《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)（微課版）》 習(xí)題及答案 第2章

PAGE習(xí)題2.11.試用隨機(jī)變量描述下列試驗(yàn).（1）某城市110呼叫中心每天收到的呼叫次數(shù)；（2）某公交汽車站，每隔10分鐘有一輛114路公交車通過，觀察乘客等車時(shí)間.【解】（1）X表示“呼叫次數(shù)”，則X=i表示“呼叫i次”，i=0,1,2,…；（2）X表示“乘客等車時(shí)間”，則X取值于[0,10]上所有實(shí)數(shù).2.盒中裝有大小相同的10個(gè)球，編號(hào)分別為0，1，…，9，從中任取一個(gè)球，觀察其號(hào)碼.用隨機(jī)變量表示事件“號(hào)碼小于5”，“號(hào)碼等于5”，“號(hào)碼大于5”，并求其概率.【解】設(shè)隨機(jī)變量X表示取到球的號(hào)碼，則X的所有可能取值為0，1，…，9.X<5表示“號(hào)碼小于5”，且；X=5表示“號(hào)碼等于5”，且；X>5表示“號(hào)碼大于5”，且.習(xí)題2.21.袋中有5只同樣大小的球，編號(hào)分別為1，2，3，4，5.在袋中任取3只球，設(shè)X表示3只球中的最大號(hào)碼，試求X的分布律.【解】隨機(jī)變量X的可能取值為3,4,5，且故X的分布律為X345P0.10.30.62.設(shè)每次同時(shí)拋擲兩枚骰子，直到有一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)為止，設(shè)拋擲次數(shù)為X，試求X的分布律.【解】設(shè)Ai={第i枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)},（i=1,2），P(Ai)=.且A1與A2相互獨(dú)立，再設(shè)C=“每次拋擲出現(xiàn)6點(diǎn)”.則故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布.3.（1）設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=，其中k=0,1,2,…,λ＞0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.（2）設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P{X=k}=a/N，k=1，2，…，N，試確定常數(shù)a.【解】（1）由，則.（2）由，則.4.設(shè)某停車場每天有200輛車在此停車，為方便車主充電，該停車場計(jì)劃配備充電樁.設(shè)每天某一時(shí)刻每輛車在此充電的概率為0.02，且各輛車是否充電相互獨(dú)立.試問該停車場需配備多少個(gè)充電樁，才能保證某一時(shí)刻每輛車需充電而沒有空余充電樁的概率小于0.01？【解】設(shè)X為某一時(shí)刻需要充電的汽車數(shù)，則X~b(200,0.02)，設(shè)該停車場需配備N個(gè)充電樁，則有，即，利用泊松近似，則，查表得N≥9，故至少應(yīng)配備9個(gè)充電樁.5.設(shè)每天有大量汽車通過一個(gè)十字路口，設(shè)每輛車在一天的某時(shí)段出事故的概率為0.0001.在某天的該時(shí)段內(nèi)有1000輛汽車通過這個(gè)路口，試?yán)貌此啥ɡ碛?jì)算出事故的次數(shù)不小于2的概率.【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù)，則X~b(1000，0.0001)，由泊松定理可知，X近似服從P(0.1).則6.設(shè)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行5次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的次數(shù)為X.若，試求概率.【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為p，則，故.則.7.設(shè)抽檢產(chǎn)品時(shí)，每次抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn).設(shè)每次抽檢取到不合格品的概率為0.3，當(dāng)取到不合品不少于3次時(shí)，機(jī)器暫停運(yùn)行.（1）抽檢5次產(chǎn)品，試求機(jī)器暫停運(yùn)行的概率；（2）抽檢7次產(chǎn)品，試求機(jī)器暫停運(yùn)行的概率.【解】（1）設(shè)X表示抽檢5次產(chǎn)品時(shí)取到次品的次數(shù)，有X~b(5,0.3)，則.（2）設(shè)Y表示抽檢75次產(chǎn)品時(shí)取到次品的次數(shù)，有Y~b(7,0.3)，則.8.設(shè)某市110指揮中心在時(shí)長t小時(shí)的時(shí)間間隔內(nèi)，收到的報(bào)警次數(shù)X服從P(t/2)，而與時(shí)間間隔起點(diǎn)無關(guān).（1）求某日12:00~15:00沒收到報(bào)警的概率；（2）求某日12:00~17:00至少收到1次報(bào)警的概率.【解】（1）t=3時(shí)，X~P(3/2)，則.（2）t=5時(shí)，X~P(5/2)，則.9.設(shè)隨機(jī)變量X，Y的概率分布分別為P{X=k}=,k=0,1,2,P{Y=m}=,m=0,1,2,3,4.