導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的七種混合構(gòu)造-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)突破卷（新高考）

專題突破卷06導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的七種混合構(gòu)造

■題型隕覽f___________________________________________________________

I1

利用x〃/(x)構(gòu)造型

/利用冬構(gòu)造型

/利用―/(一構(gòu)造型

導(dǎo)函翻與原函翻用/"構(gòu)造型

的混合構(gòu)造c

利用sinx與/(x)構(gòu)造型

利用cosx與/(x)構(gòu)造型

\/與勾"(x)+6g(x)構(gòu)造型

C題型突破￡_______________________________

II

1.利用x"/(x)構(gòu)造型

1.設(shè)函數(shù)/(X)是定義在(-8,0)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為尸(X),且有2〃h+才(》)>0,則不等式

(x+2023)2f(x+2023)-4f(-2)<0的解集為()

A.(-2023,-2021)B.(-2025,0)

C.(-2025,-2021)D.(-2025,-2023)

【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=/〃x),求導(dǎo)可知其在(-a,。)上單調(diào)遞減，進而整理所求不等式為

g(x+2023)<g(-2),由函數(shù)單調(diào)性構(gòu)建不等式，解得答案.

【詳解】由2〃x)+獷G)>0,(x<0),得2V'(x)+x2/(x)<0,即卜2〃乃］'<0，

令g(x)=//(x),則當(dāng)x<0時,得g'(x)<0,即g(x)在(-8,0)上是減函數(shù)，

/.g(x+2023)=(x+2023)2/(x+2023),g(-2)=4/(-2),

即不等式等價為g(x+2023)-g(-2)<0,

g(x+2023)<g(-2),得X+2023>-2,即x>-2025,

又無+2023<0,解得x<-2023,故-2025<x<-2023.

故選：D.

2.已知奇函數(shù)〃x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為/'(X),當(dāng)x>0時，有2/(x)+礦(x)>x2,則

(尤+2023>/(x+2023)+/(-1)<0的解集為.

【答案】(-叫-2022)

【分析】當(dāng)x>0時，由2〃尤)+#0)>尤2,得［無2〃x)J>o,故g(x)=x2/(x)在(0,+◎上為增函數(shù)，再根

據(jù)奇偶性得g(x)在R上為增函數(shù)，將不等式(x+2023)7(x+2023)+/(-1)<0化為g(x+2023)<g(l),利用

單調(diào)性可求出結(jié)果.

【詳解】當(dāng)x>0時，因為2/(x)+#，(x)>x2>0,所以對(x)+x2〃x)>0,

所以>0，所以g(x)=x2/(x)在(0,+co)上為增函數(shù),

因為/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/Xf)=-/(x),

=(-x)2/(-^)=-x2f(x)=-g(x),且g(x)的定義域為R,關(guān)于原點對稱，

所以g(x)也是定義在R上的奇函數(shù)，且g(0)=/(0)=。，

又因為g(x)=x2/(x)在(0,+oo)上為增函數(shù)，所以g(x)在R上為增函數(shù)，

由(x+2023)2/(x+2023)+/(-1)<0,得(無+2023)2/(x+2023)<-/(-1)=/(I)=g(l),

所以g(x+2023)<g(l),因為g(x)在R上為增函數(shù)，

所以x+2023<l,即x<-2022.

所以(x+2023)2/(x+2023)+〃-1)<0的解集為(-s,-2022).

故答案為：(F,-2022)

3.已知定義在(O,+s)上的函數(shù)〃x)滿足2葉(x)+x?〃尤)<0,〃2)=:,則關(guān)于x的不等式〃無)>5的解

集為.

【答案】(。，2)

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=//(x),xe(O,+8),由題意可得g(x)在(0,+功上單調(diào)遞減,不等式轉(zhuǎn)化為

g(x)〉g(2),利用g(x)單調(diào)性,即可得出答案.

【詳解】令g(x)=x2/(x),xe(O,+8),則g，(x)=2V(x)+x2/，(x),

所以當(dāng)x>0時，2V(x)+x2/〈x)<0,即當(dāng)x>0時，g'(x)<0,

所以g(x)在(0,+動上單調(diào)遞減，

a

又〃2)=：,所以g(2)=4/(2)=3,

因為/(x)>7，即g(x)=/(x)x2>3,所以g(x)>g⑵，

所以原不等式的解集為(。，2).

