【步步高高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)】第五編平面向量、解三角形_第1頁(yè)
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1、第五編 平面向量、解三角形5.1 平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算基礎(chǔ)自測(cè)1.下列等式不正確的是( )A.a+0=a B.a+b=b+aC.+0 D.=+答案 C2.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )A.= B.=C.= D.=0答案C3.(2008廣東理,8)在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)O,E是線(xiàn)段OD的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線(xiàn)與CD交于點(diǎn)F.若=a,=b,則等于( )A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 答案 B4.若ABCD是正方形,E是DC邊的中點(diǎn),且=a,=b,則等于( )A.b+aB. b-a C. a+b D. a-b 答案 B5.設(shè)四邊形ABCD

2、中,有=,且|=|,則這個(gè)四邊形是 ( )A.平行四邊形B.矩形C.等腰梯形D.菱形答案 C例1 給出下列命題向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等;向量a與向量b平行,則a與b的方向相同或相反;兩個(gè)有共同起點(diǎn)并且相等的向量,其終點(diǎn)必相同;兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量,一定是共線(xiàn)向量;向量與向量是共線(xiàn)向量,則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線(xiàn)上;有向線(xiàn)段就是向量,向量就是有向線(xiàn)段.其中假命題的個(gè)數(shù)為( )A.2B.3C.4D.5答案 C 例2 如圖所示,若四邊形ABCD是一個(gè)等腰梯形,ABDC,M、N分別是DC、AB的中點(diǎn),已知=a,=b,=c,試用a、b、c表示,+.解 =+=-a+b+c,=+,=-,=-,=,=

3、a-b-c.+=+=2=a-2b-c.例3 設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線(xiàn),(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求證:A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn);(2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線(xiàn).(1)證明 =a+b,=2a+8b,=3(a-b),=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.、共線(xiàn),又它們有公共點(diǎn)B,A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn).(2)解 ka+b與a+kb共線(xiàn),存在實(shí)數(shù),使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb.(k-)a=(k-1)b.a、b是不共線(xiàn)的兩個(gè)非零向量,k-=k-1=0,k2-1=0.k=1.例4 (12分)如圖所示,在ABO中,=,=,A

4、D與BC相交于點(diǎn)M,設(shè)=a,=b.試用a和b表示向量.解 設(shè)=ma+nb,則=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.=-=-=-a+b.又A、M、D三點(diǎn)共線(xiàn),與共線(xiàn).存在實(shí)數(shù)t,使得=t,即(m-1)a+nb=t(-a+b). 3分(m-1)a+nb=-ta+tb. ,消去t得:m-1=-2n,即m+2n=1. 5分又=-=ma+nb-a=(m-)a+nb.=-=b-a=-a+b.又C、M、B三點(diǎn)共線(xiàn),與共線(xiàn). 8分存在實(shí)數(shù)t1,使得=t1,a b(m-)a+nb=t1,,消去t1得,4m+n=1 10分由得m=,n=,=a+b. 12分1.下列命題中真命題的個(gè)數(shù)為( )若|a|=|b|,則

5、a=b或a=-b;若=,則A、B、C、D是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn);若a=b,b=c,則a=c;若ab,bc,則ac.A.4B.3C.2D.1答案 D2.在OAB中,延長(zhǎng)BA到C,使AC=BA,在OB上取點(diǎn)D,使DB=OB.DC與OA交于E,設(shè)=a,=b,用a,b表示向量,.解 因?yàn)锳是BC的中點(diǎn),所以=(+),即=2-=2a-b;=-=-=2a-b-b=2a-b.3.若a,b是兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量,a與b起點(diǎn)相同,則當(dāng)t為何值時(shí),a,tb,(a+b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上?解 設(shè)=a,=tb,=(a+b),=-=-a+b,=-=tb-a.要使A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn),只需=即-a+b=b-a有

