高中數(shù)學(xué)必修5新教學(xué)案：3.2一元二次不等式及其解法

高中數(shù)學(xué)必修5新教學(xué)案：3.2一元二次不等式及其解法?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能目標(biāo)理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的一般形式。能熟練地將一元二次不等式轉(zhuǎn)化為一元二次方程，通過求解方程的根來求解不等式。掌握一元二次不等式的解集與二次函數(shù)圖象之間的關(guān)系，能借助二次函數(shù)圖象直觀地求解一元二次不等式。2.過程與方法目標(biāo)通過從實(shí)際問題中抽象出一元二次不等式模型的過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。在探究一元二次不等式解法的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷"從特殊到一般"、"從具體到抽象"的認(rèn)知過程，體會類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的邏輯思維能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)通過對一元二次不等式的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。在合作交流中，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神和勇于探索的精神，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅。二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)一元二次不等式的概念、一般形式及解法。一元二次不等式的解集與二次函數(shù)圖象之間的關(guān)系。2.教學(xué)難點(diǎn)理解一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并能靈活運(yùn)用它們之間的關(guān)系求解一元二次不等式。含參數(shù)的一元二次不等式的解法，對參數(shù)進(jìn)行分類討論。三、教學(xué)方法1.講授法：講解一元二次不等式的基本概念、一般形式及解法的基本步驟，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識。2.討論法：組織學(xué)生討論一元二次不等式的解集與二次函數(shù)圖象之間的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力。3.練習(xí)法：通過針對性的練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識，提高學(xué)生運(yùn)用知識解決問題的能力。4.多媒體輔助教學(xué)法：利用多媒體展示二次函數(shù)圖象、一元二次不等式的求解過程等，使抽象的知識直觀化，幫助學(xué)生更好地理解和掌握。四、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課1.展示問題某產(chǎn)品的生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品\(x\)（百臺），其總成本為\(G(x)\)（萬元），其中固定成本為\(2\)萬元，并且每生產(chǎn)\(1\)百臺的生產(chǎn)成本為\(1\)萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）。銷售收入\(R(x)\)（萬元）滿足\(R(x)=\begin{cases}0.4x^{2}+4.2x0.8,&0\leqx\leq5\\10.2,&x\gt5\end{cases}\)。假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律，（1）要使工廠有盈利，產(chǎn)量\(x\)應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？（2）工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最多？2.引導(dǎo)學(xué)生分析問題設(shè)利潤為\(y\)萬元，則\(y=R(x)G(x)\)。當(dāng)\(0\leqx\leq5\)時(shí)，\(G(x)=2+x\)，\(y=0.4x^{2}+4.2x0.8(2+x)=0.4x^{2}+3.2x2.8\)。當(dāng)\(x\gt5\)時(shí)，\(G(x)=2+x\)，\(y=10.2(2+x)=8.2x\)。