如果已知，試求.【解】由，則從而10.某雜志出版發(fā)行2000冊(cè)，每冊(cè)出現(xiàn)裝訂錯(cuò)誤的概率為0.001.試求這2000冊(cè)雜志中恰有5冊(cè)出現(xiàn)裝訂錯(cuò)誤的概率.【解】令X為2000冊(cè)雜志中出現(xiàn)裝訂錯(cuò)誤的冊(cè)數(shù)，則X~b(2000,0.001).利用泊松近似計(jì)算，，得.11.某運(yùn)動(dòng)員練習(xí)投籃，每次投中的概率為3/4，以X表示他首次投中時(shí)的投籃次數(shù)，試求X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率.【解】X取偶數(shù)的概率為.12.某中學(xué)有2500名學(xué)生購買了某保險(xiǎn)公司的學(xué)平險(xiǎn)，每名學(xué)生每年的保費(fèi)為120元，在一年中每名學(xué)生在校發(fā)生意外的概率為0.002，而發(fā)生意外時(shí)學(xué)生家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2萬元賠償金.試求針對(duì)該校學(xué)平險(xiǎn)這項(xiàng)業(yè)務(wù)：（1）保險(xiǎn)公司虧本的概率;（2）保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10萬元、20萬元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.（1）保險(xiǎn)公司在該校學(xué)平險(xiǎn)總收入為2500×120=300000元，設(shè)1年內(nèi)發(fā)生意外的學(xué)生數(shù)為X，則X~b(2500,0.002)，由n很大，p很小，λ=np=5，由泊松定理X近似服從P(5)，則.（2）保險(xiǎn)公司獲利不少于10萬元的概率為.保險(xiǎn)公司獲利不少于200元的概率為.習(xí)題2.31.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)如下：試在(1),(2),(3)處填上合適的數(shù).【解】由知②填1；由右連續(xù)性，可知，故①為0，從而③亦為0.即2.已知?jiǎng)tF(x)是________隨機(jī)變量的分布函數(shù).離散型(B)連續(xù)型(C)非連續(xù)亦非離散型【解】因?yàn)镕(x)在(∞,+∞)上單調(diào)不減右連續(xù)，且，，所以F(x)是一個(gè)分布函數(shù).由F(x)在x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故F(x)是非連續(xù)亦非離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù).選(C).3.在區(qū)間[0,a]內(nèi)隨機(jī)投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，該質(zhì)點(diǎn)落在[0,a]中任意子區(qū)間內(nèi)的概率與該子區(qū)間的長度成正比例，設(shè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為X，試求X的分布函數(shù).【解】任取區(qū)間，由題意可知，其中k為比例系數(shù).令，則有，故由，則當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=0；當(dāng)x>a時(shí)，F(xiàn)(x)=1；當(dāng)0≤x≤a時(shí)，；即4.設(shè)一批同型號(hào)的零件共有15個(gè)，其中有2只零件為次品，每次在這批零件中任取1只，共取3次，取后不放回.設(shè)X表示取出的次品個(gè)數(shù)，求：（1）X的分布律；（2）X的分布函數(shù)并作圖；（3），，，.【解】（1）X的可能取值為0,1,2.故X的分布律為X012P（2）當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=0；當(dāng)0≤x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=P(X=0)=；當(dāng)1≤x<2時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=P(X=0)+P(X=1)=；當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=1.故X的分布函數(shù)為5.某射手練習(xí)射擊時(shí)，向同一目標(biāo)獨(dú)立射擊3次，設(shè)每次擊中目標(biāo)的概率為0.8.試求3次射擊中，（1）擊中目標(biāo)的次數(shù)X的分布律；（2）X的分布函數(shù)；（2）3次射擊中至少擊中2次的概率.【解】（1）設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X的可能取值為0，1，2，3.故X的分布律為X0123P0.0080.0960.3840.512（2）X的分布函數(shù)為（3）習(xí)題2.41.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為則區(qū)間[a,b]等于________.