6、 , 當(dāng)t=時(shí),三向量終點(diǎn)在同一直線(xiàn)上.4.如圖所示,在ABC中,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)N在AC上,且AN=2NC,AM與BN相交于點(diǎn)P,求APPM的值.解 方法一 設(shè)e1=,e2=,則=+=-3e2-e1,=+=2e1+e2.因?yàn)锳、P、M和B、P、N分別共線(xiàn),所以存在實(shí)數(shù)、,使=-3e2-e1,=2e1+e2,=-=(+2)e1+(3+)e2,另外=+=2e1+3e2,=,=,APPM=41.方法二 設(shè)=,=(+)=+,=+.B、P、N三點(diǎn)共線(xiàn),-=t(-),=(1+t)-t+=1,=,APPM=41.一、選擇題1.下列算式中不正確的是( )A.+=0 B.-= C.0=0 D.(a)=a答

7、案 B2.(2008全國(guó)理,3)在ABC中,=c,=b,若點(diǎn)D滿(mǎn)足=2,則等于 ( )A.b+c B.c-b C.b-c D.b+c 答案 A3.若=3e1,=-5e1,且|=|,則四邊形ABCD是( )A.平行四邊形B.菱形C.等腰梯形 D.不等腰梯形答案 C4.如圖所示,平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)OP1和OP2將該平面分割成四個(gè)部分、(不包括邊界).若=a1+b2,且點(diǎn)P落在第部分,則實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足 ( )A.a0,b0B.a0,b0C. a0,b0D. a0,b0 答案 B 5.設(shè)=x+y,且A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)(該直線(xiàn)不過(guò)端點(diǎn)O),則x+y等于( )A.1B.-1C.0D.不能確定答案 A6.

8、已知平面內(nèi)有一點(diǎn)P及一個(gè)ABC,若+=,則 ( )A.點(diǎn)P在ABC 外部 B.點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上C.點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上 D.點(diǎn)P在線(xiàn)段AC上答案 D二、填空題7.在ABC中,=a,=b,M是CB的中點(diǎn),N是AB的中點(diǎn),且CN、AM交于點(diǎn)P,則可用a、b表示為 .答案 -a+b8.在ABC中,已知D是AB邊上一點(diǎn),若=2,=+,則= .答案 三、解答題9.如圖所示,ABC中,=,DEBC交AC于E,AM是BC邊上中線(xiàn),交DE于N.設(shè)=a,=b,用a,b分別表示向量,.解 =b. =-=b-a.由ADEABC,得=(b-a).由AM是ABC的中線(xiàn),BC,得=(b-a).而且=+=a+=a+(b-a)=

9、(a+b).由=(a+b).10.如圖所示,在ABC中,D、F分別是BC、AC的中點(diǎn),=,=a,=b.(1)用a、b表示向量、;(2)求證:B、E、F三點(diǎn)共線(xiàn).(1)解 延長(zhǎng)到G,使=,連接BG、CG,得到 ABGC,所以=a+b,=(a+b), =(a+b).=b,=-=(a+b)-a=(b-2a).=-=b-a=(b-2a).(2)證明 由(1)可知=,所以B、E、F三點(diǎn)共線(xiàn).11.已知:任意四邊形ABCD中,E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),求證:=(+).證明 方法一 如圖,E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),+=0,+=0,又+=0,=+ 同理=+ 由+得,2=+(+)+(+)=+.=(+).

10、方法二 連結(jié),則=+,=+,=(+)=(+)=(+).12.已知點(diǎn)G為ABC的重心,過(guò)G作直線(xiàn)與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn),且=x,=y,求+的值.解 根據(jù)題意G為三角形的重心,故=(+),=-=(+)-x=(-x)+,=-=y-=y-(+)=(y-)-,由于與共線(xiàn),根據(jù)共線(xiàn)向量基本定理知=(-x)+=,=x+y-3xy=0兩邊同除以xy得+=3.5.2 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示基礎(chǔ)自測(cè)1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),則向量a-b等于( )A.(-2,-1)B. (-2,1)C. (-1,0)D. (-1,2)答案 D2.(2008安徽理,3)在平行四邊形ABCD中,

11、AC為一條對(duì)角線(xiàn),若=(2,4),=(1,3),則等于( )A. (-2,-4)B. (-3,-5)C. (3,5) D. (2,4)答案 B3.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-2,1),則c等于( )A.a+b B. a-bC. a-bD. a+b答案 B4.(2009煙臺(tái)模擬)已知向量a=(8,),b=(x,1),其中x0,若(a-2b)/(2a+b),則x的值為( )A.4B.8 C.0D.2答案 A5.(2008廣東五校聯(lián)考)設(shè)a=,b=,且ab,則銳角x為 .A.B. C.D.答案 B例1 設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線(xiàn).(1)如果=e1-e2,=3e1+2e2,=-