問題（1）就是求當(dāng)\(y\gt0\)時(shí)\(x\)的取值范圍，問題（2）就是求\(y\)的最大值。對于\(y=0.4x^{2}+3.2x2.8\gt0\)，這是一個(gè)什么樣的不等式呢？它與我們學(xué)過的一元一次不等式有什么不同？引出本節(jié)課的主題一元二次不等式及其解法。（二）講解新課1.一元二次不等式的概念引導(dǎo)學(xué)生觀察不等式\(0.4x^{2}+3.2x2.8\gt0\)，它含有一個(gè)未知數(shù)\(x\)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是\(2\)，這樣的不等式叫做一元二次不等式。給出一元二次不等式的一般形式：\(ax^{2}+bx+c\gt0\)或\(ax^{2}+bx+c\lt0\)（\(a\neq0\)），其中\(zhòng)(a\)、\(b\)、\(c\)是實(shí)數(shù)。2.一元二次不等式的解法（1）探究一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系讓學(xué)生求解方程\(0.4x^{2}+3.2x2.8=0\)。對于二次函數(shù)\(y=0.4x^{2}+3.2x2.8\)，其判別式\(\Delta=3.2^{2}4\times(0.4)\times(2.8)=10.244.48=5.76\gt0\)。由求根公式可得\(x=\frac{3.2\pm\sqrt{5.76}}{2\times(0.4)}=\frac{3.2\pm2.4}{0.8}\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=7\)。畫出二次函數(shù)\(y=0.4x^{2}+3.2x2.8\)的圖象（開口向下，與\(x\)軸交于\((1,0)\)和\((7,0)\)兩點(diǎn)）。引導(dǎo)學(xué)生觀察二次函數(shù)圖象，思考當(dāng)\(y\gt0\)時(shí)，\(x\)的取值范圍是什么；當(dāng)\(y\lt0\)時(shí)，\(x\)的取值范圍是什么。學(xué)生通過觀察圖象得出：當(dāng)\(1\ltx\lt7\)時(shí)，\(y\gt0\)；當(dāng)\(x\lt1\)或\(x\gt7\)時(shí)，\(y\lt0\)?？偨Y(jié)：一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的根就是二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）與\(x\)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）的圖象將\(x\)軸分成了幾個(gè)區(qū)間，在這些區(qū)間上函數(shù)值\(y\)有正有負(fù)，而一元二次不等式\(ax^{2}+bx+c\gt0\)（或\(ax^{2}+bx+c\lt0\)）的解集就是使函數(shù)值\(y\gt0\)（或\(y\lt0\)）的\(x\)的取值范圍。（2）總結(jié)一元二次不等式\(ax^{2}+bx+c\gt0\)（\(a\gt0\)）的解法步驟第一步：求方程\(ax^{2}+bx+c=0\)的判別式\(\Delta=b^{2}4ac\)，并求出方程的根\(x_1,x_2\)（\(x_1\leqx_2\)）。第二步：畫出二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)的圖象。第三步：根據(jù)圖象寫出不等式的解集。當(dāng)\(\Delta\gt0\)時(shí)，不等式\(ax^{2}+bx+c\gt0\)的解集為\(\{x|x\ltx_1或x\gtx_2\}\)，不等式\(ax^{2}+bx+c\lt0\)的解集為\(\{x|x_1\ltx\ltx_2\}\)。當(dāng)\(\Delta=0\)時(shí)，方程\(ax^{2}+bx+c=0\)有兩個(gè)相等的實(shí)根\(x_0=\frac{2a}\)，不等式\(ax^{2}+bx+c\gt0\)的解集為\(\{x|x\neqx_0\}\)，不等式\(ax^{2}+bx+c\lt0\)的解集為\(\varnothing\)。當(dāng)\(\Delta\lt0\)時(shí)，方程\(ax^{2}+bx+c=0\)無實(shí)根，不等式\(ax^{2}+bx+c\gt0\)的解集為\(R\)，不等式\(ax^{2}+bx+c\lt0\)的解集為\(\varnothing\)。對于\(a\lt0\)的情況，可先將不等式兩邊同乘以\(1\)，化為\(a\gt0\)的形式，再按照上述方法求解，但要注意不等號方向的改變。（三）例題講解例1：解不等式\(x^{2}3x+2\gt0\)。解：（1）求方程\(x^{2}3x+2=0\)的根。