結(jié)構(gòu)力學(xué)論文

1、精選文檔 成 績土木工程與建筑學(xué)院結(jié)構(gòu)力學(xué)論文（2016 2017 學(xué)年度第一學(xué)期）課程名稱： 結(jié)構(gòu)力學(xué) 論文題目： 淺談位移法 任課教師： 姓 名： 班 級(jí)： 學(xué) 號(hào)： 2017 年 1 月 1日淺談位移法摘要 位移法是超靜定結(jié)構(gòu)分析的基本方法之一，也稱變位法或剛度法，通常以結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知數(shù)。位移法有兩種計(jì)算方式，一種是應(yīng)用基本結(jié)構(gòu)列出典型方程進(jìn)行計(jì)算，另一種是直接應(yīng)用轉(zhuǎn)角位移方程建立原結(jié)構(gòu)上某結(jié)點(diǎn)或截面的靜力平衡方程進(jìn)行計(jì)算。關(guān)鍵詞 基本原理 典型方程 超靜定結(jié)構(gòu)一、簡介位移法以廣義位移（線位移和角位移）為未知量，求解固體力學(xué)問題的一種方法。位移法的思想是法國的C.-L.-M.-H.

2、納維于1826年提出的。位移法是解決超靜定結(jié)構(gòu)最基本的計(jì)算方法，計(jì)算時(shí)與結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)關(guān)系不大，相較于力法及力矩分配法，其計(jì)算過程更加簡單，計(jì)算結(jié)果更加精確，應(yīng)用的范圍也更加廣泛，可以應(yīng)用于有側(cè)移剛架結(jié)構(gòu)的計(jì)算。此外，對(duì)于結(jié)構(gòu)較為特殊的體系，應(yīng)用位移法可以很方便地得出彎矩圖的形狀，位移法不僅適用于超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算，也適用于靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算，所以學(xué)習(xí)和掌握位移法是非常有必要的。二、計(jì)算種類1.典型方程法位移法可按兩種思路求解結(jié)點(diǎn)位移和桿端彎矩：典型方程法和平衡方程法。下面給出典型方程法的解題思路和解題步驟。1.1位移法典型方程的建立：欲用位移法求解圖a所示結(jié)構(gòu)，先選圖b為基本體系。然后，使基本

3、體系發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的結(jié)點(diǎn)位移，受相同的荷載，又因原結(jié)構(gòu)中無附加約束，故基本體系的附加約束中的約束反力（矩）必須為零，即：R1=0，R2=0。而Ri是基本體系在結(jié)點(diǎn)位移Z1，Z2和荷載共同作用下產(chǎn)生的第i個(gè)附加約束中的反力（矩），按疊加原理Ri也等于各個(gè)因素分別作用時(shí)（如圖c，d，e所示）產(chǎn)生的第i個(gè)附加約束中的反力（矩）之和。于是得到位移法典型方程：注意：位移法方程的物理意義：基本體系在荷載等外因和各結(jié)點(diǎn)位移共同作用下產(chǎn)生的附加約束中的反力（矩）等于零。實(shí)質(zhì)上是原結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足的平衡條件。位移法典型方程中每一項(xiàng)都是基本體系附加約束中的反力（矩）。其中：RiP表示基本體系在荷載作用下產(chǎn)生的第i個(gè)附

4、加約束中的反力（矩）；稱為自由項(xiàng)。rijZj表示基本體系在Zj作用下產(chǎn)生的第i個(gè)附加約束中的反力（矩）；主系數(shù)rii表示基本體系在Zi=1作用下產(chǎn)生的第i個(gè)附加約束中的反力（矩）；rii恒大于零；付系數(shù)rij表示基本體系在Zj=1作用下產(chǎn)生的第i個(gè)附加約束中的反力（矩）；根據(jù)反力互等定理有rij=rji，付系數(shù)可大于零、等于零或小于零。由于位移法的主要計(jì)算過程是建立方程求解方程，而位移法方程是平衡條件，所以位移法校核的重點(diǎn)是平衡條件（剛結(jié)點(diǎn)的力矩平衡和截面的投影平衡）。1.2、求解步驟：確定位移法基本未知量，加入附加約束，取位移法基本體系。令附加約束發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的結(jié)點(diǎn)位移，根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在荷

