遼寧省沈陽市渾南區(qū)廣全實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題2

第1頁/共1頁沈陽市渾南區(qū)廣全實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024—2025學(xué)年度上學(xué)期期末高二試題數(shù)學(xué)命題人：汝婧審核人：數(shù)學(xué)教研組滿分150分考試用時120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、座位號填寫在答題卡上.本試卷滿分150分.2．作答時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為：589則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分布列的性質(zhì)，列式計算即得.【詳解】由，得，所以.故選：D2.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）．A.種 B.種C.種 D.種【答案】D【解析】【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.故選：D.3.已知雙曲線，則不因的變化而變化的是（）A.頂點(diǎn)坐標(biāo) B.漸近線方程 C.焦距 D.離心率【答案】BD【解析】【分析】將雙曲線方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程，焦距和離心率，，判斷是否因改變而變化，即可得解.【詳解】整理雙曲線方程可得，所以，，，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為或，A錯誤；漸近線方程為，B正確；該雙曲線焦距為：，C錯誤；離心率為：，D正確；不因改變而變化的是離心率與漸近線方程.故選：BD.4.此時此刻你正在做這道選擇題，假設(shè)你會做的概率是，當(dāng)你會做的時候，又能選對正確答案的概率為100%，而當(dāng)你不會做這道題時，你選對正確答案的概率是0.25，那么這一刻，你答對題目的概率為（）A.0.625 B.0.75 C.0.5 D.0.25【答案】A【解析】【分析】應(yīng)用全概率公式求答對題目的概率.【詳解】由題意，令表示會做，表示選對，則，且，所以.故選：A5.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用，求出范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因?yàn)橹本€與橢圓相交于點(diǎn)，則，解得，設(shè)到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.6.展開式中，的系數(shù)為（）A.320 B.320 C.240 D.240【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知二項(xiàng)式寫出含的項(xiàng)，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，含的項(xiàng)為.所以的系數(shù)為.故選：D7.已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（）A. B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】解法一：根據(jù)臺體的體積公式可得三棱臺的高，做輔助線，結(jié)合正三棱臺的結(jié)構(gòu)特征求得，進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺補(bǔ)成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得，進(jìn)而可求正三棱錐的高，即可得結(jié)果.【詳解】解法一：分別取的中點(diǎn)，則，可知，設(shè)正三棱臺的為，則，解得，如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設(shè)，則，，可得，結(jié)合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺補(bǔ)成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因?yàn)?，則，可知，則，設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.8.已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)A在準(zhǔn)線上的射影為，且為等邊三角形.若，則拋物線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意分析求得，在中，利用余弦定理運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為，則，可得，在中，則，即，解得，故拋物線方程為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9.（多選）在一個袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個小球，設(shè)取的4個小球中白球的個數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布C.隨機(jī)變量X服從超幾何分布D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布和超幾何分布的概念判斷BC，由超幾何分布的概率公式計算各概率，再由期望公式計算出期望，從而判斷AD．【詳解】由題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分布，故B錯誤，C正確；X的取值分別為0，1，2，3，4，則，，，，，∴，故A錯誤，D正確．故選：CD．10.給出下列命題正確是（）A.直線l的方向向量為，平面的法向量為，則l與平行或B直線恒過定點(diǎn)C.已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值是D.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對于空間任意一點(diǎn)O，若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面【答案】ABD【解析】【分析】應(yīng)用空間向量垂直的坐標(biāo)表示得判斷A；將直線化為即可求定點(diǎn)判斷B；根據(jù)直線垂直的判定求參數(shù)判斷C；根據(jù)空間向量共面定理的推論判斷D.【詳解】A：由，即，則l與平行或，對；B：由已知得，聯(lián)立，可得，故直線恒過定點(diǎn)，對；C：由兩直線垂直得，即，可得或，錯；D：由題設(shè)且，結(jié)合空間向量共面定理的推論知P，A，B，C四點(diǎn)共面，對.故選：ABD11.在校航天知識展中，航天興趣小組準(zhǔn)備從8名組員（其中男組員4人，女組員4人）中選4人擔(dān)任講解員，則下列說法正確的是（）A.若組員甲和組員乙同時被選中，則共有28種選法B.