…4--------=1-----=----

"I?"223nn+\〃+1n+l

7.(2021?江蘇?高考真題)已知向量1=(-2百sin.acos?%),^=(cosx,6),設函數(shù)/(x)=a石.

(1)求函數(shù)〃x)的最大值；

(2)在銳角中，三個角A,B,C所對的邊分別為。，b,。,若f⑻=Qb=@,

3sinA—2sinC=0,求△ABC的面積.

【答案】(1)=273+3；(2)半.

【解析】

【分析】

(1)結合平面向量的數(shù)量積運算、二倍角公式和輔助角公式，可得了⑶=26皿(2'+|乃)+3,

進而可得人幻的最大值；

(2)由銳角“18。，推出-。<28-9〈年，再結合f(B)=0,求得5=2，由正弦定理

知力=幼，再利用余弦定理求出0=2,c=3,最后由三角形面積公式得解..

【詳解】

(1)因為a=(-2Qsinx,cos2x),Z>=(cosx,6),

所以函數(shù)〃x)=￡"；

=-2-75sinxcosx+6cos2x=—75sin2x+3cos2x+3

,當sin(2x+石=1時，〃力72六+3

(2),.,△他。為銳角三角形，二.0〈8吟

2S

：.^<2B+-7T<-7T又:/(BjuO

33

.,.sin(28+2；r]=----2B+-^=~/r:.B=—

[3)2333

,.?3sinA-2sinC=O3a=2c

cosB—'c?"」即/+'-7J

2"23^~2

a=2fc=3

...S-x2x3x與邁

△222

8.（2021?山東?高考真題）已知拋物線的頂點是坐標原點。，焦點尸在x軸的正半軸上，。是

拋物線上的點，點。到焦點產(chǎn)的距離為1,且到）'軸的距離是］

O

（1）求拋物線的標準方程:

（2）假設直線/通過點M（3,l）,與拋物線相交于A,5兩點，且。4_LO8,求直線，的方

程.

【答案】（1）/=|x；（2）2x-y-5=0.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，結合。到焦點、y軸的距禽求〃，寫出拋物線方程.

（2）直線/的斜率不存在易得0A與08不垂直與題設矛盾，設直線/方程聯(lián)立拋物線方程,

應用韋達定理求再，%+超，進而求到,必，由題設向量垂直的坐標表示有％=0

求直線方程即可.

【詳解】

（1）由己知，可設拋物線的方程為y2=2px,又。到焦點戶的距離是1,

工點。到準線的距離是1,又。到y(tǒng)軸的距離是，

???與=1-1解得P="則拋物線方程是y2=，.

2o42

（2）假設直線/的斜率不存在，則直線/的方程為工=3,與丁=：工聯(lián)立可得交點A、8的

坐標分別為0,3,一孚，易得麗.麗=|,可知直線04與直線。8不垂直，不

滿足題意，故假設不成立,

???直線/的斜率存在.設直線/為y-l=Mx-3）,整理得y=丘-3A+I,

y=kx-3k+\

設A（XQJ,雙格為），聯(lián)立直線/與拋物線的方程得｛2=二，

3~2X

消去丁，并整理得小/一（6公—2A+|卜+9公一6左+1=0,于是％=%產(chǎn)，

6k2-2k+-

xi+x2=—星~工'

22

/.y?y2=（kx1-3k+1）（Ax,-3^+1）=kx^x^-k（3k-1）（^+x,）+（3&+1）=""5,

~2k

又OA工OB,因此方?麗=0，艮］XF+y%=0，

?9匕一6k+I—15k+5AnzaI1-P7o

??-------；------+———=0,解得或%=2.

k2k3

當&=：時，直線/的方程是），,不滿足OA_LOB,舍去.

當無=2時,直線/的方程是》一1:2（1一3）,即2%-y-5=0,

.?.直線/的方程是2x-y-5=0.

9.（2021?江蘇?高考真題）己知橢圓C:'，=l（a>b>0）的離心率為中.

