高級微觀經(jīng)濟學 3 理性消費者

1、第三章 理性消費者本章以單個消費者為著眼點，研究理性消費者的行為特點與活動規(guī)律。我們的基本假設(shè)是：消費者以追求效用最大化為目的，是市場價格的接受者，完全依據(jù)價格行事。本章及后面幾章都假定市場上總共有種可供選擇的商品。第一節(jié) 可行的消費消費活動表現(xiàn)為消費者選擇若干數(shù)量的一系列商品進行消費，或者說選擇完整的消費計劃。假定市場上總共有種可供選擇的商品，于是一個完整的消費計劃(或者消費方案)就表現(xiàn)為一個維向量。這樣，消費活動就表現(xiàn)為消費者選擇商品空間中的向量。習慣上，人們總是用正消費來表示消費者對一種商品的真正消費，用負消費來表示消費者向市場提供商品(比如提供勞動)。按照這個解釋，消費計劃的意義就明顯

2、了。表明消費者計劃真正消費個單位的商品；表示消費者向市場提供個單位的商品；則說明他既不消費也不向市場提供第種商品。一、消費集合一般來說，并非商品空間中的任何商品向量都允許作為消費者的消費計劃。消費活動必然受到消費者所生存的社會環(huán)境和自然環(huán)境的影響，受到法律、制度、政策、物質(zhì)財富、生理狀態(tài)等條件的制約。例如，毒品雖然是商品，但法律規(guī)定不允許買賣和消費。又如，人總是要吃飯的，人對食物的消費應當是正消費。這樣或那樣的限制，導致商品空間中的一部分向量所代表的消費計劃，成為不允許或不可能選擇的消費計劃，應當把它們加以排除，剩下來的那些允許作為消費計劃的向量構(gòu)成了商品空間的一個子集合，我們把這個集合叫做消

3、費者的消費集合，并用表示之。消費集合中的向量稱為可行消費向量或可行消費計劃。應當注意，消費集合同具體的消費者有關(guān)，不同消費者的消費集合可能會不同。我們現(xiàn)在考慮的是一個任意指定的消費者，消費集合便是固定的。二、關(guān)于消費集合的假定消費集合描述了消費者選擇活動的允許范圍，即他的自由選擇范圍。上面對這個范圍的描述顯然是很一般的，沒有說出它應具有什么樣的結(jié)構(gòu)特點。從理論上講，沒有特點的描述或表示，對于理論的建立和發(fā)展就不會有很大的作用。因此，在提出消費集合的概念之后，首要的任務是去尋找消費集合的一般特征。經(jīng)濟學中，尋找消費集合的特征，表現(xiàn)為對消費集合提出一些合理的前提假設(shè)，即對消費選擇進行一些可行性分析

4、。(一)閉性假設(shè)假設(shè)HC1(閉性). 消費集合是商品空間的非空閉子集。這是一個為人們普遍接受和承認的假設(shè)，即認為可行消費具有連續(xù)性，其經(jīng)濟含義是，凡是能由一系列可行消費計劃來接近的消費計劃，仍然是可行的消費計劃。用簡明的數(shù)學語言來說，如果一個商品向量是消費集合中的一列向量的極限，那么這個商品向量就屬于消費集合，即它代表著可行消費計劃。我們把這條假設(shè)稱為閉性假設(shè)，它等價于說, 消費集合邊界上的消費計劃都是可行的，即消費集合包含著它的邊界。(二)下有界性假設(shè)假設(shè)HC2(下有界性)存在向量使得對一切, 都成立 。 從消費者本身考察可發(fā)現(xiàn)，用于真正消費的商品，其消費量不會無限制地縮小下去。例如食品是消

5、費者生存之必需品，對它的消費量有一個最小需要量的限制。另一方面，由消費者提供的商品，其供給量不可能無限制地增大。比方說由消費者提供的勞動，由于消費者生理上的限制，他對勞動的供給量必有一個最大限度。這樣一來，正消費商品的消費量有一個下限，負消費商品的消費量的絕對值有一個上限，因而負消費量也有一個下限。結(jié)果消費集合是下有界的。這就是下有界性假設(shè)的意義, 它是一條基本需要假設(shè)。(三)連通性假設(shè)假設(shè)HC3(連通性). 消費集合是商品空間的連通子集。市場的完全性假定了消費者掌握的信息是完全的，他可以根據(jù)市場行情不斷地改變自己的行動計劃，在允許的范圍內(nèi)不斷調(diào)整消費方案，從一種方案過度到另一方案。這便要求消

6、費集合具有完整性，不能是拼湊起來的相互隔離的塊，即消費集合不應能被分離成這樣的兩個范圍與：1) 與非空且不相交，與的并集是；2) 消費者不論從中哪一種消費計劃出發(fā)，也不論在中采取哪種方式去不斷改變消費計劃，都無法接近中的任何一種計劃；3) 同樣也不論從中哪一種計劃出發(fā)，不論在中采取什么樣的方式來不斷改變消費計劃，都無法接近中的任何一種計劃。消費集合的這種性質(zhì)，稱為消費集合的連通性。用數(shù)學的語言講，連通性表明不能表示成為兩個相隔離的非空子集之并。所謂的子集與相隔離，是指連同自己的邊界不與相交，同時連同自己的邊界不與相交；等價地說，中任何序列的極限都不在中，且中任何序列的極限也都不在中。連通的等價

7、條件是，不能表示成為兩個不相交的非空(相對)閉(開)子集之并。(四)凸性假設(shè)假設(shè)HC4(凸性). 消費集合是商品空間的凸子集。實際消費活動中，當消費者面臨兩種選擇時往往進行綜合，使其二者兼顧。例如，消費者面臨著選擇四兩米飯或者選擇四兩饅頭時，常常會作出這樣的綜合處理：同時選擇二兩米飯和二兩饅頭來消費，即消費多樣化。通常，消費多樣化的處理方法是對兩種消費計劃進行加權(quán)平均。于是，消費集合表現(xiàn)出凸性。所謂的凸性，是指對中任何兩個向量和以及任何的實數(shù)：，皆成立. 這正說明任何兩種可行消費的加權(quán)平均消費方案仍然是可行的。消費集合的凸性是比連通性更好的性質(zhì)，凸性直接明確地指出了從一種可行消費方案過渡到另一

