補(bǔ)充 矢量分析.ppt

1、第0章 矢量分析,知識(shí)脈絡(luò):,0.1 標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng),標(biāo)量: 數(shù)學(xué)上：實(shí)數(shù)域內(nèi)任一代數(shù)量a(-,+) 物理上：代數(shù)量+物理意義；或者說(shuō)一個(gè)只用大小 描述的物理量。如電壓，電荷，質(zhì)量，能量等,矢量: 數(shù)學(xué)上：一般的三維空間中既有大小又有方向的量 物理上：或者說(shuō)一個(gè)既有大小又有方向的物理量。 常用黑斜體字母或帶箭頭的字母如A或 表示。,場(chǎng)： 物理量在時(shí)空中的確定分布. 標(biāo)量場(chǎng)：物理量是一個(gè)標(biāo)量，則所確定的場(chǎng)稱為標(biāo)量場(chǎng)，用標(biāo)量函數(shù)表示為 如物體的溫度分布T(r,t)、電位分布(r,t)等。 矢量場(chǎng)：物理量是一個(gè)矢量，則所確定的場(chǎng)稱為矢量場(chǎng)，用矢量函數(shù)表示 既具有大小又具有方向的場(chǎng)，如電場(chǎng),靜態(tài)場(chǎng)：物

2、理量不隨時(shí)間變化，則所確定的場(chǎng) 稱為靜態(tài)場(chǎng)。,動(dòng)態(tài)場(chǎng)（或時(shí)變場(chǎng)）：物理量隨時(shí)間變化，則所 確定的場(chǎng)稱為動(dòng)態(tài)場(chǎng)。 0.1.1 矢量的表示形式:一個(gè)矢量可以用一條有方向的線段來(lái)表示,線段的長(zhǎng)度表示矢量的模,箭頭指向表示矢量的方向. A P,矢量的模：表示矢量的大小,A矢量的方向；,0.1.2矢量的運(yùn)算 （加法/減法）,矢量加/減法遵循平行四邊形法則 ,其運(yùn)算滿足:,(交換律),(結(jié)合律),0.1.3矢量的運(yùn)算 （點(diǎn)積、叉積）,標(biāo)量與矢量乘積,模,矢量與矢量乘積 點(diǎn)積（標(biāo)積） 叉積（矢積）,點(diǎn)積：,（標(biāo)量）,叉積：,大小,方向：垂直與包含 的面,和,（矢量）,右手法則,矢量點(diǎn)積服從：,（交換律）,（

3、分配律）,矢量叉積服從：,標(biāo)量三重積,矢量三重積,（不服從交換律）,（分配律）,三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過(guò)三條相互正交曲線的交點(diǎn)來(lái)確定。,0.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系,在電磁場(chǎng)與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。,三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。,1、直角坐標(biāo)系,位置矢量,面元矢量,線元矢量,體積元,坐標(biāo)變量,坐標(biāo)單位矢量,矢量用坐標(biāo)分量表示,直角坐標(biāo)系中,A矢量：,B矢量：,（圓柱坐標(biāo)系及 球坐標(biāo)系下相應(yīng)知識(shí)）類似,2、圓柱面坐標(biāo)系,坐標(biāo)變量,坐標(biāo)單位矢量,位

4、置矢量,線元矢量,體積元,面元矢量,1,3,2,（1）,（2）,（3）,3、球面坐標(biāo)系,球面坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元,坐標(biāo)變量,坐標(biāo)單位矢量,位置矢量,線元矢量,體積元,面元矢量,4、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系,直角坐標(biāo)與 圓柱坐標(biāo)系,圓柱坐標(biāo)與 球坐標(biāo)系,直角坐標(biāo)與 球坐標(biāo)系,o,q,r,z,單位圓,柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間 坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系,q,q,o,f,x,y,單位圓,直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間,坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系,f,0.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度,等值面的概念：在標(biāo)量場(chǎng)中，使標(biāo)量函數(shù),取得相同數(shù)值的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)空間曲面稱為等值面。,等值面方程：,C為任意給定的常數(shù)。,等值面的特點(diǎn)：,

