2010國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)試題E

1、2010年國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)國(guó)家隊(duì)選拔試題 力學(xué)12月25日（圣誕快樂） 14:00-17:10一、兩個(gè)質(zhì)量均為的實(shí)心小球，半徑分別為、，分別置于一個(gè)直角三角形形狀的斜面兩側(cè)，斜面質(zhì)量，一角為，放在光滑水平桌面上。斜面與兩小球摩擦系數(shù)均為，求使兩小球作純滾時(shí)的最小值。（20）二、一勻質(zhì)正方體箱，質(zhì)量，邊長(zhǎng)，僅圖示兩腳與地面接觸，桌上正中央有一勻質(zhì)圓盤，質(zhì)量為，與桌面之間摩擦系數(shù)足夠大，圖示地面比較奇特，在之前部分光滑，在之后部分，與桌腳間摩擦系數(shù)，開始時(shí)，箱與盤一同以駛?cè)氪植趨^(qū)域。1、在圓盤尚未離開桌面前，要使箱不翻倒，求值滿足的條件2、若箱不翻倒，試求在桌后腳尚未進(jìn)入粗糙區(qū)域，且圓盤尚未離開桌面時(shí)，

2、箱子位移及盤相對(duì)箱位移隨時(shí)間變化的關(guān)系以進(jìn)入粗糙區(qū)域時(shí)為時(shí)間零點(diǎn)。（20）三、無限長(zhǎng)截流直導(dǎo)線，通以電流，現(xiàn)一矩形線框，長(zhǎng)，寬，框與導(dǎo)線處于同一豎直面內(nèi)，長(zhǎng)與線平行，將線框在靠近導(dǎo)線處?kù)o止釋放，已知線框電阻，質(zhì)量，重力加速度。1、寫出線框的動(dòng)力學(xué)方程；2、若線框在運(yùn)動(dòng)過程中其加速度有極小值，求此時(shí)線框速度和位置的關(guān)系。（15）四、三個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量分別為m、M、m，被限制在豎直面內(nèi)半徑為的軌道上，軌道光滑，兩個(gè)與均有原長(zhǎng)為0，勁度系數(shù)的彈簧相連（沿圓?。淖笾劣遥来螌①|(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的角度,作為廣義坐標(biāo)，假設(shè)三質(zhì)點(diǎn)可以相互穿過1、寫出體系的動(dòng)能和勢(shì)能；2、寫出體系的Lagrange量;3、寫出體

3、系的Lagrange方程；4、寫出體系作小振動(dòng)時(shí)本征頻率所滿足的方程；5、通過直接觀察，寫出某一頻率；6、利用4和5的結(jié)論，求出所有本征頻率。（20）五、一長(zhǎng)為的勻質(zhì)桿，被限制在豎直面內(nèi)，軸光滑，時(shí)，解除限制，桿自由地開始運(yùn)動(dòng)。1、求桿尚未脫離軸時(shí)，桿角速度；2、求桿開始脫離軸時(shí)，值；3、求桿脫離軸后，質(zhì)心速度的水平、豎直分量。4、求出桿脫離墻面前，瞬心的軌跡。5、對(duì)于地面固定點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量，位置，動(dòng)量，所受外力，則對(duì)有角動(dòng)量定理：（1）若D并非固定點(diǎn)，則式（1）不一定成立，問質(zhì)心速度與速度滿足什么關(guān)系時(shí)，（1）式仍然成立？b、對(duì)于4中點(diǎn)，（1）式成立嗎？說明理由。對(duì)于D即為瞬心的情況，（1）

4、是否成立，說明理由。2、在空間有封閉的電荷分布和電流分布，定義體系的電偶極矩，計(jì)算，為電流密度，可利用電荷守恒定律，有：，將結(jié)論化為最簡(jiǎn)形式。3、已知電流元對(duì)的作用力為：，對(duì)的作用力為：（1）兩電流元之間的作用力與反作用力是否大小相等，是否方向相反，是否滿足牛頓第三定律？（2）兩載流線圈分別載有電流,，寫出它們之間的作用力與反作用力，用積分表示，不必算出。（3）通過計(jì)算說明（2）中是否滿足牛三？4、（1）寫出電偶極子產(chǎn)生的電勢(shì)表達(dá)式。（2）現(xiàn)有一電介質(zhì)，體積，包圍面記為，極化強(qiáng)度，求體積外的電勢(shì)分布。（積分式，不必計(jì)算）。 （3）利用矢量公式將上式化為一體積分與面積分之和，其中面積分正比于。為

