云南省紅河哈尼族彝族自治州第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

紅河州第一中學(xué)2024級(jí)高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等相關(guān)信息填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.不等式成立是不等式成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.3.對(duì)平面內(nèi)兩向量，，若，則下列結(jié)論成立的是（）A.，方向相同B.，兩向量中至少有一個(gè)為零向量C.存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使D.存在不全為零的實(shí)數(shù)，，使4.已知平面向量，且，則（）A.2 B.3 C.4 D.55.已知，若M、P、Q三點(diǎn)共線，則（）A.1 B.2 C.4 D.－16.若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)的圖象是在上連續(xù)不斷的曲線，在區(qū)間項(xiàng)上單調(diào)遞增，且滿足，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.8.古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角形來構(gòu)造無理數(shù)．已知，若，則（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于平面向量，下列說法不正確的是（）A.B.C.若，且，則D.10.已知函數(shù)（且，），則下列說法正確的是（）A.若，則的圖象過定點(diǎn) B.若，則的最小值為4C.若，則 D.若，11.已知圓半徑為2，弦，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A. B.最大值為6C. D.滿足的點(diǎn)只有一個(gè)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，D滿足，則_________.13.將余弦函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫胶瘮?shù)的圖象，若在區(qū)間上恰有1個(gè)最小值和3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為___.14.已知平面向量滿足，則的最大值為_____.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知．（1）若//，求的值；（2）若，求的值．16.已知與的夾角為.（1）求在方向上的投影向量;（2）求的值;（3）若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17.設(shè)函數(shù)，.（1）求最小正周期和對(duì)稱中心；（2）若函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在區(qū)間上的值域.18.如圖，互相垂直兩條小路AM，AN旁有一長(zhǎng)方形花壇ABCD，其中.現(xiàn)欲經(jīng)過點(diǎn)修一條直路l，l交小路AM，AN分別為點(diǎn)P，Q.計(jì)劃準(zhǔn)備將長(zhǎng)方形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的三角形花壇APQ.要求AP的長(zhǎng)不小于40m且不大于90m.記三角形花園APQ的面積為（1）設(shè)，試用表示AP，并求取值范圍；（2）當(dāng)DQ的長(zhǎng)度是多少時(shí)，取最小值？最小值是多少？19.設(shè)函數(shù)定義域?yàn)椋舸嬖?，使得成立，則稱為的一個(gè)“準(zhǔn)不動(dòng)點(diǎn)”.已知函數(shù)（1）若，求的“準(zhǔn)不動(dòng)點(diǎn)”：（2）若為的一個(gè)“準(zhǔn)不動(dòng)點(diǎn)”，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍：（3）設(shè)函數(shù)若使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

紅河州第一中學(xué)2024級(jí)高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等相關(guān)信息填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.不等式成立是不等式成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)不等式和一元二次不等式的解法解出對(duì)應(yīng)的不等式，結(jié)合必要不充分條件的概念即可得出結(jié)果.【詳解】解不等式，得，解不等式，得，又，所以不等式成立是不等式成立的必要不充分條件.故選：B.2.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由零點(diǎn)存在性定理逐個(gè)判斷即可；【詳解】易知單調(diào)遞增；，所以零點(diǎn)所在區(qū)間為，故選：B3.對(duì)平面內(nèi)兩向量，，若，則下列結(jié)論成立的是（）A.，方向相同B.，兩向量中至少有一個(gè)為零向量C.存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使D.存在不全為零實(shí)數(shù)，，使【答案】D【解析】【分析】根據(jù)共線向量的定義及性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】由，可得與方向相同或者相反，或者與中至少一個(gè)為零向量，故A、B錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)滿足，但是不存在實(shí)數(shù)，使，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由，可得，令，則，即，當(dāng)時(shí)，由，可得（存在），故D正確．故選：D．4.已知平面向量，且，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)模的坐標(biāo)運(yùn)算得，根據(jù)垂直關(guān)系可得，再根據(jù)模長(zhǎng)關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，，又因?yàn)椋裕瑒t，所以.故選：C.5.已知，若M、P、Q三點(diǎn)共線，則（）A.1 B.2 C.4 D.－1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線定理，列方程組即可求解.【詳解】解：∵M(jìn)、P、Q三點(diǎn)共線，則與共線，∴，即，得，解得.故選：A.6.若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指對(duì)數(shù)函數(shù)及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷大小關(guān)系即可.【詳解】由，即.故選：A7.已知函數(shù)的圖象是在上連續(xù)不斷的曲線，在區(qū)間項(xiàng)上單調(diào)遞增，且滿足，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過條件分析函數(shù)具有的性質(zhì)，再把函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解.【詳解】由得：的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；；又在上連續(xù)不斷，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增..故選：B8.古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角形來構(gòu)造無理數(shù)．已知，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，由題意得，則，，，，，，．因?yàn)?，所以解得所以．故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于平面向量，下列說法不正確的是（）A.B.C.若，且，則D.【答案】CD【解析】【分析】由向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，對(duì)選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A、B，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，及分配律，易知A、B正確；對(duì)于C，當(dāng)反向且都與垂直時(shí)滿足題設(shè)，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，是與共線的向量，是與共線的向量，故D錯(cuò)誤.