【步步高高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)】第五編平面向量、解三角形

1、第五編 平面向量、解三角形5.1 平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算基礎(chǔ)自測(cè)1.下列等式不正確的是（ ）A.a+0=a B.a+b=b+aC.+0 D.=+答案 C2.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）A.= B.=C.= D.=0答案C3.（2008廣東理，8）在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)O,E是線(xiàn)段OD的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線(xiàn)與CD交于點(diǎn)F.若=a,=b,則等于（ ）A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 答案 B4.若ABCD是正方形，E是DC邊的中點(diǎn)，且=a，=b，則等于（ ）A.b+aB. b-a C. a+b D. a-b 答案 B5.設(shè)四邊形ABCD

2、中，有=，且|=|，則這個(gè)四邊形是 ( )A.平行四邊形B.矩形C.等腰梯形D.菱形答案 C例1 給出下列命題向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等；向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；兩個(gè)有共同起點(diǎn)并且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線(xiàn)向量；向量與向量是共線(xiàn)向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線(xiàn)上；有向線(xiàn)段就是向量，向量就是有向線(xiàn)段.其中假命題的個(gè)數(shù)為（ ）A.2B.3C.4D.5答案 C 例2 如圖所示，若四邊形ABCD是一個(gè)等腰梯形，ABDC，M、N分別是DC、AB的中點(diǎn)，已知=a，=b，=c，試用a、b、c表示，+.解 =+=-a+b+c，=+，=-,=-,=,=

3、a-b-c.+=+=2=a-2b-c.例3 設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線(xiàn)，（1）若=a+b,=2a+8b,=3(a-b)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)；（2）試確定實(shí)數(shù)k，使ka+b和a+kb共線(xiàn).（1）證明 =a+b,=2a+8b,=3(a-b),=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.、共線(xiàn)，又它們有公共點(diǎn)B，A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn).（2）解 ka+b與a+kb共線(xiàn)，存在實(shí)數(shù)，使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb.(k-)a=(k-1)b.a、b是不共線(xiàn)的兩個(gè)非零向量，k-=k-1=0，k2-1=0.k=1.例4 （12分）如圖所示，在ABO中，=,=,A

4、D與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)=a，=b.試用a和b表示向量.解 設(shè)=ma+nb，則=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.=-=-=-a+b.又A、M、D三點(diǎn)共線(xiàn)，與共線(xiàn).存在實(shí)數(shù)t,使得=t，即(m-1)a+nb=t(-a+b). 3分(m-1)a+nb=-ta+tb. ，消去t得：m-1=-2n，即m+2n=1. 5分又=-=ma+nb-a=(m-)a+nb.=-=b-a=-a+b.又C、M、B三點(diǎn)共線(xiàn)，與共線(xiàn). 8分存在實(shí)數(shù)t1,使得=t1,a b(m-)a+nb=t1,，消去t1得,4m+n=1 10分由得m=,n=,=a+b. 12分1.下列命題中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）若|a|=|b|，則

5、a=b或a=-b;若=，則A、B、C、D是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；若a=b,b=c,則a=c;若ab,bc,則ac.A.4B.3C.2D.1答案 D2.在OAB中，延長(zhǎng)BA到C，使AC=BA，在OB上取點(diǎn)D，使DB=OB.DC與OA交于E，設(shè)=a，=b，用a,b表示向量，.解 因?yàn)锳是BC的中點(diǎn)，所以=(+)，即=2-=2a-b；=-=-=2a-b-b=2a-b.3.若a，b是兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量，a與b起點(diǎn)相同，則當(dāng)t為何值時(shí)，a,tb,(a+b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上？解 設(shè)=a，=tb，=(a+b)，=-=-a+b，=-=tb-a.要使A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，只需=即-a+b=b-a有

6、 ， 當(dāng)t=時(shí)，三向量終點(diǎn)在同一直線(xiàn)上.4.如圖所示，在ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN=2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求APPM的值.解 方法一 設(shè)e1=,e2=,則=+=-3e2-e1，=+=2e1+e2.因?yàn)锳、P、M和B、P、N分別共線(xiàn)，所以存在實(shí)數(shù)、，使=-3e2-e1，=2e1+e2，=-=（+2）e1+（3+）e2，另外=+=2e1+3e2，=,=,APPM=41.方法二 設(shè)=，=(+)=+，=+.B、P、N三點(diǎn)共線(xiàn)，-=t(-),=(1+t)-t+=1，=，APPM=41.一、選擇題1.下列算式中不正確的是（ ）A.+=0 B.-= C.0=0 D.（a）=a答

