2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第68講、曲線的軌跡方程（教師版）

第68講曲線的軌跡方程

知識(shí)梳理

一．直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

利用直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的步驟如下：

（1）建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系

（2）設(shè)點(diǎn)：設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)Px,y

（3）列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式

（4）代換：將軌跡所滿足的條件用含x,y的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公式等將

其轉(zhuǎn)化為x,y的方程式化簡(jiǎn)

（5）證明（一般省略）：證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程（對(duì)某些特殊值應(yīng)

另外補(bǔ)充檢驗(yàn)）．簡(jiǎn)記為：建設(shè)現(xiàn)代化，補(bǔ)充說(shuō)明．

注：若求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，則不但要求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，還要說(shuō)明軌跡是什么曲線．

二．定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問(wèn)題，我們常常需要把動(dòng)點(diǎn)P和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志的

定點(diǎn)連起來(lái)判斷．熟記焦點(diǎn)的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為F的點(diǎn)；（3）

圓心；（4）題目提到的定點(diǎn)等等．當(dāng)看到以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，把曲線和滿

足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來(lái)結(jié)合曲線定義求解軌跡方程．

三．相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)

坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出P(x,y)，用(x,y)表示出相關(guān)點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后把

P的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

四．交軌法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，存在一種求解兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，這類問(wèn)題常?？梢韵?/p>

解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)

法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等為參數(shù)．

五．參數(shù)方程法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的運(yùn)動(dòng)主要是由于某個(gè)參數(shù)的變化引起的，可以選參、設(shè)參，然后用這個(gè)

xf()

參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即，再消參.

yg()

六．點(diǎn)差法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

圓錐曲線中涉及與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)

的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減可得，，，

A(x1,y1),B(x2,y2)x1x2y1y2x1x2y1y2

等關(guān)系式，由于弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，且直線的斜率

ABP(x,y)2xx1x22yy1y2AB

y2y1

為，由此可求得弦AB中點(diǎn)的軌跡方程．

x2x1

必考題型全歸納

題型一：直接法

例1．（2024·甘肅平?jīng)觥じ呷y(tǒng)考期中）動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)A(1,0),B1,0的連線的斜率之積為1，

則點(diǎn)P的軌跡方程是.

【答案】x2y21（x1）

【解析】由題意可知：PAPB，則點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓（A,B除外），

即以AB的中點(diǎn)O0,0為圓心，半徑為1的圓，

22

所以點(diǎn)P的軌跡方程是xy1x1.

22

故答案為：xy1x1.

例2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓A：x2(y3)21，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P

作圓A的切線PB（B為切點(diǎn)），使得PB3，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.

【答案】x2(y3)24

【解析】設(shè)Px,y，由PB3得|PB|23，則x2(y3)213，即x2(y3)24.

故答案為：x2(y3)24

例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩條直線l1:2x3y20和l2:3x2y30，有一

動(dòng)圓與l1及l(fā)2都相交，并且l1、l2被截在圓內(nèi)的兩條弦長(zhǎng)分別是26和24，則動(dòng)圓圓心的軌跡

方程是．

(x1)2y2

【答案】1

6565

【解析】設(shè)圓心M的坐標(biāo)為(x,y)，圓的半徑為r，點(diǎn)M到l1、l2的距離分別為d1、d2，

222222222

則d113r，d212r，得d2d15．

22

|2x3y2||3x2y3|3x2y32x3y2

由題意可得：d1，d2，即25，

13131313

(x1)2y2

化簡(jiǎn)得x22x1y265．即1．

6565

(x1)2y2

故答案為：1.

6565

變式1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)F12,0,F22,0，且曲

線C1上的任意一點(diǎn)P都滿足PF1PF25．則曲線C1的軌跡方程為.

【答案】x4y42x2y28x28y290

22

【解析】設(shè)Px,y，由題設(shè)有x2y2x2y25，

整理得到x24x4y2x24x4y225，

442222

故C1:xy2xy8x8y90.

故答案為：x4y42x2y28x28y290.

變式2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)O(0,0)和A(2,0)的距離之比為

3

，則點(diǎn)P的軌跡方程為.