8、種可行消費方案的最短連續(xù)途徑，凸性蘊含著連通性。有時消費集合不具有凸性，甚至連連通性都不具備。一種情形是考慮位于不同地區(qū)的商品，此時消費集合不具有凸性。例如，考慮位于北京和深圳兩地的商品，消費者不可能同時既位于北京，又位于深圳。當他位于北京時，只面臨著北京市面上的商品；位于深圳時，只面臨著深圳市面上的商品。想在同一時刻既購買位于北京的商品，又購買位于上海的商品，則是不可能做到的。因此，他的消費集合不是凸集。圖3-1描繪了這種消費集合的形狀：它是由兩條座標軸的正半部分構(gòu)成的。在完全的市場中，任何兩種商品之間都可以進行直接交換，結(jié)果這種不同地區(qū)的考慮被排除外。另一種情況是商品用整數(shù)來計量，此時消費

9、集合也是非凸的(見圖3-2)。但從理論上講，對非凸集合進行凸化處理，即用它的凸包(即包含它的最小凸集)來代替它，這是可行的。尤其是當對商品的消費量較大時，至于用整數(shù)還是用一般實數(shù)來計量多少，便無關(guān)緊要。凸化處理后得到的結(jié)論，同未進行凸化處理情況下的結(jié)論的偏差并不很大，而且凸化處理給建立理論帶來了很大的方便。鑒于這個原因，可以直接假定消費集合是凸集。 上海 面粉 消費集合 消費集合 北京 電視機 圖3-1 位于不同地區(qū)的商品 圖3-2 用整數(shù)計量的商品通常認為，閉性、下有界性和連通性是消費集合特有的性質(zhì)，尤其是連通性表明，任何兩種可行消費方案方案之間都有連續(xù)的過渡渠道。實際消費活動中，消費集合還

10、往往表現(xiàn)出比連通性更好的性質(zhì)凸性。凸性替代了連通性，并與閉性和下有界性一道共同構(gòu)成如下假設(shè)，被常常采用之。假設(shè)HC. 消費集合是商品空間的非空下有界閉凸子集。第二節(jié) 消費者偏好消費集合劃定了消費者的允許選擇范圍，在這個范圍內(nèi)消費者選擇自己滿意的消費方案。消費者對這種方案滿意，而對那種方案不滿意，意味著消費能夠?qū)Ω鞣N可行消費方案的好壞作出比較和評價，這種評價反映了消費者的偏好(即嗜好或愛好)。本節(jié)研究這種偏好。一效用與偏好偏好與效用是聯(lián)系在一起的。如果一種商品對于消費者沒有效用，消費者就不會產(chǎn)生對這種商品的偏好。所謂效用，是指消費者消費一定數(shù)量的若干種商品后所感受到的滿足程度。商品之所以能讓消費

11、者感到一定程度的滿足，是因為商品具有一定的滿足人們需要的能力。商品的效用，實際上就是消費者主觀感受到的商品的使用價值，因人而異。 不同消費者在消費了同等數(shù)量的同一商品后，所取得的效用是不同的，各個有各人的感受。例如，對于喜歡吃米飯的人來說，吃完四兩米飯后會感到很滿足，而對于不喜歡吃米飯的人來說，吃完后會感到不滿足。效用還因時因地而定，不同時刻不同環(huán)境下同一消費者消費同等數(shù)量的同一商品，其所感受到的滿足程度也是不一樣的。例如，“酒逢知己千杯少”就是說在愉快的環(huán)境中借酒可助興和使人感到滿足；反之則不然。又如，“雪中送碳”說的也是同樣的道理。效用作為自我感受，可以進行自我比較，即同一人對自己消費不同

12、(數(shù)量或種類的)商品后所感到的滿足程度可以進行比較，對自己在不同時刻或環(huán)境下消費商品后所取得的效用可以進行比較。但是，不同消費者消費商品后所取得的效用不能進行比較。各個人的喜好及對滿足程度的主觀評價原則都會不同，因此效用不能在消費者之間進行比較，即不能進行相互比較。效用可自我比較，意味著消費者對各種可行消費方案總可以排出個好壞次序，即不論他能否說出滿足程度到底有多少，但總可以說出“這種消費比那種消費更好一些或較差一些或沒有什么差異”，這便是序數(shù)效用論的觀點。消費者對消費方案作出的這種評價和比較，就是消費者的偏好。當然，這種評價不具有基數(shù)效用那樣的絕對意義。二偏好關(guān)系為了描述消費者的偏好，設(shè)消費

13、集合為，并設(shè)和是種的任意兩種消費方案。如果消費者認為比好，就記為, 稱作“優(yōu)于”；如果他認為比差，就記為，稱作“次于”；如果他認為與一樣好，就記為，稱作“與無差異”。當然，當優(yōu)于時，次于。因此，與具有同樣的意義。注意，理性消費者不能夠?qū)Ψ桨负屯瑫r作出這三種評價的兩種或兩種以上，也就是說，關(guān)系、和不能同時有兩個或兩個以上成立。如果某人認為優(yōu)于的同時，又認為次于，那么他就是一個失去理性的人。當然，有些時候人們有可能對某兩種方案的“誰好誰壞”無法作出判斷。但作為一個理性人，應該不會發(fā)生這種情況。另一方面，為了討論上的方便，我們也要假定經(jīng)濟人能夠?qū)θ魏蝺煞N方案作出“誰好誰壞”的評價。這樣，理性消費者必

14、然能夠作出而且最多只能作出三種評價之一：要么，要么，要么。消費方案之間的比較“”，好象實數(shù)之間的大小比較“”一樣，確定了消費集合上的一種“序”關(guān)系。我們知道，在比較實數(shù)大小時可以使用不嚴格的序關(guān)系(或)。同樣，在消費方案的比較中也可使用不嚴格的“序”關(guān)系 (或), 定義如下：()是指或，稱作“不優(yōu)于”；是指或，稱作“不次于”。遵照數(shù)學表示上的習慣，當不成立時，就用表示之?？梢钥闯觯河纱艘龅南M集合上的二元關(guān)系 (或 )，稱為消費者的偏好關(guān)系。它服從下面三條公理：自反性(reflexivity)： 完全性(completeness)： 傳遞性(transitivity)： 或者說，偏好關(guān)系 (