對于方程\(x^{2}3x+2=0\)，\(\Delta=(3)^{2}4\times1\times2=98=1\gt0\)。由求根公式可得\(x=\frac{3\pm\sqrt{1}}{2}\)，即\(x_1=1\)，\(x_2=2\)。（2）畫出二次函數(shù)\(y=x^{2}3x+2\)的圖象（開口向上，與\(x\)軸交于\((1,0)\)和\((2,0)\)兩點(diǎn)）。（3）根據(jù)圖象寫出不等式的解集。所以不等式\(x^{2}3x+2\gt0\)的解集為\(\{x|x\lt1或x\gt2\}\)。例2：解不等式\(2x^{2}+3x2\lt0\)。解：先將不等式兩邊同乘以\(1\)，化為\(2x^{2}3x+2\gt0\)。（1）求方程\(2x^{2}3x+2=0\)的根。對于方程\(2x^{2}3x+2=0\)，\(\Delta=(3)^{2}4\times2\times2=916=7\lt0\)。（2）畫出二次函數(shù)\(y=2x^{2}3x+2\)的圖象（開口向上，與\(x\)軸無交點(diǎn)）。（3）根據(jù)圖象寫出不等式的解集。所以不等式\(2x^{2}+3x2\lt0\)的解集為\(R\)。例3：解不等式\(x^{2}+4x+4\leq0\)。解：（1）求方程\(x^{2}+4x+4=0\)的根。對于方程\(x^{2}+4x+4=0\)，\(\Delta=4^{2}4\times1\times4=1616=0\)。由求根公式可得\(x=2\)。（2）畫出二次函數(shù)\(y=x^{2}+4x+4\)的圖象（開口向上，與\(x\)軸交于\((2,0)\)一點(diǎn)）。（3）根據(jù)圖象寫出不等式的解集。所以不等式\(x^{2}+4x+4\leq0\)的解集為\(\{2\}\)。通過這三個(gè)例題，讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉一元二次不等式的解法步驟，體會不同情況下解集的特點(diǎn)。（四）課堂練習(xí)1.解下列不等式（1）\(x^{2}5x+6\lt0\)（2）\(3x^{2}x2\gt0\)（3）\(x^{2}2x+1\geq0\)（4）\(x^{2}+2x3\gt0\)2.若不等式\(ax^{2}+bx+2\gt0\)的解集為\(\{x|\frac{1}{2}\ltx\lt\frac{1}{3}\}\)，求\(a\)、\(b\)的值。學(xué)生在練習(xí)本上完成，教師巡視指導(dǎo)，及時(shí)糾正學(xué)生的錯誤，對普遍存在的問題進(jìn)行集中講解。（五）課堂小結(jié)1.引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容（1）一元二次不等式的概念和一般形式。（2）一元二次不等式的解法，包括求根、畫圖象、寫解集三個(gè)步驟，以及不同判別式情況下解集的特點(diǎn)。（3）一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。2.強(qiáng)調(diào)本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)是一元二次不等式的解法，要熟練掌握求解步驟；難點(diǎn)是理解三者之間的關(guān)系并能靈活運(yùn)用，特別是含參數(shù)的一元二次不等式的解法。3.鼓勵學(xué)生在課后進(jìn)一步鞏固練習(xí)，加深對知識的理解和掌握（六）布置作業(yè)1.必做題（1）解不等式\(2x^{2}3x2\geq0\)。（2）已知不等式\(x^{2}+ax+b\lt0\)的解集為\(\{x|1\ltx\lt2\}\)，求\(a\)、\(b\)的值。（3）若不等式\(mx^{2}+2mx4\lt2x^{2}+4x\)對任意\(x\)都成立，求實(shí)數(shù)\(m\)的取值范圍。2.選做題（1）解不等式\((x1)(x2)(x3)(x4)\gt120\)。（2）設(shè)\(f(x)=ax^{2}+bx+c\)，當(dāng)\(f(1)=f(3)=f(4)\)時(shí)，①求\(a:b:c\)的值；②若\(f(x)=1\)有兩個(gè)相等的實(shí)根，求\(f(x)\)的解析式。必做題主要是對本節(jié)課所學(xué)的一元二次不等式基本解法的鞏固，選做題則是對知識的拓展和延伸，滿足不同層次學(xué)生的需求。五、教學(xué)反思在本節(jié)課的教學(xué)中，通過創(chuàng)設(shè)實(shí)際問題情境引入新課，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。在講解一元二次不等式的解法時(shí)，注重引導(dǎo)學(xué)生通過探究一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，利用圖象直觀地求解不等式，讓學(xué)生較好地理解和掌握了一元二次不等式的解法。在教