2

【答案】(x6)2y248

3

【解析】設(shè)P(x,y)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)O(0,0)和A(2,0)的距離之比為，

2

(x0)2(y0)23x2y23

所以，，即：2222，

224x4y3(x4x4)3y

(x2)2(y0)22(x2)y4

所以x2y212x12，即(x6)2y248，

所以點(diǎn)P的軌跡方程是(x6)2y248.

故答案為：(x6)2y248

變式3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l：x=8，P為該平面上

11

一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且(PCPQ)·(PCPQ)=0．則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程

22

為；

x2y2

【答案】1

1612

【解析】設(shè)P(x,y)，則Q(8,y)，

11

由(PCPQ)·(PCPQ)=0，得4|PC|2|PQ|2，

22

22

2222xy

即4(x2)y(x8)(yy)，化簡(jiǎn)得1，

1612

x2y2

所以點(diǎn)P在橢圓上，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為1．

1612

x2y2

故答案為：1

1612

題型二：定義法

例4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若F1(0,3)，F(xiàn)2(0,3)，點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離之和為10，

則點(diǎn)P的軌跡方程是

y2x2

【答案】1

2516

【解析】因?yàn)镻F1PF210F1F26，所以點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，其中

y2x2

a5,c3,ba2c24，故點(diǎn)P的軌跡方程為1.

2516

y2x2

故答案為：1

2516

例5．（2024·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓M與圓O:x2y21內(nèi)切，且圓M與直線

x2相切，則圓M的圓心的軌跡方程為．

【答案】y212x

【解析】設(shè)M(x,y)，點(diǎn)M到直線x2的距離為d，

如圖，M只能在直線x2的左側(cè)，則d2x，

因?yàn)閳AO:x2y21的圓心為O0,0，半徑為1，

依題意可得|MO|1d，即x2y2(2x)1，化簡(jiǎn)可得y212x，

故圓M的圓心的軌跡方程為y212x．

故答案為：y212x.

2

例6．（2024·廣東東莞·高三?？茧A段練習(xí)）已知圓M:(x1)2y21，圓N:x1y225，

動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，則圓心P的軌跡方程為

x2y2

【答案】1

98

【解析】設(shè)動(dòng)圓P的圓心為Px,y，半徑為R，

由題意得PMR1,PN5R，

所以PMPN62，

所以點(diǎn)P的軌跡為以MN為焦點(diǎn)的橢圓，

則2a6，即a3，c1，則b28，

x2y2

所以動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為1，

98

x2y2

故答案為：1

98

變式4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△HMN的周長(zhǎng)是18，

M，N是x軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，若MN6，動(dòng)點(diǎn)G滿足GMGNGH0.則動(dòng)點(diǎn)

G的軌跡方程為；

x2y2

【答案】1x2

43

【解析】由GMGNGH0，知點(diǎn)G是△HMN的重心，取點(diǎn)F11,0，F(xiàn)21,0，

不妨設(shè)M3,0，N3,0，則GF1∥HM，GF2∥HN，

11

且GFGFHMHN1864FF2，

123312

所以點(diǎn)G是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓（除去長(zhǎng)軸端點(diǎn)），

x2y2

設(shè)橢圓C的方程是1ab0，

a2b2

x2y2

則2a4，2c2，于是b2a2c23，即1，

43

x2y2

從而，點(diǎn)G的軌跡方程為：1x2.

43

x2y2

故答案為：1x2

43

2

變式5．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知?jiǎng)訄AP過(guò)點(diǎn)N2,0，且與圓M:x2y28

外切，則動(dòng)圓P圓心Px,y的軌跡方程為.

【答案】x2y22，x2

【解析】定圓的圓心為M2,0，與N2,0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

2

設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，則有PNr，因?yàn)榕c圓M:x2y28外切，

所以PM22r，即PMPN22MN4，

所以點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，

則a2，c2，b2c2a22，

x2y2

所以軌跡方程為1，x2，即x2y22，x2.

22

故答案為：x2y22，x2

變式6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B2,0，C2,0且滿足

sinCsinB2sinA，則A點(diǎn)的軌跡方程為．

x2y2

【答案】1(y0).