5、場(chǎng)點(diǎn)到源點(diǎn)的距離。 （4）根據(jù)（3）中結(jié)果寫出極化電荷面密度和體密度與的關(guān)系。四、相對(duì)論中的點(diǎn)動(dòng)力學(xué)。1、什么是“橫向多普勒效應(yīng)”，試用四維波矢推導(dǎo)橫向多普勒效應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。2、靜質(zhì)量為的靜止粒子衰變?yōu)殪o質(zhì)量為，的三個(gè)粒子，問它們速度滿足什么關(guān)系時(shí)，的能量最大（包括靜能），并求出此最大能量。3、高速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)子撞靜止的靶質(zhì)子，產(chǎn)生正反質(zhì)子時(shí)，即，求此反應(yīng)發(fā)生所需閾能，已知質(zhì)子靜質(zhì)量。五、無限長(zhǎng)柱狀導(dǎo)體圓弧片，在處絕緣地相交，如圖所示，兩圓弧片與軸分別交于與處，已知處電場(chǎng)強(qiáng)度大小為，求內(nèi)部電勢(shì)分布。（A、B間）2010年國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)國(guó)家隊(duì)選拔試題近代物理與暫態(tài)過程2009年12月23日8:50-1

6、1:50一、如圖所示的電路，時(shí)，電容不帶電1、時(shí)閉合，求時(shí)刻、支路上電流，。2、某時(shí)刻，、同時(shí)達(dá)到其最大值，斷開，記，求電容左極板上電量隨的關(guān)系，要求結(jié)果不含二、一維無限深勢(shì)阱，1、求概率定態(tài)波函數(shù)，以及對(duì)應(yīng)的能量本征值2、已知粒子波函數(shù)2.1 求A2.2 求平均能量三、一維諧振子：1、已知一維諧振子定態(tài)波函數(shù)：，1.1 求A1.2 求對(duì)應(yīng)的能量本征值。2、已知一粒子波函數(shù)：，是本征解和的線性組合，其中，出現(xiàn)概率為。2.1、求；2.2、求對(duì)應(yīng)的平均能量。四、兩參考系、，以沿相對(duì)運(yùn)動(dòng)，在原點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，記1、一幾何點(diǎn)，沿中軸以勻速運(yùn)動(dòng)，沿軸勻加速運(yùn)動(dòng)，用運(yùn)動(dòng)學(xué)方法求時(shí)曲率半徑。2、中，一靜質(zhì)量

7、質(zhì)點(diǎn)，初態(tài)靜止，時(shí)在，開始，它沿以恒定加速度運(yùn)動(dòng)。2.1、求當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在中動(dòng)能等于靜能時(shí)，質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)以及受力2.2、求此時(shí)在系中，質(zhì)點(diǎn)所受切向力分量，（不允許用相對(duì)論力變換）五、一個(gè)圓筒內(nèi)，半徑，靜長(zhǎng)，相對(duì)系中以沿軸運(yùn)動(dòng)，其軸線與軸重合，端封底，中心有一點(diǎn)光源，未被點(diǎn)亮，在原點(diǎn)與開口的端中心重合時(shí)，記，為圓筒系中時(shí)間。1、筒系中時(shí)，P點(diǎn)亮，設(shè)系中點(diǎn)亮?xí)r為，在面上有一屏，屏第一次被照亮?xí)r間記為，記、2、已知，求屏上光斑半徑隨時(shí)間變化的關(guān)系，要求答案不含、。3、，求2中解，只用，表示。2009-2010年物理國(guó)家隊(duì)選拔題熱學(xué)：-2009.12.308:30-12:00一、光子氣的熱力學(xué)，已知斯特潘常數(shù)。

8、（1）推導(dǎo)光子氣的準(zhǔn)靜態(tài)過程中，、滿足的關(guān)系，光子氣在大熱源，間以卡諾循環(huán)工作，求熱機(jī)效率（不可直接用熱力學(xué)第二定律）（2）體積為的光子氣，在極短的時(shí)間內(nèi)經(jīng)絕熱自由膨脹變成的瞬間非平衡態(tài)，等體絕熱的條件下經(jīng)過一段時(shí)間后形成平衡態(tài)。求瞬間非衡態(tài)與初態(tài)光子數(shù)之比，平衡態(tài)與初態(tài)光子數(shù)之比。（3）光子氣初態(tài)，經(jīng)歷的準(zhǔn)靜態(tài)過程達(dá)到體積為的末態(tài)（3.1）求末態(tài)溫度（3.2）求初態(tài)到末態(tài)的吸熱量和燏變（3.3）時(shí)，求出、。二、絕熱大氣 在均勻重力場(chǎng)中處于流體平衡，（1） 在處，求，當(dāng)時(shí)，數(shù)值為多少？（2） 在處，求，當(dāng)時(shí)，數(shù)值為多少？三、有個(gè)分子，分子只有三個(gè)分散的能級(jí)，其能量和角動(dòng)量分別為，0；，光子的角