15、或 )是消費集合上的自反、傳遞、完全的二元關(guān)系。關(guān)系 (或)反映的是消費者偏好，關(guān)系(或)反映了消費者的嚴格偏好，關(guān)系反映了消費者的無差異偏好?？梢宰C明，無差異偏好“”是上的等價關(guān)系。集合稱作的等價類或者無差異類或者無差異曲線，它由兩兩無差異的消費方案構(gòu)成。不同的無差異類互不相交。我們對上述三個公理作一點解釋。偏好關(guān)系服從自反性公理，這是因為任何消費方案都同自身是無差異的。如果某個消費者認為一種消費方案同它自己比較時都存在有差異，那么很難認為該消費者具有理性。至于完全性公理，它是說消費者在任何兩種可行消費方案之間都可作出“誰好誰壞”的評價，這一點在前面已經(jīng)講過了。最后來看傳遞性公理。傳遞性意味

16、著對于任何：若且，則；若且，則。事實上，當且時，傳遞性已告訴我們，。假如說成立，那么就有，從而，即或者，或者。結(jié)合可知，、中有兩個同時成立，這是不可能的?？梢姡荒艹闪?，故只有。同理可證，當且時，。如果說消費者偏好不服從傳遞性公理，會出現(xiàn)什么情況？舉例來說，比方張三認為蘋果比梨好，梨比桃好，而桃又比蘋果好。張三手中拿有一個蘋果，李四手中拿有一個梨和一個桃。那么此時李四提出用桃換張三的蘋果，并要求張三找給李四微不足道的一分錢，李四就不會不答應。交換完畢后，李四又提出用梨換張三手中的桃，并要求張三找李四一分錢，張三又會答應下來。交換完后，李四再次提出用蘋果換張三的梨，同樣要求張三找李四一分錢，張三

17、還是會同意的。這樣的交換一直可無限進行下去，而且每次交換后張三都會感到更滿足。由此可想而知，即使張三是個百萬富翁，在這種無限的交換過程中，盡管每次交換都讓張三很感滿意，最后張三必然要成為窮光蛋，而李四僅用一個梨和一個桃就變成了百萬富翁。顯然這樣的事情不可能發(fā)生在理性消費者身上，即理性消費者的偏好一定會服從傳遞性公理。三關(guān)于偏好的假設(shè)理性消費者對于商品消費的偏好還具有一些特點，偏好關(guān)系具有一些一般性質(zhì)。這些一般性質(zhì)通常以下面的假設(shè)形式提出：假設(shè)HP. 消費者的偏好關(guān)系是無滿足的、連續(xù)的、嚴格凸的。這個假設(shè)實際上由三個分假設(shè)構(gòu)成：無滿足性假設(shè)、連續(xù)性假設(shè)、凸性假設(shè)。有時候，還會對偏好提出單調(diào)性假設(shè)

18、。下面，我們分別介紹和討論這四種假設(shè)。(一)偏好的無滿足性人們常說，欲望是無止境的，一個欲望滿足了，接著就有另一個更大的欲望出現(xiàn)，沒有理由去限制更大欲望的不斷產(chǎn)生。對于消費者而言，他的欲望是通過他的偏好來反映的。欲望的無止境就表現(xiàn)為，當他每選擇到一種消費方案之時，總發(fā)現(xiàn)還有比這種方案更好的可行消費方案。消費者選擇過程中所表現(xiàn)出的這種現(xiàn)象，叫做偏好的無滿足性，這里以“假設(shè)”的形式提出這條性質(zhì)。假設(shè)HP1(偏好的無滿足性). 對于消費集合中的任一方案, 總存在中的另一方案, 使得, 即消費者認為比好。針對無滿足性，可以再提出兩個概念。設(shè)是消費集合的子集。方案叫做是消費者在中的滿足消費，是指對一切都

19、有。如果中沒有滿足消費方案，就稱消費者在中無滿足；否則，稱消費者在中有滿足。顯然，偏好的無滿足性是說消費者在中無滿足。今后為了簡單起見，我們把消費者在中的滿足消費稱為消費者的滿足消費。消費者在方案處局部無滿足，是指對的任何鄰域, 都存在, 使得。如果消費者在任何可行方案處都是局部無滿足的，則稱他(的偏好)是局部無滿足的。顯然，局部無滿足性隱含著無滿足性，但反之不然。(二)偏好的連續(xù)性偏好的連續(xù)性，是指消費者在對消費方案進行評價時表現(xiàn)出的這樣一種規(guī)律：選定一種方案作為衡量其它方案優(yōu)次的標準以后，任何一列不比優(yōu)的可行消費方案的極限依然不比優(yōu)，任何一列不比次的可行消費方案的極限依然不比次。也就是說，

20、消費者的主觀評價具有連續(xù)性。例如，如果一個人被人們認為表現(xiàn)好，那么在大家心目中他就總是表現(xiàn)好，即使他做出了壞事；如果人們認為他表現(xiàn)差，那么他總會被戴上表現(xiàn)差的帽子，即使他做了好事。用數(shù)學術(shù)語來表達，即假設(shè)HP2(偏好的連續(xù)性). 對任何, 集合與都是的閉子集。等價地說，集合與都是的相對開子集（這里，的相對開子集是指的開子集同的交集）。在生活水平低下，溫飽問題都沒有得到基本解決的情況下，消費者的偏好不具有連續(xù)性。他首先要設(shè)法解決吃飯問題，其次才去考慮穿著問題。吃穿問題都得到妥善解決之后，才再來考慮改善住宅條件的問題。因此，在對食物、衣服和住宅三種商品的消費方面，他的偏好可用字典序來表示?？梢宰C明

21、，這種偏好是不連續(xù)的(具體證明留作讀者練習)。當生活水平較高時，消費者不再需要去考慮必須首先解決哪一種商品的消費問題，而要考慮全面消費與綜合效用問題，能夠?qū)οM計劃作出綜合評價時，他的偏好就表現(xiàn)出連續(xù)性。 因此，偏好的連續(xù)性是消費者生活水平較高的體現(xiàn)。(三)偏好的凸性消費集合的凸性，允許消費者采取加權(quán)平均法對任何兩種可行消費計劃進行綜合。那么綜合消費的效果如何? 一般來講，綜合消費方案會比原來較差的方案要好。舉例來說，假如某人認為消費2斤豬肉比消費2斤雞蛋要好(或不差)，那么同時消費1斤豬肉和1斤雞蛋就比只消費2斤雞蛋要好。這種現(xiàn)象叫做偏好的凸性。具體來說，凸性有如下幾種表達方式：定義(偏好的