故答案為：(0,2).

4.已知定義在R上的偶函數(shù)7=/(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=/(x),當(dāng)x>0時，/(x)+一<0,且/'(2)=-3,則

不等式的解集為

2x-l

13

【答案】(-?,-)U(-,+?)

【分析】由八刈+犯<0變形得(叭切’<0,即可構(gòu)造8(力=叭刈，結(jié)合/(X)的奇偶性可得g(x)是R上的

XX

奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞減，則可對2x-1的符號分類討論，可將/(2x-1)<化為關(guān)于g(2x-1)的不等式,

2x-\

最后結(jié)合g(x)單調(diào)性求解即可

【詳解】當(dāng)x>0時，/，(x)+3=礦(X)+/(x)=(xf(X))’<0,.?.卬(切'<0,

XXX

令g(x)=M\x),g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

又歹=/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，...g(x)是R上的奇函數(shù)，即g(x)在R上單調(diào)遞減，

?."(2)=-3,，g(2)=-6,

1—63

當(dāng)2x—1>0,即x>—時，f(2x—1)<----n(2x—1)/(2x—1)<—6=>g(2x—1)<—6,2x—1>2=>x>—；

22x—12

1_A3

當(dāng)2x-l<0,即x<—時，/(2x-l)<----=(2x-l)/(2x-l)>-6=g(2x-l)>-6,，2x-l<2=>x<—,

22x—12

則X<；.

故不等式f(2x-1)<U的解集為(-*]

故答案為：(-00，g]u('1，+Q0]

5.7(x)是定義在(0,+s)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足#'(x)+/(x)W0,對任意正數(shù)。，b,若a<b,則必有

()

A.af0Wf(b)B.好㈤</⑷C.bf^<af(a)D.af(a)<bf(b)

【答案】C

【分析】由各選項的特征構(gòu)造函數(shù)g(x)=^(x)(x>0),再討論函數(shù)g(x)性質(zhì)即可作答.

【詳解】因/⑴是定義在(0,+e)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，則談(x)+/(x)40,

令函數(shù)g(x)=^(x)(x>0),貝!|8'(尤)=才(無)+/(尤”0,即g(x)在(0,+co)是減函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，

當(dāng)0<。<萬時,g(a)>g(6)或g(a)=g(6),

即g(a)>g(b)oaf(a)>"(6),C正確.

故選：C

f⑴

6.若定義域為(0,+功的函數(shù)/(x)滿足”(x)+礦(x)>0,則不等式〃x+1)〈4=的解集為.

【答案】(-1,0)

f⑴

【分析】設(shè)“x)=x2〃x),根據(jù)題意得到“X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，把〃尤+1)<府而轉(zhuǎn)化為

/J(X+1)</J(1),結(jié)合函數(shù)“X)的單調(diào)性，即可求解.

【詳解】由xe(0,+co)時，函數(shù)〃尤)滿足"(x)+/(尤)>0,可得2必'⑺+/以x)>0,

設(shè)Mx)=x2/(x),x>0,則用(x)=2切卜)+》2。(力>0,故Mx)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

由+即(x+l)2/(x+l)</0),即以x+l)</z(l),

f(\\

所以0<x+l<l,解得一l<x<0,所以〃x+l)〈與專的解集為(TO).

故答案為：(-1,0).

2.利用幺2構(gòu)造型

xn

7.定義在(o,+8)上的函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為k(x),若/(x)-/(x)<0,且*2)=0,則不等式(*-1)%)>。

的解集為()

A.(0,2)B.(1,2)C.(0,1)D.(2,+8)

【答案】B

【分析】設(shè)g(x)=W，由已知得出g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞減，結(jié)合〃2)=0進一步計算得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)g(x)=*h則g，(x)=才？;/⑺,因為礦(x)-/(x)<0,所以g(x)在(0,+功上單調(diào)遞

減.

因為/⑵=0,所以g(2)=0,所以當(dāng)0<x<2時，/(x)>0,當(dāng)x>2時，/(x)<0,故不等式(x-i)〃x)>o

的解集為(1,2).

故選：B.

8.(多選)己知函數(shù)〃無)的定義域為(0,+8),導(dǎo)函數(shù)為了'(X),滿足#'(x)-〃尤)=。-1戶(e為自然對

數(shù)的底數(shù))，且/⑴=0,則()

7(2)/(3)

A.

