數(shù)學(xué)經(jīng)典易錯(cuò)題會診與高考試題預(yù)測7

1、經(jīng)典易錯(cuò)題會診與2012屆高考試題預(yù)測(七)考點(diǎn)7 不等式經(jīng)典易錯(cuò)題會診 命題角度1 不等式的概念與性質(zhì) 命題角度2 均值不等式的應(yīng)用 命題角度3 不等式的證明 命題角度4 不等式的解法 命題角度5 不等式的綜合應(yīng)用探究開放題預(yù)測 預(yù)測角度1 不等式的概念與性質(zhì) 預(yù)測角度2 不等式的解法 預(yù)測角度3 不等式的證明 預(yù)測角度4 不等式的工具性 預(yù)測角度5 不等式的實(shí)際應(yīng)用經(jīng)典易錯(cuò)題會診命題角度1不等式的概念與性質(zhì) 1(典型例題)如果a、b、c滿足cba，且acac Bc(b-a)0 Ccb2ab2 Ddc(a-c)c，而ab，ao不一定成立，原因是不知a的符號 專家把脈 由dbc，且acc，故a

2、0，cbc且ac0，故a0且cc，又a0，abac(2)b-a0，c0，Da-c0，acOac(a-c)ab;|a|b|；ab中，正確的不等式有 ( ) A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 考場錯(cuò)解 A 只有正確，、顯然不正確，中應(yīng)是2，故也錯(cuò) 專家把脈 中忽視 與 不可能相等，a b，故 對癥下藥 B 方法1：運(yùn)用特值法，如a=-，b=-3 方法2：運(yùn)用性質(zhì)由，則ba0，故而判斷 3(典型例題)對于0a1，給出下列四個(gè)不等式 loga(1+o)loga(1+) a1+aa 其中成立的是 ( ) A.與 B與 C.與 D與 考場錯(cuò)解 B 1+a1+，故1oga(1+a) loga(1+) 專家把脈

3、 對數(shù)函數(shù)比較大小要考慮底數(shù)a的范圍，它與指數(shù)函數(shù)一樣 對癥下藥 D 0a1a1 1+a 1oga(1+)，a1+aa 4(典型例題)已知實(shí)數(shù)a、b滿足等式，下列五個(gè)關(guān)系式0ba ab0 0ab ba0 a=b 其中不可能成立的關(guān)系式有 ( ) A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 考場錯(cuò)解 C a=b顯然不成立，而a與b的大小不定，故只有可能兩個(gè)成立，故有3個(gè)不可能成立，即alg=big，-a1g2=-blg3 又1g2-b，a0時(shí)，ab” 不能弱化條件變成“”也不能強(qiáng)化條件變?yōu)椤癮b0 ”考場思維訓(xùn)練 1 若，|a|，|b|0，且ab0，則下列不等式中能成立的是 ( ) A BC D 答案： C

4、 解析：利用特值法可看出某些選擇不能成立，而事實(shí)上，|a|，|b|0， 又01，10g|a|log|b|，由此也可直接得結(jié)論，應(yīng)選C2已知a、b為不等正數(shù)，stN 解析：由0，得，由st00-t，0，b0，則以下不等式中不恒成立的是 ( )A BC D考場錯(cuò)解 Di不一定大于或等于專家把脈 D中直接放縮顯然不易比較 對癥下藥 B A：a+b2ab,成立C：a2+b2+2=a2+1+b2+12a+2b (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取“=”) 成立 D：兩邊平方|a-b|a+b-2 a-ba+b-2或a-b-a-b+2當(dāng)時(shí)顯然成立解得ab或ab 成立 2(典型例題)設(shè)x(0，)，則函數(shù)f(x)=sinx