（1）證明：a=J3b:

（2）若點加（得,一普在橢圓。的內部，過點用的直線/交橢圓C于P、。兩點，M為線

段PQ的中點，且。尸_LOQ.

①求直線/的方程；

②求橢圓C的標準方程.

【答案】（1）證明見解析；（2）①任-y-6=0；②?+丁=1.

【解析】

【分析】

（1）由2=71二7可證得結論成立：

a

（2）①設點尸（不凹）、。（七,必），利用點差法可求得直線/的斜率，利用點斜式可得出所

求直線的方程：

②將直線/的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，列出韋達定理，由OP^OQ可得出麗?麗=0,利

用平面向量數(shù)量積的坐標運算可得出關于從的等式，可求出從的值，即可得出橢圓C的方

程.

【詳解】

222

（2）①由（1）知，橢圓。的方程為=1,gpx+3y=3ht

當島關在橢圓。的內部時，信）+3{-4]<3/，可得，，迎

X.>IJI/"'

x}+x2_9

21°廠，所以,y+乃二后,

設點P（%,yJ、。（與%），則

y+%_J3x}+x29

2To

*+3y；=3b2

由已知可得，兩式作差得（藥+々）（百一七）+3（y+%）（?一%）二°.

W?3y；■3b2'

所以臺19=6,

=------X1F

3(X+%)3

所以，直線/方程為即y=6x-G.

所以，直線/的方程為石x-y-G=0；

x2+3y2=3b2

②聯(lián)立■消去）'可得10/一i8x+9—3必=0.

y=>^(x-l)

△=18?-40(9-勸2)=1206-36>0,

99一劭2

由韋達定理可得芭+W，中2=]0，

又???OP1OQ,而麗=(內方)，而=(.,%)，

0P-OQ=xlx2+yly2=演%+75(司一力后伍-1)=4%占-3(%+x))+3

2(9-3^)-274-156-6//八

55

解得〃=1合乎題意，故/=3/=3,

因此，橢圓C的方程為,+V=i

10.（2021?天津?高考真題）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-AAGR中，E為棱BC的中

點，/為棱C。的中點.

（I）求證：R廣〃平面AEG；

（ID求直線AC與平面AEG所成角的正弦值.

（HD求二面角A-4G-E的正弦值.

仄1

【答案】（I）證明見解析；（II）—；（III）

93

【解析】

【分析】

（I）建立空間直角坐標系，求出而及平面AEG的一個法向量而，證明印_L肩，即可得

證；

（II）求出猬，由sin?！籧os（加對，運算即可得解；

（III）求得平面小C的一個法向量方，由8s（麗，動=篇病結合同角三角函數(shù)的平方

關系即可得解.

【詳解】

（I）以A為原點，分別為％,y,z軸，建立如圖空間直角坐標系，

則A（0,0,0）,A（0,0,2）,B（2,0,0）,C（2,2,0）,0（0,2,0）＜（2,2,2）.〃（0,2,2）,

因為E為棱8C的中點，產(chǎn)為棱CD的中點，所以磯2,1,0）,尸（1,2,0）,

所以印=（1,0,—2）,稻=（2,2,0）,率=（2,1,—2）.

設平面A^G的一個法向量為而=（玉,y,zj,

m-AG=2司+2y=0

令.q=2,則〃?=（2,-2,1）,

m-AiE=2xi+Jt-2Z[=0

因為布?而=2-2=0,所以印J_前,

因為RFU平面A《G，所以RF//平面AEG；

(II)由(1)得，Aq=(2,2,2),

設直線AG與平面AEG所成角為仇

則sin”卜噸祠卜犒=康=手

(III)由正方體的特征可得，平面9G的一個法向量為麗=(2,-2,0),

/~r^n一\DB,m825/2

則30則=同甲荻TT亍，

所以二面角4-AG-E的正弦值為Jl-cos2(而，同=|.

11.(2021?天津?高考真題)已知a>0,函數(shù)=

(I)求曲線y=/(x)在點(0J(0))處的切線方程：

(II)證明/⑺存在唯?的極值點

(III)若存在。，使得f(x)?a+方對任意xwR成立，求實數(shù)6的取值范圍.