22、凸性). 設(shè)消費集合是凸集。偏好關(guān)系 稱作是：（1）弱凸的，是指對任何及,若, 則；（2）凸的，是指對任何及,若, 則；（3）嚴格凸的，是指對任何及, 若且, 則；（4）內(nèi)部嚴格凸的，是指是凸的，并且對任何int及,若且, 則。下面對這幾種凸性作一些分析。1. 弱凸偏好的特征設(shè)消費集合是凸集， 是上的偏好關(guān)系。則(1) 是弱凸偏好當且僅當對任何，集合是凸集；(2) 是弱凸偏好當且僅當對任何，集合是凸集。我們來證明這兩個事實。(1)的證明. 設(shè)是弱凸的，我們來證明：對任何, 是凸集。為此，任意給定和，并記。從的完全性可知，總有或成立，但不論哪一個成立，的弱凸性和傳遞性都保證了, 即，這就證明了是

23、凸集。反之，設(shè)對任何，都是凸集，我們來證明： 是弱凸的。為此，設(shè)，并記。注意，且是凸集。于是，, 即，這就證明了的弱凸性。(2)的證明. 設(shè)是弱凸的，我們來證明：對任何, 是凸集。為此，任意給定和，并記。從的完全性可知，總有或成立。于是，的弱凸性保證了或者, 從而，即，這就證明了是凸集。反之，設(shè)對任何，都是凸集，我們來證明 是弱凸的，即欲證明：對任何，記，都有。用反證法來證明，假定不成立，即假定。于是，這說明。既然是凸集，因此應該有，即，這是不可能發(fā)生的結(jié)果?？梢?，不成立是不可能的，故只有成立。這就證明了的弱凸性。2. 連續(xù)凸偏好的特點凸偏好未必是弱凸的，弱凸偏好也未必是凸的。但是對于連續(xù)偏好

24、來說，凸性蘊含著弱凸性，即連續(xù)凸偏好必然是弱凸的，這正是“弱凸性”中 “弱”字的意義所在。當消費者具有連續(xù)、凸的偏好時，兩種不同無差異消費方案的加權(quán)平均也具有特殊的效果：要么所有的加權(quán)平均方案都與原來的方案無差異，要么所有的加權(quán)平均方案都比原來的方案更優(yōu)。不會出現(xiàn)“一些加權(quán)平均方案與原方案無差異，另一些加權(quán)平均方案則比原方案好”的情況。用簡明語言表達，即，對于任何，要么，要么。連續(xù)凸偏好為什么會具有如上所述的特點呢？我們作一點分析。首先看連續(xù)凸偏好必然是弱凸的這一事實是否成立。任意給定，, 。記，欲證。采用反證法，假定。則。記，即是連接和的開線段(不包含端點)。的凸性說明，對一切成立。 圖3-

25、3 連接兩點的線段我們指出，對一切成立。事實上，任意給定，則，且，即位于連接和的開線段上（如圖3-3所示）。如果說，即或，那么在的情況下的凸性說明，這與相矛盾；在的情況下的凸性說明，這又與相矛盾?？梢?，不能成立，故只有，即與無差異。既然中的所有方案都與無差異， 的連續(xù)性便蘊含著和都與無差異，從而，這與相矛盾?？梢姴荒艹闪?，因而只有。的弱凸性得到證明。其次，再來看無差異方案加權(quán)平均的效果。設(shè)，且。仍用表示連接和的開線段。既然連續(xù)凸偏好是弱凸的，中的任何方案就都不比和差。如果中確實有某個方案優(yōu)于，那么的凸性便保證了中的任何方案都要優(yōu)于和(因為與無差異)。這就說明，要么中的任何方案都與無差異，要么中

26、的任何方案都要比好。3. 嚴格凸偏好的特點顯然，嚴格凸偏好必是凸偏好，也必是弱凸偏好。一個更有意義的特點是，嚴格凸偏好下的任何無差異類都不包含有非單點的非空凸子集，因而無差異類很薄，而且不會包含任何直線段。下面，我們對這個特點作一論證。用反證法。假如某個無差異類包含有非單點的非空凸子集，那么在該凸子集中就可取出兩個不同的點和，并令。從偏好的嚴格凸性可知，從而；但注意，即，這與相矛盾?？梢?，中不可能包含有非單點的非空凸子集。證明完畢。偏好的內(nèi)部嚴格凸性介于凸性和嚴格凸性之間。需求函數(shù)的存在性離不開嚴格凸性或至少離不開內(nèi)部嚴格凸性。因此，我們把嚴格凸性作為對消費者的一種假設(shè)而接受下來。假設(shè)HP3(

27、凸性假設(shè)). 消費者的偏好關(guān)系是嚴格凸的。(四)偏好的單調(diào)性欲望無止境也反映在商品的消費數(shù)量上，即消費者認為商品數(shù)量越多越好，這就是消費者偏好的單調(diào)性。單調(diào)性也有多種表述方式，并且在理論研究中往往會為用到，但本書不把它作為討論的必要前提。定義(偏好的單調(diào)性). 消費集合上的偏好關(guān)系 叫做是：(1) 弱單調(diào)的，是指對任何,若, 則；(2) 單調(diào)的，是指對任何,若, 則；(3) 嚴格單調(diào)的，是指對任何,若, 則；(4) 強單調(diào)的，是指對任何,若, 則。四種單調(diào)性之間的關(guān)系如下：(1)強單調(diào)性最強，弱單調(diào)性最弱；(2)如果連續(xù)且滿足條件，則嚴格單調(diào)性隱含著單調(diào)性；(3)如果嚴格凸，則單調(diào)性等價于強單

28、調(diào)性，嚴格單調(diào)性等價于弱單調(diào)性；(4)如果連續(xù)、嚴格凸，且滿足條件，則這四種單調(diào)性相互等價。四理性消費者一般認為，假設(shè)HC和假設(shè)HP所描述的特點，是理性消費者所具備的特點。因此，我們對理性消費者作出這樣的構(gòu)畫：理性消費者的消費集合是商品空間的非空下有界閉凸子集，他的偏好 是無滿足的、連續(xù)的凸偏好。在這個構(gòu)畫下，我們進一步分析一下理性消費者的特點。特點1. 具有連續(xù)偏好的消費者在消費集合的任何非空有界閉子集中都有滿足，從而理性消費者在他的消費集合的任何非空有界閉子集中都有滿足。本特點的直觀含義如圖3-4所示。設(shè)是的任意一個非空有界閉子集。對于，令，則是的具有有限交性質(zhì)的閉子集族，從而具有非空的交