5、+的最小值是 ( ) A4 B5 C3 D6 考場錯(cuò)解 因?yàn)閤(0，)，所以sinx0，0， f(x)=sinx+=4，因此f(x)的最小值是4故選A專家把脈 忽略了均值不等式a+b2(a.0， b0)中等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立事實(shí)上，sinx=不可能成立，因?yàn)樗闪⒌臈l件是sinx=2，這不可能 對癥下藥 (1)f(x)=sinx+=sinx+，因?yàn)閟inx+2，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=1即x= 時(shí)等號成立又3，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=1即x=時(shí)等號成立所以f(x)=sinx+2+3=5，f(x)的最小值是5故應(yīng)選B (2)令sinx=t，因?yàn)閤(0，)，所以0t1，所給函數(shù)變?yōu)閥=t+

6、易知此函數(shù)在區(qū)間(0，1)上是減函數(shù)，所以，當(dāng)t=1時(shí)，y取最小值5故應(yīng)選B 3(典型例題)設(shè)a0，b0，a2+=1，求a 的最大值 考場錯(cuò)解 0ii(a=0時(shí)取等號) 專家把脈并非定值 對癥下藥 為利用均值不等式時(shí)出現(xiàn)定值，先進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹皽?、配”時(shí)取 “=”.專家會診(1) 利用均值不等式求最值時(shí)必須滿足“一正”、二定、三等”.尤其是等號成立的條件,必須驗(yàn)證確定,而要獲得定值條件有時(shí)要配湊.要有一定的靈活性和變形技巧.(2) 利用均值不等式解決實(shí)際問題、證明不等式時(shí),要會利用函數(shù)的思想和放縮法.考場思維訓(xùn)練1 已知答案： B 解析：聯(lián)立解得： 若ab+bc+ca取最小值，可令b=則ab+c+

7、ca=_.答案：解析：abc，0m1 10gmlogmx+logmy，,ab， 又=1又0m1，bc.故abc.3.答案：解析： x2(1-3x)=xx(-2x)，當(dāng)且僅當(dāng)x=-2x，即x=時(shí)，取得最大值 命題角度3 不等式的證明1.(典型例題)設(shè)函數(shù)()證明:當(dāng)0a1;()點(diǎn)P(xo,yo)(0xo1)在曲線y=f(x)上,求曲線在點(diǎn)P處的切線與x軸和y軸的正向所圍成的三角形面積表達(dá)式(用xo表示).(2)f曲線y=f(x)在點(diǎn)即專家把脈 在運(yùn)用不等式時(shí)應(yīng)考慮等號成立時(shí)是否符合條件.對癥下藥 ()證法一:因f(x)=證法二:()解法一:0x0與a1.求證：b22(b+2c)；答案：由題意得，

8、當(dāng)x(-，x1)(x2，+)時(shí)，f(x)0；x(x1，x2)時(shí)f，(x)1，(x2-x1)2-10， b22(b+2c)(3)在(2)的條件下，若t1+x11+t，t+1-x20，又tx1， t-x10，即t2+bt+cx1 .2已知數(shù)列(1) 問是否存在mN,使xm=2,并證明你的結(jié)論；答案：假設(shè)存在mN*，使xm=2，則2=xm-1=2， 同理可得xm-2=2， 以此類推有x1=2，這與x1=1矛盾，故不存在mN*，使xm=2(2) 試比較xn與2的大小關(guān)系；(3) 設(shè)答案：當(dāng)n2時(shí)，xn+1，-2=-2=-，則xn0，xn+1-2與xn-2符號相反，而x1=12，以此類推有：x2n-12

9、；(3)命題角度4 不等式的解法1(典型例題)在R上定義運(yùn)算:xy=x(1-y),若不等式(x-a) (x+a)1,解關(guān)于x的不等式：考場錯(cuò)解專家把脈(2)問中兩邊約去(2-x),并不知2-x的符號.對癥下藥(1)同錯(cuò)解中(1) 當(dāng)1k0解集為x(1,2) (2,+ ); 當(dāng)k2時(shí)，解集為x(1,2) (k,+ ).3.(典型例題)設(shè)函數(shù)f(x)=kx+2,不等式|f(x)|0時(shí)，k2,當(dāng)k0,k-4.k=2或-4.當(dāng)k=2時(shí)f(x)=2x+2,當(dāng)k=-4時(shí)f(x)=-4x+2再由解對數(shù)不等式。專家把脈在求k的值時(shí)分析討論不嚴(yán)密，上式中是在x(-1,2)時(shí)恒成立，而k的值并不能使之成立.對癥下

