初二數(shù)學(xué)上學(xué)期知識(shí)點(diǎn)和典型例題總結(jié)

1、全等三角形類型一：全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用1、如圖，ABDACE，AB=AC，寫出圖中的對應(yīng)邊和對應(yīng)角. 思路點(diǎn)撥: AB=AC，AB和AC是對應(yīng)邊，A是公共角，A和A是對應(yīng)角，按對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊可求解.解析：AB和AC是對應(yīng)邊，AD和AE、BD和CE是對應(yīng)邊，A和A是對應(yīng)角，B和C，AEC 和ADB是對應(yīng)角.總結(jié)升華：已知兩對對應(yīng)頂點(diǎn)，那么以這兩對對應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對應(yīng)角，第三對角是對應(yīng)角；再由對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，可找到對應(yīng)邊.已知兩對對應(yīng)邊，第三對邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角.舉一反三：【變式1】如圖，ABCDBE.問線段AE和CD相等嗎？為什么？【答

2、案】證明：由ABCDBE，得AB=DB,BC=BE， 則AB-BE=DB-BC，即AE=CD。【變式2】如右圖，。 求證：AECF【答案】AECF2、如圖，已知ABCDEF，A=30，B=50，BF=2，求DFE的度數(shù)與EC的長。思路點(diǎn)撥: 由全等三角形性質(zhì)可知：DFE=ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求ACB的度數(shù)與BF的長即可。解析：在ABC中， ACB=180-A-B，又A=30，B=50，所以ACB=100.又因?yàn)锳BCDEF，所以ACB=DFE，BC=EF（全等三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等）。所以DFE=100EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。總結(jié)升華：全等三角形的對應(yīng)

3、角相等，對應(yīng)邊相等。舉一反三：【變式1】如圖所示，ACDECD，CEFBEF，ACB=90. 求證：（1）CDAB；（2）EFAC.【答案】(1）因?yàn)锳CDECD，所以ADC=EDC（全等三角形的對應(yīng)角相等）.因?yàn)锳DC+EDC=180，所以ADC=EDC=90.所以CDAB.(2）因?yàn)镃EFBEF,所以CFE=BFE（全等三角形的對應(yīng)角相等）.因?yàn)镃FE+BFE=180，所以CFE=BFE=90.因?yàn)锳CB=90,所以ACB=BFE.所以EFAC.類型二：全等三角形的證明3、如圖，ACBD，DFCE，ECBFDA，求證：ADFBCE 思路點(diǎn)撥: 欲證ADFBCE，由已知可知已具備一邊一角，由

4、公理的條件判斷還缺少這角的另一邊，可通過ACBD而得解析：ACBD(已知)AB-BDAB-AC(等式性質(zhì))即 ADBC在ADF與BCE中ADFBCE(SAS)總結(jié)升華：利用全等三角形證明線段(角)相等的一般方法和步驟如下：(1)找到以待證角(線段)為內(nèi)角(邊)的兩個(gè)三角形，(2)證明這兩個(gè)三角形全等；(3)由全等三角形的性質(zhì)得出所要證的角(線段)相等舉一反三：【變式1】如圖，已知ABDC，ABDC，求證：ADBC【答案】ABCD34在ABD和CDB中ABDCDB(SAS)12(全等三角形對應(yīng)角相等)ADBC(內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行)【變式2】如圖，已知EBAD于B，F(xiàn)CAD于C，且EBFC，AB

5、CD 求證 AFDE【答案】EBAD(已知) EBD90(垂直定義)同理可證FCA90EBDFCAABCD，BCBCACAB+BCBC+CDBD在ACF和DBE中ACFDBE(SAS)AFDE(全等三角形對應(yīng)邊相等)類型三：綜合應(yīng)用4、如圖，AD為ABC的中線。求證：AB+AC2AD. 思路點(diǎn)撥: 要證AB+AC2AD，由圖想到：AB+BDAD，AC+CDAD，所以AB+AC+BC2AD，所以不能直接證出。由2AD想到構(gòu)造一條線段等于2AD，即倍長中線。解析：延長AD至E，使DE=AD，連接BE因?yàn)锳D為ABC的中線，所以BD=CD.在ACD和EBD中，所以ACDEBD(SAS).所以BE=C

6、A.在ABE中，AB+BEAE，所以AB+AC2AD.總結(jié)升華：通過構(gòu)造三角形全等，將待求的線段放在同一個(gè)三角形中。舉一反三：【變式1】已知：如圖，在RtABC中，AB=AC,BAC=90,1=2，CEBD的延長線于E， 求證：BD=2CE.【答案】分別延長CE、BA交于F. 因?yàn)锽ECF,所以BEF=BEC=90.在BEF和BEC中，所以BEFBEC(ASA).所以CE=FE=CF.又因?yàn)锽AC=90,BECF.所以BAC=CAF=90，1+BDA=90，1+BFC=90.所以BDA=BFC.在ABD和ACF中，所以ABDACF(AAS)所以BD=CF.所以BD=2CE.5、如圖，ABCD，

