第-7-章-幾何光學(xué)基礎(chǔ)

1、第7章幾何光學(xué)基礎(chǔ),7.1幾何光學(xué)的基本定律7.2單個(gè)折射球面近軸區(qū)成像7.3共軸球面系統(tǒng)7.4球面反射鏡7.5平面鏡、棱鏡系統(tǒng)例題,7.1幾何光學(xué)的基本定律,7.1.1波面、光線和光束如前所述，光是一種電磁波，任何一個(gè)發(fā)光體都是一個(gè)波源。光的傳播過程也正是電磁波的傳播過程。光波是橫波，在各向同性介質(zhì)中，其電場(chǎng)的振動(dòng)方向與傳播方向垂直，振動(dòng)相位相同的各點(diǎn)在某時(shí)刻所形成的曲面稱為波面。波面可以是平面，球面或其它曲面。當(dāng)發(fā)光體(光源)的大小和其輻射能的作用距離相比可略去不計(jì)時(shí)，該發(fā)光體稱為發(fā)光點(diǎn)或稱點(diǎn)光源。在幾何光學(xué)中，發(fā)光點(diǎn)被抽象為一個(gè)既無體積又無大小的幾何點(diǎn)，任何被成像的物體都是由無數(shù)個(gè)這樣的

2、發(fā)光點(diǎn)所組成。幾何光學(xué)中的發(fā)光點(diǎn)只是一種假設(shè)，在自然界中是不存在的。,在幾何光學(xué)中，光線被抽象為既無直徑又無體積的幾何線。它的方向代表光線的傳播方向即光能的傳播方向。同樣，光線實(shí)際上是不存在的，因?yàn)樗哪芰棵芏葹闊o窮大。但是，利用它可以把光學(xué)中復(fù)雜的能量傳輸和光學(xué)成像問題歸結(jié)為簡(jiǎn)單的幾何運(yùn)算問題，從而使所要處理的問題大為簡(jiǎn)化。在各向同性介質(zhì)中，光沿著波面的法線方向傳播，可以認(rèn)為光波波面法線就是幾何光學(xué)中的光線，與波面對(duì)應(yīng)的法線束稱為光束。平面波對(duì)應(yīng)于平行光束，球面波對(duì)應(yīng)于會(huì)聚或發(fā)散光束，其光線既不相交于一點(diǎn)，又不平行所對(duì)應(yīng)的光束稱為像散光束，如圖7-1所示。,圖7-1各種光束,幾何光學(xué)中的傳播

3、規(guī)律和成像原理，是用光線的傳播途徑加以直觀表示的，光線的這種傳播途徑稱為光路。實(shí)際上，一個(gè)點(diǎn)光源發(fā)出的光線為數(shù)條，不可能對(duì)每一條光線都求出其光路。幾何光學(xué)的做法是從光束中取出一個(gè)適當(dāng)?shù)慕孛?，求出其上的幾條光線的光路，這種截面通常稱為光束截面。,7.1.2幾何光學(xué)的基本定律幾何光學(xué)理論以光的直線傳播定律，光的獨(dú)立傳播定律，折射定律和反射定律為基礎(chǔ)。1.光的直線傳播定律在各向同性的均勻介質(zhì)中，光線按直線傳播，這就是光的直線傳播定律。這是一種常見的普遍規(guī)律。可用以很好地解釋影子的形成、日蝕、月蝕等現(xiàn)象，當(dāng)光路中放置很小的不透明的障礙物或小孔時(shí)，光的傳播將偏離直線，這就是物理光學(xué)中所描述的光的衍射現(xiàn)象

4、。可見，光的直線傳播定律只有光在均勻介質(zhì)中無阻攔地傳播時(shí)才成立。,2.光的獨(dú)立傳播定律從不同光源發(fā)出的光線，以不同的方向通過介質(zhì)某點(diǎn)時(shí)，各光線彼此互不影響，好像其它光線不存在似地獨(dú)立傳播，這就是光的獨(dú)立傳播定律。利用這條定律，可使我們對(duì)光線傳播情況的研究大為簡(jiǎn)化，因?yàn)檠芯磕骋还饩€傳播時(shí)，可不考慮其它光線的影響。,3.光的折射定律和反射定律如圖7-2所示，PQ表示兩種折射率分別為n和n的光滑界面，AO為入射光線，OC為對(duì)應(yīng)的折射光線，NN為界面上O點(diǎn)處的法線。按照角度符號(hào)法則的規(guī)定，入射角AON和折射角CON均應(yīng)以銳角來量度，由光線沿銳角轉(zhuǎn)向法線，順時(shí)針轉(zhuǎn)成的角為正，反之為負(fù)。因此，習(xí)慣上入射角

5、和折射角分別以I和I表示，折射定律為,nsinI=nsinI,(7-1),圖7-2光的折射,圖7-3光的反射,如圖7-3所示，PQ為一光滑的反射界面，ON是界面O點(diǎn)的法線，入射光線為AO，相應(yīng)的反射光線為OB。根據(jù)角度符號(hào)法則的規(guī)定，入射角為I，反射角為-I，反射定律為,I=-I,(7-2),如果在(7-1)式中，令n=-n，則得I=-I，此即反射定律的形式。這表明，反射定律可以看作是折射定律的特殊情況，凡是由折射定律導(dǎo)得的所有適合于折射情況的公式，只要令n=-n，便可應(yīng)用于反射的場(chǎng)合，直接導(dǎo)出其相應(yīng)的公式，這在處理反射系統(tǒng)時(shí)有重要應(yīng)用。根據(jù)折射定律和反射定律，可以說明光線的傳播是可逆的。在上