7、案 B2.（2008全國(guó)理,3）在ABC中，=c，=b，若點(diǎn)D滿(mǎn)足=2，則等于 （ ）A.b+c B.c-b C.b-c D.b+c 答案 A3.若=3e1，=-5e1，且|=|，則四邊形ABCD是( )A.平行四邊形B.菱形C.等腰梯形 D.不等腰梯形答案 C4.如圖所示，平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)OP1和OP2將該平面分割成四個(gè)部分、（不包括邊界）.若=a1+b2，且點(diǎn)P落在第部分，則實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足 （ ）A.a0,b0B.a0,b0C. a0,b0D. a0,b0 答案 B 5.設(shè)=x+y，且A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)（該直線(xiàn)不過(guò)端點(diǎn)O），則x+y等于（ ）A.1B.-1C.0D.不能確定答案 A6.

8、已知平面內(nèi)有一點(diǎn)P及一個(gè)ABC，若+=，則 （ ）A.點(diǎn)P在ABC 外部 B.點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上C.點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上 D.點(diǎn)P在線(xiàn)段AC上答案 D二、填空題7.在ABC中，=a，=b，M是CB的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)，且CN、AM交于點(diǎn)P，則可用a、b表示為 .答案 -a+b8.在ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若=2,=+,則= .答案 三、解答題9.如圖所示，ABC中，=，DEBC交AC于E，AM是BC邊上中線(xiàn)，交DE于N.設(shè)=a，=b，用a,b分別表示向量，.解 =b. =-=b-a.由ADEABC，得=(b-a).由AM是ABC的中線(xiàn)，BC，得=(b-a).而且=+=a+=a+(b-a)=

9、(a+b).由=(a+b).10.如圖所示，在ABC中，D、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，=，=a，=b.（1）用a、b表示向量、；（2）求證：B、E、F三點(diǎn)共線(xiàn).（1）解 延長(zhǎng)到G，使=，連接BG、CG，得到 ABGC，所以=a+b,=(a+b), =(a+b).=b,=-=(a+b)-a=(b-2a).=-=b-a=(b-2a).(2)證明 由(1)可知=,所以B、E、F三點(diǎn)共線(xiàn).11.已知：任意四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，求證：=(+).證明 方法一 如圖，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，+=0，+=0，又+=0，=+ 同理=+ 由+得，2=+（+）+（+）=+.=(+).

10、方法二 連結(jié)，則=+，=+，=(+)=(+)=(+).12.已知點(diǎn)G為ABC的重心，過(guò)G作直線(xiàn)與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且=x，=y，求+的值.解 根據(jù)題意G為三角形的重心，故=(+)，=-=(+)-x=(-x)+,=-=y-=y-(+)=（y-）-,由于與共線(xiàn)，根據(jù)共線(xiàn)向量基本定理知=(-x)+=，=x+y-3xy=0兩邊同除以xy得+=3.5.2 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示基礎(chǔ)自測(cè)1.已知平面向量a=（1，1），b=(1,-1),則向量a-b等于（ ）A.(-2,-1)B. (-2,1)C. (-1,0)D. (-1,2)答案 D2.（2008安徽理,3）在平行四邊形ABCD中，

11、AC為一條對(duì)角線(xiàn)，若=(2，4)，=(1，3)，則等于（ ）A. (-2,-4)B. (-3,-5)C. (3,5) D. (2,4)答案 B3.若向量a=(1,1)，b=(1,-1),c=(-2,1),則c等于（ ）A.a+b B. a-bC. a-bD. a+b答案 B4.(2009煙臺(tái)模擬)已知向量a=(8,),b=(x,1),其中x0,若（a-2b）/(2a+b),則x的值為（ ）A.4B.8 C.0D.2答案 A5.（2008廣東五校聯(lián)考）設(shè)a=，b=，且ab，則銳角x為 .A.B. C.D.答案 B例1 設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線(xiàn).（1）如果=e1-e2，=3e1+2e2，=-