5、常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，,形成等值面族；, 若,是標(biāo)量場(chǎng)中的任一點(diǎn)，顯然，曲面,是通過(guò)該點(diǎn)的等值面，因此標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；,?,例題 求二維標(biāo)量場(chǎng) 的等值面,由于標(biāo)量函數(shù),為單一值，一個(gè)點(diǎn)只能在一個(gè)等值面上，,因此標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交（兩個(gè)等值面不能有相同的c值）,0.3.2 標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù),方向?qū)?shù)的概念:,方向?qū)?shù)的意義：方向?qū)?shù)是描述標(biāo)量場(chǎng)沿L方向?qū)嚯x 的變化率。,方向?qū)?shù)的計(jì)算公式,是標(biāo)量場(chǎng) 中的一點(diǎn)，從該點(diǎn)出發(fā)引一條射線L, M是射線上的動(dòng)點(diǎn)。到點(diǎn) 的距離為,（直角坐標(biāo)系）,式中：,是L,方向的方向余弦。,方向?qū)?shù)的特點(diǎn)：,0.3.3

6、梯度,問(wèn)題的提出：標(biāo)量場(chǎng)在什么方向上的變化率最大、其最大的變化率又是多少？ (方向?qū)?shù)沿何方向取得最大值？）,(grads),通過(guò)推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，當(dāng) 方向與矢量,方向一致時(shí)，方向?qū)?shù)的值最大，由此可以得到梯度在三種不同 的坐標(biāo)系下的計(jì)算公式：,為哈密頓算符，（讀作del或Nabla),在直角坐標(biāo)系中,記住!,練習(xí) U=2x+y+z 求其梯度,自證（作業(yè)）,在電磁場(chǎng)中，通常以 表示源點(diǎn)的坐標(biāo)，以 表示場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)，因此上述運(yùn)算結(jié)果在電磁場(chǎng)中非常重要！,1.4 矢量場(chǎng)的通量 散度,1.4.1 矢量場(chǎng)的矢量線,形象地描述矢量場(chǎng)在空間的分布,矢量線的概念：矢量線是場(chǎng)空間中的有向曲線，矢量線上任一點(diǎn)的切線方向都

7、與該點(diǎn)的場(chǎng)矢量方向相同，如圖所示。,特點(diǎn)：矢量場(chǎng)中的每一點(diǎn)都有矢量線通過(guò)，矢量線充滿矢量場(chǎng)所在的空間。解此微分方程組，即可得到矢量線方程，從而繪制出矢量線。,可根據(jù)矢量線確定矢量場(chǎng)中各點(diǎn)矢量的方向，又可根據(jù) 各處矢量線的疏密程度，判別各處的矢量大小及變化趨勢(shì)。,如：電場(chǎng)線,求此二維場(chǎng)的力線方程及場(chǎng)圖,由力線方程,有：,例題有一二維矢量場(chǎng):,因此求得的矢量線是一組同心圓。,1. 矢量場(chǎng)的通量,矢量場(chǎng)的通量是描述矢量場(chǎng)性質(zhì)的重要概念之一。 通量的概念：矢量場(chǎng) 在場(chǎng)中的曲面,上的標(biāo)量積（稱為矢量場(chǎng),的通量，,取一小面元ds為例,1.4.2 矢量的通量、散度,點(diǎn)積,曲面通量,矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面通量的三

8、種可能結(jié)果,通過(guò)閉合曲面有凈的矢量線穿出,有凈的矢量線進(jìn)入,進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等,0 表示有凈流出-正通量源 例：靜電場(chǎng)中的正電荷 0 表示有凈流入-負(fù)通量源 例：靜電場(chǎng)中的負(fù)電荷 0 正通量源與負(fù)通量源代數(shù)和為0無(wú)通量源,通量的特點(diǎn)： 描述的是一定范圍內(nèi)總的凈通量源， 而不能反映場(chǎng)域內(nèi)的每一點(diǎn)的具體分布情況。,2. 矢量場(chǎng)的散度,矢量場(chǎng)的散度描述矢量場(chǎng)在一個(gè)點(diǎn)附近的通量特性。,散度的物理意義：通量源的密度。,時(shí)，發(fā)出矢量線的正源；,時(shí)，發(fā)出矢量線的負(fù)源；,時(shí)，無(wú)通量源。,設(shè)有如圖的小立方體及矢量場(chǎng),散度的直角坐標(biāo)表示,!,柱面坐標(biāo)系,球面坐標(biāo)系,直角坐標(biāo)系,散度的表達(dá)式：,散度的有