[0,π/2](B)[0,π](C)[,0](D)[0,]【解】在上sinx≥0，且，故f(x)是概率密度.在上，故f(x)不是概率密度.在上，故f(x)不是概率密度.在上，當(dāng)時(shí)，sinx<0，f(x)也不是概率密度.故選(A).2.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,求：（1）A值；（2）P{0<X<1}；（3）F(x).【解】（1）由得，故.（2），（3）當(dāng)x<0時(shí)，；當(dāng)x≥0時(shí)，.故3.設(shè)隨機(jī)變量X分布函數(shù)為（1）求常數(shù)A,B；（2）求P{X≤2},P{X＞3}；（3）求X的概率密度f(x).【解】（1）由得（2），.（3）4.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求X的分布函數(shù)F(x)，并畫出f(x)及F(x).【解】由，當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=0；當(dāng)0≤x<1時(shí)，當(dāng)1≤x<2時(shí)，；當(dāng)x≥2時(shí)，.即5.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為（1）；（2）f(x)=試確定常數(shù)a,b,并求其分布函數(shù)F(x).【解】（1）由知，故.即概率密度為由，故當(dāng)x≤0時(shí)，；當(dāng)x>0時(shí)，.即（2）由，得b=1.即X的概率密度為由，故當(dāng)x≤0時(shí)，F(xiàn)(x)=0；當(dāng)0<x<1時(shí)，；當(dāng)1≤x<2時(shí)，；當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)(x)=1.即6.設(shè)某種通訊儀器內(nèi)安裝有3只同型號(hào)的電子管，該型號(hào)電子管使用壽命X（單位：小時(shí)）的密度函數(shù)為試求：（1）在開始儀器開始使用的150小時(shí)內(nèi)無電子管損壞的概率；（2）在這段時(shí)間內(nèi)只有1只電子管損壞的概率；（3）X的分布函數(shù)F(x).【解】（1），設(shè)開始150小時(shí)內(nèi)，3只電子管中損壞的電子管數(shù)為Y，則Y~b(3,1/3).則.（2）.（3）當(dāng)x<100時(shí)，F(xiàn)(x)=0當(dāng)x≥100時(shí)，.故7.設(shè)隨機(jī)變量.對(duì)X進(jìn)行3次獨(dú)立觀測，求至少有兩次的X觀測值大于3的概率.【解】由X~U[2,5]，有則.設(shè)三次觀測中，觀測值大于3的次數(shù)為Y，則Y~b(3,2/3)，則.8.設(shè)某時(shí)間段內(nèi)，車主在某加油站等待加油的時(shí)間X（單位：分鐘）服從參數(shù)為1/5的指數(shù)分布.某人在該加油站等待加油，若超過10分鐘就離開.若他一個(gè)月要加油5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)未等到加油而離開加油站的次數(shù)，試求Y的分布律，并求P{Y≥1}.【解】由，其概率密度為車主未等到加油而離開的概率為.則，其分布律為得9.某人從家出發(fā)打車去火車站，有兩條路可走.第一條路程交通擁擠但路程較短，所需時(shí)間（單位：分鐘）服從；第二條路阻塞少但路程較長，所需時(shí)間服從.（1）若在火車發(fā)車前1小時(shí)出發(fā)，走哪條路趕上火車的把握大些？（2）若在火車發(fā)車前45分鐘出發(fā)，走哪條路趕上火車把握大些？【解】（1）若走第一條路，X~N(40，102)，則；若走第二條路，X~N(50，42)，則.故走第二條路乘上火車的把握大些.（2）若X~N(40，102)，則；若X~N(50，42)，則.故走第一條路乘上火車的把握大些.10.設(shè)隨機(jī)變量X~N(3,4)，（1）求，，，；（2）確定c使.【解】（1）；；；.由，，得，即，故c=3.11.某工廠生產(chǎn)的零件長度X（單位：cm）服從正態(tài)分布，設(shè)零件長度在10.05±0.12內(nèi)為合格品，求該廠生產(chǎn)的零件的不合格率.【解】12.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若P{120＜X≤200}≥0.8，則σ最大為多少？【解】由，則，由的單調(diào)性，可得，故.13.設(shè)隨機(jī)變量，則當(dāng)σ取何值時(shí)，概率最大？【解】因?yàn)?，令，由，?即.又，故為極大值點(diǎn)且惟一.故當(dāng)時(shí)X落入?yún)^(qū)間(1，3)的概率最大.14.求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位點(diǎn)，（1）α=0.01，求zα;（2）α=0.003，求zα，zα/2.【解】（1）由，有，得，故.（2）由，有，得，故.,，故.α=0.003時(shí)，，故習(xí)題2.51.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律如表2-10所示表2-10X的概率分布表X-2-1013pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值為0，1，4，9.Y0149Pk1/57/301/511/30即2.