12、8e1-2e2,求證:A、C、D三點(diǎn)共線(xiàn);(2)如果=e1+e2,=2e1-3e2,=2e1-ke2,且A、C、D三點(diǎn)共線(xiàn),求k的值.(1)證明 =e1-e2,=3e1+2e2, =-8e1-2e2,=+=4e1+e2=-(-8e1-2e2)=-,與共線(xiàn),又與有公共點(diǎn)C,A、C、D三點(diǎn)共線(xiàn).(2)解 =+=(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2,A、C、D三點(diǎn)共線(xiàn),與共線(xiàn),從而存在實(shí)數(shù)使得=,即3e1-2e2=(2e1-ke2),由平面向量的基本定理,得,解之得=,k=.例2 已知點(diǎn)A(1,0)、B(0,2)、C(-1,-2),求以A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

13、解 設(shè)D的坐標(biāo)為(x,y).(1)若是ABCD,則由=得(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),即(-1,2)=(-1-x,-2-y), x=0,y=-4.D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-4)(如圖中的D1).(2)若是ADBC,則由=得(x,y)-(1,0)=(0,2)-(-1,-2),即(x-1,y)=(1,4).解得x=2,y=4.D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)(如圖中的D2).(3)若是ABDC,則由=得(0,2)-(1,0)=(x,y)-(-1,-2),即(-1,2)=(x+1,y+2).解得x=-2,y=0.D點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,0)(如圖中的D3).綜上所述,以A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的

14、第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-4)或(2,4)或(-2,0).例3 (12分)平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列問(wèn)題:(1)若(a+kc)(2b-a),求實(shí)數(shù)k;(2)設(shè)d=(x,y)滿(mǎn)足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d.解 (1)(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 2分2(3+4k)-(-5)(2+k)=0, 4分k=-. 6分(2)d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,, 8分解得或. 10分d=或d=. 12分1.如圖所示,在平行四邊形AB

15、CD中,M,N分別為DC,BC的中點(diǎn),已知=c,=d,試用c,d表示,.解 方法一 設(shè)=a,=b,則a=+=d+b=+=c+將代入得a=d+a=-c,代入得b=c+c-d即=d-c,=c-d方法二 設(shè)=a,=b.因M,N分別為CD,BC的中點(diǎn),所以=b,=a,因而,即=(2d-c), =(2c-d).2.已知A(-2,4)、B(3,-1)、C(-3,-4)且=3,=2,求點(diǎn)M、N及的坐標(biāo).解 A(-2,4)、B(3,-1)、C(-3,-4),=(1,8),=(6,3),=3=(3,24),=2=(12,6).設(shè)M(x,y),則有=(x+3,y+4),,M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,20).同理可求得N點(diǎn)坐

16、標(biāo)為(9,2),因此=(9,-18),故所求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為(0,20)、(9,2),的坐標(biāo)為(9,-18).3.已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(3,-1)、(1,2),并且=,=.求證:.證明 設(shè)E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),則依題意,得=(2,2),=(-2,3),=(4,-1).一、選擇題1.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb與a-2b共線(xiàn),則等于( )A.-B.2C.D.-2答案 A2.設(shè)a、b是不共線(xiàn)的兩個(gè)非零向量,已知=2a+pb,=a+b,=a-2b.若A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn),則p的值為 ( )A.1B.2C.-2D.-1

17、答案 D3.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),則等于( )A.(8,1)B.(-8,1)C.(4,-)D. (-4,)答案 D4.已知向量a=(2,4),b=(1,1),若向量b(a+b),則實(shí)數(shù)的值是( )A.3B.-3C. D.-答案B5.(2008遼寧文,5)已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(0,2)、B(-1,-2)、C(3,1),且=2,則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為( )A.(2,) B.(2,)C.(3,2) D.(1,3)答案 A6.設(shè)02,已知兩個(gè)向量=(cos,sin),=(2+sin,2-cos),則向量長(zhǎng)度的最大值是 ( )A. B.C. D.答案 C二、填空題7.(2008全國(guó)文

