江蘇省蘇州市南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月學(xué)情調(diào)研 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024—2025學(xué)年度第二學(xué)期月考學(xué)情調(diào)研高一數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知兩點(diǎn)，，則與向量同向的單位向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由A、B的坐標(biāo)求得，再求出即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以與同向的單位向量為.故選：A2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式與兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)求值.詳解】.故選：A.3.在中，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出，再由誘導(dǎo)公式得到，利用兩角和的正弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所?故選：C4.在中，，，若點(diǎn)滿足，以作為基底，則等于（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合圖形，將和分別用和，和表示，代入方程即可求解.【詳解】

如圖，因，則，即，解得：.故選：A.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由結(jié)合兩角差正切公式求得.【詳解】由得，故選：A.6.若兩個(gè)向量，的夾角是，是單位向量，，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用數(shù)量積公式求出，然后由數(shù)量積定義可得夾角；【詳解】因?yàn)椋?，，設(shè)與的夾角為，則，又，所以.故選：B.7.公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過(guò)正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)現(xiàn)了“黃金分割”.“黃金分割”是工藝美術(shù)、建筑、攝影等許多藝術(shù)門(mén)類(lèi)中審美的要素之一，它表現(xiàn)了恰到好處的和諧，其比值為，這一比值也可以表示為，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題知,再根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)整理即可得答案.【詳解】解:因?yàn)椋?所以,所以故選:C8.在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別是、、，且.若角的平分線交于點(diǎn)，且.則的最小值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理的邊角互化可得，從而可得，再由，根據(jù)三角形的面積公式可得，即，再由基本不等式即可求解.【詳解】由利用正弦定理化邊為角可得：，因?yàn)椋?，所以，即，因?yàn)?，所?因?yàn)榻堑钠椒志€交于點(diǎn)，所以，所以，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故選：D二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，不選或有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.若，且，則B.已知為單位向量，若，則在上的投影向量為C.設(shè)為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的充分不必要條件D.若，則與的夾角是銳角【答案】BC【解析】【分析】利用向量的運(yùn)算法則可判斷A，利用投影向量的求法可判斷B，利用數(shù)量積的含義可判斷C,D.【詳解】因?yàn)椋?，即，不一定得出，A不正確；在上的投影向量為，B正確；若存在負(fù)數(shù)，使得，則，若，則，不能得出“存在負(fù)數(shù)，使得”，C正確；若，則，與的夾角不一定是銳角，D不正確.故選：BC10.對(duì)于有如下命題，其中正確的是（）A.若，則為鈍角三角形B.在中，若，則必是等腰三角形C.在銳角中，不等式恒成立D.若，且有兩解，則的取值范圍是【答案】AC【解析】【分析】A將化為，再利用正弦定理和余弦定理化簡(jiǎn)；B利用角的范圍以及正弦函數(shù)圖象即可；C利用以及正弦函數(shù)的單調(diào)性；D畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合.【詳解】，則，利用正弦定理可得，再由余弦定理可得，故角為鈍角，故A正確；，則，由可得或，即或，故B錯(cuò)誤；銳角有，因，則，由于在上單調(diào)遞增，則sinA>sinπ2?B=cosB，故由圖可知，欲使有兩解，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知，則（）A.、，使得B.若，則C.若，則D.若、，則的最大值為【答案】BC【解析】【分析】由無(wú)解可判斷A；根據(jù)題意求得，結(jié)合兩角差的正弦公式，可判定B；結(jié)合兩角和的正弦公式，求得，利用余弦的倍角公式，可判定C；化簡(jiǎn)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，可判定D.【詳解】對(duì)于A，若，由可得，即，解得，又因?yàn)?，所以，所以方程無(wú)解，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B可知，，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，令，則在上單調(diào)遞減，無(wú)最小值，所以在上無(wú)最大值，故D錯(cuò)誤.故選：BC三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.__________.【答案】【解析】【分析】利用切化弦，再利用兩角和正弦公式即可求解.詳解】故答案為：.13.已知圓內(nèi)接四邊形中，則四邊形的面積為.