不等關(guān)系與不等式 高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 高考數(shù)學(xué)真題復(fù)習(xí)

1、7.1不等關(guān)系與不等式2014高考會(huì)這樣考1.考查有關(guān)不等式的命題真假及數(shù)式的大小比較；2.考查和函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)的綜合應(yīng)用復(fù)習(xí)備考要這樣做1.熟練掌握不等式的性質(zhì)，并會(huì)正確理解和應(yīng)用；2.對(duì)含參數(shù)的不等式，要把握分類討論的標(biāo)準(zhǔn)和技巧1 不等式的定義在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學(xué)符號(hào)、0)3 不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：abbb，bcac；(3)可加性：abacbc，ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc，ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n1)；(6)可開方：ab0 (nN，n2)難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 在學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)時(shí)，要特

2、別注意下面幾點(diǎn)(1)不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎(chǔ)，對(duì)任意兩實(shí)數(shù)a、b有ab0ab，ab0ab，ab0ab，bc，則ac，這是放縮法的依據(jù)，在運(yùn)用傳遞性時(shí)，要注意不等式的方向，否則易產(chǎn)生這樣的錯(cuò)誤：為證明ac，選擇中間量b，在證出ab，cb后，就誤認(rèn)為能得到ac.(4)同向不等式可相加，但不能相減，即由ab，cd，可以得出acbd，但不能得出acbd.2 理解不等式的思想和方法(1)作差法是證明不等式的最基本也是很重要的方法，應(yīng)引起高度注意，要注意強(qiáng)化(2)加強(qiáng)化歸意識(shí)，把比較大小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算(3)通過(guò)復(fù)習(xí)要強(qiáng)化不等式“運(yùn)算”的條件如ab、cd在什么條件下才能推出acbd.(4)強(qiáng)化

3、函數(shù)的性質(zhì)在大小比較中的重要作用，加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系1 已知ab0，且cd0，則與的大小關(guān)系是_答案解析ab0，cd0，0， .2 已知a0，1bab2a解析由1b0，可得bb21.又aab2a.3 限速40 km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過(guò)40 km/h，寫成不等式就是 ()Av40 km/hCv40 km/h Dv40 km/h答案D4 (2011浙江)設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則“0ab1”是“b”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案D解析0ab1，a，b同號(hào)，且ab0，b0時(shí)，b；當(dāng)a0，b.“0ab1”是“b”的不

4、充分條件而取b1，a1，顯然有b，但不能推出0ab1，“0ab1”是“bb1，c；acloga(bc)其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)是()A BC D答案D解析根據(jù)不等式的性質(zhì)構(gòu)造函數(shù)求解ab1，.又c，故正確構(gòu)造函數(shù)yxc.cb1，acb1，c0，acbc1.ab1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，即logb(ac)loga(bc)，故正確題型一不等式性質(zhì)的應(yīng)用例1已知，求，的取值范圍思維啟迪：不等式性質(zhì)的應(yīng)用是本題的突破點(diǎn)解因?yàn)?，所以?所以，.因?yàn)椋?.故0.探究提高(1)利用不等式的性質(zhì)求范圍要充分利用題設(shè)中的條件，如本題中的條件；(2)注意“”形式，利用不等式要正確變

5、形 已知1xy4且2xy3，則z2x3y的取值范圍是_(答案用區(qū)間表示)答案(3,8)解析設(shè)2x3ym(xy)n(xy)，解得2x3y(xy)(xy)，1xy4,2xy3，2(xy)，5(xy)，3(xy)(xy)8，即32x3y8，所以z2x3y的取值范圍為(3,8)題型二比較大小問(wèn)題例2已知a1且aR，試比較與1a的大小思維啟迪：要判斷與1a的大小，只需研究它們差的符號(hào)解(1a)，當(dāng)a0時(shí)，0，1a.當(dāng)a0，1a.當(dāng)a1時(shí)，0，1a.探究提高實(shí)數(shù)的大小比較常常轉(zhuǎn)化為對(duì)它們差(簡(jiǎn)稱作差法)的符號(hào)的判定，當(dāng)解析式里面含有字母時(shí)常需分類討論 (2012四川)設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)現(xiàn)有下列命題：若a2b

6、21，則ab1；若1，則ab1；若|1，則|ab|1；若|a3b3|1，則|ab|1，不合題意，故正確中，1，只需abab即可如取a2，b滿足上式，但ab1，故錯(cuò)中，a，b為正實(shí)數(shù)，所以|1，且|ab|()()|1，故錯(cuò)中，|a3b3|(ab)(a2abb2)|ab|(a2abb2)1.若|ab|1，不妨取ab1，則必有a2abb21，不合題意，故正確題型三不等式與函數(shù)、方程的綜合問(wèn)題例3已知f(x)是定義在(，4上的減函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得f(msin x)f對(duì)定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x均成立？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由思維啟迪：不等式和函數(shù)的結(jié)合，往往要利用函數(shù)的單調(diào)

7、性和函數(shù)的值域解假設(shè)實(shí)數(shù)m存在，依題意，可得即因?yàn)閟in x的最小值為1，且(sin x)2的最大值為0，要滿足題意，必須有解得m或m3.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.探究提高不等式恒成立問(wèn)題一般要利用函數(shù)的值域，mf(x)恒成立，只需mf(x)min. 已知a、b、c是實(shí)數(shù)，試比較a2b2c2與abbcca的大小解方法一(作差法)a2b2c2(abbcca)(ab)2(bc)2(ca)20，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)，a2b2c2abbcca.方法二(函數(shù)法)記ta2b2c2(abbcca)a2(bc)ab2c2bc，(bc)24(b2c2bc)3b23c26bc3(bc)20，t0對(duì)aR恒成立，即a