18、,13)設(shè)向量a=(1,2),b=(2,3),若向量a+b與向量c=(-4,-7)共線(xiàn),則= .答案 28.(2008菏澤模擬)已知向量m=(a-2,-2),n=(-2,b-2),mn (a0,b0),則ab的最小值是 .答案 16三、解答題9.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).設(shè)=a,=b,=c,且=3c,=-2b,(1)求:3a+b-3c;(2)求滿(mǎn)足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n.解 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)m

19、b+nc=(-6m+n,-3m+8n),解得.10.若a,b為非零向量且ab,R,且0.求證:a+b與a-b為共線(xiàn)向量.證明 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2).ab,b0,a0,存在實(shí)數(shù)m,使得a=mb, 即a=(x1,y1)=(mx2,my2),a+b=(m+)x2,(m+)y2)=(m+)(x2,y2)同理a+b=(m-)(x2,y2),(a+b)(a-b)b,而b0,(a+b)(a-b).11.在ABCD中,A(1,1),=(6,0),點(diǎn)M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn),線(xiàn)段CM與BD交于點(diǎn)P.(1)若=(3,5),求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)當(dāng)|=|時(shí),求點(diǎn)P的軌跡.解 (1)設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x0,y

20、0),又=+=(3,5)+(6,0)=(9,5),即(x0-1,y0-1)=(9,5),x0=10,y0=6,即點(diǎn)C(10,6).(2)由三角形相似,不難得出=2設(shè)P(x,y),則=-=(x-1,y-1)-(6,0)=(x-7,y-1),=+=+3=+3(-)=3-=(3(x-1),3(y-1))-(6,0)=(3x-9,3y-3),|=|,ABCD為菱形,ACBD,即(x-7,y-1)(3x-9,3y-3)=0.(x-7)(3x-9)+(y-1)(3y-3)=0,x2+y2-10x-2y+22=0(y1).(x-5)2+(y-1)2=4(y1).故點(diǎn)P的軌跡是以(5,1)為圓心,2為半徑的圓

21、去掉與直線(xiàn)y=1的兩個(gè)交點(diǎn).12.A(2,3),B(5,4),C(7,10),=+.當(dāng)為何值時(shí),(1)點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線(xiàn)上;(2)點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等?解 (1)由已知=(3,1),=(5,7),則+=(3,1)+(5,7)=(3+5,1+7).設(shè)P(x,y),則=(x-2,y-3),.點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線(xiàn)上,x=y,即5+5=4+7,=.(2)若點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等,則|x|=|y|,即|5+5|=|4+7|,=或=-.5.3 平面向量的數(shù)量積基礎(chǔ)自測(cè)1.已知a=(2,3),b=(-4,7),則a在b上的投影為( )A.B.C.D.答案 C2.在邊長(zhǎng)為1的正三角形A

22、BC中,設(shè)=a,=c,=b,則ab+bc+ca等于( )A.1.5B.-1.5C. 0.5D.-0.5答案 C3.向量a=(cos15,sin15),b=(-sin15,-cos15),則|a-b|的值是( )A.1B.C.D.答案 D4.已知a=(1,-2),b=(5,8),c=(2,3),則a(bc)為( )A.34B.(34,-68)C.-68D.(-34,68)答案B5.(2008 浙江理,9)已知a、b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量,若向量c滿(mǎn)足(a-c)(b-c)=0,則|c|的最大值是 .A.1B.2 C. D.答案 C例1 已知向量a=b=且x.(1)求ab及|a+b|;(2)

23、若f(x)=ab-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.解 (1)ab=cosxcos-sinxsin=cos2x,a+b= |a+b|=x,cosx0,|a+b|=2cosx.(2)由(1)可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2,cosx1,當(dāng)cosx=時(shí),f(x)取得最小值為-;當(dāng)cosx=1時(shí),f(x)取得最大值為-1. 例2 已知a=(cos,sin),b=(cos,sin)(0).(1)求證:a+b與a-b互相垂直;(2)若ka+b與a-kb的模相等,求-.(其中k為非零實(shí)數(shù))(1)證明 (a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos

24、2+sin2)-(cos2+sin2)=0,a+b與a-b互相垂直.(2)解 ka+b=(kcos+cos,ksin+sin),a-kb=(cos-kcos,sin-ksin),=,又k0, cos()=0.而0,-=.例3 (12分)設(shè)兩個(gè)向量e1,e2滿(mǎn)足|e1|=2,|e2|=1,e1與e2的夾角為,若向量2te1+7e2與e1+te2的夾角為鈍角,求實(shí)數(shù)t的范圍.解 由向量2te1+7e2與e1+te2的夾角為鈍角,得0, 3分即(2te1+7e2)(e1+te2)0,化簡(jiǎn)即得:2t2+15t+70,解得-7t-, 6分當(dāng)夾角為時(shí),也有(2te1+7e2)(e1+te2)0,但此時(shí)夾角

25、不是鈍角,2te1+7e2與e1+te2反向. 8分設(shè)2te1+7e2=(e1+te2),0,可求得, 11分所求實(shí)數(shù)t的范圍是. 12分1.向量a=(cos23,cos67),向量b=(cos68,cos22).(1)求ab;(2)若向量b與向量m共線(xiàn),u=a+m,求u的模的最小值.解 (1)ab=cos23cos68+cos67cos22=cos23sin22+sin23cos22=sin45=.(2)由向量b與向量m共線(xiàn),得m=b(R),u=a+m=a+b=(cos23+cos68,cos67+cos22)=(cos23+sin22,sin23+cos22),|u|2=(cos23+si

26、n22)2+(sin23+cos22)2=2+1= +,當(dāng)=-時(shí),|u|有最小值為.2.已知平面向量a=,b=(-,-1).(1)證明:ab;(2)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k、t,使x=a+(t2-2)b,y=-ka+t2b,且xy,試把k表示為t的函數(shù).(1)證明 ab=(-)+(-1)=0,ab.(2)解 xy,xy=0, 即a+(t2-2)b(-ka+t2b)=0.展開(kāi)得-ka2+t2-k(t2-2)ab+t2(t2-2)b2=0,ab=0,a2=|a|2=1,b2=|b|2=4,-k+4t2(t2-2)=0,k=f(t)=4t2 (t2-2).3.設(shè)a=(cos,sin),b=(cos,

27、sin),且a與b具有關(guān)系|ka+b|=|a-kb|(k0).(1)用k表示ab;(2)求ab的最小值,并求此時(shí)a與b的夾角.解 (1)|ka+b|=|a-kb|,(ka+b)2=3(a-kb)2,且|a|=|b|=1,即k2+1+2kab=3(1+k2-2kab),4kab=k2+1.ab=(k0).(2)由(1)知:k0ab=2 =.ab的最小值為(當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)等號(hào)成立)設(shè)a、b的夾角為,此時(shí)cos=.0,=.故ab的最小值為,此時(shí)向量a與b的夾角為.一、選擇題1.點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),滿(mǎn)足=,則點(diǎn)O是ABC的( )A.三個(gè)內(nèi)角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)B.三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)

28、C.三條中線(xiàn)的交點(diǎn)D.三條高線(xiàn)的交點(diǎn)答案 D2.若向量a,b滿(mǎn)足|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60,則ab+bb的值為( )A.2B.3C.4D.5答案 D3.已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=1,|b|=4,且ab=2,則a與b的夾角為( )A.B.C.D.答案 C4.若a與b-c都是非零向量,則“ab=ac”是“a(b-c)”的( ) A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案 C5.已知a,b是非零向量,且滿(mǎn)足(a-2b)a,(b-2a)b,則a與b的夾角是( )A.B.C.D.答案 B6. |a|=1,|b|=2,c=a+b,且ca,則向量a與

29、b的夾角為 ( )A.30B.60 C.120D.150答案C二、填空題7.(2008天津理,14)如圖所示,在平行四邊形ABCD中,=(1,2),=(-3,2),則= .答案 38.(2008 江西理,13)直角坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A(1,2)、B(3,-2)、C(9,7),若E、F為線(xiàn)段BC的三等分點(diǎn),則= .答案 22三、解答題9.已知平面上三個(gè)向量a、b、c的模均為1,它們相互之間的夾角均為120.(1)求證:(a-b)c;(2)若|ka+b+c|1 (kR),求k的取值范圍.(1)證明 (a-b)c=ac-bc=|a|c|cos120-|b|c|cos120=0,(a-b)c.(2)解 |