6、二圖中，當(dāng)光線自C點(diǎn)或B點(diǎn)投射到界面O點(diǎn)時(shí)，光線必沿OA方向射出，這就是所謂“光路的可逆性”。,7.1.3全反射現(xiàn)象正如第1章的討論，當(dāng)光線由光密介質(zhì)進(jìn)入光疏介質(zhì)時(shí)，在兩種介質(zhì)的光滑界面上會(huì)出現(xiàn)所謂的全反射現(xiàn)象。當(dāng)入射角大于由兩種介質(zhì)折射率所決定的臨界角時(shí)，光線將完全被界面反射回來，這就是全反射，或稱為完全內(nèi)反射。全反射優(yōu)于一切鏡面反射，因?yàn)殓R面的金屬鍍層對(duì)光有吸收作用，而全反射在理論上可使入射光的全部能量反射回原介質(zhì)，所以全反射在光學(xué)儀器中有廣泛的應(yīng)用。例如，在光學(xué)系統(tǒng)中，經(jīng)常利用全反射棱鏡代替平面反射鏡，以減少光能的反射損失。,7.1.4費(fèi)馬原理光在均勻介質(zhì)中傳播，遵循前述的幾何光學(xué)的基本

7、定律，而研究光在非均勻介質(zhì)中的傳播問題，更有普遍意義。光從一種介質(zhì)的一點(diǎn)傳播到另一種介質(zhì)的一點(diǎn)所遵循的規(guī)律，是由費(fèi)馬(Fermat)首先提出的，稱為費(fèi)馬原理。費(fèi)馬原理是從“光程”的角度來闡述光的傳播規(guī)律的。設(shè)在均勻介質(zhì)中光的傳播速度為v,若把t時(shí)間間隔內(nèi)在該介質(zhì)中所走過的幾何路程記為S，則有S=vt,若把這段時(shí)間間隔內(nèi)光在真空中所走過的路程記為L(zhǎng)，則有,其中，c為真空中的光速；n為介質(zhì)的折射率。光程定義為光在介質(zhì)中經(jīng)過的幾何路程S和該介質(zhì)折射率n的乘積，用字母L表示。可見，光在介質(zhì)中的光程，即為光在該時(shí)間間隔內(nèi)在真空中所傳播的路程。,(7-3),如果介質(zhì)是非均勻的，即介質(zhì)的折射率n是幾何路程S

8、的函數(shù)，則光在該介質(zhì)中所經(jīng)過的幾何路程不是直線而是曲線，如圖7-4所示。這時(shí)，光程可用下式表示：,式中，s為路徑的坐標(biāo)參量；n(s)為路徑AB上s點(diǎn)處的折射率。,圖7-4光在非均勻介質(zhì)中的幾何路程,費(fèi)馬原理指出：光線從A點(diǎn)到B點(diǎn)，是沿著光程為極值的路徑傳播的。也就是說，光由A點(diǎn)到B點(diǎn)的傳播在幾何方面存在著無數(shù)條可能的路徑，每條路徑都對(duì)應(yīng)著一個(gè)光程值，光由A點(diǎn)傳播到B點(diǎn)的實(shí)際光路包含在這些可能的路徑之中。任何一條實(shí)際的光路，其光程都有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即它均滿足極值條件。亦即實(shí)際光路所對(duì)應(yīng)的光程，或者是所有光程可能值中的極小值，或者是所有光程可能值中的極大值，或者是某一穩(wěn)定值。若把任意一條幾何上可

9、能的路徑記為l，則與l對(duì)應(yīng)的光程L(l)可用下列方程表示：,(7-4),對(duì)應(yīng)不同的路徑l,光程L(l)可能取不同的值。如果廣義地把路徑l看作是自變量，則光程L(l)可以視為是l的函數(shù)。這種形式函數(shù)取極值的條件為,(7-5),這就是費(fèi)馬原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式。利用費(fèi)馬原理可直接導(dǎo)出光的直線傳播定律。這是因?yàn)閮牲c(diǎn)間的路徑以直線的長(zhǎng)度為最短，故在均勻介質(zhì)中直線所對(duì)應(yīng)的光程為最小光程。當(dāng)光通過兩種不同介質(zhì)的分界面時(shí)，利用費(fèi)馬原理也可導(dǎo)出光的反射定律。為此只須證明圖7-5中由A點(diǎn)經(jīng)界面再回到B點(diǎn)的任何一條路徑滿足反射定律時(shí)光程為最小。,圖7-5滿足反射定律的路徑之光程為最短,在圖中，設(shè)AOB是滿足反射定律的路

10、徑，若把B點(diǎn)關(guān)于反射面PO之對(duì)稱點(diǎn)記為B，則易證A、O、B三點(diǎn)共線，且有AO+OB=AO+OB=AB又設(shè)O1為界面上的任意點(diǎn)，則有AO1+O1B=AO1+O1BAB所以AO1+O1BAO+BO這就證明了在一切可能的經(jīng)界面的折線路徑中，滿足反射定律的路徑之光程為最短。根據(jù)費(fèi)馬原理，這條路徑就是光由A點(diǎn)經(jīng)界面再傳播到B點(diǎn)的實(shí)際光路。,光的折射定律也可以直接從費(fèi)馬原理推導(dǎo)出來。為此只須證明圖7-6中一切從A點(diǎn)穿過界面到B點(diǎn)的幾何路徑滿足折射定律時(shí)光程為最小。設(shè)任一條路徑AOB之光程為L(zhǎng)AOB，則由圖7-6得,如果AOB是光由A點(diǎn)傳播到B點(diǎn)的實(shí)際光路，則根據(jù)費(fèi)馬原理，光程LAOB必滿足極值條件，即有,

11、由此得,可見由費(fèi)馬原理決定的光路與由折射定律所決定的光路是一致的。,圖7-6滿足折射定律的路徑之光程為最短,圖7-7光程為穩(wěn)定值和極大值例,上述討論的光在均勻介質(zhì)中的直線傳播及在平面分界面上的反射和折射，都是光程最短的例子。其實(shí)光線也可能按光程極大的路程傳播，或按某一穩(wěn)定值的路程傳播。如圖7-7所示，一個(gè)以F和F為焦點(diǎn)的橢球反射面，按其性質(zhì)可知，由F點(diǎn)發(fā)出的光線都被反射到F點(diǎn)，其光程都相等，因?yàn)镕MF=FM+MF=常數(shù)。這是光程為穩(wěn)定值的一個(gè)例子。如有另一反射鏡PQ和橢球面相切于M點(diǎn)，鏡上其余各點(diǎn)均在橢球內(nèi)，則對(duì)橢球的兩個(gè)焦點(diǎn)F和F來說，(FM+MF)對(duì)應(yīng)于最大光程，即光按光程極大的路程傳播。