【答案】(I)y=(?-l)x,(a>0);(II)證明見解析；(III)[-^-Ko)

【解析】

【分析】

(I)求出“X)在x=0處的導數(shù)，即切線斜率，求出f(0),即可求出切線方程；

(H)令/'(力=。，可得a=(x+l)F,則可化為證明y=。與丁=8(?僅有一個交點，利用

導數(shù)求出g(4)的變化情況，數(shù)形結合即可求解；

(III)令人(工)二任—%—1),題目等價于存在xe(T,x),使得即

b^hMmin,利用導數(shù)即可求出力(x)的最小值.

【詳解】

(I)r(x)=a-(x+l)e"則/'(0)=1,

又/(o)=o,則切線方程為y=3-i)x,(“>0)；

(II)f\x)=a-(x+\)ex=0,則。=(x+l)e\

令g(x)=(x+l)ex,則g'(x)=(x+2>x,

當xe(-oo,-2)時，g'(x)<0,g(x)單調遞減；當xe(—2,田)時，g〈x)>0,g(x)單調遞

增，

當XTYO時，g(x)<0,g(—l)=O,當x―物時，g(x)>0,畫出g(x)大致圖像如下：

所以當a>0時，y與y=g(力僅有一個交點，令g(m)=a,則心T,且

fXm)=a-g(m)=O,

當X￡(YO,/W)時，a>g(x),則/'(x)>0,/(x)單調遞增，

當xe(m,+8)時，a<g(x),則/'(x)vO,/(x)單調遞減，

x=m為/(x)的極大值點，故〃幻存在唯一的極值點；

(III)由(II)知/(初皿二八⑼，此時。=(l+m)/,7>-l,

所以=/。%)-4=("?2-〃7-1)/,(〃?>一1),

令"(%)=(%2-%-］)—,(3>一］),

若存在。，使得+b對任意xeR成立，等價于存在］￡(-1,+00),使得人(%)4人，即

力之/心焉，

"(x)=(x2+x-2)=(x-l)(x+2)ex,x>-\,

當X€(—U)時，”(x)<0,〃(x)單調遞減，當X￡(l，田)時，〃3>0,〃(同單調遞增,

所以Mx"：。=%(1)=-e,故bN—e,

所以實數(shù)b的取值范圍［-e,E).

12.(2021?全國?高考真題)已知函數(shù)〃x)=(x-l)--渥+b.

(1)討論/(X)的單調性；

(2)從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點

?—<a<—,b>2a；

22

②0<〃42a.

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調性即可；

(2)由題意結合(1)中函數(shù)的單調性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結論.

【詳解】

⑴由函數(shù)的解析式可得：f\x)=x(ex-2a),

當上0時,若X?YO,0),則fG)vOj(x)單調遞減，

若4?0,田),則尸(x)>0J(x)單調遞增;

當0<舊時，若x?f0,ln(2a)),則/單調遞增，

若x?ln(240),則/。)<0,/(力單調遞減，

若Jw(0,+oo),則尸(x)>0,/(x)單調遞增：

當。=；時，尸(X)2OJ(X)在R上單調遞增；

當時，若xw(-oo,0),則力單調遞增，

若Xw(0,In(初),則/*(x)<0,/(x)單調遞減，

若工?歷(勿),包)，貝ijf(x)>0J(x)單調遞增；

(2)若選擇條件①：

由于5cq,故貝|力>2〃>1,/(0)=力一1>0,

而《詞+七產(chǎn)-…⑷

而函數(shù)在區(qū)間(TQO)上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間(f,o)上有?個零點.

/(ln(2t/))=24/[ln(2t?)-lj-a[ln(2^)]2+b

>2a[ln(2a)-l]-a[ln(2a)]-+2a

=2aIn(2a)-a[in(2a)了

=aln(2〃)[2-ln(2?)],

由于5<4,5，Iv2a4e"故aln(2a)[2-ln(2a)]之0,

結合函數(shù)的單調性可知函數(shù)在區(qū)間(O,+8)上沒有零點.