23

B.〃x)在(0,1)上單調(diào)遞增

C.“X)在X=1處取得極小值

D./(x)無最大值

【答案】ACD

【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g(x),由題意可得g(x),/⑺的解析式，利用導(dǎo)數(shù)分析g(x),〃尤)單調(diào)性,

進而可得答案.

【詳解】設(shè)g(x)=W(x>0),

因為/(1)=0,所以g(i)=/(D=o,

因為g，(x)=,切,(x)-/(x)=(x-l)e',

則g，(x)=#'(x)，(x)」二W

故可設(shè)g(x)=9+c，由g(D=O,

則g6=e+c=0,解得c=-e

故g(x)=J-e,即/(x)=e*-ex,

因為g，(x)=e'(;T),

令g[x)>0,則x>l,故g(x)在(l,+oo)上單調(diào)遞增,

所以g(2)<g⑶，即?<華1,故A正確；

因為/'(x)=e'-e,令/'(x)=e「e>0,解得x>l,

則/'(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(x)在x=l處取得極小值，故B錯誤，C正確，

因為X逼近于+00時，/(X)逼近于+8,所以/(X)無最大值，故D正確.

故選：ACD.

9.已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足：礦(幻-/(尤)>0,且/(1)=2,則/'(e')>2e工的解集為()

A.(0,+(?)B.(In2,+oo)C.(1,+℃)D.(0,1)

【答案】A

【分析】設(shè)g(x)=3,x>。，由#'(x)-/(x)>0得出g(x)在(0,+⑹單調(diào)遞增，由"1)=2得出g⑴=2,

X

將/(e)>2e，轉(zhuǎn)化為g(e、)>g(l)即可得出答案.

【詳解】設(shè)g(x)=Z<2,x>0,

X

因為4'(x)_/(x)>0,

所以g(x)在(0,+s)單調(diào)遞增,

因為/(1)=2,

所以g6=半=2,

由f(e)>2e)且二>0得/*>2,

則g(e")=￥>2=g⑴，

e

所以e、>l=e°,又歹=/在(0,+8)單調(diào)遞增，

所以xw(0,+oo),

故選：A.

10.(多選)已知函數(shù)/(%)滿足礦(、)-/(力=小)/(l)=e,則()

A./(tanl)<etanl

B./(/(x))</(e2-1)

1a

C.若方程/2(x)_4/(x)|+￡=0有5個解，則(

/2A(2\

D.若函數(shù)g(x)=/(優(yōu))-/，)(a>0且awl)有三個零點，貝I]aeee,lul,ee

IJ\)

【答案】BCD

【分析】由#'(x)-/(x)=x2e'可構(gòu)造函數(shù)尸(x)=￡<2,由已知條件求出/(x),再由解析式求解判定選項.

【詳解】因為切'("-/(力=-工，構(gòu)造函數(shù)尸(造=四,

X

貝UF(x)="‘叫/⑺=e\所以可設(shè)"x)=e，+cn/(x)=x(e*+c),

X

又/(l)=e,所以。=o,f(x)=xex.

對于A選項，/(tan1)=tan1-etanl>tan1-?嗎=tan1-e1,故A選項錯誤；

對于B選項，由O=(x+l)ex，所以當(dāng)x<-1時，/'(x)<0，，于在(-0),-1)單調(diào)遞減，當(dāng)x〉-1時，f\x)>0,

/(x)在(―l,+°o)單調(diào)遞增，

所以“X)極小值=〃一1)=：，而〃x),e2i均大于0,要比較/(/?)),/(/1)的大小，只需比較〃對紜1的

xx+iax

大小，f(x)=x-e=e,

令/z(x)=x+Inx-(2x-1)=Inx-x+1,(x>0),

]1—V

貝=〃(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+⑹單調(diào)遞減,

所以/x)VA(l)=0,所以x+lnxWZxTe'+syeZi,即/⑴久?)，進而/(/卜))4/卜21),故B選項正

確;

對于C選項，方程/2(x)-a|/(x)|+5=0可化為|/。)「臼/⑸+/=o

(*),

令f=|/(x)Hxe)*則方程(*)可化為產(chǎn)5+3=0,

作出f="(x)|=|xe"的圖象如圖所示:

112

,2—at22=0,A=。2—4x1x———=a2——,

①A=0時，Q=±在時，方程+左=0的解只有一個,

則函數(shù)，="(x)|=|xe"I的零點至多有三個，不合題意；

②A<0時，方程/-〃+白■=()無解，，二|xe"|無零點，不合題意；

③A>0時，即----或a〉——時，方程的解有兩個，記為且。<明

ee

若方程/2(x)—4/(刈+￡=0有5個解，貝也=|汽”|有2個零點，/2=1雙”|有3個零點，即0<%<，2=：，

2222

由求根公式得，"I”—/,,〃+儼—/1,

1222e

解得。=?3，此時。二不1合題，故C選項正確；

2e2e

對于D選項，若函數(shù)g(x)=/(優(yōu))-/1)(a>0且"1)有三個零點，

則方程/(/)=/(/)有三個根，因為優(yōu)>0/220,又/(x)在(0,+s)單調(diào)遞增,

所以方程/(，)=/(無2)有三個根，則方程屋=x2有三個根，

所以Ina"=Inx?有三個根，所以xlna二歷/有三個根，即Ina="”有三個根,

X

令夕(乃=電二。/0),因為°(-x)=@±=-0(x),所以。(x)為奇函數(shù)，

X-X

貝U當(dāng)x>0時，0*)=亞,貝晨)=2。一”),

XX

令9'(x)=0,x=e,所以°(x)在(0,e)單調(diào)遞增，在(e,+s)單調(diào)遞減，

2

所以夕(x)極大值=〃e)=1；當(dāng)無-0+時，夕(x)f-co,當(dāng)xf+8時，e(x)fO,

22(

所以——<lna<0或0<lna<—,解得aeee,lul,ee,故D選項正確.

eel八J

故選：BCD.

3.利用e""(x)構(gòu)造型

11.已知了'(X)是函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)，/'(x)+/(x)>0,八2)=(，則不等式八也)<4的解集是()

ex

A.(2,4w)B.(e2,+oo)C.(0,e2)D.(0,2)

【答案】C

【分析】設(shè)g(x)=e"(x),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到g(x)在R上單調(diào)遞增，問題2等價于

g⑺<g⑵,即可解決.

【詳解】令f=In*則％=6'，

因為/(Iwc)((，

所以/⑺<1，即〃廳<2,

設(shè)g(x)=e"(x),

所以g'(x)=e*(/(x)+/(x)),

因為/(x)+_T(x)>0,

所以g，（x）>0,所以g（x）在R上單調(diào)遞增，

因為八2）=/,

所以g（2）=e2/（2）=2,

所以〃力e，<2等價于g⑺<g⑵，

則￡<2,即lux<2,解得0<x<e2.

所以不等式/（lnx）〈:的解集是（0己）.

故選：C

12.已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為廣為）,且滿足/（力+/'（力>0在R上恒成立,則不等式*/（2x+l）>

e2-V（3-x）的解集是.

【答案“|,+8（

【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=e"（x）,再將e2V（2x+l）>e?-"（3-x）轉(zhuǎn)化為g（2x+1）>g（3-x）,進而根據(jù)g（x）

的單調(diào)性求解即可.

【詳解】令g（x）=e"（x）,則g<x）=e[/（x）+r（x）]>0,所以g（x）在R上單調(diào)遞增，

由e2"（2x+l）>/"（3-x）,得e2"V（2x+l）>eJ/（3-x）,即g（2x+l）>g（3-x）,

2

所以2x+1>3—x,解得“>],

所以不等式e2V（2x+1）>（3-x）的解集是.

故答案為：（I■，+

13.定義在R上的函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)為尸⑺，且3/（x）+/'（x）<0,/（ln2）=l,則不等式>8e』的

解集為（）

A.（-oo?2）B.（-co,In2）

C.（ln2,+co）D.（2,+oo）

【答案】B

【分析】根據(jù)題意分析可得/（、）。丸〉8,構(gòu)建g（力^（x）e3）求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性解不等式.

3

【詳解】V/(x)>8e-\且e3、>0,可得/a卜3工>8,

故原不等式等價于/(x)e3x>8,

構(gòu)建g(X)=f(X)e",則g，(x)汁")e*+y(x)e"=[r(x)+y(x)]e",

?：3/(x)+/(x)<0,/>0,則g。)=[/(x)+3/(x)]e31<0恒成立，

g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，且8(1112)=<(11129、2=23=8,

則對于/(x)e3x>8,解得x<ln2,

故不等式/(x)>8屋，的解集為(-應(yīng)In2).