12、,7.1.5物像的基本概念使用光學(xué)儀器，離不開物像的基本概念，物體通過光學(xué)系統(tǒng)成像，所成的像由人眼接收，這就是人們使用光學(xué)儀器的一般過程。光學(xué)系統(tǒng)由一系列的光學(xué)零件所組成，常見的光學(xué)零件有：透鏡、棱鏡，平行平板和反射鏡等，其截面如圖7-8所示。,圖7-8光學(xué)零件,光學(xué)系統(tǒng)一般是軸對(duì)稱的，即有一條公共的軸線通過系統(tǒng)各表面的曲率中心，該軸線通常叫做光軸，這樣的系統(tǒng)通常稱為共軸光學(xué)系統(tǒng)。透鏡是光學(xué)儀器中最常用的光學(xué)零件，它是由兩個(gè)曲面或一個(gè)曲面、一個(gè)平面所圍成的透明體。由于非球面的加工和檢驗(yàn)很困難，目前實(shí)際應(yīng)用的透鏡絕大多數(shù)是球面透鏡。經(jīng)過兩球面中心的直線稱為透鏡的光軸。在由一個(gè)球面和一個(gè)平面組成的

13、透鏡中，其光軸是通過球面中心并垂直于平面的直線。光軸與透鏡面的交點(diǎn)稱為頂點(diǎn)。透鏡可分為正的和負(fù)的兩大類。正透鏡具有正的像方焦距，對(duì)光束起會(huì)聚作用。負(fù)透鏡具有負(fù)的像方焦距，對(duì)光束起發(fā)散作用。各種正負(fù)透鏡的形狀如圖7-9所示。忽略厚度的透鏡稱為薄透鏡。,圖7-9透鏡,在幾何光學(xué)中，物和像的概念是這樣規(guī)定的：把光學(xué)系統(tǒng)之入射線會(huì)聚點(diǎn)的集合或入射線之延長(zhǎng)線會(huì)聚點(diǎn)的集合，稱為該系統(tǒng)的物；把相應(yīng)之出射線會(huì)聚點(diǎn)的集合或出射線之延長(zhǎng)線會(huì)聚點(diǎn)的集合，稱為物對(duì)該系統(tǒng)所成的像。物可分為實(shí)物和虛物，若入射線真正地會(huì)交于一點(diǎn)則稱為實(shí)物；若入射線不真正地會(huì)交于一點(diǎn)，只是其延長(zhǎng)線交于同一點(diǎn)，則稱之為虛物。像也可分為實(shí)像和虛

14、像，若出射線真正地會(huì)交于一點(diǎn)則稱為實(shí)像；若出射線不真正地會(huì)交于一點(diǎn)，只是其延長(zhǎng)線交于同一點(diǎn)，則稱之為虛像。,物和像的概念具有相對(duì)性，在圖7-10所示的光學(xué)系統(tǒng)中，A點(diǎn)既是物點(diǎn)又是像點(diǎn)。對(duì)光組來說，A是物點(diǎn)A是像點(diǎn)；對(duì)光組來說，A是物點(diǎn)A是像點(diǎn)。通常，對(duì)某一光組來說，當(dāng)物體的位置固定后，總可以在一個(gè)相應(yīng)的位置上找到物體所成的像。這種物像之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系在光學(xué)上稱之為共軛。共軛的概念反映了物像之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在闡明了物像概念后，引入物像空間的概念。物體所在的空間稱為物空間，像所在的空間稱為像空間。在某些情況下，物空間和像空間分居于光組的兩側(cè)；在另外一些情況下，物空間和像空間的一部分重合，如圖7-11

15、所示，物點(diǎn)A和像點(diǎn)A同在透鏡的左側(cè)。,圖7-10物像的相對(duì)性,圖7-11物像空間的重合,7.1.6單個(gè)折射球面的折射如果光學(xué)系統(tǒng)的所有界面均為球面，則稱為球面系統(tǒng)。各球面球心位于一條直線上的球面系統(tǒng)，稱為共軸球面系統(tǒng)。連接各球心的直線稱為光軸。光軸與球面的交點(diǎn)稱為頂點(diǎn)。光線經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)時(shí)是逐面進(jìn)行折射的，光線光路計(jì)算也應(yīng)是逐面進(jìn)行。因此，首先對(duì)單個(gè)折射球面進(jìn)行討論，然后過渡到整個(gè)系統(tǒng)。單個(gè)折射球面不僅是一個(gè)簡(jiǎn)單的光學(xué)系統(tǒng)，而且是組成光學(xué)系統(tǒng)的基本元件。所以研究光線經(jīng)單個(gè)球面的折射，是一般光學(xué)系統(tǒng)成像的基礎(chǔ)。,1.符號(hào)法則如圖7-12所示，球形折射面是折射率為n和n兩種介質(zhì)的分界面，C為球心，O

16、C為球面曲率半徑，以r表示。頂點(diǎn)以O(shè)表示。在包含光軸的平面(常稱為子午面)內(nèi)，入射到球面的光線，其位置可由兩個(gè)參量來決定：一個(gè)是頂點(diǎn)O到光線與光軸的交點(diǎn)A的距離，以L表示，稱為截距；另一個(gè)是入射光線與光軸的夾角EAO，以U表示，稱為孔徑角。光線AE經(jīng)過球面折射以后，交光軸于A點(diǎn)。光線EA的確定也和AE相似，以相同字母表示兩個(gè)參量，僅在字母右上角加“撇”以示區(qū)別，即L=AO和U=EAO，也稱為截距和孔徑角。為了區(qū)別，L和U稱為物方截距和孔徑角，L和U稱為像方截距和孔徑角。,1)光路方向規(guī)定光線從左到右的傳播方向?yàn)檎较颍凑蚬饴?，反之為反向光路?)線量沿軸線量凡由規(guī)定的原點(diǎn)(計(jì)算起點(diǎn))到終點(diǎn)

