二次函數(shù)的綜合應(yīng)用（解析版）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)難點(diǎn)題型專項(xiàng)突破

專題13二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

1.(2021?濟(jì)南中考)拋物線＞=0^+加+3過點(diǎn)/(-1,0),點(diǎn)3(3,0),頂點(diǎn)為C.

(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)如圖1,點(diǎn)尸在拋物線上，連接CP并延長交x軸于點(diǎn)。，連接NC,若△D/C是以/C為底的等腰三角形,

求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,在(2)的條件下，點(diǎn)E是線段NC上(與點(diǎn)N,C不重合)的動點(diǎn)，連接尸￡作/尸斯=/

CAB,邊防交x軸于點(diǎn)凡設(shè)點(diǎn)廠的橫坐標(biāo)為加，求加的取值范圍.

解：(1)將點(diǎn)/(-1,0),點(diǎn)2(3,0)代入y=a/+6x+3得：

(a-b+3=0

19a+3b+3=0

解得：卜“I.

lb=2

/.拋物線的表達(dá)式為y=-X2+2X+3.

y="X2+2X+3=-(x-1)2+4,

頂點(diǎn)C(1,4).

(2)設(shè)ZC交y軸于點(diǎn)R連接。尸，過點(diǎn)C作CELx軸于點(diǎn)E,如圖,

'：A(-1,0),C(1,4),

\OA=\,OE=\,CE=4.

,?OA—OE,AC—?AE2E2=2^5.

：FO±AB,CEL4B,

\FO//CE,

\OF=1-CE=2,方為ZC的中點(diǎn).

2

??△D4C是以AC為底的等腰三角形,

\DFLAC.

：FOLAD,

\AAFO^AFDO.

??—AO=—OF?

OFOD

-1_2

下而

\OD=4.

\D(4,0).

設(shè)直線CD的解析式為

直線CD的解析式為y=-里xA，

33

416

y=-x+T

2

ty=-x+2x+3

7

X[=lX2=7

解得一

了1=420

y2^~

：.P(二，型).

39

(3)過點(diǎn)尸作尸8,48于點(diǎn)X,如下圖,

39

：0D=4,

：.HD=OD-OH=2,

3

?'-PZ）=VPH2+HD2=V-

：.PC=CD-PD=5-生=型

99

由（2）知：AC=2娓.

AF=x,AE=y,貝I]CE=2旄-y.

\'DA=DC,

：.NDAC=NC.

"：ZCAB+ZAEF+ZAFE=1S0°,

ZAEF+ZPEF+ZCEP=180°,

又,:NPEF=NCAB,

：.ZCEP=ZAFE.

:.ACEPsAAFE.

.PC_EC

"AE"AF'

20

.92V5-y

??-----------------?

y

...當(dāng)y=旄時，x即/尸有最大值a.

4

尸的最大值為2-1=5.

44

?.?點(diǎn)廠在線段上,

，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)"2的取值范圍為-1〈機(jī)W包.

4

2.(2021?淮安中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=Lx2+6x+c的圖象與x軸交于點(diǎn)/(-3,0)和點(diǎn)8

4

(5,0),頂點(diǎn)為點(diǎn)。，動點(diǎn)A/、。在x軸上(點(diǎn)M在點(diǎn)。的左側(cè))，在x軸下方作矩形M/PQ,其中兒@=3,

MN=2.矩形MVP0沿x軸以每秒1個單位長度的速度向右勻速運(yùn)動，運(yùn)動開始時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-6,0),

當(dāng)點(diǎn)〃■與點(diǎn)2重合時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為/秒(t>0).

(1)b=_c—_

—2——4—

(2)連接3D,求直線的函數(shù)表達(dá)式.

(3)在矩形MAP。運(yùn)動的過程中，所在直線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)G,P0所在直線與直線8。交于點(diǎn)

H,是否存在某一時刻，使得以G、M、H、0為頂點(diǎn)的四邊形是面積小于10的平行四邊形？若存在，求出t的

值；若不存在，請說明理由.

(4)連接尸過點(diǎn)尸作尸。的垂線交y軸于點(diǎn)尺，直接寫出在矩形MVP0整個運(yùn)動過程中點(diǎn)尺運(yùn)動的路徑

4

91

-r_3b+c=0b=F

得4,解得｛2:匚

故答案為：］，監(jiān).