1612

【解析】根據(jù)正弦定理，由sinCsinB2sinAABAC2BCABAC8BC，

所以點(diǎn)A點(diǎn)的軌跡是以B2,0，C2,0為焦點(diǎn)的橢圓，不包括兩點(diǎn)(4,0),(4,0)，

由2a8,2c4a4,c2ba2c223，

x2y2

所以A點(diǎn)的軌跡方程為1(y0)，

1612

x2y2

故答案為：1(y0).

1612

22

變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)動(dòng)圓與圓C1:x(y3)1外切，與圓

2

C2:x(y3)81內(nèi)切，則這個(gè)動(dòng)圓圓心的軌跡方程為．

y2x2

【答案】1

2516

【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心為M，半徑為r，根據(jù)題意知：|MC1|1r，|MC2|9r，

所以|MC1||MC2|10|C1C2|6，所以圓心M的軌跡為橢圓.

其中2a10，2c6，故a5,b4，

y2x2

因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，故圓心軌跡方程為：1.

2516

y2x2

故答案為：1.

2516

2

112

變式8．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知A,0，B是圓F:xy4（F為圓心）

22

上一動(dòng)點(diǎn).線段AB的垂直平分線交BF于P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.

y2

x21

【答案】3．

4

1

【解析】由題意F(,0)，P在線段AB的垂直平分線上，則PBPA，

2

所以PFPAPFPBFB2，又AF1，

所以P在以A,F為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓上，

13

2a2，a1，c，則b2a2c2，

24

y2

x21

所以軌跡方程為3．

4

y2

x21

故答案為：3．

4

變式9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定點(diǎn)R(1,0)，圓S:x2y22x150，過(guò)R

點(diǎn)的直線L1交圓于M，N兩點(diǎn)過(guò)R點(diǎn)作直線L2//SN交SM于Q點(diǎn)，求Q點(diǎn)的軌跡方程；

2

【解析】因?yàn)镾:x2y22x150，即x1y216，所以S1,0，半徑為r4，

如圖，根據(jù)題意可知SMSNr4，

RQQM

又RQ//SN，所以，故RQQM，

SNSM

又R(1,0)，所以QSQRSM4SR2，

故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以S,R為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，這里a2,c1，故

a24,b2413，

x2y2

所以Q點(diǎn)的軌跡方程為：1.

43

變式10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓O:x2y21，直線l:xy20，過(guò)l上的點(diǎn)

P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，則弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程為.

22

11122

【答案】xyxy0

448

【解析】由題意得弦AB中點(diǎn)M為直線OP和AB的交點(diǎn)，

2p

設(shè)Pp,2p,p0,2，則直線OP的方程為yx，

p

又PA,PB均與圓O:x2y21相切，故OAPA,OBPB，

故O,A,B,P四點(diǎn)共圓，且AB為以O(shè)P為直徑的圓與圓O的公共弦.

又以O(shè)P為直徑的圓的方程為x0xpy0y2p0，即

x2pxy22py0，

22

故AB的方程為xpxy2py0與x2y21相減，即1px2py0.

2p2x

又yx，所以p，

pxy

2x22x

代入1px2py0有12y0，

xyxy

22

111

化簡(jiǎn)得xy.

448

11

當(dāng)P0,2時(shí)，M0，；當(dāng)P2,0時(shí)，M，0均滿足方程.

22

又當(dāng)M0，0時(shí)，PA∥PB不滿足題意.

22

11122

綜上點(diǎn)M的軌跡方程為xyxy0，

448

22

11122

故答案為：xyxy0

448

變式11．（2024·吉林白山·高三撫松縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)2,0，

點(diǎn)A是直線x2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AF并作AF的垂直平分線l，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交l

于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為．

【答案】y28x

【解析】如圖，由垂直平分線的性質(zhì)可得PAPF，符合拋物線第一定義，拋物線開(kāi)口向

右，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F2,0，故p4,2p8，點(diǎn)P的軌跡方程為y28x.