9、關(guān)公式：,記住 ！,4、 高斯散度定理,從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即,散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。,例1:已知,解： 根據(jù)散度的計(jì)算公式：,1.5.2矢量場(chǎng)的旋度,矢量場(chǎng)的旋度描述場(chǎng)域內(nèi)的旋渦源分布情況的重要概念。,上式為旋度在 方向的投影,（面元矢量為 ）,不同坐標(biāo)系下旋度計(jì)算公式：,直角坐標(biāo)系,（圓柱坐標(biāo)系）,（球坐標(biāo)系）,!記住,1.5.3 斯托克斯定理,矢量對(duì)閉合回路的線積分等于該回路所包圍任意表面上對(duì)該矢量旋度的面積分。,例：,1.6 無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng),1.無(wú)

10、旋場(chǎng),（1）如果一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度處處為0，即,則該矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)。,它是由散度源產(chǎn)生的。例如靜電場(chǎng)。,梯度是一無(wú)旋場(chǎng),證明：取直角坐標(biāo)系,結(jié)論1：,結(jié)論（2） 引申：無(wú)旋場(chǎng)可以表示為某一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度,即如果,則存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)u,使得,其中的負(fù)號(hào)是為了與電磁場(chǎng)中的電場(chǎng)強(qiáng)度E與 標(biāo)量電位 的關(guān)系相一致,結(jié)論（3） 由斯托克斯定理,對(duì)一個(gè)無(wú)旋場(chǎng),表明無(wú)旋場(chǎng)的曲線積分,與路徑無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn),和終點(diǎn)有關(guān)。,（證明如下）,以Q為固定點(diǎn)，則上式可以看作是點(diǎn)P的函數(shù)：,因?yàn)?一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)可以完全由它的梯度來(lái)確定,同時(shí)表明一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)可以對(duì)應(yīng)無(wú)數(shù)個(gè)標(biāo)量位函數(shù) （參考點(diǎn)的選?。?結(jié)論：任意矢量旋度的散度恒為零,1

11、.6.2無(wú)散場(chǎng),如果一個(gè)矢量場(chǎng)的散度處處為0，即,則該矢量場(chǎng)為無(wú)散場(chǎng),證明：,由此可知：對(duì)于任何一個(gè)無(wú)散場(chǎng)。必然可以表示為某個(gè)矢量場(chǎng)的旋度。即 ：,為矢量位函數(shù)，簡(jiǎn)稱矢量位,1.7拉普拉斯運(yùn)算與格林定理,拉普拉斯運(yùn)算： 1.對(duì)標(biāo)量場(chǎng)而言：,稱為標(biāo)量場(chǎng)的拉普拉斯運(yùn)算,稱為拉普拉斯算符,直角坐標(biāo)系中：,2.對(duì)矢量場(chǎng)而言：,直角坐標(biāo)系中：,格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。,由散度定理,設(shè),而,得格林第一恒等式,格林第二恒等式,1.7.2格林定理,由散度定理,格林第一恒等式：,格林第二恒等式：,格林定理描述了兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)之間的關(guān)系，如果已知其中一個(gè) 場(chǎng)的分布，可以利用該定理求解另一個(gè)場(chǎng)的分布。,前面討論的均為矢量分析中的基本概念及方法，概括起來(lái)包括：,標(biāo)志標(biāo)量場(chǎng)的特性,標(biāo)量場(chǎng)的梯度,矢量場(chǎng)的旋度,標(biāo)志矢量場(chǎng)的特性,矢量場(chǎng)的散度,1.8 亥姆霍茲定理,亥姆霍茲定理 表述：在有限的區(qū)域V內(nèi)，任一矢量場(chǎng)由它的散度、旋度和邊界條件（即限定區(qū)域V的閉合面S上的矢量場(chǎng)的分布）唯一的確定。,矢量場(chǎng)可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度之和來(lái)表示。,一個(gè)矢量可以表示為無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)之和,結(jié)論：,如果在給定區(qū)域內(nèi)，矢量的散度與旋度均處處為0， 則該矢量由其在邊界面s上的場(chǎng)的分布完全確定。,對(duì)于無(wú)界空間，矢量場(chǎng)由其散度和旋度完全確定，在無(wú)界空間，散度與旋度處處位0的矢量