30、ka+b+c|1|ka+b+c|21,k2a2+b2+c2+2kab+2kac+2bc1.|a|=|b|=|c|=1,且a、b、c的夾角均為120,a2=b2=c2=1,ab=bc=ac=-,k2+1-2k1,即k2-2k0,k2或k0.10.已知a=,且.(1)求的最值;(2)若|ka+b|=|a-kb| (kR),求k的取值范圍.解 (1)ab=-sinsin+coscos=cos2,|a+b|2=|a|2+|b|2+2ab=2+2cos2=4cos2.,cos,|a+b|=2cos.= =cos-.令t=cos,則t1,=1+0,t-在t上為增函數(shù).-t-,即所求式子的最大值為,最小值為

31、-.(2)由題設(shè)可得|ka+b|2=3|a-kb|2,(ka+b)2=3(a-kb)2又|a|=|b|=1,ab=cos2,cos2=.由,得-cos21.-1.解得k2-,2+-1.11.設(shè)n和m是兩個(gè)單位向量,其夾角是60,求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角.解 由|m|=1,|n|=1,夾角為60,得mn=.則有|a|=|2m+n|=.|b|=.而ab=(2m+n)(2n-3m)=mn-,設(shè)a與b的夾角為,則cos=-.故a,b夾角為120.12.已知向量a=,x.若函數(shù)f(x)=ab-|a+b|的最小值為-,求實(shí)數(shù)的值. 解 |a|=1,|b|=1,x,ab=coscos-sin

32、sin=cos2x,|a+b|=2=2cosx. f(x)=cos2x-cosx=2cos2x-cosx-1=2 -1,cosx0,1. 當(dāng)0時(shí),取cosx=0,此時(shí)f(x)取得最小值,并且f(x)min=-1-,不合題意.當(dāng)04時(shí),取cosx=,此時(shí)f(x)取得最小值,并且f(x)min=-1=-,解得=2.當(dāng)4時(shí),取cosx=1,此時(shí)f(x)取得最小值,并且f(x)min=1-=-,解得=,不符合4舍去,=2.5.4 正弦定理和余弦定理基礎(chǔ)自測(cè)1.(2008陜西理,3)ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若c=,b=,B=120,則 a等于( )A.B.2C.D.答案 D 2.(

33、2008福建理,10)在ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=ac,則角B的值為( )A. B.C.或 D.或答案 D 3.下列判斷中正確的是( )A.ABC中,a=7,b=14,A=30,有兩解B.ABC中,a=30,b=25,A=150,有一解C.ABC中,a=6,b=9,A=45,有兩解D.ABC中,b=9,c=10,B=60,無(wú)解答案 B4.在ABC中,A=60,AB=5,BC=7,則ABC的面積為 .答案 5.(2008浙江理,13)在ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.若(b-c)cosA=acosC,則cosA= .答案 例1

34、在ABC中,已知a=,b=,B=45,求A、C和c.解 B=4590且asinBba,ABC有兩解.由正弦定理得sinA= =,則A為60或120.當(dāng)A=60時(shí),C=180-(A+B)=75,c=.當(dāng)A=120時(shí),C=180-(A+B)=15,c=.故在ABC中,A=60,C=75,c=或A=120,C=15,c=.例2 在ABC中,a、b、c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且=-.(1)求角B的大小;(2)若b=,a+c=4,求ABC的面積.解 (1)由余弦定理知:cosB=,cosC=.將上式代入=-得:=-整理得:a2+c2-b2=-accosB= =-B為三角形的內(nèi)角,B=.(2)將b=,a

35、+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosBb2=16-2ac,ac=3.SABC=acsinB=.例3 (12分)ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0.(1)求角A的大??;(2)若a=,求bc的最大值;(3)求的值.解 (1)cosA=-, 1分又A(0,),A=120. 2分(2)由a=,得b2+c2=3-bc,又b2+c22bc(當(dāng)且僅當(dāng)c=b時(shí)取等號(hào)),3-bc2bc(當(dāng)且僅當(dāng)c=b時(shí)取等號(hào)). 4分即當(dāng)且僅當(dāng)c=b=1時(shí),bc取得最大值為1. 6分(3)由正弦定理得:2R, 8分= 9分= 10