12、8e1-2e2，求證：A、C、D三點(diǎn)共線(xiàn)；（2）如果=e1+e2，=2e1-3e2，=2e1-ke2，且A、C、D三點(diǎn)共線(xiàn)，求k的值.（1）證明 =e1-e2，=3e1+2e2, =-8e1-2e2,=+=4e1+e2=-(-8e1-2e2)=-,與共線(xiàn)，又與有公共點(diǎn)C，A、C、D三點(diǎn)共線(xiàn).（2）解 =+=（e1+e2）+（2e1-3e2）=3e1-2e2，A、C、D三點(diǎn)共線(xiàn)，與共線(xiàn)，從而存在實(shí)數(shù)使得=,即3e1-2e2=(2e1-ke2)，由平面向量的基本定理，得，解之得=，k=.例2 已知點(diǎn)A(1，0)、B(0，2)、C(-1，-2)，求以A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

13、解 設(shè)D的坐標(biāo)為（x,y）.(1)若是ABCD，則由=得(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),即(-1,2)=(-1-x,-2-y), x=0，y=-4.D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-4）（如圖中的D1）.（2）若是ADBC，則由=得（x，y）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2），即(x-1,y)=(1,4).解得x=2,y=4.D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）（如圖中的D2）.（3）若是ABDC，則由=得（0，2）-（1，0）=（x,y）-(-1,-2),即(-1,2)=(x+1,y+2).解得x=-2,y=0.D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0）（如圖中的D3）.綜上所述，以A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的

14、第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-4）或（2，4）或（-2，0）.例3 （12分）平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列問(wèn)題：（1）若（a+kc）(2b-a)，求實(shí)數(shù)k;(2)設(shè)d=(x,y)滿(mǎn)足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d.解 （1）（a+kc）（2b-a），又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 2分2(3+4k)-(-5)(2+k)=0, 4分k=-. 6分（2）d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,， 8分解得或. 10分d=或d=. 12分1.如圖所示，在平行四邊形AB

15、CD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知=c，=d，試用c，d表示，.解 方法一 設(shè)=a，=b，則a=+=d+b=+=c+將代入得a=d+a=-c,代入得b=c+c-d即=d-c，=c-d方法二 設(shè)=a，=b.因M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，所以=b，=a，因而,即=(2d-c), =(2c-d).2.已知A（-2，4）、B（3，-1）、C（-3，-4）且=3，=2，求點(diǎn)M、N及的坐標(biāo).解 A（-2，4）、B（3，-1）、C（-3，-4），=（1，8），=（6，3），=3=（3，24），=2=（12，6).設(shè)M（x，y），則有=（x+3，y+4），,M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，20）.同理可求得N點(diǎn)坐

16、標(biāo)為（9，2），因此=（9，-18），故所求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（0，20）、（9，2），的坐標(biāo)為（9，-18）.3.已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且=，=.求證：.證明 設(shè)E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2），則依題意，得=（2，2），=（-2，3），=（4，-1）.一、選擇題1.已知向量a=(2,3),b=(-1,2)，若ma+nb與a-2b共線(xiàn)，則等于（ ）A.-B.2C.D.-2答案 A2.設(shè)a、b是不共線(xiàn)的兩個(gè)非零向量，已知=2a+pb，=a+b，=a-2b.若A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)，則p的值為 ( )A.1B.2C.-2D.-1

17、答案 D3.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),則等于（ ）A.(8,1)B.(-8,1)C.(4,-)D. (-4,)答案 D4.已知向量a=(2,4),b=(1,1),若向量b(a+b)，則實(shí)數(shù)的值是（ ）A.3B.-3C. D.-答案B5.（2008遼寧文，5）已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)A（0，2）、B（-1，-2）、C（3，1），且=2，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為( )A.(2,) B.(2,)C.(3,2) D.(1,3)答案 A6.設(shè)02，已知兩個(gè)向量=（cos，sin），=（2+sin，2-cos），則向量長(zhǎng)度的最大值是 （ ）A. B.C. D.答案 C二、填空題7.（2008全國(guó)文