故選：B.

14.已知/(x)是〃x)(xeR)的導(dǎo)函數(shù)，且r(x)+〃x)>0,/(1)=1,則不等式/(x)<e』的解集為

()

A.B.(-<?,e)

C.(1,+?)D.(e,+<?)

【答案】A

【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)-e)借助函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】令尸(x)=/(x)C,則尸。)=/卜'何+/5)]>0,二/(村在口上單調(diào)遞增.

???不等式/(x)<e~可化為〃x)?<e,即尸(x)</(l),，x<l,

則不等式/(x)<J"的解集為(-叫1).

故選：A.

4.用幺蟲構(gòu)造型

enx

15.已知函數(shù)/'(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，/(1)=-,對任意實數(shù)都有/(x)-/'(力>0,則不等式〃x)<ei

e

的解集為.

【答案】(1,+⑹

【分析】構(gòu)造函數(shù)尸(》)=綽，對尸(X)進行求導(dǎo)，結(jié)合/(x)-/'(x)>o可得尸(X)為R上的減函數(shù)，由

/(1)=-,則尸(1)=4,所以尸(x)〈尸⑴，根據(jù)尸(x)的單調(diào)性即可得到答案

ee

【詳解】構(gòu)造尸(x)=”,

所以尸‘。卜''。［〃"),

因為對任意實數(shù)都有/(x)-/'(x)>0,

所以尸'(x)<0,即尸(x)為R上的減函數(shù),

因為"1)=：，貝U尸⑴=羋=!，且尸(x)<\

所以由〃x)<ei得坐<4,即尸⑺〈尸⑴，

ee

因為尸(無)為R上的減函數(shù)，

所以X>1,所以不等式*x)<?的解集為(l,+s),

故答案為：(1,+°0)

16.已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足〃x)-/'(x)>0,且有/⑵=2,則/(x)>2e-的解集為.

【答案】(-叫2)

【分析】構(gòu)造g(x)=華并求g'(x),結(jié)合已知易得g(x)在定義域上單調(diào)遞減，而原不等式等價于g(x)>g(2),

e

利用單調(diào)性即可求解.

【詳解】設(shè)g(x)=",xeR,又〃x)-/'(x)>0,

則g，⑴一，

J"ex”

則g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，又/(2)=2,

不等式/(X)>2e2等價于華〉華，即g(x)>g(2),

ee

貝ljx<2,gpxe(-oo,2),

故答案為：(一明2).

17.已知定義在R上的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為數(shù)(x),/(0)=1,且/(x)>/(x),則不等式/(x)>e*的解集

為

【答案】(0,+8)

【分析】首先構(gòu)造函數(shù)g(x)=與，理由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求解不等式.

【詳解】設(shè)函數(shù)g(x)=誓，

g(町--6,所以g(x)單調(diào)遞增，

不等式即g(x)>g(o),即x>0,

所以不等式的解集為(0,+").

故答案為：(0,+8)

18.(2023?安徽黃山?統(tǒng)考三模)已知定義域為R的函數(shù)/(x),其導(dǎo)函數(shù)為尸(x),且滿足

r（x）-2/（x）<0,/（0）=1,則（）

A.e2/(-l)<lB./(l)>e2

C.佃<eD./⑴〉咱

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=紳,由/'(x)-2〃x)<0得g[x)<0,進而判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性,判斷各選項

e

不等式.

【詳解】g(x)=等，則g'(x)=仆）-2〃x）

2x

因為廣(力-2/(%)<0在口上恒成立,

所以g'(x)<0在我上恒成立,

故g(x)在R上單調(diào)遞減，

所以g(T)>g(0)，^Hl=e2/(-l)>4^=l,故A不正確；

ee

所以g⑴<g(o)，即粵〈坐，即/⑴<e2〃o)=e2,故B不正確;

ee

g弓卜g⑼，即，[^]<止=],即故C正確；

e1e°

g]￡|>g(i),即金〃i),即/⑴〈爐故D不正確；

e1e2

故選：C.

19.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且對任意xeRJ(x)-/'(x)<0恒成立，則e"(x+l)>3±2的解集為

e

【答案】(口,-2)

【分析】通過構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(立，借助單調(diào)性解不等式.