10、藥 |kx+2|6, (kx+2)236,即k2x2+4kx-320.由題設(shè)可得解得k=-4, f(x)=-4x+2. 解得由解得x1,由得4(典型例題)設(shè)對于不大于考場錯(cuò)解A=x|a-bxa+b,故專家把脈 在求b的范圍時(shí)，應(yīng)考慮必成立的條件，如才能上式恒成立.對癥下藥 A=x|a-bx0的解集是(1,+ ),則關(guān)于x的不等式的解集是( )A.(-,-1)(2,+ )B.(-1,2)C.(1,2)D(-,1) (2,+ )答案： A解析：a0-且=1，0(x+1)(x-2)0x22.若答案：(-1，cos)(-cos，1) 解析：a， 0sin201-x2sin2cos2x21，又cos0

11、-1xcos或-cosx0時(shí)，原不等式為x1,x1當(dāng)x0且x0，x-1 綜上，可得x|x1命題角度5 不等式的綜合應(yīng)用1(典型例題)已知函數(shù)f(x)=ax-( )求a的值；()設(shè)0a考場錯(cuò)解(1)由于f(x)的最大值不大于又由，可得a=1.(),當(dāng)n=1時(shí)，0a1,結(jié)論成立。假設(shè)專家把脈在證明不等式時(shí)，運(yùn)用放縮法應(yīng)有理論依據(jù)，不能套結(jié)論，而且放縮不能過大或過小.對癥下藥()解法：由于由得a=1.()證法一：當(dāng)可知，對任何nN成立。證法三：由知當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式2.(典型例題)六一節(jié)日期間，某商場兒童柜臺打出廣告：兒童商品按標(biāo)價(jià)的80%出售；同時(shí)，當(dāng)顧客在該商場內(nèi)消費(fèi)滿一定金額后，按如下方案

12、獲得相應(yīng)金額的獎券：（如表所示）消費(fèi)金額（元）200，400400,500500,700700,900獲獎券的金額（元）3060100130依據(jù)上述方法，顧客可以獲得雙重優(yōu)惠.試問：(1) 若購買一件標(biāo)價(jià)為1000元的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少？(2) 對于標(biāo)價(jià)在500，800內(nèi)的商品，顧客購買標(biāo)價(jià)為多少元的商品，可得到不小于的優(yōu)惠率？考場錯(cuò)解(1)(3) 設(shè)商品的標(biāo)價(jià)為x元，則500x800,由已知得專家把脈商品的標(biāo)價(jià)為x元，而消費(fèi)額在5000.8,8000.8之間，而不是500800之間.對癥下藥(1)同上(3) 設(shè)商品的標(biāo)價(jià)為x元，則500x800,消費(fèi)額：4000.8x640.由已知

13、得：或解不等式無解，得：625x750.專家會診1應(yīng)用不等式的性質(zhì)與幾個(gè)重要不等式求出數(shù)的最值，比較大小，討論參數(shù)的范圍等，一定要注意成立的條件，易忽視“一正、二定、三等?！?運(yùn)用不等式解決實(shí)際問題時(shí)，首先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而運(yùn)用不等式求最值，注意成立時(shí)的實(shí)際條件與不等式成立條件應(yīng)同時(shí)考慮?？紙鏊季S訓(xùn)練答案： D 解析：1，由倒數(shù)法則0balogtba=1，0logba|logab+logba|故選D2 已知不等式x2-2x+a0時(shí)，任意實(shí)數(shù)x恒成立，則不等式a2x+1ax2+2x-30 對xR恒成立1不等式(a2x+1ax2+2x-30)(2) 當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)