24

(2)\"y——x~—l-x(x-1)2-4,

4244

該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為。(1,-4)；

設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為

則(5mk=0,解得卜=1,

lm+n=-4ln=-5

?x-5.

（3）存在，如圖1、圖2.

：.G（r-6,2?二+更），H（t-3,「8）；

424

'：QM-QH<IQ,且。"WO,點(diǎn)M、8重合時停止運(yùn)動,

'3(t-8)<10

3(8-t)<10,14

,,2,解得JAvtWll,且f#8；

|t-8|^03

,t-645

'：MG//HQ,

.?.當(dāng)MG=〃。時，以G、M、H、0為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,

由一！?+患=?-8得，於-18什65=0,

424

解得，口=5,攵=13（不符合題意，舍去）；

由42—L/+空■=-什8得，t2-10^+1=0,

424

解得，4=5+2攵=5-（不符合題意，舍去），

綜上所述，t=5或%=5+2后.

（4）由（2）得，拋物線夕=工？，」包的對稱軸為直線x=i,

424

過點(diǎn)P作直線x=l的垂線，垂足為點(diǎn)尸，交y軸于點(diǎn)G,

如圖3,點(diǎn)0在y軸左側(cè)，此時點(diǎn)R在點(diǎn)G的上方，

當(dāng)點(diǎn)A/的坐標(biāo)為(-6,0)時，點(diǎn)R的位置最rWj,

此時點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，

■:NPGR=NDFP=90°,/RPG=92°-ZFPD=ZPDF,

:?叢PRGs叢DPF,

?RGPG

??一二一，

PFDF

...RG=^fL=X=6,

DF2

：.R(0,4)；

如圖4,為原圖象的局部入大圖，

當(dāng)點(diǎn)。在y軸右側(cè)且在直線x=l左側(cè)，此時點(diǎn)R的最低位置在點(diǎn)G下方,

由△PRGsADPF,

得，國_旦

PFDF

.?.GR=^±L

DF

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為O,0)(0<r<l),則尸(r,-2),

.?.GR=r(l"=工+L=2+l,

222228

.?.當(dāng)r=工時，GR的最大值為工，

28

：.R(0,-IL)；

8

如圖5,為原圖象的縮小圖,

當(dāng)點(diǎn)。在直線x=l右側(cè)，則點(diǎn)R在點(diǎn)G的上方，

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)8重合時，點(diǎn)式的位置最高，

由△尸

得，電

PFDF

...G“^±L=12￡I=28,

DF2

：.R(0,26),

；.4+工+26+工=里

884

點(diǎn)R運(yùn)動路徑的長為迫L

4

3.(2021?重慶中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y="2+6x-4(aWO)與x軸交于點(diǎn)/(-1,0),B

(4,0),與了軸交于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)直線/為該拋物線的對稱軸，點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于直線/對稱，點(diǎn)P為直線/D下方拋物線上一動點(diǎn)，連接

PA,PD,求△P/D面積的最大值.

(3)在(2)的條件下，將拋物線＞="2+及-4(aWO)沿射線4D平移4加個單位，得到新的拋物線為，點(diǎn)、E

為點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)尸為為的對稱軸上任意一點(diǎn)，在為上確定一點(diǎn)G,使得以點(diǎn)D,E,F,G為頂點(diǎn)的四邊形

是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)，并任選其中一個點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出求解過程.

解：(1)將/(-1,0),B(4,0)代入了=辦2+瓜-4得

(a-b-4=0

116a+4b-4=0

lb=-3

,\y=x2-3x-4,

(2)當(dāng)x=0時，y=-4,

???點(diǎn)C(0,-4),

?.?點(diǎn)。與點(diǎn)c關(guān)于直線/對稱，且對稱軸為直線尤=3,

2

：.D(3,-4),

\'A(-1,0),

直線/。的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x-l,

設(shè)尸(冽，m2-3m-4),

作PH//y軸交直線AD于H,

:?H(m,-m-1),

PH—-m-1-(m2-3m-4)

=-加2+2加+3,

4=2(-m2+2m+3)=-2m2+4m+6,

當(dāng)加=----1—―=1時，S“PD最大為8,

2X(-2)