5、 載等外因和結(jié)點(diǎn)位移共同作用下產(chǎn)生的附加約束中的總反力（矩 ）=0，列位移法典型方程。繪出單位彎矩圖、荷載彎矩圖，利用平衡條件求系數(shù)和自由項(xiàng) 。解方程，求出結(jié)點(diǎn)位移。用公式 疊加最后彎矩圖。并校核平衡條件。根據(jù)M圖由桿件平衡求Q，繪Q圖，再根據(jù)Q圖由結(jié)點(diǎn)投影平衡求N ，繪N圖。2直接平衡法2.1、截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程各種因素共同作用下桿端彎矩的表達(dá)式稱為轉(zhuǎn)角位移方程。2.2、直接列平衡方程法：位移法方程實(shí)質(zhì)上是靜力平衡方程。對(duì)于結(jié)點(diǎn)角位移，相應(yīng)的是結(jié)點(diǎn)的力矩平衡方程；對(duì)于結(jié)點(diǎn)線位移，相應(yīng)的是截面的投影平衡方程。用基本體系方法計(jì)算時(shí)，是借助于基本體系這個(gè)工具，以達(dá)到分步、分項(xiàng)寫出平衡方程的目的

6、。也可以不用基本體系，直接由轉(zhuǎn)角位移方程，寫出各桿件的桿端力表達(dá)式，在有結(jié)點(diǎn)角位移處，建立結(jié)點(diǎn)的力矩平衡方程；在有結(jié)點(diǎn)線位移處，建立截面的投影平衡方程。這些方程也就是位移法的基本方程。2.3、求解步驟：確定基本未知量；由轉(zhuǎn)角位移方程，寫出各桿端力表達(dá)式；在由結(jié)點(diǎn)角位移處，建立結(jié)點(diǎn)的力矩平衡方程，在由結(jié)點(diǎn)線位移處，建立截面的剪力平衡方程， 得到位移法方程；解方程，求基本未知量； 將已知的結(jié)點(diǎn)位移代入各桿端力表達(dá)式，得到桿端力；按桿端力作彎矩圖。2.4、排架計(jì)算（剪力分配法）：設(shè)Ji為排架柱的側(cè)移剛度系數(shù)。Ji是僅使柱頂發(fā)生單位側(cè)移時(shí)，在柱頂產(chǎn)生的剪力。一端固定一端鉸支的桿的側(cè)移剛度是：Ji=3E

7、I/h3； 兩端固定桿的側(cè)移剛度是：Ji=12EI/h3。剪力分配系數(shù)；當(dāng)排架僅在柱頂受水平集中力P作用時(shí)，柱頂集中荷載P作為各柱的總剪力，按各柱的剪力分配系數(shù)i進(jìn)行比例分配，求出各柱剪力，再由反彎點(diǎn)開始即可作出彎矩圖。三、基本原理位移法的基本原理，是以在小變形的基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)體系中，內(nèi)力是可以疊加的，位移也是可以疊加的。結(jié)構(gòu)中的受力、變形是可以分階段、分次發(fā)生的，分階段、分次發(fā)生的受力、變形是可以線性疊加的，疊加的結(jié)果與這些力、變形同時(shí)發(fā)生的結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的內(nèi)力、變形是相同的。四、基本常數(shù)位移法的計(jì)算過程中，基本構(gòu)件在單位荷載作用下的桿端內(nèi)力、發(fā)生單位桿端變形時(shí)的桿端內(nèi)力是十分重要的。所謂基本構(gòu)件是