17、的方向與光線的傳播方向相同者，取為正，反之為負(fù)。因此，沿軸線段以原點(diǎn)為起始點(diǎn)，向右為正，向左為負(fù)。規(guī)定曲率半徑r和物方截距L、像方截距L均以球面頂點(diǎn)為原點(diǎn)，球折射面之間的間隔以字母d表示，規(guī)定以前一球面頂點(diǎn)為原點(diǎn)。垂軸線量以光軸為準(zhǔn)，在光軸之上為正，光軸之下為負(fù)。,3)角量一律以銳角來衡量，由規(guī)定的起始邊沿順時(shí)針轉(zhuǎn)成者為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)成者為負(fù)。對(duì)光線與光軸的夾角U和U，規(guī)定光軸為起始邊，由光軸轉(zhuǎn)向光線，順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)。對(duì)光線和法線的夾角即入射角I和折射角I，規(guī)定光線為起始邊，由光線順時(shí)針轉(zhuǎn)到法線為正，反之為負(fù)。對(duì)法線與光軸的夾角球心角,規(guī)定光軸為起始邊，由光軸順時(shí)針轉(zhuǎn)到法線為正，反之為負(fù)

18、。,圖7-12單個(gè)球面折射,2.單個(gè)折射球面的光路計(jì)算公式光線的單個(gè)折射球面的光路計(jì)算，是指在給定單個(gè)折射球面的結(jié)構(gòu)參量n、n和r，由已知入射光線坐標(biāo)L和U，計(jì)算折射后出射光線的坐標(biāo)L和U。如圖7-12所示，在AEC中，應(yīng)用正弦定理有,或,(7-6),由折射定律得,(7-7),由圖可知,=I+U=I+U,所以,U=I+U-I,(7-8),同樣，在AEC中應(yīng)用正弦定理有,化簡(jiǎn)后得,(7-6)式(7-9)式就是計(jì)算含軸面(子午面)內(nèi)光線光路的基本公式，可由已知的L和U通過上列四式依次求出U和L。由于折射面對(duì)稱于光軸，對(duì)于軸上點(diǎn)A發(fā)出的任一條光線，可以表示該光線繞軸一周所形成的錐面上全部光線的光路，

19、顯然這些光線在像方應(yīng)交光軸于同一點(diǎn)。由公式可知，當(dāng)L為定值時(shí)，L是角U的函數(shù)。在圖7-13中，若A為軸上物點(diǎn)，發(fā)出同心光束，由于各光線具有不同的U角值，所以光束經(jīng)球面折射后，將有不同的L值，也就是說，在像方的光束不和光軸交于一點(diǎn)，即失去了同心性。因此，當(dāng)軸上點(diǎn)以寬光束經(jīng)球面成像時(shí)，其像是不完善的，這種成像缺陷稱為像差。,圖7-13單個(gè)折射球面成不完善像,圖7-14軸上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)入射角的計(jì)算,在利用上式對(duì)光路進(jìn)行計(jì)算時(shí)，若物體位于物方光軸上無限遠(yuǎn)處，這時(shí)可認(rèn)為由物體發(fā)出的光束是平行于光軸的平行光束，即L=-，U=0，如圖7-14所示。此時(shí)，不能用(7-6)式計(jì)算入射角I，而入射角應(yīng)按下式計(jì)算,h為

20、光線的入射高度。,為保證光路計(jì)算的準(zhǔn)確性，下面導(dǎo)出計(jì)算大L公式的校對(duì)公式。如圖7-15所示，自頂點(diǎn)O作入射光線AE的垂線OQ，由直角三角形OEQ和OAQ得,由于,故得,同理，在像方可得,因此有,(7-11),上式即為校對(duì)公式。,3.近軸光的光路計(jì)算公式在圖7-12中，如果限制U角在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，即從A點(diǎn)發(fā)出的光線都離光軸很近，這樣的光線稱為近軸光。由于U角很小，其相應(yīng)的I、I、U等也很小，這時(shí)這些角的正弦值可以用弧度來代替，用小寫字母u，i，i,u來表示。近軸光的光路計(jì)算公式可直接由(7-6)式(7-9)式得到,(7-12),當(dāng)光線平行于光軸時(shí)，(7-10)式變?yōu)?(7-13),由(7-1

21、2)式中可以看出，當(dāng)u角改變k倍時(shí)，i,i,u亦相應(yīng)改變k倍，而l表示式中的i/u保持不變，即l不隨u角的改變而改變。即表明由物點(diǎn)發(fā)出的一束細(xì)光束經(jīng)折射后仍交于一點(diǎn)，其像是完善像，稱為高斯像。高斯像的位置由l決定，通過高斯像點(diǎn)垂直于光軸的像面，稱為高斯像面。構(gòu)成物像關(guān)系的這一對(duì)點(diǎn)，稱為共軛點(diǎn)。顯然，對(duì)于近軸光，如下關(guān)系成立：,上式即為近軸光線光路計(jì)算的校對(duì)公式。,7.2單個(gè)折射球面近軸區(qū)成像,將(7-12)式中的第一、第四式i和i代入第二式，并利用(7-14)式，可以導(dǎo)出以下三個(gè)重要公式:,(7-15),(7-16),(7-17),7.2.1物像公式(7-17)式稱為折射球面的物像關(guān)系公式，通

22、常，l稱為物距，l稱為像距，兩者均以折射面頂點(diǎn)為起始點(diǎn)。若物點(diǎn)位于軸上左方無限遠(yuǎn)處，即物距l(xiāng)=-，此時(shí)入射光線平行于光軸，經(jīng)球面折射后交光軸于F點(diǎn)，如圖7-16所示。這個(gè)特殊點(diǎn)是軸上無限遠(yuǎn)物點(diǎn)的像點(diǎn)，稱為球面的像方主焦點(diǎn)或第二主焦點(diǎn)。從頂點(diǎn)O到F的距離稱為第二主焦距，用f表示。將l=-代入(7-17)式可得,(7-18),同理有球面的第一主焦點(diǎn)F及第一主焦距f，且,由(7-18)式和(7-19)式可得,(7-19),(7-20),該式表明單個(gè)球面像方焦距f與物方焦距f的比等于相應(yīng)介質(zhì)的折射率之比。由于n和n永不相等，故|f|f|。式中，負(fù)號(hào)表示物方和像方焦點(diǎn)永遠(yuǎn)位于球面界面的左右兩側(cè)。,圖7-