7、BEDF，BD， 求證：(1)AECF，(2)AECF，(3)AFECEF思路點(diǎn)撥: (1)直接通過ABECDF而得，(2)先證明AEBCFD，(3)由(1)(2)可證明AEFCFE而得，總之，欲證兩邊(角)相等，找這兩邊(角)所在的兩個(gè)三角形然后證明它們?nèi)冉馕觯?1)在ABE與CDF中ABECDF(SAS)AECF(全等三角形對應(yīng)邊相等)(2)AEBCFD(全等三角形對應(yīng)角相等)AECF(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)(3)在AEF與CFE中AEFCFE(SAS)AFECEF(全等三角形對應(yīng)角相等)總結(jié)升華：在復(fù)雜問題中，常將已知全等三角形的對應(yīng)角(邊)作為判定另一對三角形全等的條件舉一反三：【

8、變式1】如圖，在ABC中，延長AC邊上的中線BD到F，使DFBD，延長AB邊上的中線CE到G，使EGCE，求證 AFAG【答案】在AGE與BCE中AGEBCE(SAS)AGBC(全等三角形對應(yīng)邊相等)在AFD與CBD中AFDCBD(SAS)AFCB(全等三角形對應(yīng)邊相等)AFAG(等量代換)6、如圖 ABAC，BDAC于D，CEAB于E，BD、CE相交于F 求證：AF平分BAC思路點(diǎn)撥: 若能證得得AD=AE，由于ADB、AEC都是直角，可證得RtADFRtAEF，而要證AD=AE，就應(yīng)先考慮RtABD與RtAEC，由題意已知AB=AC，BAC是公共角，可證得RtABDRtACE解析：在RtA

9、BD與RtACE中RtABDRtACE(AAS)AD=AE(全等三角形對應(yīng)邊相等)在RtADF與RtAEF中RtADFRtAEF(HL)DAF=EAF(全等三角形對應(yīng)角相等)AF平分BAC(角平分線的定義)總結(jié)升華：條件和結(jié)論相互轉(zhuǎn)化，有時(shí)需要通過多次三角形全等得出待求的結(jié)論。舉一反三：【變式1】求證：有兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等【答案】根據(jù)題意，畫出圖形，寫出已知，求證已知：如圖，在ABC與ABC中AB=AB，BC=BC，ADBC于D，ADBC于 D且 AD=AD求證：ABCABC證明：在RtABD與RtABD中RtABD RtABD(HL)B=B(全等三角形對應(yīng)角相等)在

10、ABC與ABC中ABCABC(SAS)【變式2】已知，如圖，AC、BD相交于O，AC=BD，CD90 求證：OC=OD【答案】C=D=90ABD、ACB為直角三角形在RtABD和RtABC中RtABDRtABC(HL)AD=BC在AOD和BOC中AODBOC(AAS)OD=OC7、ABC中，AB=AC，D是底邊BC上任意一點(diǎn)，DEAB，DFAC，CGAB垂足分別是E、F、G. 試判斷：猜測線段 DE、DF、CG的數(shù)量有何關(guān)系？并證明你的猜想。思路點(diǎn)撥:尋求一題多解和多題一解是掌握規(guī)律的捷徑解析：結(jié)論：DE+DF=CG方法一：（截長法）板書此種方法（3分鐘） 作DMCG于M DEAB，CGAB，

11、DMCG 四邊形EDMG是矩形 DE=GM DM/AB MDC=B AB=AC B=FCD MDC=FCD 而DMCG，DFAC DMC=CFD 在MDC和FCD中 MDCFCD（AAS） MC=DF DE+DF=GM+MC=CG總結(jié)升華：方法二（補(bǔ)短法）作CMED交ED的延長線于M（證明過程略） 總結(jié)：截長補(bǔ)短的一般思路，并由此可以引申到截長法有兩種截長的想法方法三（面積法）使用等積轉(zhuǎn)化 引申：如果將條件“D是底邊BC上任意一點(diǎn)”改為“D是底邊BC的延長線上任意一點(diǎn)”，此時(shí)圖形如何？DE、DF和CG會(huì)有怎樣的關(guān)系？畫出圖形，寫出你的猜想并加以證明舉一反三：【變式1】三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩

12、個(gè)腰上的距離和等于腰上的高。【答案】證明的過程使用三種證明方法，包括：（1）截長法（2）補(bǔ)短法（3）面積法 軸對稱考點(diǎn)一、關(guān)于“軸對稱圖形”與“軸對稱”的認(rèn)識(shí)典例1下列幾何圖形中，線段角直角三角形半圓，其中一定是軸對稱圖形的有（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)2正n邊形有_條對稱軸，圓有_條對稱軸考點(diǎn)二、軸對稱變換及用坐標(biāo)表示軸對稱典例：1、如圖，RtABC，C=90,B=30,BC=8，D為AB中點(diǎn)，P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、DP,則AP+DP的最小值是 2、已知等邊ABC，E在BC的延長線上，CF平分DCE，P為射線BC上一點(diǎn)，Q為CF上一點(diǎn)，連接AP、PQ.若AP=PQ，求證APQ是多少度考