18、，13）設(shè)向量a=(1,2),b=(2,3)，若向量a+b與向量c=(-4,-7)共線(xiàn)，則= .答案 28.（2008菏澤模擬）已知向量m=(a-2,-2),n=(-2,b-2),mn (a0,b0)，則ab的最小值是 .答案 16三、解答題9.已知A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）.設(shè)=a，=b，=c，且=3c，=-2b，（1）求：3a+b-3c；（2）求滿(mǎn)足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m，n.解 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).（2）m

19、b+nc=（-6m+n，-3m+8n），解得.10.若a,b為非零向量且ab,R,且0.求證：a+b與a-b為共線(xiàn)向量.證明 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2).ab,b0,a0,存在實(shí)數(shù)m,使得a=mb, 即a=(x1,y1)=(mx2,my2),a+b=(m+)x2,(m+)y2)=(m+)(x2,y2)同理a+b=(m-)(x2,y2),(a+b)(a-b)b,而b0,(a+b)(a-b).11.在ABCD中，A（1，1），=（6，0），點(diǎn)M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，線(xiàn)段CM與BD交于點(diǎn)P.（1）若=（3，5），求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)|=|時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡.解 （1）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x0，y

20、0),又=+=（3，5）+（6，0）=（9，5）,即（x0-1,y0-1）=（9，5），x0=10，y0=6，即點(diǎn)C（10，6）.（2）由三角形相似，不難得出=2設(shè)P（x,y），則=-=（x-1，y-1）-（6，0）=（x-7，y-1）,=+=+3=+3（-）=3-=（3(x-1)，3(y-1)）-（6，0）=（3x-9，3y-3），|=|，ABCD為菱形，ACBD，即（x-7，y-1）（3x-9，3y-3）=0.（x-7）（3x-9）+（y-1）（3y-3）=0，x2+y2-10x-2y+22=0（y1）.(x-5)2+(y-1)2=4(y1).故點(diǎn)P的軌跡是以（5，1）為圓心，2為半徑的圓

21、去掉與直線(xiàn)y=1的兩個(gè)交點(diǎn).12.A(2,3),B(5,4),C(7,10),=+.當(dāng)為何值時(shí)，（1）點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線(xiàn)上；（2）點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等？解 （1）由已知=（3，1），=（5，7），則+=(3，1)+(5，7)=（3+5，1+7）.設(shè)P（x，y），則=（x-2，y-3），.點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線(xiàn)上，x=y，即5+5=4+7,=.(2）若點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則|x|=|y|,即|5+5|=|4+7|,=或=-.5.3 平面向量的數(shù)量積基礎(chǔ)自測(cè)1.已知a=(2,3),b=(-4,7),則a在b上的投影為（ ）A.B.C.D.答案 C2.在邊長(zhǎng)為1的正三角形A

22、BC中，設(shè)=a，=c，=b，則ab+bc+ca等于（ ）A.1.5B.-1.5C. 0.5D.-0.5答案 C3.向量a=(cos15,sin15),b=(-sin15,-cos15),則|a-b|的值是( )A.1B.C.D.答案 D4.已知a=(1,-2),b=(5,8),c=(2,3),則a(bc)為（ ）A.34B.(34,-68)C.-68D.(-34,68)答案B5.(2008 浙江理,9)已知a、b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿(mǎn)足（a-c）（b-c）=0，則|c|的最大值是 .A.1B.2 C. D.答案 C例1 已知向量a=b=且x.（1）求ab及|a+b|;(2)

23、若f(x)=ab-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值.解 （1）ab=cosxcos-sinxsin=cos2x,a+b= |a+b|=x,cosx0,|a+b|=2cosx.(2)由（1）可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2,cosx1,當(dāng)cosx=時(shí)，f(x)取得最小值為-；當(dāng)cosx=1時(shí)，f(x)取得最大值為-1. 例2 已知a=(cos,sin),b=(cos,sin)(0).(1)求證：a+b與a-b互相垂直；（2）若ka+b與a-kb的模相等，求-.(其中k為非零實(shí)數(shù))（1）證明 (a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos

24、2+sin2)-(cos2+sin2)=0,a+b與a-b互相垂直.（2）解 ka+b=(kcos+cos,ksin+sin),a-kb=(cos-kcos,sin-ksin),=,又k0, cos()=0.而0,-=.例3 （12分）設(shè)兩個(gè)向量e1,e2滿(mǎn)足|e1|=2,|e2|=1,e1與e2的夾角為,若向量2te1+7e2與e1+te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的范圍.解 由向量2te1+7e2與e1+te2的夾角為鈍角，得0, 3分即(2te1+7e2)(e1+te2)0,化簡(jiǎn)即得：2t2+15t+70,解得-7t-, 6分當(dāng)夾角為時(shí)，也有(2te1+7e2)(e1+te2)0,但此時(shí)夾角

25、不是鈍角，2te1+7e2與e1+te2反向. 8分設(shè)2te1+7e2=(e1+te2),0,可求得， 11分所求實(shí)數(shù)t的范圍是. 12分1.向量a=(cos23,cos67),向量b=(cos68,cos22).(1)求ab；（2）若向量b與向量m共線(xiàn)，u=a+m,求u的模的最小值.解 （1）ab=cos23cos68+cos67cos22=cos23sin22+sin23cos22=sin45=.（2）由向量b與向量m共線(xiàn)，得m=b(R），u=a+m=a+b=(cos23+cos68,cos67+cos22)=（cos23+sin22，sin23+cos22），|u|2=(cos23+si

26、n22)2+(sin23+cos22)2=2+1= +，當(dāng)=-時(shí)，|u|有最小值為.2.已知平面向量a=,b=(-,-1).(1)證明：ab;(2）若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k、t,使x=a+(t2-2)b,y=-ka+t2b,且xy，試把k表示為t的函數(shù).(1)證明 ab=(-)+(-1)=0,ab.(2)解 xy,xy=0, 即a+(t2-2)b（-ka+t2b）=0.展開(kāi)得-ka2+t2-k(t2-2)ab+t2(t2-2)b2=0,ab=0,a2=|a|2=1,b2=|b|2=4,-k+4t2(t2-2)=0,k=f(t)=4t2 (t2-2).3.設(shè)a=(cos，sin)，b=(cos，

27、sin)，且a與b具有關(guān)系|ka+b|=|a-kb|(k0).（1）用k表示ab；（2）求ab的最小值，并求此時(shí)a與b的夾角.解 （1）|ka+b|=|a-kb|，(ka+b)2=3(a-kb)2，且|a|=|b|=1，即k2+1+2kab=3(1+k2-2kab)，4kab=k2+1.ab=(k0）.（2）由（1）知：k0ab=2 =.ab的最小值為(當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)等號(hào)成立)設(shè)a、b的夾角為，此時(shí)cos=.0,=.故ab的最小值為，此時(shí)向量a與b的夾角為.一、選擇題1.點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿(mǎn)足=，則點(diǎn)O是ABC的（ ）A.三個(gè)內(nèi)角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)B.三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)

28、C.三條中線(xiàn)的交點(diǎn)D.三條高線(xiàn)的交點(diǎn)答案 D2.若向量a,b滿(mǎn)足|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60,則ab+bb的值為（ ）A.2B.3C.4D.5答案 D3.已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=1,|b|=4,且ab=2,則a與b的夾角為（ ）A.B.C.D.答案 C4.若a與b-c都是非零向量，則“ab=ac”是“a（b-c）”的（ ） A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案 C5.已知a，b是非零向量，且滿(mǎn)足（a-2b）a，（b-2a）b，則a與b的夾角是（ ）A.B.C.D.答案 B6. |a|=1,|b|=2,c=a+b,且ca,則向量a與

29、b的夾角為 ( )A.30B.60 C.120D.150答案C二、填空題7.（2008天津理，14）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，=（1，2），=（-3，2），則= .答案 38.（2008 江西理，13）直角坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A（1，2）、B（3，-2）、C（9，7），若E、F為線(xiàn)段BC的三等分點(diǎn)，則= .答案 22三、解答題9.已知平面上三個(gè)向量a、b、c的模均為1，它們相互之間的夾角均為120.(1)求證：（a-b）c;(2)若|ka+b+c|1 (kR)，求k的取值范圍.（1）證明 （a-b）c=ac-bc=|a|c|cos120-|b|c|cos120=0,（a-b）c.（2）解 |