23、16單個(gè)折射球面的焦點(diǎn),7.2.2高斯公式和牛頓公式將r/(n-n)乘以物像公式(7-17)得,(7-21),該式稱為球面折射的高斯公式。如果物距和像距不以球折射面的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，而分別從物方焦點(diǎn)F和像方焦點(diǎn)F算起，并用x和x表示，分別稱為焦物距和焦像距，如圖7-17所示。由圖可得如下關(guān)系：,圖7-17牛頓公式導(dǎo)出用圖,將此二式代入高斯公式(7-21)并化簡(jiǎn)得,(7-22),此式稱為牛頓公式。該式表明，從焦點(diǎn)計(jì)起的物距和像距之積等于第一和第二焦距之積。牛頓公式的形式較高斯公式簡(jiǎn)單，對(duì)稱性顯著，有時(shí)運(yùn)用更為方便。公式(7-17)、(7-21)和(7-22)具有相同的含義，彼此完全相等，適用于球面折

24、射的各種不同情況。,7.2.3光焦度(7-17)式右端僅與介質(zhì)的折射率及球面曲率半徑有關(guān)，因而對(duì)于一定的介質(zhì)及一定形狀的表面來說是一個(gè)不變量，它表征球面的光學(xué)特征，稱之為該面的光焦度，以表示：,(7-23),當(dāng)r以米為單位時(shí)，的單位稱為折光度，以字母D表示。例如,n=1.5,n=1.0,r=100mm的球面，=5D。根據(jù)光焦度公式(7-23)及焦距公式(7-18)和(7-19)，單折射球面兩焦距和光焦度之間的關(guān)系為,所以，焦距f和f也是折射面的特征量。,(7-24),7.2.4垂軸放大率物體經(jīng)球面折射成像后，通常不僅需要知道像的位置，而且還希望知道像的大小、虛實(shí)和倒正。由此引入垂軸放大率。圖7

25、-18表示垂軸小物體AB被球面折射成像的情況。令物高和像高分別以y和y表示，AB=y,AB=-y。像的大小和物的大小的比值稱為垂軸放大率或橫向放大率，以希臘字母表示：,(7-25),由圖中ABC和ABC相似可得,或,由(7-15)式可改寫為,(7-26),當(dāng)求得一對(duì)共軛點(diǎn)的截距l(xiāng)和l后，可按上式求得通過該共軛點(diǎn)的一對(duì)共軛面上的垂軸放大率。由(7-26)式可知，垂軸放大率僅決定于共軛面的位置，在同一共軛面上，放大率為常數(shù)，故像必和物相似。,當(dāng)0,y和y異號(hào)，表示成倒像；當(dāng)0，y和y同號(hào)，表示成正像。當(dāng)0,l和l異號(hào)，表示物和像處于球面的兩側(cè)，實(shí)物成實(shí)像，虛物成虛像。當(dāng)0,l和l同號(hào)，表示物和像處

26、于球面的同側(cè)，實(shí)物成虛像，虛物成實(shí)像。當(dāng)|1，為放大像；當(dāng)|1,為縮小像。,7.2.5軸向放大率對(duì)于有一定體積的物體，除垂軸放大率外，其軸向也有尺寸，故還有一個(gè)軸向放大率。軸向放大率是指光軸上一對(duì)共軛點(diǎn)沿軸移動(dòng)量之間的關(guān)系。如果物點(diǎn)沿軸移動(dòng)一微小量dl，相應(yīng)地像移動(dòng)dl，軸向放大率用希臘字母表示，定義為,(7-27),單個(gè)折射球面的軸向放大率由對(duì)(7-17)式微分得到：,則有,或,(7-28),由此式可見，如果物體是一個(gè)沿軸放置的正方形，因垂軸放大率和軸向放大率不一致，則其像不再是正方形。還可以看出，折射球面的軸向放大率恒為正值，這表示物點(diǎn)沿軸移動(dòng)，其像點(diǎn)以同樣方向沿軸移動(dòng)。,對(duì)A1和A2點(diǎn)分

27、別用(7-17)式可得,移項(xiàng)整理有,即,其中1和2分別為物在A1和A2兩點(diǎn)的垂軸放大率。,7.2.6角放大率在近軸區(qū)域內(nèi)，通過物點(diǎn)的光線經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)后，必然通過相應(yīng)的像點(diǎn)，這樣一對(duì)共軛光線與光軸夾角u和u的比值，稱為角放大率，以希臘字母表示：,(7-30),利用關(guān)系式lu=lu，上式可寫為,(7-31),與(7-26)式比較，可得,(7-32),利用(7-28)式和(7-32)式，可得三個(gè)放大率之間的關(guān)系：,(7-33),7.2.7拉亥不變量J由公式=y/y=nl/nl和公式=l/l=u/u，可得nuy=nuy=J(7-34)此式稱為拉格朗日亥姆霍茲恒等式，簡(jiǎn)稱拉亥公式。其表示為不變量形式，表

28、明在一對(duì)共軛平面內(nèi)，成像的物高y,成像光束的孔徑角u和所在介質(zhì)的折射率n三者的乘積是一個(gè)常數(shù)，用J表示，稱為拉格朗日亥姆霍茲不變量，簡(jiǎn)稱拉亥不變量。,7.3共軸球面系統(tǒng),7.3.1轉(zhuǎn)面(過渡)公式一個(gè)共軸球面系統(tǒng)由下列數(shù)據(jù)所確定：各折射球面的曲率半徑r1,r2,，rk；各個(gè)球面頂點(diǎn)之間的間隔d1,d2,dk-1,d1是第一面頂點(diǎn)到第二面頂點(diǎn)之間隔，d2是第二面頂點(diǎn)到第三面頂點(diǎn)之間隔，依次類推；各球面間介質(zhì)的折射率n1,n2,nk+1,n1是第一面之前的介質(zhì)折射率，nk+1是第k面之后的介質(zhì)折射率，依次類推。,圖7-20表示了一個(gè)在近軸區(qū)內(nèi)物體被光學(xué)系統(tǒng)前三個(gè)面成像的情況。顯然，第一個(gè)面的像方空