(3);?直線與x軸正方向夾角為45°,

...沿方向平移蓊，實(shí)際可看成向右平移4個單位，再向下平移4個單位,

，：P(1,-6),

：.E(5,-10),

拋物線y^x2-3x-4平移后yi=/-lU+20,

拋物線川的對稱軸為：直線x=旦，

當(dāng)?！隇槠叫兴倪呅蔚倪厱r：

若D平移到對稱軸上F點(diǎn),則G的橫坐標(biāo)為史,

2

代入為=/-llx+20得了=-2^,

?飛嘮，號)，

若E平移到對稱軸上F點(diǎn),則G的橫坐標(biāo)為工,

2

代入為=/-1U+20得了=二

若DE為平行四邊形的對角線時，

若￡平移到對稱軸上尸點(diǎn)，則G平移到。點(diǎn),

；.G的橫坐標(biāo)為互，

2

代入為=/-llx+20得尸-爭

入儕,得)

4.（2021?湘潭中考）如圖，一次函數(shù)y=--質(zhì)圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)/、B,二次函數(shù)了=返/+樂+（；圖象過

33

/、B兩點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）點(diǎn)3關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C,點(diǎn)尸是對稱軸上一動點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得以2、

C、尸、。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出。點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解：(1)在中，令x=0得y=-令y=0得x=3,

3

.9.A(3,0),B(0,-?),

??,二次函數(shù)歹=返9+為+。圖象過4、8兩點(diǎn)，

3

(273

/0=M+3b+c,解得b=-；

W=clc=-V3

二次函數(shù)解析式為y=?2_型￡-?；

33

(2)存在，理由如下：

__2A/3_

由二次函數(shù)y=Y32-?可得其對稱軸為直線X=—%一=1，

332X.

O

設(shè)尸(1,m),Q(n,-A/3),而5(0,-A/3^

33

???C與B關(guān)于直線x=l對稱，

：.C(2,-?),

①當(dāng)8C、P0為對角線時，如圖:

fJV3.

解得|m-y一，

Ln=l

.?.當(dāng)P(l,一2返),0(1,一性返)時，四邊形80cp是平行四邊形,

33

由P(l,-2Z1_),8(0,-?),C(2,-?)可得尸"=當(dāng)=尸［2,

：.PB=PC,

四邊形20cp是菱形,

，此時。(1,-邛2);

②BP、C0為對角線時，如圖:

當(dāng)尸(1,0),。(-1,0)時，四邊形2CP。是平行四邊形,

由P(1,0),B(0,-?),C(2,-V3)可得8c2=4=尸02,

四邊形BCPQ是菱形,

二此時0(-1,0)；

③以5。、C尸為對角線，如圖:

解得，m=。，

ln=3

：.P(1,0),Q(3,0)時，四邊形2C0尸是平行四邊形,

由P(1,0),B(0,-弧),C(2,-?)可得8c2=4=PC2,

四邊形8CQ尸是菱形，

此時。(3,0)；

綜上所述，。的坐標(biāo)為：（1,-212）或（-1，0）或（3,0）.

5.（2021?攀枝花中考）如圖，開口向上的拋物線與x軸交于/（修，0）、B（X2,0）兩點(diǎn)，與了軸交于點(diǎn)C,且/C

LBC,其中XI，X2是方程x2+3x-4=0的兩個根.

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出拋物線的表達(dá)式；

（2）垂直于線段8c的直線/交x軸于點(diǎn)D,交線段于點(diǎn)￡,連接CD,求的面積的最大值及此時點(diǎn)。

的坐標(biāo)；

（3）在（2）的結(jié)論下，拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得△P0E是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)尸的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解：(1)由N+3x-4=0得向=-4,%2=1>

：.A(-4,0),B(1,0),

：.OA=4,OB=\,

'JACLBC,

：.ZACO=90°-NBCO=NOBC,

ZAOC=ZBOC=90°,

△AOCsdcOB,

?QA—PCpn4_=0C

0COB0C1

0c=2,

：.C(0,-2),

設(shè)拋物線解析式為y=a(尤+4)(x-1),

將C(0,-2)代入得-2=-4a,

?a=1

2

，拋物線解析式為(x+4)(x-1)=1？+3*-2；

222

(2)如圖:

由/(-4,0),3(1,0),C(0,-2)得：AB=5,BC=&，AC=2娓,

■:DELBC,AC±BC,

：.DE//AC,

:.△ABCs^DBE,

?BD=DE=BE

,?訪AC而，

設(shè)。Ct,0),則BD=\-t,

?1-t=DE=BE；

52757F_

:.DE=?疾(1-Z),BE=叵(1-Z),

55

S^BDE=—DE-BE=A(1-Z)2,

25

而&3QC=LZ)?OC=L(1—)X2=l-t,

22

2

:?SACDE=S&BDC~SABDE='-t--C.]-t)2=-工(什3)+A,

5555524

:-A<o,

=-S時，SACDE最大為豆，

24

此時。(-3,o)；

2

(3)存在，

由y=Xx2+lx-2知拋物線對稱軸為直線x=-1,

222

而。(-旦，0),

二。在對稱軸上,

由（2）得-3）］=巡,

52

當(dāng)。E=￡>?時，如圖：

:.DP=4%,

:.p（-W巡）或（-,-遍）,

當(dāng)DE=PE時，過￡?作EH_Lx軸于H,如圖:

■:NHDE=NEDB,ZDHE=ZBED=90°,

△DHEs^DEB,

-DE_HE_DH即立—理—DH

BDBEDEj.V5VK

2~

：.HE=\,DH=2,

：.E(X-1),

2

：￡■在。尸的垂直平分線上，

：.P(-X-2),

2

當(dāng)PO=PE時，如圖:

2

則m2—（---A）2+（m+1）2,

22

解得機(jī)=-5,

2

：.P（-A,-5）,

22

綜上所述，尸的坐標(biāo)為（-3,旄）或（-3,-旄）或（-3,-2）或（-3,-1）.

22222

6.（2021?河北中考）如圖是某同學(xué)正在設(shè)計(jì)的一動畫示意圖，X軸上依次有4,O,N三個點(diǎn)，且/。=2,在ON

上方有五個臺階Ti?75（各拐角均為90°）,每個臺階的高、寬分別是1和1.5,臺階Ti到x軸距離OK=10.從

點(diǎn)A處向右上方沿拋物線L：7=-x2+4x+U發(fā)出一個帶光的點(diǎn)P.

（1）求點(diǎn)/的橫坐標(biāo)，且在圖中補(bǔ)畫出y軸，并直接指出點(diǎn)P會落在哪個臺階上；

（2）當(dāng)點(diǎn)尸落到臺階上后立即彈起，又形成了另一條與工形狀相同的拋物線C,且最大高度為11,求C的解析

式，并說明其對稱軸是否與臺階會有交點(diǎn)；

（3）在x軸上從左到右有兩點(diǎn)D,E,且?！?1,從點(diǎn)E向上作軸，且2E=2.在沿x軸左右平

移時，必須保證（2）中沿拋物線C下落的點(diǎn)P能落在邊8。（包括端點(diǎn)）上，則點(diǎn)8橫坐標(biāo)的最大值比最小值

大多少？

［注：（2）中不必寫x的取值范圍］

解：（1）圖形如圖所示，由題意臺階北左邊的端點(diǎn)坐標(biāo)（4.5,7）,右邊的端點(diǎn)（6,7）,

對于拋物線y=-X2+4X+12,

令y=0,1-4尤-12=0,解得x=-2或6,

：.A（-2,0）,

二點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為-2,

當(dāng)x=4.5時，y=9.75>7,

當(dāng)x=6時，y=0<l,

當(dāng)y=7時，7=-X2+4X+12,

解得x=-1或5,

拋物線與臺階74有交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為R（5,7）,

.,.點(diǎn)P會落在臺階北上.

（2）由題意拋物線C：y=-x2+bx+c,經(jīng)過尺（5,7）,最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為11,

'-4c-b2

-25+5b+c=7

解得，b=14或（b=6（舍棄）,

lc=-38lc=2

二拋物線C的解析式為y=-X2+14X-38,

對稱軸x=7,

..?臺階？5的左邊的端點(diǎn)（6,6）,右邊的端點(diǎn)為（7.5,6）,

拋物線。的對稱軸與臺階？5有交點(diǎn).