綜上可得，題中的結論成立.

若選擇條件②：

由于故2a<1,M/(0)=Z?-l<2^-l<0,

當bNO時，?2>4,4〃<2,f(2)=e1-4a+b>0,

而函數(shù)在區(qū)間(0,”)上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間(0,也)上有?個零點.

當方<0時，構造函數(shù)〃(力=-7-1,則〃("="一1,

當xe(F0)時，〃(x)<O,”(x)單調遞減，

當Jw(0,+oo)時,"(x)>0,"(x)單調遞增,

注意到"(0)=0,故"(x)NO恒成立，從而有：e-x+l,此時：

/(x)=(x-l)er-ax2-b>(x-l)(x+l)-ar2+/>=(1-a)d+0-1),

當才>舊<,(1-西+伍-1)>0,

取4=+1,則/(&)>0,

即:/(o)<o,/^-j-^+i>0,

而函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間(0,y)上有一個零點.

f(ln(2a))=2a[ln(2a)-l]-a[lni：2a)丁+b

<2a[ln(2a)-l]-a[ln(2a)]2+2a

=2aIn(2a)-apn(2a)J2

-aln(2a)[2-ln(2a)],

由于0<a<；,0<2a<\,故aln(2a)[2-ln(2a)]vO,

結合函數(shù)的單調性可知函數(shù)在區(qū)間(-8,0)上沒有零點.

綜上可得，題中的結論成立.

2

13.(2022?上海?高考真題)在橢圓=+9=1中，直線/：x=a上有兩點C、。(。點在第

一象限)，左頂點為4,下頂點為B,右焦點為E

(1)若NAF8=J,求橢圓「的標準方程；

(2)若點C的縱坐標為2,點。的縱坐標為1,則與A。的交點是否在橢圓上？請說明理

由；

(3)已知直線8c與橢圓「相交于點P,直線AO與橢圓T相交于點。，若P與。關于原點對

稱，求IC。的最小值.

【答案】⑴二+y2=l

4

⑵交點為有令，在橢圓上，理由見解析

(3)6

【解析】

【分析】

(1)寫出A8,產(chǎn)三點的坐標，可將tanNA所用坐標表示出來，求出c的值，再結合已知條

件，即可求出進而寫出橢圓的標準方程；

(2)根據(jù)條件，寫出直線5C和4。的方程，求出交點坐標，再將其代入橢圓標準方程的

左邊，即可判斷該點與橢圓的位置關系；

(3)利用三角換元(或者橢圓的參數(shù)方程)的方法設出點P，。的坐標，再結合點A8的坐

標，寫出直線所和AQ的方程，求出點CO的坐標，表示出|CO|,再利用三角恒等變換以

及同角三角函數(shù)關系化簡IC。I，最后根據(jù)重要不等式計算出ICD|的最小值.

(D

由題可得4一。,0),8(0,-1),F(c,0),又=2,

6

所以tanNAFB=—='!?=tan-=—,解得c=6，

cc63

所以。2=1+(6)2=4,

故橢圓「的標準方程為1+丁=1:

4-

(2)

3

由B(0,T),C(a,2),得直線的方程為：y=-x+l,

a

由A(-a,O),D(a,l),得直線A。的方程為：y=—(x+?),

2a

聯(lián)立兩方程，解得交點為(￡1)，

(―)2

代入橢圓方程的左邊，得5、，42二9|16二0

a2*5-2525-

故直線BC與AD的交點在橢圓上；

(3)

由題有4—。，0)，8(0,—1)

因為尸，。兩點在橢圓上，且關于原點對稱，

則設P(acos6,sin。),Q(—acos。,一sin6),

士心nnsinJ+1,sin6+l.、

直線BP：產(chǎn)""7'則C3'BF'

土山,八sin。，、同~2sin6、

直線A。：尸瓦加("〃)’則前二I)

sin0+12sin0

所以|CD|=——1—-

cos0cos0-1

2sin^cos^sin^cos^人.ee

++4sin—cos一

222222-1

-2sin2—

222

設出n?=f，則|C/)|二力；；2+1+[_]=2++:—l

I1x+y、x+y4

—+—=----N

因為Xyxy[x+yjX+y,

所以±+1一1之1二一1=3,則|8|之6,即|cq的最小值為6.