故選：CD.10.已知函數(shù)（且，），則下列說法正確的是（）A.若，則的圖象過定點(diǎn) B.若，則的最小值為4C.若，則 D.若，【答案】ABD【解析】【分析】A由可得的圖象所過定點(diǎn)；B由題可得，然后由基本不等式可得答案；CD由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合作差法，正切函數(shù)單調(diào)性可判斷選項(xiàng)正誤；【詳解】對(duì)于A，令，，則的圖象過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故B正確；對(duì)于C，因，則在R上單調(diào)遞增，又，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因，則在R上單調(diào)遞減，又注意到時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則，故D正確.故選：ABD11.已知圓半徑為2，弦，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A. B.的最大值為6C. D.滿足的點(diǎn)只有一個(gè)【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算即可判斷；對(duì)于B，由投影向量可找出最大值點(diǎn)的位置，計(jì)算即可判斷；對(duì)于C，作圖得到，再由可確定最值點(diǎn)的位置，計(jì)算判斷即可；對(duì)于D，當(dāng)重合或者時(shí)都可以得到，從而可判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，圓半徑為2，弦，故為等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，所以，A正確；對(duì)于選項(xiàng)，過點(diǎn)作平行于，交圓與點(diǎn)，過點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，則四邊形為菱形，由投影向量可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值，此時(shí)，故的最大值為，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，且，因?yàn)闉槎ㄖ?，故?dāng)與平行且方向相同時(shí)，取得最大值，最大值為，當(dāng)與平行且方向相反時(shí)，取得最小值，最小值為，故，C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，故當(dāng)重合時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，滿足，故滿足的點(diǎn)有2個(gè)，D錯(cuò)誤.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，D滿足，則_________.【答案】3【解析】【分析】先對(duì)等式進(jìn)行變形，將其轉(zhuǎn)化為與和有關(guān)的形式，然后再求的值.【詳解】已知，根據(jù)向量的減法法則，則.因?yàn)?，又，所以，移?xiàng)可得.由于，那么，所以.故答案為：.13.將余弦函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫胶瘮?shù)的圖象，若在區(qū)間上恰有1個(gè)最小值和3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為___.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圖像變換可得，再以為整體，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)列式求解即可.【詳解】余弦函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得，再將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，可得，因?yàn)?，且，則，由題意可得：，解得，所以的取值范圍為.故答案為：.14.已知平面向量滿足，則的最大值為_____.【答案】30【解析】【分析】根據(jù)向量模的幾何意義構(gòu)造幾何圖形，再根據(jù)向量數(shù)量積的公式，結(jié)合圖形，即可求解.【詳解】設(shè)，則，由，則，，故點(diǎn)在以為圓心3為半徑的圓周上，點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓周上，如圖所示，而，由圖可知，當(dāng)三點(diǎn)共線，在如圖所示的位置時(shí)，有最大值有最大值5，此時(shí)取最大值1，所以的最大值為30.故答案為：30四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知．（1）若//，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求得，再求齊次式的值即可；（2）根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示，求得，再根據(jù)其與的關(guān)系即可求得結(jié)果.【小問1詳解】，//，．【小問2詳解】，又，故，則，故，.16.已知與的夾角為.（1）求在方向上的投影向量;（2）求的值;（3）若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)投影向量的概念求解；（2）通過展開計(jì)算；（3）根據(jù)，且與不共線計(jì)算求解.【小問1詳解】在方向上的投影向量為；【小問2詳解】；【小問3詳解】因?yàn)橄蛄颗c的夾角為銳角，所以，且與不共線，對(duì)于，得，解得，若與共線，則存在，得，解得，所以若向量與的夾角為銳角，實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.設(shè)函數(shù)，.（1）求的最小正周期和對(duì)稱中心；（2）若函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】（1）的最小正周期為，對(duì)稱中心為；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解的最小正周期與對(duì)稱中心；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)則求出的解析式，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性從而求得值域.【詳解】（1）令，解得，所以的最小正周期為，對(duì)稱中心為；（2）函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換，求正弦型函數(shù)的周期性、對(duì)稱性與單調(diào)性，三角函數(shù)圖象變換規(guī)則，屬于中檔題.18.如圖，互相垂直的兩條小路AM，AN旁有一長(zhǎng)方形花壇ABCD，其中.現(xiàn)欲經(jīng)過點(diǎn)修一條直路l，l交小路AM，AN分別為點(diǎn)P，Q.計(jì)劃準(zhǔn)備將長(zhǎng)方形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的三角形花壇APQ.要求AP的長(zhǎng)不小于40m且不大于90m.記三角形花園APQ的面積為（1）設(shè)，試用表示AP，并求的取值范圍；（2）當(dāng)DQ的長(zhǎng)度是多少時(shí)，取最小值？最小值是多少？【答案】（1）（2）m時(shí)，取得最小值1200.【解析】【分析】（1）利用三角形相似表示出，再由不等關(guān)系即可解得的取值范圍；（2）求得面積的表達(dá)式，再利用基本不等式可求得當(dāng)m時(shí)，取得最小值1200.【小問1詳解】依題意可得，所以，即，可得；因此，又要求AP的長(zhǎng)不小于40m且不大于90m，即，解得，即；【小問2詳解】易知，所以由基本不等式可得；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值1200；因此m時(shí)，取得最小值，最小值為1200.19.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在，使得成立，則稱為的一個(gè)“準(zhǔn)不動(dòng)點(diǎn)”.已知函數(shù)（1）若，求的“準(zhǔn)不動(dòng)點(diǎn)”：（2）若為的一個(gè)“準(zhǔn)不動(dòng)點(diǎn)”，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍：（3）設(shè)函數(shù)若使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）0或1；（2）（3）【解析】【分析】（1）依題意可得，利用換元法計(jì)算可得；（2）依題意可得在上有解，參變分離可得在上有解，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出的取值范圍，即可得解；（3）依題意可得，根據(jù)的單調(diào)性，求出的最值，即