山東專用2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題11函數(shù)與方程及其應(yīng)用含解析

PAGEPAGE1專題11函數(shù)與方程及其應(yīng)用一、【學(xué)問精講】1．函數(shù)的零點(1)零點的定義：對于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．(2)零點的幾個等價關(guān)系：方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點．函數(shù)的零點不是函數(shù)y＝f(x)與x軸的交點，而是y＝f(x)與x軸交點的橫坐標，也就是說函數(shù)的零點不是一個點，而是一個實數(shù).2．函數(shù)的零點存在性定理假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連綿不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．函數(shù)零點的存在性定理只能推斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能推斷函數(shù)的不變號零點，而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分不必要條件.3．二分法的定義對于在區(qū)間[a，b]上連綿不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步靠近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．二、常用結(jié)論匯總——規(guī)律多一點有關(guān)函數(shù)零點的結(jié)論(1)若連綿不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點．(2)連綿不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的全部函數(shù)值保持同號．(3)連綿不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號．二、【典例精練】eq\a\vs4\al(考點一函數(shù)零點個數(shù)、所在區(qū)間)例1.(1)設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2)的圖象的交點為(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，則x0所在的區(qū)間是________.(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x－lnx，則函數(shù)y＝f(x)()A．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)內(nèi)均有零點B．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)內(nèi)均無零點C．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))內(nèi)有零點，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點D．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))內(nèi)無零點，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點【答案】(1)C(2)D【解析】(1)設(shè)f(x)＝x3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2)，則x0是函數(shù)f(x)的零點，在同一坐標系下畫出函數(shù)y＝x3與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2)的圖象如圖所示.因為f(1)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)＝－1<0，f(2)＝8－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)＝7>0，所以f(1)f(2)<0，所以x0∈(1，2).(2)法一：圖象法令f(x)＝0得eq\f(1,3)x＝lnx．作出函數(shù)y＝eq\f(1,3)x和y＝lnx的圖象，如圖，明顯y＝f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))內(nèi)無零點，在(1，e)內(nèi)有零點．法二：定理法當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))時，函數(shù)圖象是連續(xù)的，且f′(x)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,x)＝eq\f(x－3,3x)<0，所以函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上單調(diào)遞減．又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,3e)＋1>0，f(1)＝eq\f(1,3)>0，f(e)＝eq\f(1,3)e－1<0，所以函數(shù)有唯一的零點在區(qū)間(1，e)內(nèi)．【解法小結(jié)】駕馭推斷函數(shù)零點個數(shù)的3種方法(1)解方程法若對應(yīng)方程f(x)＝0可解，通過解方程，即可推斷函數(shù)是否有零點，其中方程有幾個解就對應(yīng)有幾個零點．(2)定理法利用函數(shù)零點的存在性定理進行推斷，但必需結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)的零點個數(shù)．(3)數(shù)形結(jié)合法合理轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象(易畫出圖象)的交點個數(shù)問題．先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其是否有交點，若有交點，其中交點的個數(shù)，就是函數(shù)零點的個數(shù)．eq\a\vs4\al(考點二函數(shù)零點的應(yīng)用)考法(一)已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍例2.(2024·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是()A．[－1,0) B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)【答案】C【解析】令h(x)＝－x－a，則g(x)＝f(x)－h(huán)(x)．在同一坐標系中畫出y＝f(x)，y＝h(x)的示意圖，如圖所示．若g(x)存在2個零點，則y＝f(x)的圖象與y＝h(x)的圖象有2個交點，平移y＝h(x)的圖象，可知當直線y＝－x－a過點(0,1)時，有2個交點，此時1＝－0－a，a＝－1.當y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1時，僅有1個交點，不符合題意．當y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1時，有2個交點，符合題意．綜上，a的取值范圍為[－1，＋∞)．考法(二)已知函數(shù)零點所在區(qū)間求參數(shù)范圍例3.(2024·安慶摸底)若函數(shù)f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2))【解析】∵函數(shù)f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零點，∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．方程a＝4x－2x可變形為a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，∵x∈[－1,1]，∴2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).∴實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).例4.(2024·浙江卷)已知λ∈R，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4，x≥λ，,x2－4x＋3，x<λ.))(1)當λ＝2時，不等式f(x)<0的解集是________.(2)若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是________.【答案】(1)(1，4)(2)(1，3]∪(4，＋∞)【解析】(1)若λ＝2，當x≥2時，令x－4<0，得2≤x<4；當x<2時，令x2－4x＋3<0，解得1<x<2.綜上可知，1<x<4，所以不等式f(x)<0的解集為(1，4).(2)令f(x)＝0，當x≥λ時，x＝4，當x<λ時，x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.