29、集（因為是緊集）。從該交集中取出一點，則（即）對一切成立，這說明消費者在中最滿足的消費方案。既然這種消費方案存在，因此消費者在中有滿足。特點2. 具有無滿足的凸偏好的消費者必然局部無滿足，從而理性消費者局部無滿足。為了證實這一特點, 任意給定, 并設(shè)是的任一鄰域。偏好 的無滿足性保證了中有比更好的消費方案存在。對于這個，連接和的開線段必然要與相交(如圖3-5所示)，取其交點之一，并用表示之。注意， 是凸偏好，且是與的加權(quán)平均方案。因此，。既然是從中取出來的點，臨域中存在著比更好的消費方案。這就說明 是局部無滿足的偏好。 圖3-4 有界閉集中有滿足消費 圖3-5 局部無滿足第三節(jié) 效用函數(shù)效用理

30、論是消費理論的基礎(chǔ)，起源于基數(shù)效用學說，后來發(fā)展成為序數(shù)效用論。序數(shù)效用論者認為，作為主觀感受的效用是一個抽象概念，無法計量多少，只可進行比較并用序數(shù)給出優(yōu)次排序。本節(jié)從序數(shù)效用概念出發(fā)，對消費者在商品消費中獲得的滿足程度進行分析。一、效用函數(shù)的概念消費者對各種可行消費方案排出的優(yōu)劣次序，很類似于實數(shù)之間的大小順序。的確，序數(shù)效用論者就是這么看待商品效用的。他們認為，按照實數(shù)之間的大小順序可以標出各種消費方案之間的優(yōu)劣次序。但是，這種觀點的正確性直到1954年才由德布羅給出了證明。效用函數(shù)就是序數(shù)效用論者所說的那種表示消費方案優(yōu)次排序的函數(shù)。具體來講，設(shè)是消費集合的偏好關(guān)系，一個定義在上的實值

31、函數(shù)叫做是的效用函數(shù)，是指滿足如下條件：。當是的效用函數(shù)時，也稱是的效用表示，或稱是誘導的偏好關(guān)系。顯然，效用函數(shù)的意義在于用實數(shù)順序給出了各種消費方案的優(yōu)次排序。可以看出，如果是偏好關(guān)系的效用函數(shù)，那么任何嚴格遞增函數(shù)與的復合（對于）也是的效用函數(shù)。所以，只要的效用函數(shù)存在，的效用函數(shù)就有無限多個。我們把同一偏好關(guān)系的這無限多個效用函數(shù)同等看待，稱它們是相互等價的效用函數(shù)。顯然，效用函數(shù)與等價的充分必要條件是：。現(xiàn)在的問題是，偏好關(guān)系的效用函數(shù)存在嗎？對此，德布羅于1954年作出了回答。效用函數(shù)存在定理(G. Debreu). 商品空間的任何連通子集上的連續(xù)偏好關(guān)系都有連續(xù)的效用函數(shù)。因此，

32、理性消費者的偏好關(guān)系必然有連續(xù)的效用函數(shù)。此定理的證明比較復雜，德布羅1954年給出了證明，但后來發(fā)現(xiàn)證明中有不正確的地方，于1964才給出了正確的證明。效用函數(shù)存在定理奠定了效用理論的基礎(chǔ)，是經(jīng)濟學的基本定理之一。由于這個定理，我們才可在偏好關(guān)系與效用函數(shù)之間隨意地選擇使用。二、效用函數(shù)的性質(zhì)對應于消費者偏好的凸性和單調(diào)性，效用函數(shù)也具有相應的一系列性質(zhì)。定義. 效用函數(shù)叫做是：(1) 弱擬凹的是指對任何及,若, 則；(2) 擬凹的，是指對任何及,若, 則；(3) 嚴格擬凹的,是指對于,，及,若, 則；(4) 內(nèi)部嚴格擬凹的，是指對于,，及,若, 則；(5) 弱單調(diào)的，是指對任何，若, 則；

33、(6) 單調(diào)的，是指對任何，若, 則；(7) 嚴格單調(diào)的，是指對任何，若, 則；(8) 強單調(diào)的，是指對任何，若, 則。效用函數(shù)的性質(zhì)與偏好關(guān)系的性質(zhì)之間的對應關(guān)系由下面定理所表達。定理. 設(shè)是偏好關(guān)系的效用函數(shù)。(1) 是弱凸的當且僅當是弱擬凹的；(2) 是凸的當且僅當是擬凹的；(3) 是嚴格凸的當且僅當是嚴格擬凹的；(4) 是內(nèi)部嚴格凸的當且僅當是內(nèi)部嚴格擬凹的；(5) 是單調(diào)的當且僅當是單調(diào)的；(6) 是嚴格單調(diào)的當且僅當是嚴格單調(diào)的；(7) 是弱單調(diào)的當且僅當是弱單調(diào)的；(8) 是強單調(diào)的當且僅當是強單調(diào)的；(9) 是連續(xù)的當且僅當?shù)葍r于一個連續(xù)效用函數(shù)；(10) 是無滿足的當且僅當在

34、上無最大值；(11) 是局部無滿足的當且僅當在中處處無極大值；(12) 是消費者在中的滿足消費當且僅當是在上的最大值點。三、可微效用函數(shù)邊際分析法要使用效用函數(shù)的一階和二階偏導數(shù)，以往的做法是直接假定這些偏導數(shù)存在。那么，效用函數(shù)確實具有這些偏導數(shù)嗎？這就是可微效用函數(shù)的存在性問題。20世紀70年代，經(jīng)濟學家對效用函數(shù)傾注了較多的注意力，尤其是德布羅于1972年對效用函數(shù)的可微性問題作出了肯定的答復。設(shè)為一正整數(shù)，表示由一切具有直到階的連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)及映射所構(gòu)成的類。中的函數(shù)或映射就叫做函數(shù)或映射。設(shè)和是歐氏空間的兩個開子集。從到的一個映射稱為微分同胚，是指：(1)是11映射，(2)是滿射，