36、分= 11分=. 12分例4 在ABC中,a、b、c分別表示三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判斷三角形的形狀.解 方法一 已知等式可化為a2sin(A-B)-sin(A+B)=b2-sin(A+B)-sin(A-B)2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化為:sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinAsinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0sin2A=sin2B,由02A,2B2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=-B,ABC為等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得2a

37、2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得a2b= b2a a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0a=b或a2+b2=c2ABC為等腰或直角三角形.1.(1)ABC中,a=8,B=60,C=75,求b;(2)ABC中,B=30,b=4,c=8,求C、A、a.解(1)由正弦定理得.B=60,C=75,A=45,b=4.(2)由正弦定理得sinC=1.又30C150,C=90.A=180-(B+C)=60,a=4.2.已知ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若ABC的面積為S,且2S=(a+b)2-c2,求ta

38、nC的值.解 依題意得absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,所以2sincos =4cos2化簡(jiǎn)得:tan=2.從而tanC=-.3.(2008遼寧理,17)在ABC中,內(nèi)角A、B、C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a、b、c.已知c=2,C=.(1)若ABC的面積等于,求a、b的值;(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面積.解 (1)由余弦定理及已知條件,得a2+b2-ab=4.又因?yàn)锳BC的面積等于,所以absinC=,所以ab=4.聯(lián)立方程組 解得.(2)由題

39、意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,當(dāng)cosA=0時(shí),A=,B=,a=,b=.當(dāng)cosA0時(shí),得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,聯(lián)立方程組 解得所以ABC的面積S=absinC=.4.已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若a、b、c成等差數(shù)列,且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判斷ABC的形狀.解 方法一 2cos2B-8cosB+5=0,2(2cos2B-1)-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=

40、(舍去).cosB=.0B,B=.a,b,c成等差數(shù)列,a+c=2b.cosB=,化簡(jiǎn)得a2+c2-2ac=0,解得a=c.又B=,ABC是等邊三角形.方法二 2cos2B-8cosB+5=0,2(2cos2B-1)-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=(舍去).cosB=,0B,B=,a,b,c成等差數(shù)列,a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin=.sinA+sin=,sinA+sin-cos=.化簡(jiǎn)得sinA+cosA=,sin =1.A+=,A=,C=,ABC為等邊三角形.一

41、、選擇題1.在ABC中,若2cosBsinA=sinC,則ABC一定是( )A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等邊三角形答案 B2.在ABC中,A=120,AB=5,BC=7,則的值為( )A.B. C.D.答案 D3.已知ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且面積SABC=(b2+c2-a2),則A等于( )A.45B.30 C.120D.15答案 A4.在ABC中,BC=2,B=,若ABC的面積為,則tanC為( )A.B.1 C.D.答案 C5.在ABC中,a2-c2+b2=ab,則角C為( )A.60B.45或135 C.120 D.30答案 A6.ABC中,若a4+b4+

42、c4=2c2(a2+b2),則C的度數(shù)是 ( )A.60B.45或135 C.120 D.30答案 B二、填空題7.在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=1,b=,c=,則B= .答案 8.某人向正東方向走了x千米,他右轉(zhuǎn)150,然后朝新方向走了3千米,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好千米,那么x的值是 .答案 或2三、解答題9.在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,并且a2=b(b+c).(1)求證:A=2B;(2)若a=b,判斷ABC的形狀.(1)證明 因?yàn)閍2=b(b+c),即a2=b2+bc,所以在ABC中,由余弦定理可得,cosB=,所以sinA=sin2B,故A=2B.(2)解 因?yàn)閍=b,所以=,由a2=b(b+c)可得c=2b,cosB=,所以B=30,A=2B=60,C=90.所以ABC為直角三角形.10.(2008全國(guó)理,17)在ABC中,cosB=-,cosC=.(1)求sinA的值; (2)ABC的面積SABC=,求BC的長(zhǎng).解 (1)由cosB=-,得sinB=,由cosC=,得sinC=.所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=.(2)由SABC=,得ABACsinA=. 由(1)知sinA=,故ABAC=

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