故答案為：y28x

22

變式12．（2024·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓A1:x1y16，直線l1過(guò)點(diǎn)A21,0

且與圓A1交于點(diǎn)B，C，線段BC的中點(diǎn)為D，過(guò)A2C的中點(diǎn)E且平行于A1D的直線交A1C于

點(diǎn)P．

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

【解析】（1）由題意得，A11,0，A21,0．

因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以A1DBC，即A1DA2C，

又PE//A1D，所以PEA2C，

又E為A2C的中點(diǎn)，所以PA2PC，

所以PA1PA2PA1PCA1C4A1A2，

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A1，A1為焦點(diǎn)的橢圓（左、右頂點(diǎn)除外）．

x2y2

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：1xa，其中ab0，a2b2c2．

a2b2

則2a4，a2，c1，ba2c23．

x2y2

故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：1x2．

43

題型三：相關(guān)點(diǎn)法

x2y2

例7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓1上的任意一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，M

2516

1

滿足OMOP，則點(diǎn)M的軌跡方程為．

2

4x2y2

【答案】1.

254

【解析】設(shè)點(diǎn)M(x,y)，

1x2y2

由OMOP得點(diǎn)P(2x,2y)，而點(diǎn)P為橢圓1上的任意一點(diǎn)，

22516

(2x)2(2y)24x2y2

于是得1，整理得：1，

2516254

4x2y2

所以點(diǎn)M的軌跡方程是1.

254

4x2y2

故答案為:1

254

例8．（2024·福建泉州·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）M是圓C:x2y21上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N2,0，則

線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程是.

21

【答案】x1y2

4

x02

x

2x02x2

【解析】設(shè)Px,y,Mx,y，則，解得，

00y0y2y

0y0

2

2221

即M2x2,2y，則2x22y1，整理得x1y2，

4

21

故點(diǎn)P的軌跡方程是x1y2.

4

21

故答案為：x1y2.

4

例9．（2024·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知定點(diǎn)A(4,2)和曲線

x2y24上的動(dòng)點(diǎn)B，則線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為．

【答案】(x2)2(y1)21

4m2n

【解析】設(shè)線段AB中點(diǎn)為P(x,y)，B(m,n)，則x，y

22

即m2x4，n2y2

因?yàn)辄c(diǎn)B為圓上x2y24的點(diǎn)，所以m2n24

所以(2x4)2(2y2)24，化簡(jiǎn)得：(x2)2(y1)21

故答案為：(x2)2(y1)21

x2

變式13．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)P為雙曲線y21上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為

4

線段OP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程為．

【答案】x24y21

【解析】設(shè)Mx,y，Px0,y0，

x0

x

2x02x

則，即，

yy2y

y00

2

x22

又02，則2x2，

y012y1

44

整理得x24y21，

即點(diǎn)M的軌跡方程為x24y21.

故答案為：x24y21

變式14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知ABC的頂點(diǎn)B3,0，C1,0，頂點(diǎn)A在拋物

線y=x2上運(yùn)動(dòng)，則ABC的重心G的軌跡方程為．

12

【答案】y3x2y0

3

【解析】設(shè)Gx,y，Ax0,y0．

31x0

x

3x03x2

由點(diǎn)G為ABC的重心，得，所以．

yy03y

y0

3

222

又Ax0,y0在拋物線y=x上，所以y0x0，即3y3x2．

12

又點(diǎn)A不在直線BC上，所以y0，即y0，所以所求軌跡方程為y3x2y0．

03

12

故答案為：y3x2y0

3

變式15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)過(guò)點(diǎn)Px,y的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正

半軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若BP2PA，且OQAB1，

則點(diǎn)P的軌跡方程是．

3

【答案】x23y21x0,y0

2

【解析】設(shè)點(diǎn)Px,y，則Qx,y，設(shè)Aa,0，B0,b，則a0,b0，

BPx,yb，PAax,y，

3

BP2PA，ax,b3y，x0,y0，

2

3

又ABa,bx,3y，OQx,y，OQAB1，

2

3322

xx3yy1，即x3y1x0,y0.

22

3

故答案為：x23y21x0,y0.