29、間就是第二個(gè)面的物方空間，就是說，高度為y1的物體A1B1用孔徑角為u1的光束經(jīng)第一面折射成像后，其像A1B1就是第二面的物A2B2,其像方孔徑角u1就是第二面的物方孔徑角u2，其像方折射率n1就是第二面的物方折射率n2。同樣，第二面和第三面之間，第三面和第四面之間，都有這樣的關(guān)系，依次類推，故有,(7-35),圖7-20共軸球面系統(tǒng),由圖7-20可以直接求出截距的過渡公式,(7-36),必須指出，上述轉(zhuǎn)面公式(7-35)和(7-36)對(duì)近軸光適用，對(duì)遠(yuǎn)軸光也同樣適用，即,這就是(7-6)式(7-9)式光路計(jì)算公式的轉(zhuǎn)面公式。,(7-37),當(dāng)用(7-16)式進(jìn)行光路計(jì)算時(shí)，還必須求出光線在折

30、射面上入射高度h的過渡公式。利用(7-35)式的第二式和(7-36)式的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘，可得,故,(7-38),7.3.2拉亥公式利用公式(7-34)，對(duì)共軸球面系統(tǒng)的每一個(gè)折射面都可以寫出各個(gè)面的拉亥公式,利用(7-35)式可得,(7-39),7.3.3放大率公式對(duì)于整個(gè)共軸球面系統(tǒng)的各個(gè)放大率，很容易證明等于各個(gè)折射面相應(yīng)放大率之乘積：,(7-40),將單折射球面的放大率表示式代入上式，即可求得,(7-41),(7-42),(7-43),(7-44),(7-45),由此可見，共軸球面系統(tǒng)的總放大率為各折射球面放大率的乘積，三種放大率之間的關(guān)系與單個(gè)折射球的完全一樣。,7.4球面反射鏡,1.球面

31、反射鏡的物像位置公式將n=-n代入(7-17)式，可得球面反射鏡的物像位置公式為,(7-46),2.球面反射鏡的焦距將n=-n代入(7-18)式和(7-19)式，可得球面反射鏡的焦距,(7-47),該式表明球面反射鏡的二焦點(diǎn)重合。對(duì)凸球面反射鏡，r0,則f0；對(duì)凹球面反射鏡，r0,則f0。,3.球面反射鏡的高斯公式將(7-47)式代入(7-21)式，可得球面反射鏡的高斯公式:,(7-48),4.球面反射鏡的放大率公式同樣，可以得到球面反射鏡的三種放大率公式：,(7-49),上式表明，球面反射鏡的軸向放大率永為負(fù)值，當(dāng)物體沿光軸移動(dòng)時(shí)，像總以相反的方向沿軸移動(dòng)。當(dāng)物體經(jīng)偶數(shù)次反射時(shí)，軸向放大率為

32、正。,5.球面反射情況下的拉亥不變量將n=-n代入(7-34)式，得球面反射時(shí)的拉亥不變量,(7-50),球面反射鏡的物像關(guān)系如圖7-21所示。當(dāng)物體處于球面反射鏡的球心時(shí)，由(7-46)式得l=l=r，并由(7-49)式得球心處的放大率為=1,=-1,=1。,7.5平面鏡、棱鏡系統(tǒng),圖7-22單個(gè)平面鏡成像(實(shí)物成虛像),7.5.1平面反射鏡1.單平面鏡的成像特性,圖7-23單個(gè)平面鏡成像(虛物成實(shí)像),如果射向平面反射鏡的是一會(huì)聚同心光束，即物點(diǎn)是一個(gè)虛物點(diǎn)，如圖7-23所示，則當(dāng)光束經(jīng)平面鏡反射后成一實(shí)像點(diǎn)。不管物和像是虛還是實(shí)，相對(duì)于平面反射鏡來說，物和像始終是對(duì)稱的。由于其對(duì)稱性，如

33、果物體為左手坐標(biāo)系O-xyz，其像的大小與物相同，但卻是右手坐標(biāo)系O-xyz，如圖7-24所示，這種物像不一致的像，叫做“鏡像”或“非一致像”。如果物體為左手坐標(biāo)系，而像仍為左手坐標(biāo)系，則這樣的像稱為“一致像”。容易想到，物體經(jīng)奇數(shù)個(gè)平面鏡成像，則為鏡像，而經(jīng)偶數(shù)個(gè)平面鏡成像，則為一致像。,圖7-24單個(gè)平面鏡成鏡像,圖7-25平面鏡繞垂直入射面軸的轉(zhuǎn)動(dòng),在光點(diǎn)式靈敏電流計(jì)中，在紅外系統(tǒng)的光機(jī)掃描元件及其它光學(xué)儀器中，都應(yīng)用了平面反射鏡的這個(gè)特性。,平面反射鏡在光學(xué)儀器中常用來改變光路方向，如圖7-26所示，由于平面鏡是“理想光學(xué)系統(tǒng)”，對(duì)成像質(zhì)量沒有影響，所以在光路計(jì)算中可以不計(jì)算在內(nèi)。但是