14.(2022?山東?青島二中高三開學考試)已知等比數(shù)列｛/｝的各項均為正數(shù)，且

M4Z=4”(〃WN)

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)設｛6｝的前〃項和為S“，max｛4耳表示。與人的最大值，記"=max｛a〃,S“-7,求數(shù)列

他｝的前〃項和

【答案】⑴凡二2"

⑵r十=42w-l,l<n<4

”[2w+,-8/1+15,w>5

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意，令〃=1、H=2,列出方程組，解方程組可得公比，進而求出首項，利用等比

數(shù)列的定義即可求出通項公式；

(2)由⑴，根據(jù)等比數(shù)列前〃項求和公式求出，，可得7)=2、2"-\根據(jù)題意給的

[a.,1<?z<4

定義求得所以,、<，再次利用等比數(shù)列前〃項求和公式計算即可.

1st-7,〃N5

(1)

設｛4｝的公比為式q>U).

加……),得圖二?

②XD，得。2=4,結合q>0,解得4=2.將q=2代入①，解得4=1,

所以數(shù)列｛q｝的通項公式為，“二2””.

(2)

由(1),S.=2”—I,則勺一(S“-7)=2"T—(2"-1—7)=23—21,

(a.,l<n<4

從而當〃之5時，an<Sn-l.當時，qNS.-7,所以“=仁

Sa-7,n>5

時，Tn=bl+b2+bi+b4+b5+b6+L+bn

=(4+?2+?3+a4)+(55-7)+(56-7)+L+(S“-7)

=24-l+(25-8)+(26-8)+L+(2r-8)

=15+(25+26+L+2")-8(〃-4)

=47-8〃+—^--------^=2/|-8〃+15?

1-2

r-l,l<n<4

綜上'『*-8〃+15,〃”

15.(遼寧省丹東市五校2020-2021學年高三上學期聯(lián)考?)已知等差數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)歹IJ,

且P?,14),。(《』4)都在尸x+?的圖像上.

⑴求數(shù)列｛4,｝的通項公式和前〃項和S“

⑵設我=磔*，求數(shù)列出｝的前〃項和。，且求％取值范圍?

2

【答案】（1）《=2〃+1,Sn=n+2n,

⑵7>-1+（-1）”&（-2,+8）.

【解析】

【分析】

（1）由已知建立方程組，求得%=5,4=9,再利用等差數(shù)列的通項公式和求和公式可求

得答案；

（2）由（1）得以二（-i）"（！+一y,分〃為奇數(shù)，〃為偶數(shù)兩種情況，分別求得0,再將

\nn+\J

不等式等價于令%=（7）"-（〃+1）,由數(shù)列的單調性可求得答案.

（1）

45-

a---=14

2a、45

解：由題意得代，即%%是方程%+上=14的兩個根，即知4是方程

45..x

(x-5)(x—9)=0的兩個根,

又數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，解得%=5,4=9,所以等差數(shù)列｛q｝的公差4=字今=泊=2,

4—24—2

所以4=5-2=3,

所以q=3+2(〃—1)=2/1,S”=3〃+2X^^=〃2+2〃：

(2)

(T)Z=(一式(2刀+1)

解:由（1）得包=

+〃僅+1)=(-W)

當〃為奇數(shù)時，q=_（i+￡|+（g+｛）_|｝+￡）+…=T_.，

當〃為偶數(shù)時，一（局+（/>

所以<=T+（T）"-p

由高，即一+（一）"高<高，得彳>（一1）"一（〃+1），

令%=(-1)"一(〃+1)，

當〃為奇數(shù)時，cn=-2-n,且…，

當曾為偶數(shù)時，％=一〃，且。2工“6>…，

又q=-3,C2=-2>-3,所以尢>一2,故；I取值范圍為(—2,+8).