【答案】【解析】【詳解】連接BD,圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，，利用余弦定理,得∴,四邊形面積.故答案為：.14.如圖，在平面四邊形中，，，，且，則___________，若是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是___________.【答案】①.4②.【解析】【分析】根據(jù)題意求出，，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義可得；設(shè)，將和化為、、表示，利用定義求出關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以為正三角形，所以，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)槭蔷€段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以可設(shè)，所以，因?yàn)椋詴r(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的取值范圍是.故答案為：4；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將和化為、、表示，利用定義求出是解題關(guān)鍵.四?解答題：本大題共5小題，共77分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量，，且．（1）若向量與互相垂直，求的值．（2）若向量與互相平行，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知得，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知條件代入求解即可．（2）根據(jù)向量平行及平面向量基本定理列式求解.【小問(wèn)1詳解】，，，，即，得，若向量與互相垂直，則，即得，，解得或.【小問(wèn)2詳解】由，所以，所以不共線，由向量與互相平行，可知存在實(shí)數(shù)，使得，，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.或.16.如圖，在中，，E是AD的中點(diǎn)，設(shè)，.（1）試用，表示；（2）若，與的夾角為，求【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）利用向量加法減法的三角形法則及數(shù)乘運(yùn)算即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用向量的模公式和向量的數(shù)量積公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?所以.因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以，所以17.在中，設(shè)角所對(duì)的邊分別為.（1）求；（2）若點(diǎn)M為邊AC上一點(diǎn)，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角形內(nèi)角和與二倍角公式，求得半角三角函數(shù)值，從而可得答案；（2）由銳角三角函數(shù)表示邊，根據(jù)余弦定理求得邊，利用三角形面積公式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】由，根據(jù)，則，由正弦定理，則，由，則，可得，由，即，則，可得，，則.所以.【小問(wèn)2詳解】在中，，，則，，由，且，則，由余弦定理可得，則，解得，即，所以的面積.18.已知向量，設(shè).（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）若，求的值；（3）令函數(shù)，求值域.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)的解析式，然后利用整體代入法求得的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）根據(jù)三角恒等變換的知識(shí)求得.（3）化簡(jiǎn)的解析式，進(jìn)而求得的值域.【小問(wèn)1詳解】，由，解得，所以的單調(diào)增區(qū)間是.【小問(wèn)2詳解】，所以.因?yàn)椋?，在這個(gè)區(qū)間內(nèi).所以..【小問(wèn)3詳解】,，因?yàn)椋?，則.所以的值域是.19.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義非零向量的“相伴函數(shù)”為.向量稱(chēng)為函數(shù)的“相伴向量”.（1）記的“相伴函數(shù)”為，若函數(shù)與直線有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知點(diǎn)滿足，向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍；（3）當(dāng)向量時(shí)，伴隨函數(shù)為，函數(shù)，若，求在區(qū)間上最大值與最小值之差的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）去絕對(duì)值得函數(shù)的單調(diào)性及最值，利用交點(diǎn)個(gè)數(shù)求得k的范圍；（2）由可求得時(shí)，取得最大值，其中，換元求得的范圍，再利用二倍角的正切可求得的范圍．（3）先求得，由，得，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)分類(lèi)討論求出函數(shù)的最值。進(jìn)而可得出答案.【小問(wèn)1詳解】由題知：，，由，得，令，得，令，得，由，得，令，得，令，得，所以在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，且，如圖，∵圖像與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為；【小問(wèn)2詳解】，其中，，∴當(dāng)即時(shí)，取得最大值，此時(shí)，令，則由，顯然，則，解得，，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以；【小問(wèn)3詳解】由題意，則，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上最大值與最小值之差為，由，得，①