14、年利潤最大？答案： P=-()+495-24+495=415，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，即x=8時(shí)，P有最大值415 萬元探究開放題預(yù)測預(yù)測角度1 不等式的概念與性質(zhì)1下列命題正確的是 ( )解題思路利用均值不等式成立的條件判斷。解答D對于A，當(dāng)a、b同為負(fù)數(shù)時(shí)也成立；對于B，當(dāng)a、b、c中有一個(gè)為0，其余為正數(shù)時(shí)也成立；對于C，當(dāng)a、b、c(0，1)時(shí)也成立；D正確。2已知a=sin15.+cos15.,b=sin16.,則下列各式中正確的是 ( )解題思路利用兩角和與差的公式化簡b、a、然后再比較大小.解答B(yǎng)預(yù)測角度2不等式的解法1關(guān)于x的不等式x|x-a|2a2(a(-,0)的解集為 ( )A.-

15、a,+ B.a,+ C.2a,a -a+ D.(- ,a)解題思路討論a、x的大小，去絕對值符號.解答A當(dāng)xa,x2-ax-2a20, x-a.當(dāng)xa,不等式顯然無解.2.函數(shù)y=f(x)是圓心在原點(diǎn)的單位圓的兩段圓弧(如圖，與y軸無交點(diǎn))，則不等式f(x).即可求解。解答A由已知有f(x)為奇函數(shù)，則原不等式變形為f(x)畫圖可知A正確，所以選A3函數(shù)則使g(x) f(x)的x的取值范圍是解題思路利用數(shù)形結(jié)合法.解答D用數(shù)形結(jié)合法，分別作出f(x)=sinx和g(x)=-94.解關(guān)于x的不等式解題思路本題的關(guān)鍵不是對參數(shù)a進(jìn)行討論，而是取絕對值時(shí)必須對未知數(shù)進(jìn)行討論，得到兩個(gè)不等式組，最后對

16、兩個(gè)不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。解答當(dāng)xa 時(shí)，不等式可轉(zhuǎn)化為預(yù)測角度3 不等式的證明1已知定義域?yàn)?，1的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足：(1)對于任意x0,1總有f(x) 0;(2)f(1)=1;(3)若x10,x20,x1+xz1,則有f(x1+x2) f(x1)+f(x2).()試求f(0)的值；()試求函數(shù)f(x)的最大值；()試證明：當(dāng)x解題思路(1)賦值法； (2)變形f(x2)=f(x2-x1)+x1,即可求函數(shù)f(x)的最大值；解答()令得f(0) 0, f(0)=0.()任取()3 設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x1且對任意的實(shí)數(shù)x,yR,有f(x+y)=f(x) f(

17、y)成立，數(shù)列an滿足a1=f(0),且f(an+1)=4(1) 判斷y=f(x)是否為單調(diào)函數(shù)，并說明理由；(2)(3)若不等式解題思路(1)利用函數(shù)的單調(diào)性證明;(2)裂項(xiàng)法求出Tn再解不等式；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性求k的最大值.解答(1)設(shè)(3)由預(yù)測角度4 不等式的工具性1若直線2ax-by+2=0(a、b0)始終平分圓x2+y2+2x-4y+1=0的周長，則的最小值是 ( )A.4 B.2 C. D.解題思路利用重要不等式求最小值。解答A直線2ax-by+2=0過圓心(-1,2), a+b=1,2.已知函數(shù)f(x)=ax2+8x+3(abc),已知f(1)=0,且存實(shí)數(shù)m,使f(m)

18、=-a.(1) 試推斷f(x)在區(qū)間0，+上是否為單調(diào)函數(shù)，并說明你的理由；(2) 設(shè)g(x)=f(x)+bx,對于x1，x2R,且x1x2,若g(x1)=g(x2)=0,求|x1-x2|的取值范圍；(3) 求證：f(m+3)0.解題思路由二次函數(shù)的對稱軸兩邊為單調(diào)的性質(zhì)判斷；(2)由根與系數(shù)的關(guān)系求出a、b、c的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值；解答(1) f(m)=-a,mR. 方程ax2+bx+c+a=0有實(shí)根=b2-4a(a+c) 0f(1)=0, a+b+c=0,即a+c=-b.b2-4a(-b)=b(b+4a) 0.abc, a0,c0.b0.x=f(x)在0，+上是增函數(shù).(2)據(jù)