'ex

【詳解】由xeRJ(x)-/(x)<0,得(ZH]

Ie)e

記g(x)=￡(?,則g(x)在R上單調(diào)遞增.

ex

,八/(2x+3)//(x+1)f(2x+3)

由ex"(x+l)>八L得二…八，,

eee

即g(x+l)>g(2x+3),x+l〉2x+3,

X<-2,所以解集為(-8,-2).

故答案為：(-8,-2)

20.已知〃x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為/(X),對VxeR時，有/'(x)-2/(x)>0,則不等式

/(^+2023)-e2j[+4047(2)<0(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為()

A.(-2021,+8)B.(-2025,+8)

C.(-叫-2021)D.(-oo,-2025)

【答案】C

【分析】設(shè)g(x)=?2,求導(dǎo)判斷單調(diào)性可得答案.

【詳解】設(shè)g(x)=§2,xeR,因為廣(x)-2/(x)>0,

所以g(x)=--------E—=-----百----->°，所以g(x)=坐在工eR上單調(diào)遞增,

(eJe

因為/(x+2023)-e2*042/⑵<0,所以<[管)<,

ee

即x+2023<2,解得x<-2021.

故選：C.

【點睛】方法點睛：構(gòu)造函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題的常用模型有：

模型1,若/'（X）的系數(shù)為x,且同時出現(xiàn)與/（x）的和或差，考慮構(gòu)造x與〃x）的積或者商；模型2,若出

現(xiàn)〃尤）與r（x）且系數(shù)相同時，考慮構(gòu)造e與〃x）的積或者商.模型3,若出現(xiàn)"X）與/'（X）系數(shù)分別是常

數(shù)和x時，考慮構(gòu)造X。與〃x）的積或者商；模型4,若出現(xiàn)〃x）與/（X）且系數(shù)為sinx與cos無時，考慮構(gòu)

造sinx與“X）的積或者商，或者cosx與“X）的積或者商.

5.利用sinx與/（x）構(gòu)造型

21.已知函數(shù)/（x）及其導(dǎo)函數(shù)尸（x）的定義域均為R,且〃x）為偶函數(shù)，f

3/(x)cosx+/,(x)sinx<0,則不等式/(x+|■卜os^x-；<0的解集為()

A.

C.

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及偶函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的單

調(diào)性及一元一次不等式的解法即可求解.

【詳解】令g(x)=/(x)sin3x,

則g\x)=3/(x)sin2xcosx+f\x)sin3x=sin2x\3f(x)cosx+f'(x)sinx]<0,

所以g（x）在R上單調(diào)遞減.

又因為/（x）偶函數(shù)，所以/

又8口+鼻=/卜+|■卜廠卜+鼻二小+^除一,

所以不等式/'口+曰卜。3-；<0等價于81+三

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知x+W>-F解得工〉一—―，

26

所以不等式/卜+9距3T<0的解集為

故選：A.

22.(2023春?重慶?高二統(tǒng)考期末)設(shè)/(x)是函數(shù)"X)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)xe[-卦)時,

cos2x-f(x)+sin2x-fr(x)>—f(x),則()

D.

【分析】利用三角函數(shù)公式化簡已知，再構(gòu)造函數(shù)g(x)=siiu-7(x),利用函數(shù)單調(diào)性依次判斷選項.

［詳解］rcos2x?/(x)+sin2x?f(x)>-f(x),,

/.(2COS2X-1)-/(x)+2sinxcosx-/'(%)+/(x)>0

cosx?f(x)+sinx?f(%)>0

設(shè)8(%)=5欣./(%)若[工)>0”3在卜5，|^單調(diào)遞增,

，g用>g@=0n/用>0,所以A錯誤；

.7171

nsm-/r>sin(-^)/

6o

所以/1)+/,胃>0,所以B正確；

且圖冷圖為嗚出卜甲3卜皿升甸)所以C錯誤；

g(0)>g(T)nsin0-/(0)>sin(-l)-/(-l)n0>-sinl-/(-l)o/(-l)>0,,

g(l)>g(0)sinl-/(l)>sin0-/(0)f(l)>0,所以D錯誤.