9、動(dòng)量為，初始狀態(tài)能級(jí)分別有個(gè)、個(gè)分子，當(dāng)外界條件不變時(shí)，達(dá)到平衡時(shí)服從玻爾茲曼分布， 。（1）通過定量計(jì)算說明在測(cè)量分子光譜時(shí)，是否可以收到發(fā)射譜或/和吸收譜？（2）若可以測(cè)量到吸收譜和發(fā)射譜，求發(fā)射譜與吸收譜的強(qiáng)度比？四、第一類超導(dǎo)體具有零電阻特性和完全抗磁性，在同一溫度下，還會(huì)具有臨界磁場(chǎng)和臨界電流（即磁場(chǎng)、電流大于臨界時(shí)，超導(dǎo)性消失）（1）試從熱力學(xué)原理出發(fā)，說明第一類超導(dǎo)體具有臨界磁場(chǎng)，并證明臨界磁場(chǎng)隨增大而減小。（2）說明在臨界點(diǎn)處，熱容是突變的，求出突變量。（3）利用（2）中熱容突變，說明由正常導(dǎo)體向超導(dǎo)體轉(zhuǎn)變過程的對(duì)稱性演變。2009-2010年國(guó)家隊(duì)選拔試題綜合測(cè)試（8:45-

10、14:00）（中餐配KFC）1、三個(gè)質(zhì)點(diǎn)、，質(zhì)量分別為，位置和速度如右圖所示，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間吸引力滿足建立質(zhì)心坐標(biāo)系（1）求在質(zhì)心系中，畫出軌跡。（假設(shè)不發(fā)生碰撞）（2）考慮碰撞，且所有碰撞都為彈性正碰。（2.1）求系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的周期 （2.2）用三幅圖分別畫出三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并標(biāo)明運(yùn)動(dòng)方向和關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)。2、如右圖，A、B桿長(zhǎng)，質(zhì)量為，桿和桿長(zhǎng)，質(zhì)量為。點(diǎn)和點(diǎn)光滑鉸接，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)方向如圖，系統(tǒng)處于光滑水平面上，桿為勻質(zhì)桿。（1）當(dāng)時(shí)，求與滿足什么關(guān)系并求出此時(shí)的(2)當(dāng)時(shí)，能否通過調(diào)整與的關(guān)系使此時(shí)的，請(qǐng)通過定量計(jì)算來說明。（3）取（3.1）求時(shí)的與（3.2）求時(shí)的與3、有一如圖所示汽缸，右室有理

11、想氣體，壓強(qiáng)為，溫度為，左室上方為純凈的飽和水蒸汽，在溫度下壓強(qiáng)為，左室下方為密度的水，忽略液化水的體積，且認(rèn)為為定值。左室接一無限大恒溫?zé)嵩矗瑴囟葹?，氣缸中間活塞與氣缸上下壁的摩擦系數(shù)均為，當(dāng)增大一點(diǎn)點(diǎn)時(shí)，活塞恰好能向左移動(dòng)。氣缸尺度已知，如果所示，過程為準(zhǔn)靜態(tài)過程。（1）求，（2）活塞左移，求,（3）加熱器以恒定功率加熱，求左移的時(shí)間，在時(shí)，為多少？4、在空間中，處， ，處，（1）求磁場(chǎng)的全空間分布（2）當(dāng)粒子方向的位移第一次為時(shí)，利用數(shù)值積分計(jì)算粒子所走的路程，并利用數(shù)值積分計(jì)算出10個(gè)點(diǎn)的位置（不包括初始位置），作出軌跡圖。（3）記，通過分析，畫出粒子從到時(shí)的軌道。5、上下為兩個(gè)正方形

12、，邊長(zhǎng)為，四條腿的長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于。如圖加上一交流電。所有電容均為，四條腿上的分布電感為。（1）求四條腿上的電流（2），求上方正方形中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度。（說明：電源正方向如圖所示）2009-2010國(guó)家隊(duì)選拔試題光學(xué)2009年12月28日14:00-17:30一、一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球面（不包含球面）可用圖1中橢球等效表示，其半長(zhǎng)軸，偏心率已知；一個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面可用圖2中拋物線簡(jiǎn)化表示，方程，其中已知；一個(gè)旋轉(zhuǎn)雙曲面可以用圖3中雙曲線表示，其中、已知；一個(gè)球可用圖4中圓表示。對(duì)以上曲面，其兩側(cè)分別為折射率和的介質(zhì)，現(xiàn)有一半徑為的圓柱形光束，其中心軸為軸，從左至右射在上述曲面上。1、圖1、2、3中曲面左頂點(diǎn)鄰近區(qū)域可分別等效成半徑為，的球面，利用適當(dāng)?shù)姆椒?，用已知量表示、?、光在曲面上的反射：2.1已知在圖1、2、3中有且僅有一個(gè)這樣的曲面：當(dāng)取任意合理值時(shí)，其反射光將會(huì)聚于一點(diǎn)，稱為焦點(diǎn)。試說明為何曲面，并證明你的結(jié)論。求出到的距離，我們稱之為焦距。2.2在不太大時(shí)， 可用一半徑為的球面替代，用作已知量，求出。2.3在不可略時(shí)，2.2中反射點(diǎn)的集合為一條長(zhǎng)的線，記，求出像差與的關(guān)系，算出10個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，作出圖。3、光在曲面上的折射3.1已知在圖1、2、3中有且僅有一個(gè)這樣的曲面：當(dāng)取任意合理值時(shí)其射光將會(huì)聚于一點(diǎn),稱為焦點(diǎn)。試說明為