30、ka+b+c|1|ka+b+c|21,k2a2+b2+c2+2kab+2kac+2bc1.|a|=|b|=|c|=1，且a、b、c的夾角均為120,a2=b2=c2=1，ab=bc=ac=-，k2+1-2k1,即k2-2k0,k2或k0.10.已知a=,且.（1）求的最值；（2）若|ka+b|=|a-kb| (kR),求k的取值范圍.解 （1）ab=-sinsin+coscos=cos2，|a+b|2=|a|2+|b|2+2ab=2+2cos2=4cos2.，cos，|a+b|=2cos.= =cos-.令t=cos,則t1,=1+0,t-在t上為增函數(shù).-t-，即所求式子的最大值為，最小值為

31、-.（2）由題設(shè)可得|ka+b|2=3|a-kb|2,(ka+b)2=3(a-kb)2又|a|=|b|=1,ab=cos2，cos2=.由，得-cos21.-1.解得k2-，2+-1.11.設(shè)n和m是兩個(gè)單位向量，其夾角是60，求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角.解 由|m|=1，|n|=1，夾角為60，得mn=.則有|a|=|2m+n|=.|b|=.而ab=（2m+n）（2n-3m）=mn-，設(shè)a與b的夾角為，則cos=-.故a，b夾角為120.12.已知向量a=,x.若函數(shù)f(x)=ab-|a+b|的最小值為-，求實(shí)數(shù)的值. 解 |a|=1，|b|=1，x，ab=coscos-sin

32、sin=cos2x，|a+b|=2=2cosx. f(x)=cos2x-cosx=2cos2x-cosx-1=2 -1，cosx0，1. 當(dāng)0時(shí)，取cosx=0,此時(shí)f(x)取得最小值，并且f(x)min=-1-,不合題意.當(dāng)04時(shí)，取cosx=,此時(shí)f(x）取得最小值，并且f(x)min=-1=-,解得=2.當(dāng)4時(shí)，取cosx=1,此時(shí)f(x)取得最小值，并且f(x)min=1-=-,解得=,不符合4舍去,=2.5.4 正弦定理和余弦定理基礎(chǔ)自測(cè)1.（2008陜西理，3）ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若c=，b=，B=120,則 a等于（ ）A.B.2C.D.答案 D 2.（

33、2008福建理，10）在ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=ac，則角B的值為( )A. B.C.或 D.或答案 D 3.下列判斷中正確的是（ ）A.ABC中，a=7，b=14，A=30,有兩解B.ABC中，a=30,b=25,A=150，有一解C.ABC中，a=6,b=9，A=45，有兩解D.ABC中，b=9,c=10,B=60,無(wú)解答案 B4.在ABC中，A=60,AB=5,BC=7,則ABC的面積為 .答案 5.（2008浙江理，13）在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.若（b-c）cosA=acosC，則cosA= .答案 例1

34、在ABC中，已知a=,b=,B=45,求A、C和c.解 B=4590且asinBba,ABC有兩解.由正弦定理得sinA= =,則A為60或120.當(dāng)A=60時(shí)，C=180-(A+B)=75,c=.當(dāng)A=120時(shí)，C=180-(A+B)=15,c=.故在ABC中，A=60,C=75,c=或A=120,C=15,c=.例2 在ABC中，a、b、c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且=-.（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求ABC的面積.解 （1）由余弦定理知：cosB=，cosC=.將上式代入=-得:=-整理得:a2+c2-b2=-accosB= =-B為三角形的內(nèi)角，B=.（2）將b=,a

35、+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosBb2=16-2ac,ac=3.SABC=acsinB=.例3 （12分）ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0.（1）求角A的大??；（2）若a=，求bc的最大值；（3）求的值.解 （1）cosA=-, 1分又A（0，），A=120. 2分（2）由a=,得b2+c2=3-bc,又b2+c22bc（當(dāng)且僅當(dāng)c=b時(shí)取等號(hào)），3-bc2bc(當(dāng)且僅當(dāng)c=b時(shí)取等號(hào)）. 4分即當(dāng)且僅當(dāng)c=b=1時(shí)，bc取得最大值為1. 6分（3）由正弦定理得：2R, 8分= 9分= 10