2

變式16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC滿足A(-1，0)，B(1，0)，

ABAC

，GPGA，∠ACB的平分線與點(diǎn)P的軌跡相交于點(diǎn)I，

GAGBGC0

ABAC

存在非零實(shí)數(shù)，使得GIAB，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為．

x2y2

【答案】1xy0

43

【解析】設(shè)C(x,y)，因?yàn)镚AGBGC0，所以G是ABC的重心，

ABACABAC

因?yàn)镚PGA，所以GPGA，

ABACABAC

ABAC

所以AP,所以點(diǎn)P在BAC的角平分線上，

ABAC

因?yàn)椤螦CB的平分線與點(diǎn)P的軌跡相交于點(diǎn)I，所以點(diǎn)I為ABC的內(nèi)心.

ab2xa0b02yab2x2y

所以點(diǎn)I(,)，即I(,)，

ab2ab2ab2ab2

xy

又，，所以GI與x軸平行，又G(,)，

GIABGI//AB33

2yy

所以,ab4|AB|,

ab23

所以點(diǎn)C的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，，

當(dāng)C是橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)時(shí)，不能構(gòu)成三角形，所以不能取到橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)；

當(dāng)C是橢圓的短軸的端點(diǎn)時(shí)，GI0,與已知存在非零實(shí)數(shù)，使得GIAB矛盾，所以不

能取到橢圓的短軸的端點(diǎn).

x2y2

又橢圓的焦距為2，所以橢圓的方程為1.

43

x2y2

所以點(diǎn)C的軌跡方程為1xy0.

43

x2y2

故答案為：1xy0

43

題型四：交軌法

例10．（2024·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知直線l1:ym(x2)，l2:xmym20，

當(dāng)任意的實(shí)數(shù)m變化時(shí)，直線l1與l2的交點(diǎn)的軌跡方程是．

2

2117

【答案】xy

24

ym(x2)

【解析】聯(lián)立兩直線得，將這兩式相乘，消去參數(shù)m，得

m(y1)x2

y(y1)(x2)(x2)，

2

222117

即xyy40，可得軌跡方程為xy．

24

2

2117

故答案為：xy

24

例11．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C:x22py(p0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離

為2，直線l:ykx4與拋物線C交于P,Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P,Q作拋物線C的切線l1,l2，若l1,l2

交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡方程為.

【答案】y2x(x8或x0)

【解析】由焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，可得拋物線C:x24y.

x2x

由x24y可得y，故y，

42

222

x1x1x1x1xx1

故在Px1,處的切線方程為yxx，即y，

442124

22

x2x2xx2

同理在點(diǎn)Qx2,處的切線方程為y，

424

2

x1xx1x1x2

yx

242x1x2x1x2

聯(lián)立，即M,.

xxx2xx24

y22y12

244

x24y

聯(lián)立直線與拋物線方程：，消去y得x24kx16k0，

ykx4

由題Δ16k264k0k4或k0.

由韋達(dá)定理，x1x24k,x1x216k,，

得M2k,4k，其中k4或k0，故點(diǎn)M的軌跡方程為：y2x(x8或x0).

故答案為：y2x(x8或x0)

x2y2

例12．（2024·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）已知A，B分別為橢圓1的左

43

?右頂點(diǎn)，點(diǎn)M，N為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足線段MN與x軸垂直，則直線MA與NB交

點(diǎn)的軌跡方程為.

x2y2

【答案】1

43

x2y2

【解析】因?yàn)锳，B分別為橢圓1的左?右頂點(diǎn)，所以A(-2，0)，B(2，0)，

43

設(shè)MA與NB的交點(diǎn)為P，P(x，y)，M(x1，y1)，N(x1，-y1)，

yyyy

11

由kPAkMA，kPBkNB，得，，

x2x12x2x12

2

x122

223(1)xy

兩式相乘得∶yy143，化解得1.

22243

x4x14x144

x2y2

故答案為：1.