故選：B

23.定義在,3上的可導(dǎo)函數(shù)〃x)的值域為R,滿足/'(x)tanx“2siruT)/(x),若/［胃=1,則/

的最小值為.

e3

【答案】

［分析］化簡條件式得/,(x)-sinx+/(x)-cosx￡2sinxcosx-/(x),構(gòu)造函數(shù)g(x)=sinx?/(x)及

判斷其單調(diào)性即可?

【詳解】；xe〔O,1J,/.cosx>0,則化簡/'(x)tanx“2siar-l)/(x)得:

/'(x)?sinx+/(x)-cosx>2sinxcosx-/(x),

令g(x)=sinx,f(x),則g'(x)=/r(x)-sinx+f(x)-cosx,

即g\x)-2cosx-g(x)>0,

令〃(x)=f?，則以上g，3：；￥g*0,故“X)在H上單調(diào)遞增,

PV3-1

故答案為：

6.利用COSX與/(X)構(gòu)造型

24.已知/'(X)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，/(x)-/(-x)=0,且對于任意的xe/3有

r(x)cosx>/(-x)sin(-x).則下列不等式一定成立的是()

【答案】A

【分析】設(shè)g(x)=△0，xe(0,g),根據(jù)已知條件，利用導(dǎo)數(shù)得到g(x)為增函數(shù)，由g(：)<gG)可推出A

cosx226

正確；由gq)<g(?可推出B不正確；由g(：)<g(l)可推出C不正確；由g(：)<gg)可推出D不正確.

【詳解】因為對于任意的工［0,1')有/。)(：0立>/(-》911(-X).又/(x)-/(-x)=O,-sinx=sin(-x),

所以/'(尤)cosx+f(x)sinx>0,

設(shè)g(x)=",xe(0;)，則g，。)=/'(x)cosx/(x)(-sinx)=/'(x)cosx：/(x)sinx,

COSX2cos2Xcos2X

TT

因為當(dāng)x￡(0,5)時，八%)cos%+/(%)sin%>0,所以g'(x)>0,

所以g(x)在(0T9T上為增函數(shù)，

|TT

/(-)/(7)R.

因為;<e，所以g（f<g￡）‘

所以---Y<------，所以——/(—)</(—)COS—,所以

cos—cos—2262

26

/（-）/（巴）

因為《十所以g6<g（a，所以v<一所以手/中<字/申，所以仞'（一看）<6/（-弓），

cos—CS

6°4

故B不正確;

因為弓<1,所以g（：）<g⑴，所以‘〈喏，所以cosl〃a〈手”1）,所以收cosl/（$</（-l）,

故

cosa

C不正確;

峙/（g）1Q6

I-1、t兀兀LL>>>/兀、/兀、

因為所以g（R<g（§）,所以F<T，所以嗎），所以與“：）</（-§，故D

cos—COS、

43

不正確;

故選：A

25.定義在區(qū)間卜會制上的可導(dǎo)函數(shù)〃x）關(guān)于7軸對稱，當(dāng)龍e（0,會時，/'（無）8就>/（無）疝1（-無）恒成

立，則不等式的解集為（）

71兀

C.

4,2

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)尸(x)=￡包，對尸(X)求導(dǎo)，可知當(dāng)0微時，尸(%)單調(diào)遞增，由

COSX>0

即尸(%)>尸,然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得不等式，解不等式即可得出答

案.

【詳解】因為/'(工)85%>/(%)55(一%),化簡得—(x)cosx+/(x)sinx>0,

構(gòu)造函數(shù)/(x)=/H尸(x)J'(x)c°"/(x)S3,

cosxcosX

即當(dāng)Xe,41時，F(xiàn)'(x)>0,F(x)單調(diào)遞增,

所以由〃力上>。=〃力4|3=組>叢，

tanxtanxcosxsinx

即尸(%)>尸仁一“因為尸(X)為偶函數(shù)且在xe[o,?上單調(diào)遞增,

兀兀

--<X<—，且xw0

22

717171

所以—<---x<—，解得工￡

222

71

忖〉------X

2

故選：C.

26.偶函數(shù)/'(x)定義域為其導(dǎo)函數(shù)為/''(X),若對Vxe0,鼻，有尸⑺co&x</(x)sinx成立，

則關(guān)于x的不等式的解集為

2/(%)<

COSX

(兀兀\/兀兀)

【答案】■一刑9

【分析】令尸(x)=cosx-7(x),依題意可得歹(無)為偶函數(shù)且在0,3上單調(diào)遞減，根據(jù)函數(shù)

的奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.