36、分= 11分=. 12分例4 在ABC中，a、b、c分別表示三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判斷三角形的形狀.解 方法一 已知等式可化為a2sin（A-B）-sin（A+B）=b2-sin（A+B）-sin(A-B)2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化為：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinAsinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0sin2A=sin2B,由02A,2B2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=-B,ABC為等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得2a

37、2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得a2b= b2a a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0a=b或a2+b2=c2ABC為等腰或直角三角形.1.（1）ABC中，a=8,B=60,C=75,求b;（2）ABC中，B=30,b=4,c=8,求C、A、a.解（1）由正弦定理得.B=60,C=75,A=45,b=4.（2）由正弦定理得sinC=1.又30C150,C=90.A=180-(B+C)=60,a=4.2.已知ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c,若ABC的面積為S，且2S=(a+b)2-c2，求ta

38、nC的值.解 依題意得absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,所以2sincos =4cos2化簡(jiǎn)得：tan=2.從而tanC=-.3.（2008遼寧理，17）在ABC中，內(nèi)角A、B、C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a、b、c.已知c=2,C=.（1）若ABC的面積等于，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面積.解 （1）由余弦定理及已知條件，得a2+b2-ab=4.又因?yàn)锳BC的面積等于，所以absinC=，所以ab=4.聯(lián)立方程組 解得.（2）由題

39、意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,當(dāng)cosA=0時(shí)，A=，B=，a=，b=.當(dāng)cosA0時(shí)，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,聯(lián)立方程組 解得所以ABC的面積S=absinC=.4.已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a、b、c成等差數(shù)列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判斷ABC的形狀.解 方法一 2cos2B-8cosB+5=0,2(2cos2B-1)-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=

40、（舍去）.cosB=.0B,B=.a，b，c成等差數(shù)列，a+c=2b.cosB=，化簡(jiǎn)得a2+c2-2ac=0,解得a=c.又B=，ABC是等邊三角形.方法二 2cos2B-8cosB+5=0，2（2cos2B-1）-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0，即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=（舍去）.cosB=,0B,B=,a,b,c成等差數(shù)列，a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin=.sinA+sin=，sinA+sin-cos=.化簡(jiǎn)得sinA+cosA=,sin =1.A+=,A=,C=,ABC為等邊三角形.一

41、、選擇題1.在ABC中，若2cosBsinA=sinC,則ABC一定是（ ）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等邊三角形答案 B2.在ABC中，A=120,AB=5,BC=7，則的值為（ ）A.B. C.D.答案 D3.已知ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且面積SABC=（b2+c2-a2），則A等于（ ）A.45B.30 C.120D.15答案 A4.在ABC中，BC=2，B=，若ABC的面積為，則tanC為（ ）A.B.1 C.D.答案 C5.在ABC中，a2-c2+b2=ab,則角C為（ ）A.60B.45或135 C.120 D.30答案 A6.ABC中，若a4+b4+

42、c4=2c2(a2+b2),則C的度數(shù)是 （ ）A.60B.45或135 C.120 D.30答案 B二、填空題7.在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若a=1,b=,c=,則B= .答案 8.某人向正東方向走了x千米，他右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走了3千米，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好千米，那么x的值是 .答案 或2三、解答題9.在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c，并且a2=b(b+c).（1）求證：A=2B；（2）若a=b,判斷ABC的形狀.（1）證明 因?yàn)閍2=b(b+c)，即a2=b2+bc,所以在ABC中，由余弦定理可得,cosB=,所以sinA=sin2B,故A=2B.（2）解 因?yàn)閍=b,所以=,由a2=b(b+c)可得c=2b,cosB=,所以B=30,A=2B=60,C=90.所以ABC為直角三角形.10.（2008全國(guó)理，17）在ABC中，cosB=-，cosC=.（1）求sinA的值； （2）ABC的面積SABC=，求BC的長(zhǎng).解 (1)由cosB=-,得sinB=,由cosC=,得sinC=.所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=.(2)由SABC=,得ABACsinA=. 由(1)知sinA=,故ABAC=