34、，必須根據(jù)它在系統(tǒng)中的位置和光束通過情況，計(jì)算出它的大小尺寸，并在繪制光路圖時(shí)將其繪出。,綜上所述，單個(gè)平面鏡的成像特性可歸納為：點(diǎn)物成點(diǎn)像。物和像以平面鏡對(duì)稱，成非一致像。實(shí)物成虛像，虛物成實(shí)像。平面鏡的轉(zhuǎn)動(dòng)具有“光放大作用”。,圖7-26平面鏡改變光路方向,2.雙平面鏡的成像特性,圖7-27雙平面鏡成像,圖7-28在雙平面鏡上各反射一次的成像,由O1O2M得,因兩平面鏡在O1,O2點(diǎn)的法線交于一點(diǎn)N，故由O1O2N得,或,或,所以,該式表明，出射光線和入射光線之間的夾角與入射角無關(guān)，只決定于反射鏡間夾角。因此，光線方向的改變可以根據(jù)實(shí)際需要通過選擇適當(dāng)?shù)慕莵韺?shí)現(xiàn)。如果保持兩反射鏡間的夾角不

35、變，在入射光線方向不變的情況下，當(dāng)兩平面鏡繞垂直于圖平面的軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，它的出射光線方向始終不會(huì)改變。雙平面反射鏡的成像特性可歸納為：二次反射像的坐標(biāo)系統(tǒng)與原物坐標(biāo)系統(tǒng)相同，成一致像。位于主截面內(nèi)的光線，不論其入射方向如何，出射線的轉(zhuǎn)角永遠(yuǎn)等于兩平面鏡夾角的二倍，其轉(zhuǎn)向與光線在反射面的反射次序所形成的轉(zhuǎn)向一致。,7.5.2平面折射1.平面折射的基本公式在光學(xué)系統(tǒng)中經(jīng)常遇到一些平面光學(xué)零件，如平凸、平凹透鏡及全反射棱鏡等，因此需要導(dǎo)出光線入射于平面時(shí)折射成像的公式。如圖7-29所示，一光線AO入射到平面界面上將產(chǎn)生折射，由圖可見，,(7-51),(7-52),(7-53),即,(7-54),可將(7

36、-54)式改寫為,將(7-51)式和(7-53)式代入(7-52)式得,所以有,(7-55),圖7-29平面折射,(7-51)、(7-52)、(7-53)和(7-55)式即為平面折射的基本公式，由此就能夠確定任意一條光線經(jīng)過平面折射后的光路。由公式可見，對(duì)于一個(gè)折射平面來說，L也是U角的函數(shù)，亦即由光軸上同一物點(diǎn)發(fā)出的具有不同U角的光線，經(jīng)過平面折射之后，并不能都相交于一點(diǎn)，也就是說不能成完善像。如果入射光線為近軸光線，則上述平面折射的基本公式可表示為如下形式:,(7-56),可以看出，近軸光線經(jīng)過平面折射，可以成完善像，并=+1，即為正像，像的大小與物一樣。,2.光線經(jīng)平行平板時(shí)的折射光學(xué)儀

37、器中常用到由兩個(gè)折射平面構(gòu)成的玻璃平板，或者由一些特定材料構(gòu)成的平行平板，如紅外探測(cè)器的窗口等。圖7-30給出了一個(gè)厚度為d的平行平板，設(shè)它處于空氣中，即兩邊的折射率都等于1，平行平板玻璃的折射率為n。從軸上點(diǎn)A發(fā)出的與光軸成U1的光線射向平行平板，經(jīng)第一面折射后，射向第二面，經(jīng)折射后沿EB方向射出。出射光線的延長(zhǎng)線與光軸交于點(diǎn)A2，此即為物點(diǎn)A經(jīng)平行平板折射后的虛像點(diǎn)。光線在第一、第二兩面上的入射角和折射角分別為I1、I1和I2、I2，按折射定律有,圖7-30平行平板的折射,因兩個(gè)折射面平行，有I2=I1,I2=I1。故U1=U2，可見出射光線EB和入射光線AD相互平行。即光線經(jīng)平行平板折射

38、后方向不變。按放大率一般定義公式可得,所以平行平板不使物體放大或縮小。光線經(jīng)平行平板折射后，雖然方向不變，但要產(chǎn)生位移。由圖中的DGE知,可得側(cè)向位移或平行位移,將sin(I1-I1)展開并利用sinI1=nsinI1得,(7-57),若位移沿平行平板垂線方向計(jì)算，得到從像點(diǎn)A2到物點(diǎn)A的距離，稱為軸向位移，以L表示，有,代入(7-57)式，得,(7-58),因(sinI1/sinI1)=n,所以,(7-59),該式表明，L因不同的I1值而不同，即物點(diǎn)A發(fā)出的具有不同入射角的各條光線，經(jīng)過平行平板折射后，具有不同的軸向位移量。這就說明從物點(diǎn)A發(fā)出的同心光束經(jīng)過平行平板后，就不再是同心光束，成像

39、是不完善的。同時(shí)可以看出厚度d越大，軸向位移越大，成像不完善程度也越大。,如果入射光束以近于無限細(xì)的近軸光束通過平行平板成像，因?yàn)镮1角很小，余弦可用1替代，這樣(7-58)式變?yōu)?(7-60),式中，用l代替L，以表示該式僅是對(duì)近軸光線的軸向位移。該式表明，近軸光線的軸向位移只與平行平板厚度d及折射率n有關(guān)，而與入射角i1無關(guān)。因此物點(diǎn)以近軸光經(jīng)平行平板成像是完善的。,7.5.3反射棱鏡,圖7-31反射棱鏡,1.反射棱鏡的分類及作用根據(jù)不同的需要，反射棱鏡有很多類型。按難易程度分，反射棱鏡可分為普通棱鏡和復(fù)合棱鏡兩大類。普通棱鏡就是單個(gè)的簡(jiǎn)單棱鏡，如等腰直角棱鏡，五角棱鏡等等。其主截面如圖7