8、指以特定形式支座為邊界條件的單跨梁，基本構(gòu)件是各種梁、剛架的基本構(gòu)成。根據(jù)力法的基本原理，可以計(jì)算出這些基本構(gòu)件發(fā)生桿端單位位移或存在特定外部作用的情況下，桿端的內(nèi)力指標(biāo)。這些指標(biāo)通常稱為位移法常數(shù)。單位位移作用下產(chǎn)生的桿端力，可用力法求解，得到桿端內(nèi)力，即形常數(shù)；僅由跨中荷載引起單跨超靜定梁的桿端內(nèi)力稱為載常數(shù)，也叫固端力，載常數(shù)也可按力法計(jì)算出來。五、擴(kuò)展介紹超靜定結(jié)構(gòu)分析（見桿系結(jié)構(gòu)的靜力分析）的基本方法之一，也稱變位法或剛度法，通常以結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知數(shù)。位移法有兩種計(jì)算方式，一種是應(yīng)用基本結(jié)構(gòu)列出典型方程進(jìn)行計(jì)算，另一種是直接應(yīng)用轉(zhuǎn)角位移方程建立原結(jié)構(gòu)上某結(jié)點(diǎn)或截面的靜力平衡方程進(jìn)

9、行計(jì)算，后者常稱為轉(zhuǎn)角位移法。5.1基本結(jié)構(gòu)用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，須先確定基本未知數(shù),即獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)角位移和線位移的總數(shù)n，（如圖1a，n=2）。然后在這些結(jié)點(diǎn)上相應(yīng)地加上阻止轉(zhuǎn)動(dòng)的附加剛臂或阻止移動(dòng)的附加鏈桿，使結(jié)構(gòu)變成一系列離散部分的集合。這樣形成位移法的基本結(jié)構(gòu)（如圖1b）。通常各離散部分均為等截面超靜定梁。5.2典型方程為使基本結(jié)構(gòu)的變形和內(nèi)力情況與原結(jié)構(gòu)相同，必須使基本結(jié)構(gòu)承受與原結(jié)構(gòu)相同的荷載（包括溫度變化、支座沉陷等因素），并使附加約束發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的位移。因?yàn)樵Y(jié)構(gòu)上本無附加約束，所以基本結(jié)構(gòu)上所有附加約束中的約束反力都應(yīng)等于零。據(jù)此建立位移法典型方程：式中系數(shù)Knk表示在

10、基本結(jié)構(gòu)中第i個(gè)附加約束由于第k個(gè)附加約束發(fā)生單位位移所引起的反力矩或反力，系數(shù)矩陣是對(duì)稱的；自由項(xiàng)RiP 表示在結(jié)構(gòu)上第i個(gè)附加約束由于荷載作用所引起的反力矩或反力；基本未知數(shù)xi是第i個(gè)結(jié)點(diǎn)的角位移或線位移，i=1，2，n。為了求得典型方程中的系數(shù)和自由項(xiàng)，須分別繪制基本結(jié)構(gòu)在各附加約束發(fā)生單位位移時(shí)的Mi圖及在荷載作用下的MP圖,并利用結(jié)點(diǎn)或截面的平衡條件求出各系數(shù)和自由項(xiàng)。由于基本結(jié)構(gòu)中各桿通常都是單跨超靜定梁，它們?cè)诤奢d及支座發(fā)生各種單位位移情況下的固端彎矩公式都可以先行用力法或其他方法導(dǎo)出，這樣的公式稱為轉(zhuǎn)角位移方程。如等截面兩端固定梁當(dāng)發(fā)生圖2所示的位移時(shí)，其轉(zhuǎn)角位移方程為式中i