設(shè)P{X=k}=(1/2)k,k=1,2,…,令求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y的分布律.【解】，即Y-11Pk2/31/33.設(shè)X~N(0,1),試求（1）Y=eX的概率密度；（2）Y=2X2+1的概率密度；（3）的概率密度.【解】由X~N(0,1)，則由函數(shù)y=g(x)=ex單調(diào)遞增，其反函數(shù)為x=h(y)=lny,則，=0，，則（2）由，則當(dāng)y≤1時(shí)，；當(dāng)y>1時(shí)，，故（3）由，則當(dāng)y≤0時(shí)，；當(dāng)y>0時(shí)，.故4.設(shè)隨機(jī)變量X~U(0,1)，試求：（1）Y=eX的分布函數(shù)及概率密度；（2）的分布函數(shù)及概率密度.【解】由X~U(0,1)，有（1）由，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)1<y<e時(shí)，；當(dāng)y≥e時(shí)，.即故Y的密度函數(shù)為（2）由，則當(dāng)z≤0時(shí)，；當(dāng)z>0時(shí)，.即故Z的概率密度為5.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為試求Y=sinX的密度函數(shù).【解】由，則當(dāng)y≤0時(shí)，；當(dāng)0<y<1時(shí)，；當(dāng)y≥1時(shí)，.故Y的密度函數(shù)為6.設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)某品牌手機(jī)店的顧客人數(shù)X服從泊松分布P(λ)，每位顧客購買手機(jī)的概率為p，且顧客是否購買手機(jī)是相互獨(dú)立的，求該段時(shí)間購買手機(jī)的顧客數(shù)Y的分布律.【解】設(shè)購買手機(jī)的人數(shù)為Y，在進(jìn)入手機(jī)店的人數(shù)X=m的條件下，Y~b(m,p)，即.由全概率公式有可知，進(jìn)入手機(jī)店的人數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布，購買手機(jī)的人數(shù)仍服從泊松分布，但參數(shù)改變?yōu)棣藀.習(xí)題2.6一工廠生產(chǎn)的電子元件的壽命X（單位：小時(shí)）服從參數(shù)，的正態(tài)分布，若要求，利用MATLAB軟件求允許最大為多少？【解】；，可得，MATLAB程序：Sigma=40/norminv(0.9,0,1)結(jié)果：Sigma=31.2122.設(shè)隨機(jī)變量X服從于區(qū)間[1,5]上的均勻分布，對(duì)X進(jìn)行30次獨(dú)立觀測，利用MATLAB軟件求(1)至少有10次觀察值大于4的概率;(2)觀察值大于4的次數(shù)在5至15次的概率.【解】MALAB程序：p=1-unifcdf(4,1,5);P1=binocdf(10,30,p)P2=binocdf(15,30,p)-binocdf(4,30,p)輸出結(jié)果：p=0.25,P1=0.8943,P2=0.9013.第2章考研真題1.設(shè)隨機(jī)變量.試證在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布.（1995研考）【證】X的密度函數(shù)為由在（0,+∞）上單調(diào)遞增，其反函數(shù)為，則，=0，，則即Y~U(0,1).2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=求X的概率分布.（1991研考）【解】X的概率分布為X113P0.40.40.23.設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率相等.若已知A至少出現(xiàn)一次的概率為19/27，求A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率.（1988研考）【解】令X為三次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)，若設(shè)P(A)=p，則X~b(3,p).由P{X≥1}=，則P{X=0}=(1p)3=，故p=.4.若隨機(jī)變量X在(1,6)上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實(shí)根的概率是多少？（1989研考）【解】5.若隨機(jī)變量X~N(2,σ2)，且P{2<X<4}=0.3，則P{X<0}=.（1991研考）【解】由，得.故.6.假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率0.7可以直接出廠；以概率0.3需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n(n≥2)臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立）.求（1）全部能出廠的概率α；（2）其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率β；（3）其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率θ.