40、-32(a)所示。復(fù)合棱鏡是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的普通棱鏡組成的棱鏡，如阿貝棱鏡等等。其主截面如圖7-32(b)所示。反射棱鏡一般有兩個(gè)折射面和若干個(gè)反射面，統(tǒng)稱為工作面。兩個(gè)工作面之交線稱為棱，垂直于棱的截面稱為主截面。,圖7-32簡(jiǎn)單棱鏡和復(fù)合棱鏡,2.屋脊棱鏡在光學(xué)系統(tǒng)中有奇數(shù)個(gè)反射面時(shí)，物體成鏡像。為了獲得和物相似的像，在不宜增加反射面的情況下，可以利用兩個(gè)互相垂直的反射面代替其中的一個(gè)反射面，這兩個(gè)互相垂直的反射面叫做屋脊面。帶有屋脊面的棱鏡叫做屋脊棱鏡。,圖7-33直角棱鏡和直角屋脊棱鏡,圖7-34直角棱鏡和直角屋脊棱鏡反射成像,3.反射棱鏡成像方向的確定反射棱鏡主要作用是改變光軸和像

41、的方向。光軸方向的改變直接按反射定律確定。第一類，具有單一主截面的棱鏡和棱鏡組。具有單一主截面的直角棱鏡如圖7-35所示。設(shè)物體為左手直角坐標(biāo)系統(tǒng)，yOz平面與主截面重合，Oz與光軸重合，因Ox垂直于yOz平面，所以O(shè)x與反射面平行。Oz經(jīng)棱鏡反射后沿光軸出射，方向?yàn)镺z。Ox因和反射面平行，故反射后方向不變，即Ox方向與Ox方向相同。根據(jù)平面鏡成鏡像特性，即物為一左手坐標(biāo)系統(tǒng)，像應(yīng)為一右手坐標(biāo)系統(tǒng)，在Ox和Oz方向已知的條件下，利用右手坐標(biāo)系統(tǒng)即可畫出Oy的方向。,直角屋脊棱鏡如圖7-36所示，物仍為一左手坐標(biāo)系統(tǒng)，因?yàn)閦和y坐標(biāo)的反射條件不變(均在光軸截面內(nèi))，所以反射后的方向與圖7-35

42、相同。但x坐標(biāo)垂直于主截面，在屋脊面上反射兩次，出射后的方向與原方向相反，因此，物體經(jīng)直角屋脊棱鏡反射一次后，仍為一左手坐標(biāo)系統(tǒng)，與原物相同，成一致像。,圖7-35直角棱鏡成像方向,圖7-36直角屋脊棱鏡成像方向,由此可得出具有單一主截面的棱鏡和棱鏡組的成像方向規(guī)律：Oz坐標(biāo)，經(jīng)棱鏡或棱鏡組反射后，其光軸出射方向即是OZ的方向；Ox坐標(biāo)，其反射后的方向由屋脊面的對(duì)數(shù)而定，當(dāng)無屋脊面或屋脊面對(duì)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，Ox與Ox同向，當(dāng)屋脊面對(duì)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，Ox與Ox反向；Oy坐標(biāo)，其反射后的方向由光軸反射次數(shù)而定。光軸同向光軸反射次數(shù)為偶數(shù)時(shí)，Oy與Oy同向，光軸反射次數(shù)為奇數(shù)時(shí)，Oy與Oy反向。光軸反向光軸

43、反射次數(shù)為偶數(shù)時(shí)，Oy與Oy反向，光軸反射次數(shù)為奇數(shù)時(shí)，Oy與Oy同向。,圖7-37棱鏡成像方向舉例,這里的光軸“同向”和“反向”的意思是：“同向”指入射光軸和出射光軸平行，或光軸偏轉(zhuǎn)角小于90的情況；“反向”指光軸偏轉(zhuǎn)角大于90的情況。當(dāng)光軸正好偏轉(zhuǎn)90時(shí)，可認(rèn)為是同向的，也可認(rèn)為是反向的，所得結(jié)果相同。另外，根據(jù)屋脊面的成像性質(zhì)，它不影響主截面內(nèi)像的方向，因此在系統(tǒng)中有屋脊面時(shí)，光軸看作是在屋脊棱上反射，光軸反射次數(shù)只計(jì)算一次，而計(jì)算系統(tǒng)的總反射次數(shù)時(shí)屋脊面計(jì)算兩次。,下面舉例說明上述規(guī)律的應(yīng)用。如圖7-37(a)所示的棱鏡系統(tǒng)，由于系統(tǒng)中無屋脊面，故Ox與Ox同向；Oz為光軸的出射方向；

44、由于光軸同向，光軸反射次數(shù)為七次，故Oy與Oy反向。再如圖7-37(b)所示的有一對(duì)屋脊面的棱鏡系統(tǒng)。因有一對(duì)屋脊面，故Ox與Ox反向；Oz為光軸出射方向；由于光軸同向，光軸反射次數(shù)為七次，故Oy與Oy反向。第二類，具有兩個(gè)互相垂直的主截面的平面棱鏡系統(tǒng)。,如圖7-38所示，上述成像方向的規(guī)律仍然適用，只是需分兩步進(jìn)行討論。對(duì)棱鏡，因無屋脊面，故Ox與Ox同向；Oz為光軸的出射方向；光軸反向，光軸反射次數(shù)為二次，故Oy與Oy反向。對(duì)棱鏡，Oy與棱鏡主截面相垂直。因無屋脊面，故Oy與Oy同向；Oz為光軸的出射方向；光軸反向，光軸反射次數(shù)為二次，故Ox與Ox反向。由圖可見，Ox和Oy相對(duì)Ox和Oy均轉(zhuǎn)了180，即在垂軸平面內(nèi)，像的上下和左右相對(duì)于物均顛倒過來。這種轉(zhuǎn)像系統(tǒng)應(yīng)用于雙筒望遠(yuǎn)鏡，它能將望遠(yuǎn)鏡所成物體的倒像顛倒過來，使觀察者看到與原物方位完全一致的像。,圖7-38主截面互相垂直的棱鏡系統(tǒng),7.5.4折射棱鏡折射棱鏡如圖7-39所示，兩個(gè)工作面(折射面)不同軸，其交線稱為折射棱，兩工作面的夾角稱為棱鏡的頂角。設(shè)棱鏡位于空氣中，其折射率為n，頂角為，入射角為i1，折射光線相對(duì)于入射光線的偏角為，其正負(fù)號(hào)以入射光線為起始邊來確定，當(dāng)入射光線以銳