導學案數(shù)學專題突破課三與球有關(guān)的內(nèi)接外切問題

專題突破課三與球有關(guān)的內(nèi)接、外切問題——寸轄制輪尋專題,綱舉目張謀突破與球有關(guān)的內(nèi)接、外切問題是本章的難點,也是高考的命題熱點.研究好多面體、旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系,確定球心是解決這類問題的關(guān)鍵.常見以下兩種類型的題目:(1)多面體與旋轉(zhuǎn)體的外接球問題;(2)多面體與旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球問題.類型一多面體與旋轉(zhuǎn)體的外接球問題【典例1】(1)已知棱長為1的正四面體的四個頂點都在一個球面上,則這個球的體積為()A.68π B.6C.38π D.3【解析】選A.如圖將棱長為1的正四面體B1ACD1放入正方體ABCDA1B1C1D1中,且正方體的棱長為1×cos45°=22所以正方體的體對角線AC1=(22)所以正方體外接球的半徑R=AC12所以正方體外接球的體積為43πR3=43π×643=6因為正四面體的外接球即為正方體的外接球,所以正四面體的外接球的體積為68π(2)圓柱內(nèi)接于球,圓柱的底面半徑為3,高為8,則球的表面積為________.

【解析】如圖,由條件知,O1A=3,OO1=4,所以O(shè)A=5,所以球的表面積為4π×52=100π.答案:100π【總結(jié)升華】外接球問題的常用解題策略(1)解決外接球問題常用補形法,常常把三棱柱或三棱錐補成正方體或長方體.(2)長方體外接球的球心為體對角線的交點,半徑R=a2+b2+c22(3)正方體外接球的球心是正方體的中心,半徑R=32a(a為正方體的棱長)(4)解決圓柱、圓錐的外接球問題常用截面法,應用勾股定理求解.【即學即練】在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC=2,∠ABC=π2.若該直三棱柱的外接球的表面積為16π,則該直三棱柱的高為(A.4 B.3C.42 D.22【解析】選D.因為∠ABC=π2,所以可以將直三棱柱ABCA1B1C1補成長方體ABCDA1B1C1D1則該直三棱柱的外接球就是長方體的外接球,外接球的直徑等于長方體的體對角線長.設(shè)外接球的半徑為R,則4πR2=16π,解得R=2.設(shè)該直三棱柱的高為h,則4R2=22+22+h2,即16=8+h2,解得h=22,所以該直三棱柱的高為22.類型二多面體與旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球問題【典例2】(1)已知正三棱錐的高為6,內(nèi)切球(與四個面都相切)的表面積為16π,則其底面邊長為()A.18 B.12 C.63 D.43【解析】選B.由題意知,球心在三棱錐的高PE上,設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,則S球=4πR2=16π,所以R=2,所以O(shè)E=OF=2,OP=4.在Rt△OPF中,PF=OP2-因為△OPF∽△DPE,所以O(shè)FDE=PFPE,得DE=23,AD=3DE=63,AB=23(2)已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為__________.

【解析】易知半徑最大的球為圓錐的內(nèi)切球,球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示,其中BC=2,AB=AC=3,且點M為BC邊上的中點,設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O,由于AM=32-1故S△ABC=12×2×22=22,設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,則S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12×AB×r+12×BC×r+12×AC×r=12×(3+3+2)×r=22,解得r=22,其體積為V=43答案:23【總結(jié)升華】內(nèi)切球問題的常用解題策略(1)內(nèi)切球問題常采用等體積分割法和截面法求解.(2)正方體內(nèi)切球的球心是正方體的中心,內(nèi)切球半徑r=a2;與正方體各條棱相切的球的球心是正方體的中心,半徑r'=22a(a(3)正四面體(正四面體可以看作是正方體的一部分)的內(nèi)切球球心是正四面體的中心,半徑r=612a(a為正四面體的棱長)【即學即練】如圖所示,直三棱柱ABCA1B1C1是一塊石材,測量得∠ABC=90°,AB=6,BC=8,AA1=13.若將該石材切削、打磨,加工成幾個大小相同的健身手球,則一個加工所得的健身手球的最大體積及此時加工成的健身手球的個數(shù)分別為()A.32π3,4 B.9πC.6π,4 D.32π3【解析】選D.依題意知,當健身手球與直三棱柱的三個側(cè)面均相切時,健身手球的體積最大.易知AC=AB2+BC2=