13、點(diǎn)四、線段垂直平分線的性質(zhì)線段是軸對稱圖形，它的對稱軸是_線段的垂直平分線上的點(diǎn)到_相等 歸類回憶角平分線的性質(zhì)角是軸對稱圖形，其對稱軸是_ 角平分線上的點(diǎn)到_相等典例1、如圖，ABC中，A=90，BD為ABC平分線，DEBC，E是BC的中點(diǎn)，求C的度數(shù)。2、 如圖，ABC中，AB=AC，PB=PC，連AP并延長交BC于D，求證：AD垂直平分BC3、如圖,DE是ABC中AC邊的垂直平分線，若BC=8厘米，AB=10厘米，則EBC 的周長為（ ）A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米4、 如圖，BAC=30，P是BAC平分線上一點(diǎn)，PM AC，PDAC，PD=28 , 則AM=

14、FEDCBAG5、如圖，在RtABC中，ACB = 90，BAC的平分線交 BC于D. 過C點(diǎn)作CGAB于G，交AD于E. 過D點(diǎn)作DFAB于F.下列結(jié)論：CED=CDE； ；ADF=2ECD； ；CE=DF. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是( ) A B C D考點(diǎn)五、等腰三角形的特征和識(shí)別典例1、如圖，ABC中，AB=AC=8，D在BC上，過D作DE AB交AC于E，DFAC交AB于F，則四邊形AFDE的周長為_ 。2、 如圖，ABC中，BD、CD分別平分ABC與ACB，EF過D且EFBC，若AB = 7，BC = 8，AC = 6，則AEF周長為( )A. 15 B . 14 C. 13 D. 1

15、8 NMFECDBA3、 如圖,點(diǎn)B、D、F在AN上,C、E在AM上，且AB=BC=CD=ED=EF,A=20o,則FEB=_度4、已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40，則它的一個(gè)底角的度數(shù)是_5、ABC中， DF是AB的垂直平分線，交BC于D，EG是AC的垂直平分線，交BC于E，若DAE=20，則BAC等于 6、從一個(gè)等腰三角形紙片的底角頂點(diǎn)出發(fā)，能將其剪成兩個(gè)等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的底角等于 7、已知，在ABC中，ACB=90，點(diǎn)D、E在直線AB上，且AD=AC，BE=BC，則DCE = 度.8、如圖：在ABC中，AB=AC，ADBC， DEAB于點(diǎn)E, DFAC于點(diǎn)F

16、。試說明DE=DF。FEDCBA9、如圖,E在ABC的AC邊的延長線上，D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F，DF=EF，BD=CE.求證：ABC是等腰三角形.考點(diǎn)六、等邊三角形的特征和識(shí)別等邊三角形的各_相等，各_相等并且每一個(gè)角都等于_三個(gè)角相等的三角形是_三角形 有一個(gè)角是60的_三角形是等邊三角形特別的：等邊三角形的中線、高線、角平分線_典例1、下列推理中，錯(cuò)誤的是 ()AABC，ABC是等邊三角形 BABAC，且BC，ABC是等邊三角形CA60，B60，ABC是等邊三角形 DABAC，B60，ABC是等邊三角形2、如圖，等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長線上一點(diǎn)，且CECD

17、，DMBC，垂足為M。ABCDEM求證：M是BE的中點(diǎn)?？键c(diǎn)七、30所對的直角邊是斜邊的一半典例1、如圖，是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=8m，A=30，則DE等于（ ）A1m B2m C3m D4m2、如圖：ADC中，A = 15，D=90，B在AC的垂直平分線上，AB =34，則CD = ( )A. 15 B . 17 C. 16 D. 以上全不對 3、一張折疊型方桌如圖甲，其主視圖如圖乙，已知AO=BO=40cm，C0=D0=30 cm，現(xiàn)將桌子放平，兩條桌腿叉開的角度AOB剛好為120，求桌面到地面的距離是多少？第4題圖甲 4、如圖，AB

18、=AC，DEAB于E，DFAC于F，BAC=120o，BC=6，則DE+DF= 5、在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)如果，求的長實(shí)數(shù)例1、（1）下列各數(shù)是否有平方根，請說明理由 （-3）2 0 2 -0.01 2（2） 下列說法對不對？為什么？ 4有一個(gè)平方根 只有正數(shù)有平方根 任何數(shù)都有平方根 若 a0，a有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)解：（1） （-3）2 和0 2有平方根，因?yàn)椋?3）2 和0 2是非負(fù)數(shù)。- 0.01 2沒有平方根，因?yàn)?0.01 2是負(fù)數(shù)。（2）只有對，因?yàn)橐粋€(gè)正數(shù)有正、負(fù)兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。例2、求下列各數(shù)的平方根：(1) 9 (2) (3) 0.36 (4) 例3、設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. B. C. D. 解析：（估算）因?yàn)?，所以選B【變式1】1）1.2