16.(2021?四川?寧南中學高二階段練習(理))已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為

5"嗎=l，/+i=S”+1.

(1)求數(shù)列｛6,｝的通項公式；

(2)設勿,求數(shù)列｛《〃｝的前〃項和為M..

【答案】(1)%=2小

⑵M“=3+(2〃-3>2”

【解析】

【分析】

(1)由遞推關系得數(shù)列｛&｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，進而根據(jù)公式求解即可;

(2)由題知a/“=(2〃-l)2”T,進而根據(jù)錯位相減法求解即可.

(1)

解：因為。向=S”+1,所以/+2=S”+]+l,

所以勺+2-%=4+1，即4+2=2%,

因為q=1,。2=4+1=2,

所以數(shù)列｛4｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，

所以凡=2T

(2)

解:由⑴得々=21%％-1=2叫22”-1=2〃-1,

所以〃也=(2〃—l)2j

所以M”=lx20+3x2i+5x22+...+(2〃-l).2"T,

23

2A/rt=1x2'+3x2+5x2+???+(2n-1)-2",

所以一加”=1+2(21+22+...+21)-(2〃-1)2"=1+2-2”—4一(2〃一1>2”,

所以a=3+(2〃-3)2

17.(2022?山東濰坊?高三期末)已知公差不為。的等差數(shù)列｛0｝,何=4%，

%+%+%=153.記2=[lga“],其中㈤表示不超過x的最大整數(shù)，?zn[0.7]=0,[1.9]=1.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)求數(shù)列出｝前101項和.

【答案】⑴見二1?！?

(2)192

【解析】

【分析】

(1)利用等差數(shù)列的通項公式基本量計算出首項和公差，求出通項公式；

(2)解不等式得到a=[lgaj=0.當2K〃K10時，bn=[lgow]=l,當11K〃工100時，

Z>?=[lgti?]=2,當〃=101時，bn=[lga?]=3,從而求出前101項和.

(1)

設等差數(shù)列公差為d,(4+4)2=4(4+127),

又《+為=2%,故3&=153,即％=51,

所以q+5d=51,解得：d=10或0(舍去)，求得：4=1,

數(shù)列｛為｝的通項公式為=l+10(n-l)=10/i-9；

(2)

N=[lga,]=[lg(l0"—9)],令4=10〃一921000得：〃2100.9,

令%=10〃-92100,解得：〃之10.9,令4=10〃-9210,解得：n>1.9,

當〃=1時，=10/2-9=1

故4=[lg?J=0

當2W〃W10時，bn=[lg?n]=l,

當時，〃=[lgq』=2,

當〃=101時，bn=[lgan]=3,

設出｝的前幾項和為r“，所以％=0x1+1x9+2x90+3=192.

18.(2022.廣東?信宜市第二中學高三開學考試)如圖，四棱錐S-ABC。的底面是正方形,

ACC\BD=OtAB=2,SA=SB=SC=SD=2>/2尸為側棱SO上的點，且SP=3PD.

⑴求證：SO_L平面ABCD；

（2）求二面角P-AC—O的大小.

【答案】（1）證明見解析；

O

【解析】

【分析】

（1）利用線面垂直的判定定理即證；

（2）利用坐標法即求.

（1）

因為四邊形48CD是正方形，

所以點。是AC,8。的中點，

因為S4=SC,SB=SD,

所以SO_LAC,SOLBD,ACC\BD=Ot

所以5O_L平面A6C。；

（2）

因為四邊形A8co是正方形，ACC\BD=O,

所以AC_L肛

由（1）知SO_LAC,SO±BD,

如圖以點。為原點，元兩漏的方向為元軸，》軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系,

則A(-VJ,0,0),C("0,0),0(0,72,0),p(o,,B(0,-V2,0),S(0,0,倔,

則/=（2垃,0,0）,而=（近乎,4），而=（_&,乎,q）,

易知平面ACO的一個法向量為歷=（0,0,1）,

設平面PAC的一個法向量為7=（上，y,z）,則

>1AC=O“n_LL

Z.湎=0，卬0…逑"漁7=0,

44

令z