35、(3)是映射，(4)的逆映射也是映射。的子集叫做是一張超曲面，是指對任何，存在的開鄰域，存在的某開子集，存在從到的一個微分同胚, 以及存在中的一張超平面，使得。即在微分同胚的意義下，超曲面局部具有了超平面的結(jié)構(gòu)。對于消費集合的偏好關(guān)系來說，無差異關(guān)系 是的子集，因而是的子集。如果 是中的一張超曲面，則稱 是偏好關(guān)系?？晌⑿в煤瘮?shù)存在定理(G. Debreu). 設(shè)消費集合的內(nèi)部是商品空間的連通開子集，是上單調(diào)、連續(xù)的偏好關(guān)系。具有無奇點的效用函數(shù)的充分必要條件是是偏好關(guān)系。本定理的證明略去。定理中所說的奇點，含義是指該點處函數(shù)的各個一階偏導數(shù)都為零。有了這個定理以后, 大多數(shù)情況下我們都可去假

36、定效用函數(shù)的二階連續(xù)可微性，而不必為這種函數(shù)的存在性而擔心。鑒于此，經(jīng)濟分析中常常使用如下關(guān)于效用函數(shù)的可微性假設(shè)。假設(shè)HU(可微性假設(shè)). 消費者的效用函數(shù)在消費集合內(nèi)部二階連續(xù)可微，并且在各點處的各個一階偏導數(shù)不會同時全為零。四、效用梯度與偏好梯度初級微觀經(jīng)濟學已經(jīng)展示了無差異分析的重要作用。當考慮兩種商品之間的替代問題時，無差異曲線的切線斜率就是兩種商品之間的邊際替代率。然而初級分析只是限于一種商品替代另一種商品的情況，沒有考慮一種替代多種商品，或者多種商品替代一種商品的情況。為了把商品之間的相互替代問題考慮得更加全面，需要使用效用梯度和偏好梯度這兩個概念。設(shè)消費者的效用函數(shù)為，并且服從

37、假設(shè)HU。消費向量處的效用梯度是指向量，它是通過點的無差異曲線的法方向。顯然，效用梯度的大小同所選擇的具體效用函數(shù)有關(guān)。效用梯度指向效用增大最快的方向，即指向效用水平提高最快的方向。這是因為從全微分公式(這里表示向量內(nèi)積)可知，只有當增加的消費向量與效用梯度的夾角保持銳角時，效用的增加量才大于零；當?shù)?長度不變)方向變化到與同方向時，效用增加量達到最大。因此，效用梯度指向效用增大最快的方向，即在各個方向上的消費等量增加中，效用梯度所指的方向效用增加得最大。這就解釋了效用梯度的經(jīng)濟含義。然而，如上定義的效用梯度是依據(jù)具體的效用函數(shù)來給出的，這就存在著一個問題：效用梯度的方向是否與效用函數(shù)的選擇有

38、關(guān)？如果答案是肯定的，那么引進效用梯度概念的意義就不大了。幸運的是，下面的定理保證了效用梯度方向與具體的效用函數(shù)選擇無關(guān)。定理. 設(shè)和是兩個等價的效用函數(shù)，它們都在內(nèi)部一階連續(xù)可導，并且在內(nèi)部每點處的各個一階偏導數(shù)不會同時都為零。用和分別表示與的函數(shù)值的全體。則存在映射滿足如下兩個條件：(1) 對任何的，；(2) 對任何的，都有，在處可微，并且 ，從而。由此定理，我們便可引入與效用函數(shù)選擇無關(guān)的偏好梯度概念。消費方案處的偏好梯度是指單位向量:其中是消費者的一個在消費集合內(nèi)部一階連續(xù)可微、在消費集合內(nèi)部每點處的各個一階偏到數(shù)不會同時為零的效用函數(shù)。顯然，偏好梯度指向效用增大最快的方向，與效用函數(shù)

39、無關(guān)，但與消費者偏好有關(guān)，由偏好關(guān)系決定。利用偏好梯度，商品之間的替代關(guān)系可表達為：一些商品的消費量減少(增加)時，為了保持效用水平不變，其余商品的消費量的變化量必須服從如下關(guān)系：其中表示第種商品的消費量的變化量。這就是說，為了保持效用水平不變，商品消費量的調(diào)整向量必須保持與偏好梯度正交。定理的證明. 與等價，即與是同一偏好的兩個效用函數(shù)。定義如下：。則是嚴格遞增函數(shù)，并且明顯滿足條件(1)。以下證明滿足條件(2)。為此，設(shè)任意給定，并記。從可知，存在正數(shù)使得開球。既然在內(nèi)部每點處的各個一階偏導數(shù)不同時全為零，在處必有某個使得。令，則不是在中的極值點，從而存在和使得且。這說明。現(xiàn)在，對于中任一

40、趨向于的序列，從及的連續(xù)性可知，必然存在中的一個序列使得且。于是這說明在處是可微的。注意，是任意給定的，從而是可微函數(shù)。既然，應用復合函數(shù)求導法則可得，這說明。注意，及，因此。再注意，是遞增函數(shù)，于是。最后，從可知，。第四節(jié) 效用最大化作為理性人，消費者不但要服從客觀條件的限制，而且要服從經(jīng)濟條件的限制，他在這些條件的限制下選擇自己最滿意的消費方案，在條件許可的范圍內(nèi)追求效用最大化。本節(jié)就來研究理性消費者的這種效用最大化行為。消費者的福利是通過他們的偏好來反映的。當把這種消費同另一種消費作比較時，如果消費者更喜歡這種消費，說明這種消費能給消費者帶來更大的滿足，因而更需要這一種消費。如果不考慮經(jīng)

41、濟條件的限制，那么消費者的這種需要就是一種無止境的欲望，沒有一個滿足的時候。經(jīng)濟學不研究如何滿足人們無止境的欲望，而只研究受一定經(jīng)濟條件限制的消費者需要。這就是效用最大化問題。一、收入約束消費者進行消費選擇時，一方面要受到一般性的客觀條件制約，要求在消費集合所劃定的許可范圍內(nèi)選擇；另一方面，還要受到經(jīng)濟條件的制約，要求在收入允許的范圍內(nèi)選擇。作為理性人，消費者不能以搶或偷的方式去克服收入限制。他可以借款消費，但這實際上等同于擴大了收入，而他的選擇則是在擴大的收入限制下進行，因此還是沒有擺脫收入帶來的約束。效用最大化就是指消費者在一定的收入條件限制下追求最大程度地滿足。設(shè)消費者面臨的商品空間為，