43

x2y2

變式17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知MN是橢圓1ab0中垂直于長(zhǎng)軸的

a2b2

動(dòng)弦，A,B是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，則直線AM和NB的交點(diǎn)P的軌跡方程為．

x2y2

【答案】1（xa）．

a2b2

【解析】設(shè)M(x1,y1),N(x1,y1)，

x2y2

因?yàn)闄E圓1ab0的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A(a,0),B(a,0)，

a2b2

設(shè)直線AM和NB的交點(diǎn)為P(x,y)，

yy

因?yàn)锳,M,P三點(diǎn)共線，所以1，x1-a，

xax1a

yy

因?yàn)镹,B,P三點(diǎn)共線，所以1，xa

xax1a

y2y2

1

兩式相乘得2222，（xa）,

xax1a

22

x2y2b2(a2x2)yb

因?yàn)?1，所以21，即1，

221y12222

abax1aa

y2b2x2y2

所以，整理得1（xa），

x2a2a2a2b2

x2y2

所以直線AM和NB的交點(diǎn)P的軌跡方程1（xa）.

a2b2

x2y2

故答案為：1（xa）.

a2b2

變式18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線l在x軸上的截距為aa0且交拋物線

2

y2pxp0于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A、B分別作拋物線對(duì)稱軸的平

行線與直線xa交于C、D兩點(diǎn)．分別過(guò)點(diǎn)A、B作拋物線的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的

軌跡方程為．

【答案】xa

【解析】設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、Bx2,y2，

若直線AB與x軸重合，則直線AB與拋物線y22px只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意.

xmya

2

設(shè)直線AB的方程為xmya，聯(lián)立2，可得y2mpy2pa0，

y2px

22

4mp8pa0，由韋達(dá)定理，可得y1y22mp，y1y22pa，

顯然拋物線y22px在點(diǎn)A處切線斜率存在且不為0，

2

y1

設(shè)其方程為yy1kx，

2p

y22px

y2y2

由2，消去x并整理，得yyk1，

y11

yy1kx2p2p

2p

2p2pp

k

解得yy1或yy1，因此有y1y1，解得，

kky1

22

py1y

則拋物線2在點(diǎn)處切線方程為，即1，

y2pxAyy1xy1ypx

y12p2

y2

同理拋物線y22px在點(diǎn)B處切線方程為yypx2，

22

2

y1

y1ypx

2y1y2

而y1y2，由，解得xa，y，

y22

yypx2

22

于是得兩條切線的交點(diǎn)在直線xa上，

yy

又y12R，所以兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為xa．

2

故答案為：xa.

變式19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：x28y，焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交

C于A，B兩點(diǎn)，分別作拋物線C在A，B處的切線，且兩切線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方

程為：．

【答案】y=2

【解析】x28y，

F0,2，

由題意知：直線l的斜率存在，

設(shè)直線l的方程為：ykx2，Ax1,y1,Bx2,y2，

x28y

聯(lián)立：，得：x28kx160，

ykx2

x1x28k,x1x216，

1

又yx，

4

11

過(guò)A,B的切線的斜率分別為：x,x，

4142

11

故過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B的切線方程為：yyxxx,yyxxx，

14112422

1

yy1x1xx1

4

1

yyxxx

2422

聯(lián)立：，

1

yx2

181

1

yx2

282

xxxxxx2xx16

解得：x12，y1211122，

242888

故點(diǎn)P的軌跡方程為：y=2.

故答案為：y=2.

變式20．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，動(dòng)圓C與直線MN

切于點(diǎn)B，分別過(guò)點(diǎn)M,N且與圓C相切的兩條直線相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程

為.

y2

【答案】x21x1

8

【解析】如圖所示：

設(shè)PM，PN分別與圓C相切與R，Q，

由圓的切線長(zhǎng)定理得PQ=PR，MR=MB，NQ=NB，

所以PM-PN=RM-QN=MB-NB=2<MN，

所以點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且c=3，a=1，

y2

所以點(diǎn)P的軌跡方程為x21x1

8

y2

故答案為：x21x1

8

變式21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，兩根桿分別繞著定點(diǎn)A和B（AB＝2a）在

平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，并且轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)兩桿保持互相垂直，則桿的交點(diǎn)P的軌跡方程是.

【答案】x2y2a2（不唯一）

【解析】如圖，以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)

系，

則Aa,0，Ba,0，設(shè)Px,y，

yy

因?yàn)镻APB，所以axa，

xaxa

化簡(jiǎn)，得x2y2a2xa，

當(dāng)xa時(shí)，點(diǎn)P與A或B重合，此時(shí)y＝0，滿足上式，

故桿的交點(diǎn)P的軌跡方程是x2y