若4名講解員中既有男組員，又有女組員，則共有68種選法C.若4名講解員全部安排到三個展覽區(qū)，每個展覽區(qū)至少1名講解員，每名講解員只去一個展覽區(qū)，則共有5040種選派法D.校航天知識展結(jié)束后，若8名組員站成一排拍照留念，且女組員相鄰，則共有2880種排法【答案】BD【解析】【分析】從剩余人種選人即可判斷A；利用排除法即可判斷B；先選好人，在分組分配即可判斷C；利用捆綁法即可判斷D.【詳解】對于A，由題意，共有種選法，故A錯誤；對于B，由題意，共有種選法，故B正確；對于C，先選好人，共有種選法，然后將人按要求分到三個展區(qū)，有種，所以共有種選派法，故C錯誤；對于D，由題意，共有種排法，故D正確.故選：BD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.若點(diǎn)在圓外，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓心到點(diǎn)的距離大于半徑即可列不等式求解.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由于點(diǎn)0,1在圓外，所以，解得，故答案為：13.某學(xué)校舉辦作文比賽，共設(shè)6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個主題準(zhǔn)備作文．則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到的主題不相同的概率為____________．【答案】【解析】【分析】利用古典概型計算即可.【詳解】由題意可知甲乙兩人抽取主題的情況有種，不相同的情況有種，所以其概率為.故答案為：14.三棱錐中，，，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，的面積為，則AB與平面BCD所成角的正弦值為______，此三棱錐外接球的體積為______．【答案】①##②.##【解析】【分析】設(shè)平面，垂足為，可證得在的平分線上，易知AB與平面BCD所成角即為，，從而可求得，利用三角形面積公式可求得，結(jié)合已知條件與余弦定理，勾股定理可證得，從而為外接球直徑，利用球的體積計算即可．【詳解】設(shè)平面，垂足為，如圖，過作于點(diǎn)，過作于，連接，由平面，平面，得，又，平面，平面，平面，得，同理，從而均為直角三角形，∵，，∴，則在的平分線上，易知AB與平面BCD所成角即為．∵，∴，又，，即，則AB與平面BCD所成角的正弦值為，又，解得，又，，，同理，，為外接球直徑，三棱錐外接球的體積為．故答案為：，.四、解答題（本題共5小題，共77分）15.在二項(xiàng)式展開式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為79.（1）求的值；（2）若展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由二項(xiàng)式定理求前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，列方程即可求得；（2）由二項(xiàng)式定理求的通項(xiàng)，由此可求常數(shù)項(xiàng)，由條件列方程求即可.【小問1詳解】二項(xiàng)式的展開式的前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次為，因?yàn)檎归_式中的前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于79，所以有，即，解得或.因?yàn)椋?【小問2詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為，由已知整理得，所以.16.假定籃球運(yùn)動員甲每次投籃命中的概率為.現(xiàn)有3個籃球，該運(yùn)動員甲準(zhǔn)備投籃，一旦投中即停止投籃，否則一直投籃到籃球用完（不重復(fù)使用）．設(shè)耗用籃球數(shù)為，求：（1）的概率分布列；（2）均值.【答案】（1）X123（2）【解析】【分析】（1）求出的可能取值及相應(yīng)的概率，求出分布列；（2）在第一問的基礎(chǔ)上求出均值.【小問1詳解】隨機(jī)變量的所有取值是，X123【小問2詳解】17.如圖，在三棱錐中，，.（1）證明：平面；（2）若是棱上一點(diǎn)且，求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，證得和，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面.（2）由（1），得到，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和的一個法向量為和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因，所以，則，所以，因?yàn)椋移矫?，所以平?【小問2詳解】解：由題設(shè)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由（1），可得，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，因?yàn)?，由題意易得，所以為正三角形，可得，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，又由平面的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，且為銳角，所以，可得即二面角的大小為.【點(diǎn)睛】18.某校為了提高教師身心健康號召教師利用空余時間參加陽光體育活動．現(xiàn)有4名男教師，2名女教師報名，本周隨機(jī)選取2人參加．（1）求在有女教師參加活動的條件下，恰有一名女教師參加活動的概率；（2）記參加活動的女教師人數(shù)為X，求X的分布列及期望；（3）若本次活動有慢跑、游泳、瑜伽三個可選項(xiàng)目，每名女教師至多從中選擇參加2項(xiàng)活動，且選擇參加1項(xiàng)或2項(xiàng)的可能性均為，每名男教師至少從中選擇參加2項(xiàng)活動，且選擇參加2項(xiàng)或3項(xiàng)的可能性也均為，每人每參加1項(xiàng)活動可獲得“體育明星”積分3分，選擇參加幾項(xiàng)活動彼此互不影響，記隨機(jī)選取的兩人得分之和為Y，求Y的期望．【答案】（1）（2）分布列及期望見解析.（3）【解析】【分析】（1）由條件概率的計算公式即可求解；（2）參加活動的女教師人數(shù)為，則服從超幾何分布，即可寫出的分布列及期望.（3）根據(jù)一名女教師和一名男教師參加活動獲得分?jǐn)?shù)的期望，即可得，即可求得.【小問1詳解】設(shè)“有女教師參加活動”為事件，“恰有一名女教師參加活動”為事件，則，，所以.【小問2詳解】依題意知服從超幾何分布，且，，，所以的分布列為：012.【小問3詳解】設(shè)一名女教師參加活動可獲得分?jǐn)?shù)為，一名男教師參加活動可獲得分?jǐn)?shù)為，則的所有可能取值為3,6，的所有可能取值為6,9，，，，，有名女教師參加活動，則男教師有名參加活動，，所以.即兩個教師得分之和的期望為分.19.已知橢圓的短軸頂點(diǎn)為，短軸長是4，離心率是，直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，其中.（1