19、題意x1,x2是方程g(x)=0即ax2+2bx+c=0的兩實(shí)根.=(3)f(1)=0.設(shè)f(x)=a(x-1)(x-)4.在xOy平面上有一系列點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn),對每個(gè)正整數(shù)n,點(diǎn)PN 位于函數(shù)y=x2(x0)的圖像上,以點(diǎn)Pn為圓心的圓Pn與x軸都相切,且圓Pn與圓PN+1又彼此相外切. 若x1=1,且xn+10的解集為 ( )A.x|-3x-1B.x|-3x2C.x|-3x3D.x|-1x1或1x0得，由題4函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),A(0,1),B(3,1)是其圖像上的兩點(diǎn),那么|f(x+1)|1的解集是( )A.(1,4) B(-1,2)

20、C.(- ,1) 4,+ D.(- ,-1) 2,+ 答案： B 易知過A、B兩點(diǎn)的直線即y=x-1，即f(x)=x-1是增函數(shù)，由f(x+1)=(x+1)-1，得當(dāng) 5已知f(x)=A.x|1x3或x2C.x|1x2或3x4D.x|x0答案： C 解析：略6.設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x0,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)0的解集為 ( )A(-3,0) (3,+ )B.(-3,0) (0,3)C.(- ,-3) (3,+ )D.(- ,-3) (0,3)答案： D 解析：設(shè)F(x)=f(x)g(x)， F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(

21、x)=-F(x) F(x)為奇函數(shù) 又x0 x0時(shí)，9(x)也為增函數(shù) F(-3)=f(-3)g(-3)=0 F(3)=-F(-3)=0 如圖為一個(gè)符合題意的圖象觀 察知9(x)=f(x)，g(x)logb|x-4|的解集是_.答案：x|x0，所以2-bx在0，1上遞減，由已知可知0b1，所以原不等式等價(jià)于0|x+2|，x-4|，解得x|x0時(shí)，f(x)=x+答案：依題意x-3，-1時(shí)f(x)=f(-x)=-x+=(),m=f(-1)=5，n=f(-2)=4，m-n=1， 9定義符號函數(shù)sgnx=答案：-2解析：略；10已知關(guān)于x的不等式(1)a=4時(shí)，求集合M；答案：當(dāng)a=4時(shí)，原不等式可化

22、為， 即4(x-)(x-2)(x+2)0，x(-，-2)(，2)，故M為(-，-2)(，2)(2)若3M且5M,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。答案：由3M得9或a， 由5M得0，1a25， 由、得1a，或9a25因此a的取值范圍是1，(9，25)11已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)P、q都滿足f(p+q)=f(p).f(q),且f(1)=(1)當(dāng)nN+時(shí)，求f(n)的表達(dá)式；答案：解：由已知得答案：證明 由(1)可知則 兩式相減得 (3)解 由(1)可知 則 故有12某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室.在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地。當(dāng)矩形溫室的

23、邊長各為多少時(shí)？蔬菜的種植面積最大.最大種植面積是多少？答案：解：沒矩形溫室的左側(cè)邊長為am，后側(cè)邊長為bm，則ab=800(m) 蔬菜的種植面積S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b) 所以S808-4=48(m2) 當(dāng)a=2b，即a=40(m)，b=20(m)時(shí)， S最大值=648(m2) 答：當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長為40m，后側(cè)邊長為20m時(shí)，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為648m213已知函數(shù)f(x)(xR)滿足下列條件：對任意的實(shí)數(shù).x1,x2都有() 證明答案：任取x1，x2 及，x1x2，則由(x1-x2)2(x1-x2)f(x1)-f(x2) 和，|f(x1)-f(x2)，|x1-x2| 可知(x1-x2)2(x1-x2)f(x1)-f(x2)|x1-x2|f(x1)-f(x2)1|x1-x2|2， 從而A1假設(shè)有b0a0，使得f(b0)=0，則由式知