【詳解】令尸(x)=cos"(x),xe[W),因為仆)定義域為卜卦]上的偶函數(shù)，

所以/(一%)=/(%),則/(-X)=cos(-X)-/(-x)=cosX-/(x)=F(x),即尸(X)為偶函數(shù),

又尸(x)=cosx?7'(%)-sinx?/(x),

因為對Vxe0,-|j,有/''(》)8%</'(工,加成立，所以當(dāng)xe0,切時F(x)<0,

即尸(x)在0朗上單調(diào)遞減，則尸⑺在再,。］上單調(diào)遞增，

則不等式等價于cosx-/(x)<cos](Kl

又xe所以cosx>0,

COSX

卜|>巴........

即尸(x)〈尸gj,即*x|)<U所以,3，解得一：<x<-g或

71712332

——<x<—

、22

所以不等式的解集為(-手-三卜已手.

故答案為：「，高山?十

27.已知函數(shù)〃x)的定義域為其導(dǎo)函數(shù)是/⑺有/(x)cosx+/(x)sinx<0,則關(guān)于x的不等式

/(x)>2/^cosx的解集為.

【答案】

【分析】構(gòu)造函數(shù)尸(x)=利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即

可.

【詳解】依題意令尸(x)=Z@

COSX

貝ljF\x)=八%)cos%+/(%)sin%

cos2%

冗7T

因為當(dāng)一2Vx<2時，/'(%)cosx+/(x)sinx<0,

所以當(dāng)時，尸(x)<0,

"X)在H上單調(diào)遞減，

71

71

則〃x)>2噌COS%等價于‘)>—,即/(%)>尸

COSX7T3

COS—

3

71

X<——

3

,解得所以所求不等式的解集為

7171

——<X<—

22

故答案為:

7.e”與4(x)+bg(x)等構(gòu)造型

28.(多選)已知函數(shù)〃x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為/'(x).若/'(0)=5,且

則使不等式〃x)V3e、+2成立的無的值可能為()

A.-2B.1C.--D.2

2

【答案】BD

[分析】構(gòu)造函數(shù)/(X)=〃;廠2,通過求導(dǎo)并結(jié)合不等式/(x)V31+2,即可得出使不等式/(x)<3e*+2

成立的x的可能值.

【詳解】由題意，xeR,

在函數(shù)/(x)中，

設(shè)尸(x)=小)-2,貝IJP(x)=“x)](x)+2

,.'/(x)-/，(x)>2,

/.f\x)-f(x)+2<0,

：.r(x)<0,即尸(x)在定義域R上單調(diào)遞減.

?=(0)=5,

"(0)=3,

二不等式〃尤)V3e，+2等價于"無)一2<3(即尸(耳v尸(0),

e1

解得：x>0,

結(jié)合選項可知，只有BD符合題意.

故選：BD.

29.已知定義在R上的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/'[),若獷'(尤)+/。)>2,且滿足/(1)=3,則不等式

爐[/(/)-2]<1的解集為

【答案】(TJ)

【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，通過單調(diào)性即可求解不等式.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)尸(x)=W(x)-2x,

因為F(x)=+f(x)-2>0,所以F(x)在R上單調(diào)遞增,

因為"1)=3,所以尸⑴=/(1)-2=3-2=1,

/[/■，)-2]<1可化為//，)-2%2<1,

即F(#)<F(1),

因為尸(x)在R上單調(diào)遞增，

所以/<1,解得-1<尤<1,

故答案為：(T，l).

30.已知可導(dǎo)函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為r(x),若對任意的xeR,都有/(x)>/'(x)+l,且〃x)-2024為奇函數(shù),

則不等式/(力-2023砂<1的解集為()

A.(一*0)B.(-℃,e)C.(e,+co)D.(0,+℃)

【答案】D

【分析】根據(jù)〃X)>/'(x)+1構(gòu)造函數(shù)g(x)=卓二，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，將不等式/(X)-2023e，<1

化為g(x)<g(0),利用g(x)的單調(diào)性求解可得結(jié)果.

/'(X)-〃x)+l<0

【詳解】設(shè)g(x)=%一,由題設(shè)條件，得g(x)=-----------宙-----—