42、消費集合為，偏好關(guān)系為 ，收入為，商品的市場價格體系為。消費者只能接受這個價格體系，而不能影響和改變它。用表示要選擇的消費方案。消費者受到的客觀條件制約，要求他選擇的方案必須符合條件：；他受到的經(jīng)濟條件制約主要來自于收入的有限性，要求選擇的方案還必須符合條件：。把這兩個條件結(jié)合在一起，便形成了消費者的收入約束或者叫做預算約束：收入約束確定了消費者的實際選擇范圍，它不再是整個消費集合，而只是的一部分：稱這個集合為消費者的預算集合。效用最大化，就是指消費者在預算集合內(nèi)選擇到自己最滿意的消費方案。為了能使消費者在符合收入約束的限制下選擇到所需要的消費向量，消費者的收入應該滿足最低支出條件：稱為價格體

43、系下的最低支出。如果收入低于最低支出，那么消費集合中就沒有一個方案是允許消費者選擇的。所以，最低支出條件是必須的。二、馬歇爾需求理性消費者最終選定的消費方案，是預算集合中他認為最好的消費方案，這個方案就是馬歇爾從效用最大化出發(fā)推導出的消費者需求，人們稱其為馬歇爾需求，或者簡稱為需求。預算集合中消費者認為最好的消費方案可能不止一種。當然，這些最好的消費方案之間必然是無差異的，否則就與“最好”產(chǎn)生自相矛盾。用表示預算集合中消費者認為最好的所有消費方案組成的集合，即這個集合稱為消費者在價格體系和收入之下的馬歇爾需求集合，或者簡稱為需求集合。中的向量稱為消費者在價格體系和收入之下的馬歇爾需求向量，或者

44、簡稱為需求向量。顯然，馬歇爾需求集合中的任何兩種消費方案都是無差異的?，F(xiàn)在的問題是，效用最大化問題的這種表述方式可靠嗎？換句話說，馬歇爾需求是否存在？如果不存在，那么消費者就根本選不出最優(yōu)消費方案，效用最大化理論就是空談。下面的定理作出了肯定的回答。定理(馬歇爾需求的存在性). 如果消費集合是下有界非空閉集，并且消費者偏好是連續(xù)的，則對任何價格體系及收入, 都有（即馬歇爾需求集合非空)。從而理性消費者的馬歇爾需求存在。從此定理可見，的子集是由那些使馬歇爾需求集合非空的價格收入組合構(gòu)成的集合，因此稱這個集合為價格收入集合，它對研究馬歇爾需求具有重要意義，而且今后將會經(jīng)常用到它。集合的內(nèi)部也是很重

45、要的，今后也將會多次用到。鑒于此，本書中，符合和具有這里的專門意義：現(xiàn)在，我們來看一看這個定理成立的必然性。從第二節(jié)對于理性消費者特點的討論可知，理性消費者在消費集合的任何有界閉子集中都有滿足。注意，對于價格體系及收入，預算集合是消費集合的非空有界閉子集，因而消費者在這個集合中必有滿足，這就是說馬歇爾需求是存在的。我們還可以從效用函數(shù)的角度來看需求的存在性。既然是連續(xù)偏好，根據(jù)效用函數(shù)存在定理，存在的連續(xù)效用函數(shù)。需求向量是預算集合中效用最大的商品向量，即是效用函數(shù)在中的最大值點。在的非空有界閉子集中有定義的連續(xù)函數(shù)必有最大值，而確實是的有界非空閉子集，又是連續(xù)的且在中有定義，于是，在中的最大

46、值點必存在，即馬歇爾需求集合是非空的。知道馬歇爾需求存在以后，如果還能知道馬歇爾需求是唯一的，那么效用最大化問題的解決就可謂圓滿。下面定理回答了馬歇爾需求的唯一性問題。定理(馬歇爾需求的唯一性). 如果消費者偏好嚴格凸，則對任何價格向量和收入，都是單點集或空集；如果是內(nèi)部嚴格凸的，則對價格向量和收入，當時，是單點集或空集。因此，理性消費者的馬歇爾需求是唯一的。證明：對于任意給定的價格收入，如果是空集，則定理結(jié)論已經(jīng)得證。因此，我們假定非空。用反證法，假定不是單點集，即假定中有兩種不同的消費方案和，那么這兩種方案必然無差異，即。令，則，且從偏好的嚴格凸性可知，比和都優(yōu)。這與和是預算集合中的最優(yōu)方

47、案相矛盾。矛盾的結(jié)論說明，只能是單點集。馬歇爾需求的另外一條性質(zhì)由下述定理給出。定理(馬歇爾需求的結(jié)清性). 設(shè)是無滿足的凸偏好，則對任何及, 都有（此種情況可寫作），即馬歇爾需求實現(xiàn)了消費者的收支平衡。本定理說明，在消費者欲望無止境的情況下，消費者只有把他的收入全部用于消費，才能獲得最大限度的滿足。否則，就實現(xiàn)不了效用最大化。下面證明本定理。設(shè)是任意給定的方案，欲證。采用反證法，假定，那么必然，這是因為。既然是無滿足的偏好，就存在著某個方案使得。由于是中的最優(yōu)方案，于是必然不在預算集合中，即(如圖3-6所示)。 預算線 圖3-6 證明思路的直觀意義對每個，令，則定義了閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且。

48、從連續(xù)函數(shù)介值定理可知，存在使得。令，則,從而。注意，且是凸偏好，因此，這與是中的最優(yōu)方案相矛盾?？梢姴荒艹闪?，即只有。三、需求映射馬歇爾需求的存在性和唯一性告訴我們，對于理性消費者來說，即在假設(shè)HC和假設(shè)HP 下，對于任何的, 都有唯一的方案與之對應，即。這就定義了一個從價格收入集合到消費集合的映射，稱這個映射為消費者的馬歇爾需求映射，簡稱為需求映射。把寫成分量形式：，便得到定義在上的個函數(shù)，稱這些函數(shù)為消費者的馬歇爾需求函數(shù)，簡稱為需求函數(shù)。要確定需求映射，假設(shè)HC和假設(shè)HP是必需的。不嚴格地說，馬歇爾需求映射的確定幾乎等同說偏好關(guān)系是嚴格凸的。如果馬歇爾需求落在消費集合內(nèi)部，即對任何，都