（1995研考）【解】設(shè)A=“需進(jìn)一步調(diào)試”，B=“儀器能出廠”，則=“能直接出廠”，AB=“經(jīng)調(diào)試后能出廠”.由題意知B=∪AB，且,.設(shè)X為新生產(chǎn)的n臺(tái)儀器中能出廠的臺(tái)數(shù)，則X~b(n,0.94).則7.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語成績?cè)?0分至84分之間的概率.（1990研考）【解】設(shè)X為考生的外語成績，則X~N(72,σ2)，由，得，查表知，得σ=12.從而X~N(72,122)，則.8.在電源電壓不超過200V、200V~240V和超過240V三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2（假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N(220,252)）.試求：（1）該電子元件損壞的概率α;（2）該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200~240V的概率β.（1991研考）【解】設(shè)A1=“電壓不超過200V”，A2=“電壓在200~240V”，A3=“電壓超過240V”，B=“元件損壞”.由X~N(220,252)，則；；.由全概率公式有,由貝葉斯公式有9.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(1,2)上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量Y=e2X的概率密度fY(y).（1988研考）【解】由在（1,2）上單調(diào)遞增，其反函數(shù)為，則，=e2，，則10.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX(x)=試求隨機(jī)變量Y=eX的密度函數(shù)fY(y).（1995研考）【解】由在x>0上單調(diào)遞增，其反函數(shù)為，則，=1，，則11.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX(x)=,試求的密度函數(shù)fY(y).（1988研考）【解】由在上單調(diào)遞減，其反函數(shù)為，則.，，則12.假設(shè)一大型設(shè)備在任何長為t的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)服從參數(shù)為λt的泊松分布.（1）求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔為T的概率分布；（2）求在設(shè)備已經(jīng)無故障工作8小時(shí)的情形下，再無故障運(yùn)行8小時(shí)的概率Q.（1993研考）【解】（1）當(dāng)t<0時(shí)，；當(dāng)t≥0時(shí)，事件T>t與N(t)=0等價(jià)，有，即所以間隔時(shí)間T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布.（2）.13.隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大于1，，.在事件出現(xiàn)的條件下，X在內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長度成正比，試求X的分布函數(shù)F(x).（1997研考）【解】由X的絕對(duì)值不大于1，顯然當(dāng)x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=0；而x≥1時(shí)F(x)=P{X≤x}=1；由題知，故當(dāng)1<x<1時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)x=1時(shí)，.即X的分布函數(shù)為14.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ1,σ12)，Y服從正態(tài)分布N(μ2,σ22)，且，試比較σ1與σ2的大小.（2006研考）【解】依題意，，則，.又由，則，故，即.15.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)則.0(B)(C)(D)（2010研考）【解】應(yīng)選(C).16.設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度，為上均勻分布的概率密度，若為概率密度，則a，b應(yīng)滿足_______.2a+3b=4(B)3a+2b=4(C)a+b=1(D)a+b=2（2010研考）【解】由為概率密度，有，則，得2a+3b=4，應(yīng)選(A).17.設(shè)為兩個(gè)分布函數(shù)，且連續(xù)函數(shù)為相應(yīng)的概率密度，則必為概率密度的是________.(A)(B)(C)(D)（2011研考）【解】由，得，再由，得，又，故為某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度，應(yīng)選(D).18.設(shè)隨機(jī)變量，，，，則_______.(A)(B)(C)(D)