(3)對于拋物線C：y=-/+14x-38,

令y=0,得至！Jx2-14x+38=0,解得x=7±Vyy,

拋物線C交無軸的正半軸于(7+JII，0),

當(dāng)y=2時，2=-/+14x-38,解得x=4或10,

拋物線經(jīng)過(10,2),

RtZ\3Z)E中，NDEB=90°,DE=1,BE=2,

當(dāng)點(diǎn)。與(7+V11，0)重合時，點(diǎn)8的橫坐標(biāo)的值最大，最大值為8+丁五,

當(dāng)點(diǎn)5與(10,2)重合時，點(diǎn)2的橫坐標(biāo)最小，最小值為10,

...點(diǎn)3橫坐標(biāo)的最大值比最小值大2.

7.(2021?梧州中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+6x+c經(jīng)過點(diǎn)/(-1,0),B(0,3),頂點(diǎn)為

C.平移此拋物線，得到一條新的拋物線，且新拋物線上的點(diǎn)。(3,-1)為原拋物線上點(diǎn)/的對應(yīng)點(diǎn)，新拋物

線頂點(diǎn)為E，它與y軸交于點(diǎn)G,連接CG,EG,CE.

(1)求原拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在原拋物線或新拋物線上找一點(diǎn)R使以點(diǎn)C,E,F,G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，并求出點(diǎn)尸的坐

標(biāo)；

(3)若點(diǎn)K是y軸上的一個動點(diǎn)，且在點(diǎn)3的上方，過點(diǎn)K作CE的平行線，分別交兩條拋物線于點(diǎn)N,

且點(diǎn)N分別在y軸的兩側(cè)，當(dāng)MN=CE時，請直接寫出點(diǎn)K的坐標(biāo).

解：(1):拋物線y=x2+6x+c經(jīng)過點(diǎn)Z(-1,0),B(0,3),

.*=3,

Il-b+c=0

小=4

lc=3

,原來拋物線的解析式為y=/+4x+3.

(2)'：A(-1,0),D(3,-1),

點(diǎn)/向右平移4個單位，再向下平移1個單位得到。，

;原來拋物線的頂點(diǎn)C(-2,-1),

點(diǎn)C向右平移4個單位，再向下平移1個單位得到E,

：.E(2,-2),

新拋物線的解析式為y=(x-2)2-2=/-4x+2,

：.G(0,2),

?.?點(diǎn)C,E,F,G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

???觀察圖形可知，滿足條件的點(diǎn)尸在過點(diǎn)G平行CE的直線上,

?.?直線CE的解析式為尸-lx-

直線GF的解析式為》=-4+2,

4

1

(2(

y=x"+4x+3/.

由1,解得|XT或4:(舍棄)，

y=—x+2Iy=3丫=里

4ly16

：.F(-4,3),

?"G=3+I2=行，CE="2+]2=行,

:?FG=CE,

■:FG//EC,

???四邊形ECFG是平行四邊形，

由平移的性質(zhì)可知當(dāng)尸'(4,1)時，四邊形G是平行四邊形,

但是對于新拋物線y=N-4x+2,x=4時，y=2Wl,

???滿足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-4,3).

(3)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)K的直線為夕=-L+6,在第二象限與原來拋物線交于點(diǎn)J,

4

'：jM=Ec=4yj,MN=4yj,

：.JN=2yfY7,

由平移的性質(zhì)可知，J,N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對值的差為8,

y=x2+4x+3

由1],消去y得到，4/+17x+12-46=0,

y=—x+b

LH

.17

??%]+'2—，X]X23-b,

4

*.*|xi-%21=8,

(xi+%2)2-4XIX2=64,

(IL)2-4(3-6)=64,

4

64

8.(2021?郴州中考)將拋物線y=a/(aWO)向左平移1個單位，再向上平移4個單位后，得到拋物線H：y=a

(X-/?)2+k.拋物線〃與X軸交于點(diǎn)aB,與了軸交于點(diǎn)C.已知/(-3,0),點(diǎn)尸是拋物線〃上的一個動

點(diǎn).

(1)求拋物線X的表達(dá)式;

(2)如圖1,點(diǎn)尸在線段NC上方的拋物線〃上運(yùn)動(不與C重合)，過點(diǎn)尸作垂足為。，PD

交/C于點(diǎn)E.作尸尸，NC,垂足為R求△尸斯的面積的最大值；

(3)如圖2,點(diǎn)0是拋物線〃的對稱軸/上的一個動點(diǎn)，在拋物線〃上，是否存在點(diǎn)尸，使得以點(diǎn)/,P,C,

0為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

解：(1)由題意得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,