49、有，那么馬歇爾需求映射的確定就幾乎等同于偏好的內(nèi)部嚴格凸性。注意，對于任何實數(shù)，即把價格和收入按照同一比例擴大或縮小時，預算集合不變。因此，相應的馬歇爾需求也就不變。這個給出了需求映射的如下性質(zhì)：定理(需求映射的零階齊次性). 對任何及實數(shù)，都有。再從前面關(guān)于馬歇爾需求結(jié)清性的討論可知，需求映射還具有人們通常所說的瓦爾拉性質(zhì)，即收支平衡。這種性質(zhì)，也叫做需求映射的瓦爾拉法則。定理(需求映射的瓦爾拉法則). 對任何， 都有，即收支平衡。四、間接效用函數(shù)馬歇爾需求是消費者在價格體系和收入水平下必然選擇的消費方案，代表著由價格體系和收入確定的效用水平(即消費者生活水平)。這樣，當價格與收入發(fā)生變化時

50、，消費者生活水平就跟著發(fā)生變化。間接效用函數(shù)就是反映消費者生活水平同價格和收入之間的關(guān)系的函數(shù)，它通過(直接)效用函數(shù)和需求映射來定義：對于任何，通過研究間接效用函數(shù)，我們可掌握消費者生活水平隨價格和收入的變化規(guī)律。以后在討論消費最優(yōu)化的實現(xiàn)問題和研究需求變動規(guī)律的時候，間接效用函數(shù)將會進一步提及。 第五節(jié) 支出最小化支出最小化是指消費者在保證不降低生活水平的前提下謀求消費支出達到最少。顯然，這種行為也是一種符合理性的行為，是消費最優(yōu)化的體現(xiàn)。?？怂箯闹С鲎钚』霭l(fā)，分析了消費者的選擇，給出了今天稱謂的?？怂剐枨蟾拍?。本節(jié)就來討論支出最小化問題。一、支出約束當消費者面臨一種消費方案時，他常常會

51、作這樣的考慮：只要效用不降低，支出越少就越好。這就是說，消費者首先確定一個效用水平，然后在不低于這個效用水平的前提下使消費支出達到最小。這種做法的道理在于貨幣也是一種具有效用的“商品”，支付貨幣相當于支付效用。以貨幣換商品，相當于以效用換效用。因此，以較少的效用換得較多的效用，是理性人活動的一種自然現(xiàn)象。按照支出最小化的思路，我們來分析一下消費者的選擇。假定消費者目前面對的消費方案為，商品的價格體系為，從而按照方案進行消費的貨幣支出為。如果說還有另外一種消費方案，按照消費不但比按消費的支出少，而且能讓消費者得到不比低的滿足程度（即），那么消費者自然會把他的選擇從調(diào)整為。如果對于，還能作類似的調(diào)

52、整，那么消費者就會繼續(xù)調(diào)整消費計劃。而且這樣的調(diào)整，會一直進行到不能調(diào)整為止。在這種調(diào)整過程中，集合限定了調(diào)整選擇的范圍。這個集合也就稱為消費者在處的支出集合；條件叫做消費者在處受到的支出約束。支出約束條件也可寫成：二、?？怂剐枨笤趦r格體系下，支出集合上的最小支出記作，可寫成：在價格不變且所在的效用水平也不變的情況下，的變化不會改變支出集合，從而不會改變的值。這就是說，是隨著價格和效用水平的變化而變化的量。只要，就有。因此，實際上是價格和效用水平的函數(shù)，稱這個函數(shù)為消費者的支出函數(shù)。的定義告訴我們，是價值函數(shù)在支出集合上的最小值。嚴格地講，這種說法不夠準確。要使說法準確，支出集合中就必須有一個

53、價值等于的商品向量，即價值函數(shù)在支出集合中的最小值點必須存在。這個最小值點，就是?？怂箯闹С鲎钚』霭l(fā)得到的消費者需求，稱為消費者在價格體系下和效用水平上的?？怂剐枨?向量)。顯然，給定價格體系和效用水平后，相應的希克斯需求不見得存在，即使存在，也不見得唯一。鑒于此，我們用表示消費者在價格體系下和效用水平上的?？怂剐枨笙蛄康娜w，稱為?？怂剐枨蠹?。即不一定非空，也不一定是單點集。但當時，中每個方案的支出都等于，此時可寫作。當，即消費支出已經(jīng)是消費集合上的最低支出時，支出就不能再變小，因而無法同更低支出水平的消費進行比較，支出最小化也就意義不大了。所以，通?？紤]支出最小化問題時，總要假定當前支

54、出不是上的最低支出，即要求。定理(希克斯需求的存在性). 設(shè)消費集合是下有界非空閉集，是連續(xù)的偏好，則對任何價格向量及任何，都有 (即?？怂剐枨蠹戏强?。從而理性消費者的希克斯需求是存在的。這是因為對于及，集合是的非空有界閉集，從而是緊集。價值函數(shù)在上連續(xù)，從而在中的最小值必然存在，這個最小值顯然也是在整個支出集合上的最小值，其最小值點就是價格體系和效用水平上的?？怂剐枨?，因此非空。定理(?？怂剐枨蟮奈ㄒ恍?. 設(shè)消費集合是凸集， 是連續(xù)的嚴格凸偏好，則對于符合條件的任何價格體系和消費向量，?？怂剐枨蠹现凶疃嘀挥幸环N消費方案。因此，理性消費者的?？怂剐枨笫俏ㄒ坏?。證明：設(shè)和是任意給定的滿足條件的價格體系和消費向量，欲證中至多一個點。用反證法，假定中有兩個不同的向量和。則，這就說明存在滿足。這個必然不在中，即。注意，與中必然有一個成立，不妨假定。令，則的嚴格凸性保證了,從而。這樣，我們在中找到了一種方案滿足：且(如圖3-7所示)。 支出線 圖3-7 證明思路的幾何直觀設(shè)為的一個連續(xù)效用函數(shù)(這樣的效用函數(shù)一定存在）。定義函數(shù)如下：, 則是連續(xù)函數(shù),并且。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在滿足。令，則，即，從而。注意，這與是上的最小支出相矛盾。可見，中不可能有