因為函數(shù)f(x)恰有2個零點，結(jié)合如圖函數(shù)的圖象知，1<λ≤3或λ>4.【解法小結(jié)】1．利用函數(shù)零點求參數(shù)范圍的3種方法干脆法干脆依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍分別參數(shù)法分別參數(shù)(a＝g(x))后，將原問題轉(zhuǎn)化為y＝g(x)的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線y＝a與y＝g(x)的圖象的交點個數(shù)問題(優(yōu)選分別、次選分類)求解數(shù)形結(jié)合法先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解2.利用函數(shù)零點求參數(shù)范圍的步驟三、【名校新題】1.(2024·北京西城區(qū)模擬)若函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)【答案】C【解析】因為函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0<a<3.2.(2024·岳陽二模)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≤0，,1＋\f(1,x)，x>0，))則函數(shù)y＝f(x)＋3x的零點個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】函數(shù)y＝f(x)＋3x的零點個數(shù)就是y＝f(x)與y＝－3x兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，如圖所示，由函數(shù)的圖象可知，零點個數(shù)為2.3.(2024·鄭州質(zhì)量測試)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－a，x≤0，,2x－a，x>0))(a∈R)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(－∞，1]【答案】A【解析】畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示．因為函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一個零點．當x≤0時，f(x)有一個零點，需0<a≤1；當x>0時，f(x)有一個零點，需－a<0，即a>0.綜上，0<a≤1.4.(2024·湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)且是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，則實數(shù)λ的值是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,8) C.－eq\f(7,8) D.－eq\f(3,8)【答案】C【解析】令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，則f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因為f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，所以2x2＋1＝x－λ，只有一個實根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一個實根，則Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－eq\f(7,8).5.已知函數(shù)f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零點依次為a，b，c，則()A.a<b<c B.a<c<bC.b<c<a D.b<a<c【答案】A【解析】令函數(shù)f(x)＝2x＋x＋1＝0，可知x<0，即a<0；令g(x)＝log2x＋x＋1＝0，則0<x<1，即0<b<1；令h(x)＝log2x－1＝0，可知x＝2，即c＝2.明顯a<b<c.6.(2024·濟南月考)若函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋a沒有零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，1) B.(1，＋∞)C.(－∞，1] D.[1，＋∞)【答案】B【解析】因為函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋a沒有零點，所以方程x2＋2x＋a＝0無實根，即Δ＝4－4a<0，由此可得a>1.7.(2024·北京燕博園聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln（x＋1）,x3－3x))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(（x≥0），,（x<0），))若函數(shù)y＝f(x)－k有三個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是()A.(－2，2) B.(－2，1) C.(0，2) D.(1，3)【答案】C【解析】當x<0時，f(x)＝x3－3x，則f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，∴x＝±1(舍去正根)，故f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在(－1，0)上單調(diào)遞減.又f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.則函數(shù)f(x)圖象如圖所示.f(x)極大值＝f(－1)＝2，且f(0)＝0，故當k∈(0，2)時，y＝f(x)－k有三個不同零點.8.(2024·永州模擬)已知函數(shù)f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值為8，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(5，6) B.(7，8) C.(8，9) D.(9，10)【答案】A【解析】由于f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，在(－∞，0)上是減函數(shù)，∴f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8.令g(a)＝a＋log2a－8，a>0.則g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0，又g(a)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴實數(shù)a所在的區(qū)間為(5，6).9.(2024·鄭州一模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[－1，1]時，f(x)＝x2.令g(x)＝f(x)－kx－k，若在區(qū)間[－1，3]內(nèi)，函數(shù)g(x)＝0有4個不相等實根，則實數(shù)k的取值范圍是()A.(0，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))【答案】C【解析】令g(x)＝0，得f(x)＝k(x＋1)，由f(x)的周期性，作出y＝f(x)在[－1，3]上的圖象如圖所示.設(shè)直線y＝k1(x＋1)經(jīng)過點(3，1)，則k1＝eq\f(1,4).∵直線y＝k(x＋1)經(jīng)過定點(－1，0)，且由題意知直線y＝k(x＋1)與y＝f(x)的圖象有4個交點，∴0<k≤eq\f(1,4).10.(2024·太原模擬)若函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的兩個零點分別在區(qū)間(－1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)m【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))【解析】依題意并結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠2，,f－1·f0<0，,f1·f2<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠2，,[m－2－m＋2m＋1]2m＋1<0，,[m－2＋m＋2m＋1][4m－2＋2m＋2m＋1]<0，))解得eq\f(1,4)<m<eq\f(1,2).11.已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,2|x|，x≤0，))則函數(shù)y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零點個數(shù)是________.【答案】5【解析】由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝eq\f(1,2)或f(x)＝1，作出函數(shù)y＝f(x)的圖象.由圖象知y＝eq\f(1,2)與y＝f(x)的圖象有2個交點，