8、2b2c2abbcca.不等式變形中擴(kuò)大范圍致誤典例：(12分)已知1lg 2,2lg 3，求lg 的取值范圍易錯(cuò)分析根據(jù)不等式性質(zhì)先解出lg x，lg y的范圍，再求lg的范圍，錯(cuò)誤原因是lg x，lg y的最值不一定能同時(shí)取到，這種做法可能擴(kuò)大所求范圍審題視角(1)注意已知條件1lg 2,2lg 3.(2)分析lg 與lg 、lg 的線性關(guān)系(3)先將它們表示成lg x、lg y的線性關(guān)系規(guī)范解答解由變形，得2分令解得4分lg3lg xlg y3ba.6分由得9分ba3，即lg3.11分lg的取值范圍是.12分溫馨提醒(1)此類問(wèn)題的一般解法是：先建立待求整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后通

9、過(guò)”一次性“使用不等式的運(yùn)算求得整體范圍；(2)本題也可以利用線性規(guī)劃思想求解；(3)求范圍問(wèn)題如果多次利用不等式有可能擴(kuò)大變量取值范圍.方法與技巧1 用同向不等式求差的范圍adxybc這種方法在三角函數(shù)中求角的范圍時(shí)經(jīng)常用到2 倒數(shù)關(guān)系在不等式中的作用.3 比較法是不等式性質(zhì)證明的理論依據(jù)，是不等式證明的主要方法之一，比差法的主要步驟為：作差變形判斷正負(fù)在所給不等式完全是積、商、冪的形式時(shí)，可考慮比商失誤與防范1 abacbc或abacb或a，當(dāng)ab0時(shí)不成立3 abanbn對(duì)于正數(shù)a、b才成立4. 1ab，對(duì)于正數(shù)a、b才成立5 注意不等式性質(zhì)中“”與“”的區(qū)別，如：ab，bcac，其中a

10、c不能推出.6 求范圍問(wèn)題要整體代換，“一次性”使用不等式性質(zhì)，注意不要擴(kuò)大變量的取值范圍A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 下面四個(gè)條件中，使ab成立的充分而不必要的條件是()Aab1 Bab1Ca2b2 Da3b3答案A解析由ab1，得ab1b，即ab，而由ab不能得出ab1，因此，使ab成立的充分不必要條件是ab1.2 設(shè)ab B.C|a|b D.答案B解析由題設(shè)得aab0，所以有不成立3 設(shè)alg e，b(lg e)2，clg ，則()Aabc BacbCcab Dcba答案B解析0lg elg e(lg e)2.acb.4 已知pa，

11、qx22，其中a2，xR，則p，q的大小關(guān)系是()Apq BpqCpq Dpq答案A解析paa22224，當(dāng)且僅當(dāng)a3時(shí)取等號(hào)因?yàn)閤222，所以qx2224，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)取等號(hào)所以pq.二、填空題(每小題5分，共15分)5 (2011天津改編)設(shè)x，yR，則“x2且y2”是“x2y24”的_條件答案充分不必要解析x2且y2，x2y24，“x2且y2”是“x2y24”的充分條件；而x2y24不一定得出x2且y2，例如當(dāng)x2且y2時(shí)，x2y24亦成立，故“x2且y2”不是“x2y24”的必要條件“x2且y2”是“x2y24”的充分不必要條件6 若角、滿足，則2的取值范圍是_答案解析，2，2，又2

12、()，2b，則acbc2，則ab；若ab，則a0，bbc2知c20，則ab，正確；當(dāng)ab時(shí)，0，則a0，b0，0，()20，()0，.方法二11，a0，b0，0，0，.9 (12分)設(shè)f(x)ax2bx,1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范圍解方法一設(shè)f(2)mf(1)nf(1) (m，n為待定系數(shù))，則4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.于是得，解得，f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法二由，得，f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5

13、f(2)10.方法三由確定的平面區(qū)域如圖陰影部分，當(dāng)f(2)4a2b過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最小值425，當(dāng)f(2)4a2b過(guò)點(diǎn)B(3,1)時(shí)，取得最大值432110，5f(2)10.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 設(shè)0x，則“xsin2x1”是“xsin x1”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件答案B解析當(dāng)0x時(shí)，0sin x1.由xsin2x1知xsin x，不一定得到xsin x1.反之，當(dāng)xsin x1時(shí)，xsin2xsin x1.故xsin2x1是xsin xa BacbCcba Dacb答案A解

14、析cb44aa2(2a)20，cb，已知兩式作差得2b22a2，即b1a2，1a2a20，1a2a，b1a2a，cba.3 若ab0，則下列不等式中一定成立的是()Aab B.Cab D.答案A解析取a2，b1，排除B與D；另外，函數(shù)f(x)x是(0，)上的增函數(shù)，但函數(shù)g(x)x在(0,1上遞減，在1，)上遞增，所以，當(dāng)ab0時(shí)，f(a)f(b)必定成立，但g(a)g(b)未必成立，這樣，abab.二、填空題(每小題5分，共15分)4 已知f(n)n，g(n)n，(n)(nN*，n2)，則f(n)，g(n)，(n)的大小關(guān)系是_答案f(n)(n)g(n)解析f(n)n(n)，f(n)(n)bc0，x，y，z，則x，y，z的大小關(guān)系是_答案zyx解析方法一y2x22c(ab)0，y