11、=EI/l；E為材料彈性模量；I為截面慣性矩;MF為荷載引起的固端彎矩。對(duì)變截面桿也可以導(dǎo)出其轉(zhuǎn)角位移方程并繪制相應(yīng)的圖表備用。5.3轉(zhuǎn)角位移法轉(zhuǎn)角位移法不必對(duì)基本結(jié)構(gòu)分別作各Mi和MP圖,也不單獨(dú)計(jì)算各系數(shù)和自由項(xiàng)，而是直接應(yīng)用轉(zhuǎn)角位移方程，將各桿端彎矩或剪力表示為未知結(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)。然后依次截取各含有待求角位移的結(jié)點(diǎn)為隔離體，根據(jù)所有匯交于這一結(jié)點(diǎn)的各桿近端作用于該結(jié)點(diǎn)的彎矩及結(jié)點(diǎn)力矩荷載的代數(shù)和應(yīng)等于零，而建立結(jié)點(diǎn)平衡方程；再依次作截面，截取各含有待求線位移結(jié)點(diǎn)的隔離體，在該線位移方向上列出力的投影的平衡方程，即得截面平衡方程，這樣建立起來的平衡方程與典型方程完全相同。解算典型方程求得各

12、基本未知數(shù)xi后，即可按疊加原理或轉(zhuǎn)角位移方程求得結(jié)構(gòu)內(nèi)力。六、舉例用位移法求解結(jié)構(gòu)問題，第一步須列出物體內(nèi)所有節(jié)點(diǎn)的全部廣義位移。這些廣義位移的總數(shù)目稱為節(jié)點(diǎn)位移自由度（又稱節(jié)點(diǎn)位移可動(dòng)度）。例如圖中的平面剛架有3個(gè)節(jié)點(diǎn)：點(diǎn)1完全被約束，沒有廣義位移；點(diǎn)2有一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)位移；點(diǎn)3有一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)位移和一個(gè)水平方向的位移。因此該剛架的節(jié)點(diǎn)位移自由度為3。第二步是將結(jié)構(gòu)的全部廣義位移加以約束，所得到的結(jié)構(gòu)體系稱為基本體系。在基本體系的一個(gè)節(jié)點(diǎn)上解除某個(gè)廣義位移s的約束，此時(shí)如果在某個(gè)廣義位移r的方向上作用一個(gè)廣義力Krs，它在s方向上引起的廣義位移恰好為一個(gè)單位，則Krs稱為剛度系數(shù)。r為s時(shí)Krs稱為直

13、接剛度系數(shù)；r不為s時(shí)稱為交叉剛度系數(shù)。它們可通過結(jié)構(gòu)分析求出。求出各剛度系數(shù)后，把外載荷加到基本體系上，就得到用節(jié)點(diǎn)未知廣義位移表示的位移法平衡方程組。方程數(shù)目恰與未知量數(shù)目相等，從而可以通過解方程組求出各節(jié)點(diǎn)的實(shí)際位移，進(jìn)而可求得全部內(nèi)力。通常，用勢(shì)能原理來建立位移法平衡方程組，具體作法如下：為系統(tǒng)的總勢(shì)能，式中xi（i=1，2，n）為節(jié)點(diǎn)未知廣義位移；Ri為載荷引起的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)處的約束反力；dq為載荷作用點(diǎn)的位移；Kqq為在載荷作用點(diǎn)處產(chǎn)生單位廣義位移所需的廣義力；m為載荷個(gè)數(shù)；n為自由度。根據(jù)最小勢(shì)能原理，真實(shí)情況下的結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足如下條件：由此得到位移法平衡方程組：或用矩陣表示為：Kx+R=0，式中K為剛度矩陣；x對(duì)為廣義位移陣列；R為載荷陣列。上述方程組是關(guān)于n個(gè)未知量xi（i=1，2，n）的n個(gè)代數(shù)方程組，可解出xi（i=1，2，n）。用位移法求解連續(xù)彈性體時(shí)，由于系統(tǒng)可看作是由無窮多個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的，所以系統(tǒng)具有無窮多個(gè)節(jié)點(diǎn)位移自由度，這就需要無窮多個(gè)方程，因此必須用一些近似方程求解。方法之一是將系統(tǒng)化為有限個(gè)單元，只研究